数学分支之突变理论
突变理论的哲学分析
长期以来，人们对质变的形式问题一直存在着丌同见 解。总的来看，有三种丌同的倾向： • 第一种是“飞跃论”，认为从一种质态向另一种质态 的转化是以丌连续的方式通过飞跃实现的； • 第二种是“渐迚论”，认为在任何两种质态乊间丌存 在着什么绝对分明和固定丌变的界限 ,一切质态的差异都 在中间阶段互相融合，因此丌同质态的转化是以连续的方 式通过渐迚完成的； • 第三种是“两种飞跃论”，认为飞跃可分为“爆发式” 和“非爆发式”两种，旧质到新质的转化有的是以爆发式 飞跃完成的,有的则是以非爆发式飞跃完成的。 •
产生上述分歧的一个重要原因，在亍对“飞跃”缺乏 明确而科学的判定原则。一般只简单地把飞跃理解成是一 个突然的、迅速发生的过程。而这种理解作为一种判定原 则并丌总是适用的,因为现实世界中既存在着迅速发生的 渐迚过程，也存在着时间较长的飞跃过程。突变理论对哲 学的一个重要贡献，就是从稳定性理论出发，科学地回答 了究竟什么是飞跃这个关键问题，为考察一个过程是飞跃 还是渐变提供了新的判定原则。 • 这就是在严格控制条件情况下，如果质变中经历的中 间过渡态是稳定的，那么它就是一个渐变过程；如果中间 过渡态是丌稳定的，那么它就是一个飞跃过程。 •
突变理论的哲学分析
主讲人：耿超
什么是突变理论
突变论是20世纪60年代末兴起的一门交叉性数学科学,这是一 门具有重大科学不哲学意义的学科它的产生,为人们认识事物的形 状、结构突然变化的规律不机制提供了科学模型,从而引起国内外 数学界及哲学界的普遍关注. • 系统内部状态的整体性“突跃”称为突变，其特点是过程连 续而结果丌连续。突变理论可以被用来认识和预测复杂的系统行 为。在自然界和社会生活中，存在着两类性质截然丌同的现象： 一类是连续变化的现象，如天体运行、光电的传播、经济的增长、 语言的演化等；另一类是丌连续的突变现象，如闪电雷鸣、塌方、 岩石断裂、地震、气体的相变、基因的突变等。 • 突变论的产生是现代科学史上的重大事件，被称乊为“用精 密数学工具描述生物学、社会科学等复杂现象的一次突破”“是 牛顿和莱布尼兹发明微积分三百年以来数学上最大的一次革命”。 由亍突变论是描述突变系统形态和运行机制的有效工具 ,因此有人 又将它归类为系统科学的一个分支理论。 •
突变理论在国际关系研究中的应用初探
。
复杂性科 学 的发展 ， 不仅 引发了 自然科 学界 的变
革， 而 且也 １ ３ 益渗透到哲 学 、 人文社会科学领域 。英 国 著名物理 学家霍金称 “ 二十一 世纪将是 复杂性科学 的 世纪” 。复杂性科学 为什么会赢 得如此盛 誉？主要是 因为复杂性 科学在研究方 法论 上的突破 和创新 。在某 种意义上 ， 甚至 可以说复杂性科 学带来 的首先是一场 方法论或者思维方式的变革 。虽然 目前 人们对复杂性 科学 的认识不尽相 同， 但是可 以肯定的是“ 复杂性科学 的理论 和方法将 为人类 的发 展提供一种 新思路 、 新 方
规律 为主要任 务 ， 以提高人们认识世界 、 探究世界和改
造 世 界 的 能 力 为 主 要 目的 的 一种 “ 学科互涉 ” （ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ — ｄ ｉ ｓ ｃ ｉ ｐ ｌ ｉ ｎ ａ ｒ ｙ ） 的新兴科 学研究 形态 。在 中国 ， 最 早 明确提出探索复杂性方法论 的是我 国著名科学 家钱 学森， 他在二 十世纪 ８ ０ 年代 ， 复杂性研 究刚 刚兴起 的 时候 ， 就敏锐地提出要探索 复杂性科学 的方法论 。
书 中明确地 阐明了突变理论 ， 宣告 了突变理论 的诞生 。
（ 三） 突 变理 论 的 内容
突变 理论 （ Ｃ ａ ｔ ａ ｓ ｔ ｒ ｏ ｐ ｈ ｅ Ｔ ｈ ｅ ｏ ｙ） ｒ 是托姆 于提 出的一 种 拓扑数学理论 ， 以结构稳 定性理论 为基础 用来描述 系列 连续 性 的量变 如何演 变成 跳跃 式质 变 。 ” …
；
‘
它 主要通过研 究一种 函数 及其临界 点的分类状 况 ， 来 分 析临界 点附近的不连续特征 。其特别适用 于对 内部 作用未知的系统 进行研 究。其一个重 要成果就是在控 制因子不超过 ４ 个时 ， 可 以产生 ７ 种类 型的基本 突变 。 突变理论 提 出一 系列数学模 型 ， 用 以解 释 自然界
什么是新三论旧三论
什么是“老三论”、“新三论”一、引言系统论、控制论和信息论是本世纪四十年代先后创立并获得迅猛发展的三门系统理论的分支学科。
虽然它们仅有半个世纪，但在系统科学领域中已是资深望重的元老，合称“老三论”。
人们摘取了这三论的英文名字的第一个字母，把它们称之为SCI论。
耗散结构论、协同论、突变论是本世纪七十年代以来陆续确立并获得极快进展的三门系统理论的分支学科。
它们虽然时间不长，却已是系统科学领域中年少有为的成员，故合称“新三论”，也称为DSC论。
二、“老三论”、“新三论”理论概述1、系统论、控制论和信息论系统论的创始人是美籍奥地利生物学家贝塔朗菲。
系统论要求把事物当作一个整体或系统来研究，并用数学模型去描述和确定系统的结构和行为。
所谓系统，即由相互作用和相互依赖的若干组成部分结合成的、具有特定功能的有机整体;而系统本身又是它所从属的一个更大系统的组成部分。
贝塔朗菲旗帜鲜明地提出了系统观点、动态观点和等级观点。
指出复杂事物功能远大于某组成因果链中各环节的简单总和，认为一切生命都处于积极运动状态，有机体作为一个系统能够保持动态稳定是系统向环境充分开放，获得物质、信息、能量交换的结果。
系统论强调整体与局部、局部与局部、系统本身与外部环境之间互为依存、相互影响和制约的关系，具有目的性、动态性、有序性三大基本特征。
控制论是著名美国数学家维纳（Wiener N）同他的合作者自觉地适应近代科学技术中不同门类相互渗透与相互融合的发展趋势而创始的。
它摆脱了牛顿经典力学和拉普拉斯机械决定论的束缚，使用新的统计理论研究系统运动状态、行为方式和变化趋势的各种可能性。
控制论是研究系统的状态、功能、行为方式及变动趋势，控制系统的稳定，揭示不同系统的共同的控制规律，使系统按预定目标运行的技术科学。
信息论是由美国数学家香农创立的，它是用概率论和数理统计方法，从量的方面来研究系统的信息如何获取、加工、处理、传输和控制的一门科学。
信息就是指消息中所包含的新内容与新知识，是用来减少和消除人们对于事物认识的不确定性。
突变论
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突变理论研究的是从一种稳定组态跃迁到另一种稳定组态的现象和规 律。它指出自然界或人类社会中任何一种运动状态，都有稳定态和非 稳定态之分。在微小的偶然扰动因素作用下，仍然能够保持原来状态 的是稳定态；而一旦受到微扰就迅速离开原来状态的则是非稳定态， 稳定态与非稳定态相互交错。非线性系统从某一个稳定态（平衡态） 到另一个稳定态的转化，是以突变形式发生的。系统变化是通过连续 性的和非连续性的两种变化模式来实现的。突变理论作为研究系统是 演化的有力数学工具，能较好地解说和预测自然界和社会上的突然现 象，在数学、物理学、化学、生物学、工程技术、社会科学等方面有 着广阔的应用前景。 突变理论是用形象的数学模型来描述连续性行动突然中断导致质变的 过程， 这一理论与混沌理论（Chaos Theory）相关，相关之处在于， 玻璃瓶只存在两种状态——要么站立，要么躺倒。 这两种状态也就 是可能的结果。尽管它们是两个完全独立的理论，但现在突变理论被 普遍视作为混沌理论的一部分。
突变论
由图中的瓶子想到了什么？
稳定平衡
施 力
不稳定平衡
不 施 力 施 力
理想稳定 状态
新的稳定 平衡状态
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假想有一只玻璃瓶放在桌面上， 它处在一个稳定的状态， 没有任何变化，此为稳定平衡（Stable Equilibrium）。 现在假想用你的手指轻推瓶颈，不要太用力。 这时变化 产生，玻璃瓶晃动起来，它在通过一种连续性的方式来吸 收变化， 此为不稳定平衡（Unstable Equilibrium）。 如果你停止推力，玻璃瓶将恢复到它的理想稳定状态。 然而，如果你继续用力推下去，在你的推力达到一定程度 的时候，玻璃瓶便会倒下， 由此又进入了一种新的稳定 平衡状态。 玻璃瓶的状态在这一瞬间就发生了突变， 一 个非连续性的变化就这样产生了： 在玻璃瓶下跌的过程 中，没有任何可能的稳定中间状态，直到它完全倒伏在桌 面上为止。
新三论
系统科学领域中把耗散结构论、协同论、突变论合称为“新三论”。
另外把系统论、控制论和信息论合称为“老三论”。
耗散结构论可概括为：一个远离平衡态的非线性的开放系统（不管是物理的、化学的、生物的乃至社会的、经济的系统）通过不断地与外界交换物质和能量，在系统内部某个参量的变化达到一定的阈值时，通过涨落，系统可能发生突变即非平衡相变，由原来的混沌无序状态转变为一种在时间上、空间上或功能上的有序状态。
这种在远离平衡的非线性区形成的新的稳定的宏观有序结构，由于需要不断与外界交换物质或能量才能维持，因此称之为“耗散结构”（dissipative structure）。
协同学亦称协同论或协和学，是研究不同事物共同特征及其协同机理的新兴学科，是近十几年来获得发展并被广泛应用的综合性学科。
它着重探讨各种系统从无序变为有序时的相似性。
协同论的创始人哈肯说过，他把这个学科称为“协同学”，一方面是由于我们所研究的对象是许多子系统的联合作用，以产生宏观尺度上结构和功能；另一方面，它又是由许多不同的学科进行合作，来发现自组织系统的一般原理。
客观世界存在着各种各样的系统；社会的或自然界的，有生命或无生命的，宏观的或微观的系统等等，这些看起来完全不同的系统，却都具有深刻的相似性。
协同论则是在研究事物从旧结构转变为新结构的机理的共同规律上形成和发展的，它的主要特点是通过类比对从无序到有序的现象建立了一整套数学模型和处理方案，并推广到广泛的领域。
它基于“很多子系统的合作受相同原理支配而与子系统特性无关”的原理，设想在跨学科领域内，考察其类似性以探求其规律。
哈肯在阐述协同论时讲道：“我们现在好像在大山脚下从不同的两边挖一条隧道，这个大山至今把不同的学科分隔开，尤其是把…软‟科学和…硬‟科学分隔开。
”突变论是研究客观世界非连续性突然变化现象的一门新兴学科，自本世纪70年代创立以来，十数年间获得迅速发展和广泛应用，引起了科学界的重视。
“突变”一词，法文原意是“灾变”，是强调变化过程的间断或突然转换的意思。
突变理论
突变理论是20世纪70年代发展起来的一个新的数学分支。
突变理论的产生许多年来，自然界许多事物的连续的、渐变的、平滑的运动变化过程，都可以用微积分的方法给以圆满解决。
例如，地球绕着太阳旋转，有规律地周而复始地连续不断进行，使人能及其精确地预测未来的运动状态，这就需要运用经典的微积分来描述。
但是，自然界和社会现象中，还有许多突变和飞跃的过程，飞越造成的不连续性把系统的行为空间变成不可微的，微积分就无法解决。
例如，水突然沸腾，冰突然融化，火山爆发，某地突然地震，房屋突然倒塌，病人突然死亡……。
这种由渐变、量变发展为突变、质变的过程，就是突变现象，微积分是不能描述的。
以前科学家在研究这类突变现象时遇到了各式各样的困难，其中主要困难就是缺乏恰当的数学工具来提供描述它们的数学模型。
那么，有没有可能建立一种关于突变现象的一般性数学理论来描述各种飞跃和不连续过程呢？这迫使数学家进一步研究描述突变理论的飞跃过程，研究不连续性现象的数学理论。
1972年法国数学家雷内·托姆在《结构稳定性和形态发生学》一书中，明确地阐明了突变理论，宣告了突变理论的诞生。
突变理论的内容突变理论主要以拓扑学为工具，以结构稳定性理论为基础，提出了一条新的判别突变、飞跃的原则：在严格控制条件下，如果质变中经历的中间过渡态是稳定的，那么它就是一个渐变过程。
比如拆一堵墙，如果从上面开始一块块地把砖头拆下来，整个过程就是结构稳定的渐变过程。
如果从底脚开始拆墙，拆到一定程度，就会破坏墙的结构稳定性，墙就会哗啦一声，倒塌下来。
这种结构不稳定性就是突变、飞跃过程。
又如社会变革，从封建社会过渡到资本主义社会，法国大革命采用暴力来实现，而日本的明治维新就是采用一系列改革，以渐变方式来实现。
对于这种结构的稳定与不稳定现象，突变理论用势函数的洼存在表示稳定，用洼取消表示不稳定，并有自己的一套运算方法。
例如，一个小球在洼底部时是稳定的，如果把它放在突起顶端时是不稳定的，小球就会从顶端处，不稳定滚下去，往新洼地过渡，事物就发生突变；当小球在新洼地底处，又开始新的稳定，所以势函数的洼存在与消失是判断事物的稳定性与不稳定性、渐变与突变过程的根据。
非线性、自组织、混沌、分形、超循环、突变论、协同论、耗散结构，他们之间的关系是怎样的？
非线性、自组织、混沌、分形、超循环、突变论、协同论、耗散结构，他们之间的关系是怎样的？非线性是指各相关变量之间不再是简单的一次线性关系，而是高次或复杂的曲线关系。
在数学上主要是指由高维非线性（常或偏）微分方程对应的非线性系统。
其涉及范围非常广泛，从物理、化学、生物、医学，直到社会，无所不在。
如三体问题、流体动力学问题、板壳大挠度问题，爱因斯坦广义相对论方程，等等，求解极其困难，也是人类智慧遇到的最大挑战！目前，人类虽对非线性研究不得要领，只是在低维如二维动力系统有些进展，但发现了非线性存在的一些普遍现象，如混沌、分形、拟序结构、突变、自组织等现象。
混沌，指无形、极端无序和混乱的状态，在数学上又指无解析解。
首先由庞加莱在研究三体问题后提出，是理解不透的表现，也是一种无奈！分形，主要指分形几何学，用分数维度来描述几何体，真实的有雪花、海岸线等，理论上又有科赫曲线、谢尔宾斯基地毯等。
既然分析法很难在非线性方面突破，人们希望用几何法来试试。
自组织，由德国物理学家H.Haken在研究组织进化时提出，组织分他组织和自组织两类。
如果一个系统靠外部指令而形成系统，叫他组织；如果不存在外部指令，系统按照相互默认的某种规则，各尽其责而又自动协调地形成有序结构，就是自组织。
自组织现象在自然界和人类社会都普遍存在，目前主要研究在系统论、热力学、统计力学、进化论、结构论-泛进化论方面有进展。
自组织理论可分三块：耗散结构理论、协同学、突变论。
这对细胞、组织、器官、系统及生命的研究都有重大的意义！超循环理论，是关于非平衡态系统的自组织现象的理论，由德国科学家M.艾肯在1970年代提出，研究细胞的生化系统、分子系统与信息化理论。
在生命现象中包含许多由酶的催化作用所推动的各种循环，即超循环。
以上只谈了点非线性问题的一点皮毛。
期待读者在非线性方面能有所突破，把“天有不测风云”改写成“风云变幻皆可测”！。
突变理论
• 5.网络突变下的危机管理
21世纪以来人类进入了网络时代，今天的经济已是一个全球化 的经济、开放的经济和一体化的经济，交通和通讯的极大便利以及IT 技术和互联网的强力渗透，把人类紧紧相连。每个企业不过是庞大网 络体系中的一个节点，彼此制约，相互依赖。世界上任何一个角落的 突变都会在全世界范围内飞速传播，冲击波迅速放大，其频度和深度 前所未有，企业将面临更为动荡的商业环境。随着信息技术的飞速发 展和网络的普及，全球化、信息化和网络化正在深刻地改变世界的商 业模式，使企业不得不在一个蕴含更多不确定性和突变性的商业风险 和危机中打拼。
理论优势
• 1、突变理论有助于认识变革管理的真实面貌、理解混沌 理论的思想观点。 它揭示了为什么真正的变革是一项危 险活动。 • 2、突变理论打断了“组织能够基于多样化的价值而且表 现出各种形态”的念头， 大概只存在几个有限的真正意 义上的稳定组织形态。 • 3、突变理论同样揭示了为什么变革不可以被“管理”， 而只能被“影响”。 • 4、理论应付“形式”的思想(Gestalt格式塔理论)和变动。 它开创了认识组织的新视角。
• 2.反梯度推移与突变型再造和创新
•
所谓反梯度推移，是指不是像通常那样序贯的、顺次 的、梯度的推进，而是渐进过程的中断，非平衡发展的突 变和创造性毁灭。在转型变革期，企业的再造和创新绝不 是一次改良运动，而是重大的突变式改革。这主要表现为 以下三个方面： • （1）企业变革和再造是对固有基本信念的挑战。 • （2）企业再造和变革不是要在业绩上取得点滴的改善或 逐渐提高，而是要在经营业绩上取得显著的改进。 • （3）突变是摆脱积重难返的旧体制和复杂系统巨大惯性 的唯一出路，唯有通过突变和创新，方可实现企业从旧质 转化为新质的爆发式跃迁。
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突变理论是20世纪70年代发展起来的一个新的数学分支。
突变理论的产生
许多年来，自然界许多事物的连续的、渐变的、平滑的运动变化过程，都可以用微积分的方法给以圆满解决。
例如，地球绕着太阳旋转，有规律地周而复始地连续不断进行，使人能及其精确地预测未来的运动状态，这就需要运用经典的微积分来描述。
但是，自然界和社会现象中，还有许多突变和飞跃的过程，飞越造成的不连续性把系统的行为空间变成不可微的，微积分就无法解决。
例如，水突然沸腾，冰突然融化，火山爆发，某地突然地震，房屋突然倒塌，病人突然死亡……。
这种由渐变、量变发展为突变、质变的过程，就是突变现象，微积分是不能描述的。
以前科学家在研究这类突变现象时遇到了各式各样的困难，其中主要困难就是缺乏恰当的数学工具来提供描述它们的数学模型。
那么，有没有可能建立一种关于突变现象的一般性数学理论来描述各种飞跃和不连续过程呢？这迫使数学家进一步研究描述突变理论的飞跃过程，研究不连续性现象的数学理论。
1972年法国数学家雷内·托姆在《结构稳定性和形态发生学》一书中，明确地阐明了突变理论，宣告了突变理论的诞生。
突变理论的内容
突变理论主要以拓扑学为工具，以结构稳定性理论为基础，提出了一条新的判别突变、飞跃的原则：在严格控制条件下，如果质变中经历的中间过渡态是稳定的，那么它就是一个渐变过程。
比如拆一堵墙，如果从上面开始一块块地把砖头拆下来，整个过程就是结构稳定的渐变过程。
如果从底脚开始拆墙，拆到一定程度，就会破坏墙的结构稳定性，墙就会哗啦一声，倒塌下来。
这种结构不稳定性就是突变、飞跃过程。
又如社会变革，从封建社会过渡到资本主义社会，法国大革命采用暴力来实现，而日本的明治维新就是采用一系列改革，以渐变方式来实现。
对于这种结构的稳定与不稳定现象，突变理论用势函数的洼存在表示稳定，用洼取消表示不稳定，并有自己的一套运算方法。
例如，一个小球在洼底部时是稳定的，如果把它放在突起顶端时是不稳定的，小球就会从顶端处，不稳定滚下去，往新洼地过渡，事物就发生突变；当小球在新洼地底处，又开始新的稳定，所以势函数的洼存在与消失是判断事物的稳定性与不稳定性、渐变与突变过程的根据。
托姆的突变理论，就是用数学工具描述系统状态的飞跃，给出系统处于稳定态的参数区域，参数变化时，系统状态也随着变化，当参数通过某些特定位置时，状态就会发生突变。
突变理论提出一系列数学模型，用以解是自然界和社会现象中所发生的不连续的变化过程，描述各种现象为何从形态的一种形式突然地飞跃到根本不同的另一种形式。
如岩石的破
裂，桥梁的断裂，细胞的分裂，胚胎的变异，市场的破坏以及社会结构的激变……。
按照突变理论，自然界和社会现象中的大量的不连续事件，可以由某些特定的几何形状来表示。
托姆指出，发生在三维空间和一维空间的四个因子控制下的突变，有七种突变类型：折迭突变、尖顶突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲脐突变、椭圆脐形突变以及抛物脐形突变。
例如，用大拇指和中指夹持一段有弹性的钢丝，使其向上弯曲，然后再用力压钢丝使其变形，当达到一定程度时，钢丝会突然向下弯曲，并失去弹性。
这就是生活中常见的一种突变现象，它有两个稳定状态：上弯和下弯，状态由两个参数决定，一个是手指夹持的力(水平方向)，一个是钢丝的压力(垂直方向)，可用尖顶突变来描述。
尖顶突变和蝴蝶突变是几种质态之间能够进行可逆转的模型。
自然界还有些过程是不可逆的，比如死亡是一种突变，活人可以变成死人，反过来却不行。
这一类过程可以用折迭突变、燕尾突变等时函数最高奇次的模型来描述。
所以，突变理论是用形象而精确的得数学模型来描述质量互变过程。
英国数学家奇曼教授称突变理论是“数学界的一项智力革命——微积分后最重要的发现”。
他还组成一个研究团体，悉心研究，扩展应用。
短短几年，论文已有四百多篇，可成为盛极一时，托姆为此成就而荣获当前国际数学界的最高奖——菲尔兹奖。
突变理论的应用
突变理论在在自然科学的应用是相当广泛的。
在物理学研究了相变、分叉、混沌与突变的关系，提出了动态系统、非线性力学系统的突变模型，解释了物理过程的可重复性是结构稳定性的表现。
在化学中，用蝴蝶突变描述氢氧化物的水溶液，用尖顶突变描述水的液、气、固的变化等。
在生态学中研究了物群的消长与生灭过程，提出了根治蝗虫的模型与方法。
在工程技术中，研究了弹性结构的稳定性，通过桥梁过载导致毁坏的实际过程，提出最优结构设计……。
突变理论在社会现象的一个用归纳为某种量的突变问题，人们施加控制因素影响社会状态是有一定条件的，只有在控制因素达到临界点之前，状态才是可以控制的。
一旦发生根本性的质变，它就表现为控制因素所无法控制的突变过程。
还可以用突变理论对社会进行高层次的有效控制，为此就需要研究事物状态与控制因素之间的相互关系，以及稳定区域、非稳定区域、临界曲线的分布特点，还要研究突变的方向与幅度。