武汉大学2011-2012高数B上期末考试题解

计算题：（每题8分，共56分）1． 设22arcsin 11x t y t ⎧⎪=-⎨=+⎪⎩，求22d y dx 。

解：22222,,211dy dx t dy dydxt t t dtdtdt dt dx t t -====---。

记dy p dx =。

222arcsin 121x tp t t ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩。

()22322222212211dp t t t t t t dt t t t t -=---=---， ()222212(0)d y dp dpdxt t dtdtdx dx ===-≠。

2． 求()sin 20lim ln(1)arcsin x xx e e x x x x →-++。

解：()()sin sin sin 32001sin limlim limln(1)arcsin xx xx xx x x e ee e x xxxxxx x x x -→→→---==++ 222001cos 1lim lim 366x x x x x x →→-===。

3． 已知2lim 2xx a x x a xe dx x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰，求a 的值。

解：2222222lim lim 1lim 1ax x a ax ax axxa x aaa x x x x a a a e x a x a x a -+-++-+--→∞→∞→∞⎧⎫---⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()2222222xxxx x a aaaaxe dx xe d x xd exe e dx +∞+∞+∞+∞+∞-----⎡⎤=--=-=-+⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 2221122ax a a aee a e +∞---⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭。

112a +=，12a =。

4． 计算不定积分1(0)dx a ax b d≠++⎰。

解：112221ax b t t d d d dx tdt dt dt t d a a t d a t d ax b d+=+-⎛⎫===- ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰()2ln ax b d ax b d C a=+-+++。

5． 求定积分()31421x x dx -⎰。

解：()()()2333sin 111442242222000111111cos 222x t t u x x dx x dx t dt udu π==-=-=-=⎰⎰⎰⎰()()22220022001cos2111cos 22cos22481311313cos42cos2sin 4sin 282282832u du u u du u u du u u u πππππ+==++⎛⎫⎡⎤=++=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰6． 求解常微分方程33dyx y xy dx=-。

解：33dy xy x y dx +=。

323dy y xy x dx --+=。

令2y u -=。

32dy du y dx dx--=。

322duxu x dx-=-。

2222222232()32222()2,()2,()()22P x dxx xx x x x x xP x x Q x x P x dx x Q x e dx x e dx x de x e xe dx x e de x e e --------=-=-=-⎰=-==-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2222x x x u e x e e C --=++原方程的通解：()22222x x x ye x e e C ---=++。

7． 设22,0(),0x t xe dtx x xa x ϕ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰，求a 的值使得()x ϕ在0x =处连续，并用导数定义求(0)ϕ'。

解：()222240(0)lim ()limlim 21x t x xxx x x e dt a x e e xϕϕ→→→====-=⎰时()x ϕ在0x =处连续。

()22222222244001()(0)(0)limlimlim211lim lim 162022xt xxt xx x x x x x x x x e dt e dt x x x xxx e e xe xe x ϕϕϕ→→→→→---'===--==-=⎰⎰二、（5分）设11sin2n n a n π⎛⎫=+⎪⎝⎭，证明{}n a 没有极限。

证：2411lim lim001lim lim 141k k k k k k a a k +→∞→∞→∞→∞⎛⎫==≠==+⎪+⎝⎭。

故 {}n a 没有极限。

三、（10分）设()y y x =满足方程322x y y y e '''-+=，其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x =-+在该点处的切线重合，求()y y x =。

解：()211x x x ='-+=-。

0032211xx x y y y e y y ==⎧'''-+=⎪⎪=⎨⎪'=-⎪⎩ 特征方程2320t t -+=的根：121,2λλ==。

320y y y '''-+=的通解212x x y C e C e =+0m =，1λ=是特征方程的单根。

设322x y y y e '''-+=的特解为*x y Axe =。

*,*2233222*2x x x xx x x x x xxy Ae Axe y Ae Axe Ae Axe Ae Axe Axe e A y xe '''=+=++--+==-=-322x y y y e '''-+=的通解：2122x x x y C e C e xe =+-。

21221221212222212124322x x x xy C e C e e xe C e C e eC e C e eC e e C e '=+--⎧=+-⎨-=+-⎩⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩22322()2x x xe y x e e xe e e -=+-四、（11分）已知函数211x y x -=+，求函数的增减区间、凸凹区间、极值、拐点和渐近线。

解：求导()()()()()()()()()()22222222322320,120,12121120,1212110,124122(1)110,1,230,1212323 0,12310,23230,23x x x x x x x y x x x x x x x x y xxx x x x x x x x x ⎧==±⎪><-+--⎪-++'==⎨<-<<+++⎪⎪>>+⎩-++-'=-++⎧==-±⎪<<-⎪+---+⎪=>-<<-⎨+⎪<-<<+⎪⎪>>+⎩故，函数的增区间：(),12,12,⎤⎡-∞-++∞⎦⎣；减区间：12,12⎡⎤-+⎣⎦；上凸区间：(],1,23,23⎡⎤-∞--+⎣⎦；下凸区间：)23,23,23,⎡⎤⎡-+++∞⎣⎦⎣；极大值：()212422y --=-；极小值：()212422y +=+；拐点：()13131,1,23,,23,843843⎛⎫⎛⎫+---+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭。

211x y x -=+无垂直渐近线。

22111lim 0,lim 01x x x x x a b x x →∞→∞--+====+。

211x y x -=+只有一条渐近线：0y =。

五、（10分）求曲线,sin ,0,1xy e y x x x ====所围成的平面图形的面积S ，并求该平面图形绕x 轴转一周所得的旋转体的体积。

解：11sin 2cos1xS e dx xdx e =-=-+⎰⎰。

()111222200011sin 1sin22sin222222xV e dx xdx e x x e πππππ⎡⎤⎛⎫=-=---=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰⎰六、（8分）设(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(),a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=。

证：记()()()F x f x g x =-。

则()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有二阶导数。

设(),()f x g x 在(),a b 内相等最大值的最大值点分别是()12,,c c a b ∈。

如果11()()g c f c =，取1c c =；如果22()()g c f c =，取2c c =。

则()0F c =。

设11()()g c f c ≠且22()()g c f c ≠。

则，12()0,()0F c F c ><。

由于()F x 在[],a b 上连续，根据零点存在定理，存在(),c a b ∈使得()0F c =。

任意情况下都存在(),c a b ∈使得()0F c =。

()()0F a F b ==。

根据罗尔定理，存在()()12,,,a c c b ξξ∈∈使得12()()0F F ξξ''==。

()F x '在[]12,ξξ上连续。

又根据罗尔定理，存在()()12,,a b ξξξ∈⊂使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=。