2018高考理科数学选填压轴题专练32题(含详细答案)
18年理科数学高考真题
18年理科数学高考真题2018年理科数学高考真题共分为选择题和解答题两部分，共计12个小题。
下面将逐一进行讲解和解答。
一、选择题部分1. 如题设函数 $f(x)=\begin{cases} 2x+1, & x<0\\ x^2-1, & x\geq 0\end{cases}$，则 $f(x)$ 的一个单调递减区间是 $()$。
解析：当 $x<0$ 时，$f'(x)=2>0$，因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增；当 $x\geq 0$ 时，$f'(x)=2x\geq 0$，因此 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增。
所以， $f(x)$ 的一个单调递减区间是 $(0,+\infty)$。
2. 若 $a,b$ 是两个不相等的实数，且 $a^2+b^2=2$，则$a^4+b^4$ 的最大值是 $()$。
解析：由均值不等式可得$a^4+b^4\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2)^2=2$，等号成立时，要求 $a=b=1$。
故 $a^4+b^4$ 的最大值为 $2$。
3. 记 $\lim_{n\to \infty}\frac{\tan^2 n}{n^2}=A$，则$A=\underline{()}$。
解析：根据极限的性质可得 $\lim_{n\to \infty}\frac{\tan^2n}{n^2}=\lim_{n\to \infty}\left( \frac{\tan n}{n} \right)^2=1^2=1$。
因此，$A=1$。
4. 已知向量 $\overrightarrow{a}=(1,m),\overrightarrow{b}=(2,-1)$，若向量 $\overrightarrow{a}$ 与向量 $\overrightarrow{b}$ 的夹角为$60^\circ$，则实数 $m$ 的值是 $()$。
2018年高考数学压轴题数列大题含答案
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明 为等差数列.
（3）若数列 的通项公式为 ，令 . 为 的前 项的和，求 .
6．已知数列 满足 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求证：对任意的 ，都有
① ；
② （ ）．
7．在数列 中，若 是整数，且 （ ，且 ）.
（Ⅰ）若 ， ，写出 的值；
（Ⅱ）若在数列 的前2018项中，奇数的个数为 ，求 得最大值；
（Ⅲ）若数列 中， 是奇数， ，证明：对任意 ， 不是4的倍数.
8．设等差数列 的公差为 ，等差数列 的公差为 ，记
，其中 表示 这 个数中最大的数
(1)若 ，求 的值，并猜想数列 的通项公式（不必证明）
(2)设 ，若不等式 对不小于2的一切自然数n都成立，求 的取值范围
⑶设数列 的前 项的和为 ，试求数列 的最大值.
11．（本小题满分16分）已知数列 的奇数项是首项为 的等差数列，偶数项是首项为 的等比数列，数列 前 项和为 ，且满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求正整数 的值；
（3）是否存在正整数 ，使得 恰好为数列 中的一项？若存在，求出所有满足条件的 值，若不存在，说明理由.
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）数列 中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；
（3）设 ，其中 为常数，且 ，
，求 .
19．（本题满分14分）在单调递增数列 中， ， ，且 成等差数列， 成等比数列， ．
（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列 为等差数列；
（ⅱ）求数列 的通项公式.
（Ⅱ）设数列 的前 项和为 ，证明： ， ．
2018年高考数学真题压轴小题(解析版)
2018年高考数学压轴题小题一．选择题1（2018年1卷理11题）已知双曲线2213x C y ：-=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N . 若OMN △为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．23D ．4 2（2018年1卷理12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A ．33B ．23C ．32D ．33(中档题 2018年3卷理11．）设F 1，F 2是双曲线C: x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 24.2018年3卷理12）设a=log 0.20.3，b=log 20.3，则( )A ．a+b<ab<0B ．ab<a+b<0C ．a+b<0<abD ．ab<0<a+b5.（2018年1卷文12）12．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ） A ．(]1-∞-， B ．()0+∞， C ．()10-， D ．()0-∞，6.（2018年3卷文12）．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为A ．123B ．183C ．243D ．5437.（2018•新课标Ⅱ）已知f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f （1﹣x ）=f （1+x ），若f（1）=2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （50）=（ ）A ．﹣50B ．0C ．2D ．508.（2018•新课标Ⅱ）已知F 1，F 2是椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P=120°，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．9.（2018•上海）设D 是函数1的有限实数集，f （x ）是定义在D 上的函数，若f （x ）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f （1）的可能取值只能是（ ）A ．B ．C ．D ．010.（2018•浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（ ） A ．﹣1 B ．+1 C ．2 D ．2﹣11.（2018•浙江）已知四棱锥S ﹣ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点）．设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S ﹣AB ﹣C 的平面角为θ3，则（ ）A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ112.（2018•浙江）函数y=2|x |sin2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 1.（2018年1卷理16题）已知函数()2sin sin 2=+f x x x ，则()f x 的最小值是 .2.（2018年2卷理16题）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．3(2018年3卷理16）已知点M(-1,1)和抛物线C:y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点．若∠AMB=900，则k=________．4.（2018年1卷文16）△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________ 5.(2018年2卷文16）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为__________．6.(2018年2卷文16）．已知函数()()2ln 11f x x x =--+，()4f a =，则()f a -=________．7．（2018•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F （c ，0）到一条渐近线的距离为c ，则其离心率的值为 ．8．（2018•江苏）若函数f （x ）=2x 3﹣ax 2+1（a ∈R ）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f （x ）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为 ．9．（2018•天津）已知a ＞0，函数f （x ）=．若关于x 的方程f （x ）=ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 ．10．（2018•北京）已知椭圆M ：+=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：﹣=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 ．11．（2018•上海）已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=，则+的最大值为 ． 12．（2018•上海）已知常数a ＞0，函数f （x ）=的图象经过点P （p ，），Q （q ，）．若2p +q =36pq ，则a= ．13．（2018•浙江）已知λ∈R ，函数f （x ）=，当λ=2时，不等式f （x ）＜0的解集是 ．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．14．（2018•浙江）已知点P （0，1），椭圆+y 2=m （m ＞1）上两点A ，B 满足=2，则当m= 时，点B 横坐标的绝对值最大．15．（2018•浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数．（用数字作答）2018年高考数学压轴题小题参考答案与试题解析一．选择题1.（2018年1卷11题）已知双曲线2213x C y ：-=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N . 若OMN △为直角三角形，则||MN =解：OF=22.（2018年1卷12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为B ．334 B ．233C ．324D ．32 解：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半。
2018年高考数学总复习-选填压轴题规范练6套(全国通用)
2018年高考数学总复习-选填压轴题规范练6套（全国通用）1.与函数、不等式有关的压轴小题1.(2017届枣庄期末)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (3)＝0，且当x ＞0时，f (x )＞－xf ′(x )恒成立，则函数g (x )＝xf (x )＋lg ||x ＋1的零点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 因为当x ＞0时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，所以xf (x )在(0，＋∞)上单调递增，又函数f (x )为奇函数，所以函数xf (x )为偶函数，结合f (3)＝0，作出函数y ＝xf (x )与y ＝－lg ||x ＋1的图象，如图所示：由图象知，函数g (x )＝xf (x )＋lg ||x ＋1的零点有3个，故选C.2.设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，∀x ∈R ，有f (－x )＋f (x )＝x 2，且在(0，＋∞)上f ′(x )＜x ，若f (4－m )－f (m )≥8－4m ，则实数m 的取值范围为( ) A.[－2，2] B.[2，＋∞)C.[0，＋∞)D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)答案 B解析 令g (x )＝f (x )－12x 2，则g (x )＋g (－x )＝0，函数g (x )为奇函数，在区间(0，＋∞)上，g ′(x )＝f ′(x )－x ＜0，且g (0)＝0，则函数g (x )是R 上的单调递减函数，故 f (4－m )－f (m )＝g (4－m )＋12(4－m )2－g (m )－12m 2＝g (4－m )－g (m )＋8－4m ≥8－4m ，据此可得g (4－m )≥g (m )，∴4－m ≤m ，m ≥2.3.(2017·马鞍山三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，m x ，x <0，若f (x )－f (－x )＝0有四个不同的根，则m的取值范围是( ) A.(0，2e) B.(0，e) C.(0，1) D.⎝⎛⎭⎫0，1e 答案 D解析 若m <0，那么f (x )＝f (－x )只会有2个交点，所以m ＞0， 若f (x )＝f (－x )有四个实根，根据对称性可知当x ＞0时，ln x ＝－mx有两个实根，即－m ＝x ln x 有两个实根，设y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令ln x ＋1＝0，解得x ＝1e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时， y ′<0，函数单调递减，当x ＞1e 时，函数单调递增，所以当x ＝1e 时，y ＝x ln x 有最小值－1e ，即－m ＞－1e ⇒m <1e ，所以0<m <1e ，故选D.4.(2017·福建省福州第一中学质检)已知函数f (x )＝2x 2x ＋1，x ∈[0，1]，函数g (x )＝a sin π6x －2a ＋2(a ＞0)，若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，43 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤23，43 D.⎣⎡⎦⎤12，1 答案 A解析 当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x 2x ＋1的值域是[0，1]，g (x )＝a sin π6x x －2a ＋2(a ＞0)的值域是⎣⎡⎦⎤2－2a ，2－32a ，因为存在x 1，x 2∈[0，1]使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以[0，1]∩⎣⎡⎦⎤2－2a ，2－32a ≠∅，若[0，1]∩⎣⎡⎦⎤2－2a ，2－32a ＝∅，则2－2a ＞1或2－32a ＜0， 即a <12或a ＞43，所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，43，故选A. 5.(2017届河南天一大联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2f (x －2)，x ∈(1，＋∞)，1－|x |，x ∈[－1，1]，若关于x 的方程f (x )－log a (x ＋1)＝0(a ＞0，且a ≠1)在区间[0，5]内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3)B.(45，＋∞)C.(3，＋∞)D.(45，3)答案 C解析 要使方程f (x )－log a (x ＋1)＝0(a ＞0且a ≠1)在区间[0，5]内恰有5个不同的根，只需y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)的图象在区间[0，5]内恰有5个不同的交点，在同一坐标系内作出它们的图象如图：要使它们在区间[0，5]内恰有5个不同的交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧log a 3＜2，log a 5＜4，得a ＞3，故选C.6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x ＜0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，23 B.⎣⎡⎦⎤23，34 C.⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎡⎭⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34答案 C解析 由题设可得⎩⎨⎧0＜a ＜1，－4a －32≥0，3a ≥1，解得13≤a ≤34.结合图象可知方程在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别只有一个实数根.当3a ＞2，即a ＞23时，则x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x 只有一个解，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，符合题设条件.综上，所求实数a 的取值范围是13≤a ≤23或a ＝34.故选C.7.(2017·四川成都一模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[]－1，0时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝||cos πx 在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解之和为( )A.－7B.－6C.－3D.－1 答案 A解析 因为函数是偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数是周期为2的偶函数，画出函数图象如图：两个函数在区间⎣⎡⎦⎤－52，12上有7个交点，中间点是x ＝－1，其余6个交点关于x ＝－1对称，所以任一组对称点的横坐标之和为－2，所以这7个交点的横坐标之和为3×(－2)－1＝－7，故选A.8.(2017·湖南长沙一中月考)已知实数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，lg (－x )，x ＜0，若关于x 的方程f 2(x )＋f (x )＋t ＝0有三个不同的实根，则t 的取值范围为( ) A.(－∞，－2] B.[1，＋∞)C.[－2，1]D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 A解析 设m ＝f (x )，作出函数f (x )的图象，如图所示，则当m ≥1时，m ＝f (x )有两个根，当m <1时，m ＝f (x )有一个根，若关于x 的方程f 2(x )＋f (x )＋t ＝0有三个不同的实根，则等价为m 2＋m ＋t ＝0有两个不同的实数根m 1，m 2，且m 1≥1，m 2＜1，当m ＝1时，t ＝－2，此时由m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2，f (x )＝1有两个根，f (x )＝－2有一个根，满足条件；当m ≠1时，设h (m )＝m 2＋m ＋t ，则需h (1)<0即可，即1＋1＋t <0，解得t <－2.综上实数t 的取值范围为t ≤－2，故选A.9.若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3f x 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的不同实根的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6答案 A解析 函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，说明方程f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，∴方程3f x 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的解为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2，若x 1<x 2，即x 1是极大值点，x 2是极小值点， 由于f (x 1)＝x 1，∴x 1是极大值，f (x )＝x 1有两解，x 1＜x 2，f (x )＝x 2＞f (x 1)只有一解， ∴此时只有3解，若x 1＞x 2，即x 1是极小值点，x 2是极大值点，由于f (x 1)＝x 1， ∴x 1是极小值，f (x )＝x 1有2解，x 1＞x 2，f (x )＝x 2<f (x 1)只有一解， ∴此时只有3解. 综上可知，选A.10.(2017·天津市十二重点中学联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤1，f (x －1)＋m ，x ＞1在定义域[)0，＋∞上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则函数g (x )＝f (x )－x 在区间[]0，2n (n ∈N *)上的所有零点的和为( ) A.n (n ＋1)2B.22n －1＋2n －1 C.(1＋2n )22D.2n －1答案 B解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤1，f (x －1)＋m ，x ＞1在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则f (x )是连续函数，则21－1＝f (0)＋m ，可得m ＝1，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象如图：图象交点横坐标就是g (x )＝f (x )－x 的零点，由图知，在区间[0，2n ](n ∈N *)上的所有零点的和为1＋2＋3…＋(2n －1)＋2n ＝22n －1＋2n －1，故选B.11.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＝1，log a |x －1|＋1，x ≠1，若函数g (x )＝f 2(x )＋bf (x )＋c 有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1x 2＋x 2x 3＋x 1x 3＝________. 答案 2解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由图可得关于x 的方程f (x )＝t 的解有两个或三个(t ＝1时有三个，t ≠1时有两个)，所以关于t 的方程t 2＋bt ＋c ＝0只能有一个根t ＝1(若有两个根，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有四个或五个零点)，由f (x )＝1，可得x 1，x 2，x 3的值分别为0，1，2，x 1x 2＋x 2x 3＋x 1x 3＝0×1＋1×2＋0×2＝2.12.设函数f (x )＝x 3－2e x 2＋mx －ln x ，记g (x )＝f (x )x ，若函数g (x )至少存在一个零点，则实数m的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，e 2＋1e 解析 令g (x )＝x 2－2e x ＋m －ln xx ＝0，∴m ＝－x 2＋2e x ＋ln xx(x >0)，设h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln xx ，令f 1(x )＝－x 2＋2e x ，f 2(x )＝ln xx ，∴f 2′(x )＝1－ln x x 2，发现函数f 1(x )，f 2(x )在(0，e)上都单调递增，在(e ，＋∞)上都单调递减，∴函数h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln x x 在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴当x ＝e 时，h (x )max ＝e 2＋1e ，∴函数有零点需满足m ≤h (x )max ，即m ≤e 2＋1e.13.(2017届柳州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5|x －1|－1，x ≥0，x 2＋4x ＋4，x ＜0，若关于x 的方程f x 2(x )－(2m ＋1)f (x )＋m 2＝0有7个不同的实数解，则m ＝__________.答案 2解析 令t ＝f (x )，作出函数f (x )的图象如图所示：由图可知方程t 2－(2m ＋1)t ＋m 2＝0有两个不等实根，其中一根为4，另一根在(0，4)上.由42－(2m ＋1)×4＋m 2＝0⇒m ＝2或m ＝6，又当m ＝2时，另一根为1，满足题意；当m ＝6时，另一根为9，不满足题意，故m ＝2.14.(2017·山西省实验中学模拟)已知函数f (x )＝e x －2＋x －3(e 为自然对数的底数)，g (x )＝x 2－ax －a ＋3.若存在实数x 1， x 2，使得f (x 1)＝g (x 2)＝0，且||x 1－x 2≤1，则实数a 的取值范围是______________. 答案 []2，3解析 函数f (x )＝e x －2＋x －3的导数为f ′(x )＝e x －2＋1＞0，f (x )在R 上单调递增， 由f (2)＝0，可得f (x 1)＝0的解为x 1＝2，存在实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝g (x 2)＝0，且|x 1－x 2|≤1，即为g (x 2)＝0且|2－x 2|≤1，即x 2－ax －a ＋3＝0在[1，3]上有解， 即有a ＝x 2＋3x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1－2在[1，3]上有解，令t ＝x ＋1(2≤t ≤4)，由t ＋4t －2在[2，4]上单调递增，可得最小值为2，最大值为3，则a 的取值范围是[2，3].2.与数列有关的压轴小题1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15，其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.613 答案 D解析 由题意可得a m ＝S m －S m －1＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15，d ＝a m ＋1－a m ＝－2， 由S m ＝ma 1＋m (m －1)d 2＝0可得a 1－m ＝－1，又a m ＝a 1＋(m －1)d ＝－13，可得a 1－2m ＝－15，a 1＝13，m ＝14，a n ＝15－2n ， 故T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫113－113－2n ＝－126＋12(13－2n )，可知当n ＝6时，T n 取得最大值613.2.(2017·保定模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －6，x ≤10，a x －9，x ＞10，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2] C.(2，3) D.⎣⎡⎭⎫2411，3 答案 C解析 因为{a n }是递增数列， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，(3－a )×10－6＜a11－9，解得2＜a ＜3，故选C.3.在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是( )A.10099B.101100C.100101D.99100 答案 C解析 由题意，得a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n，所以a 2n ＋1a 2n ＋2a n a n ＋1＋1＝4a 2n ＋1，(a n ＋1a n ＋1)2＝4a 2n ＋1，所以a n ＋1a n ＋1＝2a n ＋1，即a n ＋1＝12－a n ，由a 1＝12，得a 2＝23，a 3＝34，…，a n ＝n n ＋1，所以a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 1001002＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101＝100101. 4.(2017·安徽淮北一中四模)已知等差数列{a n }的公差d ＞0，且a 2，a 5－1，a 10成等比数列，若a 1＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋n ＋32a n ＋1的最小值为( )A.3 3B.27C.203D.173答案 C解析 由于a 2，a 5－1，a 10成等比数列，所以(a 5－1)2＝a 2·a 10，(a 1＋4d －1)2＝(a 1＋d )·(a 1＋9d )，解得d ＝3，所以2S n ＋n ＋32a n ＋1＝3n 2＋8n ＋323n ＋3＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(n ＋1)＋27n ＋1＋2≥203，当且仅当n ＝2时“＝”成立.5.已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S n ＝f (n )，则S n －4aa n －1的最小值为( )A.276B.358C.143D.378 答案 D解析 由题意可得a 2－4＝2a －8或a 2－4＋2a －8＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋82，解得a ＝1或a ＝－4.当a ＝1时，f (x )＝x 2＋9x －10，数列{a n }不是等差数列； 当a ＝－4时，f (x )＝x 2＋4x ，S n ＝f (n )＝n 2＋4n ， ∴a 1＝5，a 2＝7，a n ＝5＋(7－5)(n －1)＝2n ＋3， ∴S n －4a a n －1＝n 2＋4n ＋162n ＋2＝12×(n ＋1)2＋2(n ＋1)＋13n ＋1＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n ＋1)＋13n ＋1＋2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2(n ＋1)×13n ＋1＋2＝13＋1，当且仅当n ＋1＝13n ＋1，即n ＝13－1时取等号，∵n 为正整数，故当n ＝3时原式取最小值378，故选D.6.设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( ) A.310 B.212 C.180 D.121 答案 D解析 设数列{a n }的公差为d ， 依题意得2S 2＝S 1＋S 3， 因为a 1＝1， 所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12≤121. 7.抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上的一点(a i ，2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于( ) A.21 B.32 C.42 D.64 答案 C解析 抛物线x 2＝12y 可化为y ＝2x 2，y ′＝4x 在点(a i ，2a 2i 处的切线方程为y －2a 2i ＝4a i (x －a i )，所以切线与x 轴交点的横坐标为a i ＋1＝12a i ，所以数列{a 2k }是以a 2＝32为首项，14为公比的等比数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝32＋8＋2＝42，故选C.8.(2017届天津六校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *).若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A.λ＞23 B.λ＞32 C.λ<32 D.λ<23答案 D解析 ∵a n ＋1＝a n a n ＋2⇒1a n ＋1＝2a n ＋1⇒1a n ＋1＋1＝2⎝⎛⎭⎫1a n ＋1⇒1a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1·2n －1＝2n ， ∴b n ＋1＝(n －2λ)·2n ，∵数列{b n }是单调递增数列，∴当n ≥2时，b n ＋1＞b n ⇒(n －2λ)·2n ＞(n －1－2λ)·2n －1⇒n ＞2λ－1⇒2＞2λ－1⇒λ＜32；当n ＝1时，b 2＞b 1⇒(1－2λ)·2＞－λ⇒λ＜23，因此λ＜23，故选D.9.(2017届湖南省岳阳市质量检测)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( )A.1B.2 0182 019C.2 0182 017D.2 0162 017答案 D解析 第一次循环， n ＝1，s ＝24×12－1，第二次循环， n ＝2，s ＝24×12－1＋24×22－1，直至n ＝1 008， s ＝24×12－1＋24×22－1＋…＋24×1 0082－1，结束循环，输出s ＝24×12－1＋24×22－1＋…＋24×1 0082－1＝12×1－1－12×1＋1＋12×2－1－12×2＋1＋…＋12×1 008－1－12×1 008＋1＝11－13＋13＋15＋…＋12 015－12 017＝1－12 017＝2 0162 017，故选D. 10.已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是( ) ①函数f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；②若{a n }是等差数列，则{}[)a n 也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{}[)a n 也是等比数列； ④若x ∈(1，2 014)，则方程[)x －x ＝12有2 013个根.A.②④B.③④C.①③D.①④答案 D解析 当x ∈Z 时， [)x ＝x ＋1，f (x )＝[)x －x ＝x ＋1－x ＝1; 当x ∉Z 时，令x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)，则[)x ＝n ＋1，f (x )＝[)x －x ＝1－a ∈(0，1)，因此f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；0.9，1，1.1是等差数列，但[)0.9＝1，[)1＝2，[)1.1＝2不成等差数列； 0.5，1，2是等比数列，但[)0.5＝1，[)1＝2，[)2＝3不成等比数列；由前分析可得当x ∈Z 时， f (x )＝1；当x ∉Z ，x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)时， f (x )＝1－a ＝1－(x －n )＝n ＋1－x ，所以f (x ＋1)＝f (x ) ，即f (x )＝[)x －x 是周期为1的函数，由于x ∈(1，2)时f (x )＝2－x ＝12，x ＝32，即一个周期内有一个根，所以若x ∈()1，2 014，则方程[)x －x ＝12有2 013个根. ①④正确，故选D.11.数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－6n ，则a 2＝________；数列{}||a n 的前10项和||a 1＋||a 2＋…＋||a 10＝________. 答案 －3 58解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7， ∴a 2＝2×2－7＝－3，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋1＋132×7＝9＋49＝58.12.(2016届长春外国语学校质量检测)已知数列{a n }为等比数列，且a 2 013＋a 2 015＝ʃ204－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)的值为______. 答案 π2 解析 因为ʃ204－x 2d x ＝π，所以a 2 013＋a 2 015＝ʃ204－x 2d x ＝π，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝a 2 014a 2 012＋2a 22 014＋a 2 014a 2 016＝a 22 013＋2a 2 013a 2 015＋a 22 015＝(a 2 013＋a 2 015)2＝π2.13.(2017·辽宁庄河月考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和为T n ，若T n <M 对一切正整数n 都成立，则M 的最小值为__________. 答案 10解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，2d ＝2q ，解得d ＝q ＝2，所以a n ＝2n ＋1，b n ＝2n －1，则a n b n ＝2n ＋12n －1，故T n ＝3×120＋5×121＋7×122＋…＋(2n ＋1)×12n －1，由此可得12x T n ＝3×121＋5×122＋7×123＋…＋(2n ＋1)×12n ，以上两式两边错位相减可得12x T n ＝3＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋122＋123＋…＋12n －1－(2n ＋1)×12n ＝3＋2－12n －2－2n ＋12n ，即T n ＝10－12n －3－2n ＋12n －1，故当n →＋∞时， 12n －3→0，2n ＋12n －1→0，此时T n →10，所以M 的最小值为10.14.设S n ，T n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n n ＝3n ＋24n ＋5.设点A 是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且AP →＝a 1＋a 4b 3·AB →＋λ·AC →，则实数λ的值为________.答案 －325解析 不妨取S n ＝3n 2＋2n ，T n ＝4n 2＋5n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝6n －1，验证得n ＝1上式成立.综上，a n ＝6n －1， 同理可得b n ＝8n ＋1⇒a 1＋a 4b 3＝2825.AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC → ＝2825AB →＋λ·AC →⇒1－λ＝2825，λ＝－325.3.与立体几何有关的压轴小题1.(2017届山西大学附属中学模块诊断)如图为某几何体的三视图，则其体积为( )A.2π3＋4B.2π＋43C.π3＋4D.π＋43 答案 D解析 由三视图可知，该几何体是一个半圆柱(所在圆柱为圆柱OO 1)与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD 为圆柱的轴截面，顶点P 在半圆柱所在圆柱的底面圆上(如图所示)，且P 在AB 上的射影为底面的圆心O .由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径r ＝1，高h ＝2，故其体积V 1＝12πr 2h ＝12π×12×2＝π；四棱锥的底面ABCD 为边长为2的正方形，PO ⊥底面ABCD ，且PO ＝r ＝1. 故其体积V 2＝13S 正方形ABCD ×PO ＝13×22×1＝43.故该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝π＋43.2.如图，正四面体D －ABC 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的是( )A.O－ABC是正三棱锥B.直线OB与平面ACD相交C.直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为3 2D.异面直线AB和CD所成的角是90°答案C解析①如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA，OB，OC两两垂直，∴OA⊥平面OBC，∴OA⊥BC.过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，可知BC⊥AM，∴M为BC的中点，同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB的中点，∴N为底面△ABC的中心，∴O－ABC是正三棱锥，故A正确；②将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行，则B正确；③由图可知：直线CD 与平面ABC 所成的角的正弦值为63，则C 错误； ④异面直线AB 和CD 所成角是90°，故D 正确.3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点E 为CD 的中点，F 为线段CE (端点除外)上一动点.现将△DAF 沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC .设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，则sin θ的最大值为( )A.13B.24C.12D.23 答案 C解析 如图，在矩形ABCD 中，过点D 作AF 的垂线交AF 于点O ，交AB 于点M .设CF ＝x (0＜x ＜1)，AM ＝t ，由△DAM ∽△FDA ，得AM AD ＝AD DF ，即有t ＝12－x ，由0＜x ＜1，得12＜t ＜1.在翻折后的几何体中， ∵AF ⊥OD ，AF ⊥OM ，∴AF ⊥平面ODM ，从而平面ODM ⊥平面ABC ， 又平面ABD ⊥平面ABC ，则DM ⊥平面ABC ，连接MF ， 则∠MFD 是直线FD 与平面ABCF 所成角，即∠MFD ＝θ， 而DM ＝1－t 2，DF ＝2－x ＝1t，则sin θ＝DMDF＝t1－t 2＝－t 4＋t 2，由于14＜t 2＜1，则当t 2＝12时，sin θ取到最大值，其最大值为12.4.(2017届广东阶段测评)如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′－BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.3πB.32πC.4πD.34π 答案 A解析 由图示可得BD ＝A ′C ＝2，BC ＝3，△DBC 与△A ′BC 都是以BC 为斜边的直角三角形，由此可得BC 中点到四个点A ′，B ，C ，D 的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为3，所以该外接球的表面积S ＝4π×⎝⎛⎭⎫322＝3π. 5.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( )A.2B.1C. 2D.22答案 C解析 ∵球心在面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为截面圆的直径， ∴∠BAC ＝90°，底面外接圆圆心N 位于BC 的中点处， △A 1B 1C 1外心M 在B 1C 1中点上，设正方形BCC 1B 1的边长为x ，在Rt △OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x2，OC 1＝R ＝1，∴⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫x 22＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1， ∴11ABB A S 矩形＝2×1＝ 2.6.(2017·河北衡水中学四调)在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，点P 是面DCC 1D 1所在的平面内的动点，且满足∠APD ＝∠MPC ，则三棱锥P －BCD 体积的最大值是( )A.36B.123C.24D.183答案B解析∵AD⊥底面D1DCC1，∴AD⊥DP，同理BC⊥平面D1DCC1，则BC⊥CP，∠APD＝∠MPC，∴△P AD∽△PMC，∵AD＝2MC，∴PD＝2PC，下面研究点P在面ABCD内的轨迹(立体几何平面化)，在平面直角坐标系内设D(0，0)，C(6，0)，C1(6，6)，设P(x，y)，∵PD＝2PC，∴x2＋y2＝2(x－6)2＋y2，化简得(x－8)2＋y2＝16(0≤x≤6)，该圆与CC1的交点的纵坐标最大，交点坐标(6，23)，三棱锥P－BCD的底面BCD的面积为18，要使三棱锥P－BCD 的体积最大，只需高最大，当P点坐标为(6，23)时，CP＝23，棱锥的高最大，此时三棱锥P－BCD的体积V＝13×18×23＝123，故选B.7.(2017届福建厦门双十中学期中)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线AC1上取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球，设AP＝x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f(x)，则函数f(x)的图象最有可能的是()答案 A解析 球面与正方体的表面都相交，我们考虑三种特殊情形：①当x ＝1时；②当x ＝12时；③当x ＝2时.①当x ＝1时，以A 为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为3×14×2π×1＝3π2，且为函数f (x )的最大值；②当x ＝12时，以A 为球心，12为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为(1)中的一半；③当x ＝2时，以A 为球心，2为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为3×16×2π×2＝2π＜3π2， 对照选项可得A 正确.8.已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S －ABC 的体积为( ) A.33 B.233 C.433 D.533答案 C解析 由条件知直径SC 所对的圆周角∠SBC ＝∠SAC ＝90°，由已知∠ASC ＝∠BSC ＝45°， ∴△SBC 与△SAC 是全等的等腰三角形， 设球的球心为点O ，∴BO ⊥SC ，AO ⊥SC ，即SC ⊥平面AOB ，由条件OA ＝OB ＝2，则△OAB 为等边三角形， ∴V S －ABC ＝13S △OAB ·SC ＝13⎝⎛⎭⎫12×22×sin 60°×4＝433. 9.(2017届辽宁省庄河市高级中学月考)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球O 的体积为32π3，其中BB 1＝2，则三棱锥O －ABC 的体积的最大值为( ) A.1 B.3 C.2 D.4答案 A解析 由题意设外接球的半径为R ，则由题设可得43πR 3＝323π，由此可得R ＝2，记长方体的三条棱长分别为x ，y ，2， 则2R ＝x 2＋y 2＋4，由此可得x 2＋y 2＝12，三棱锥O －ABC 的体积V ＝16xy ×1＝16xy ≤16×x 2＋y 22＝1，当且仅当x ＝y ＝6时“＝”成立.故选A. 10.(2017·浙江温州中学模拟)已知四边形ABCD ，AB ＝BD ＝DA ＝2，BC ＝CD ＝ 2.现将△ABD 沿BD 折起，当二面角A －BD －C 处于⎣⎡⎦⎤π6，5π6过程中，直线AB 与CD 所成角的余弦值取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－528，28 B.⎣⎡⎦⎤28，528C.⎣⎡⎦⎤0，28 D.⎣⎡⎦⎤0，528答案 D解析 如图所示，取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，∴∠AEC 即为二面角A －BD －C 的平面角，而AC 2＝AE 2＋CE 2－2AE ·CE ·cos ∠AEC ＝4－23cos ∠AEC ，∠AEC ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， ∴AC ∈[1，7]，∴AB →·CD →＝22cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·(BD →－BC →) ＝－2＋AB ·BC ·AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1－AC 22∈⎣⎡⎤－5，1，设异面直线AB ，CD 所成的角为θ， ∴0≤cos θ≤122·52＝528，故选D.11.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接球的表面积为______________. 答案13π3解析 根据题意可知，三棱锥B －ACD 的三条侧棱BD ⊥AD ，DC ⊥DA ，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球.正三棱柱中，底面边长为1，高为 3.由题意可得三棱柱上下底面中心连线的中点到三棱柱顶点的距离相等，说明该中点就是外接球的球心，∴正三棱柱AD ′C ′－BDC 的外接球的球心为O ，外接球的半径为r .球心到底面的距离为32，则球的半径满足r 2＝⎝⎛⎭⎫23×322＋⎝⎛⎭⎫322＝1312，∴外接球的表面积为4πr 2＝13π3. 12.如图所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′，DD ′分别交于M ，N 两点，设BM ＝x ，x ∈[0，1]，给出以下四个结论：①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′； ②直线AC ∥平面MENF 始终成立；③四边形MENF 周长L ＝f (x )，x ∈[0，1]是单调函数； ④四棱锥C ′－MENF 的体积V ＝h (x )为常数. 以上结论正确的是______________. 答案 ①②④解析 ①因为EF ⊥BB ′，EF ⊥BD ，BB ′∩BD ＝B ，所以EF ⊥平面BDD ′B ′，所以平面MENF ⊥平面BDD ′B ′成立；②因为AC ∥EF ，所以直线AC ∥平面MENF 始终成立； ③因为MF ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋1， f (x )＝4⎝⎛⎭⎫x －122＋1，所以f (x )在[0，1]上不是单调函数； ④V C ′－MENF ＝V F －MC ′E ＋V F －C ′NE ＝13·14＋13·14＝16，故h (x )为常数.13.在三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝1，设M 是底面△ABC 内一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是三棱锥M －P AB ，三棱锥M －PBC ，三棱锥M －PCA 的体积，若f (M )＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，且1x ＋ay ≥8，则正实数a 的最小值为____________. 答案 1解析 依题意，12＋x ＋y ＝13×12×3×2×1＝1，即x ＋y ＝12，∴1x ＋ay ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋a y (x ＋y )＝2⎝⎛⎭⎫1＋a ＋y x ＋ax y ≥2(1＋a ＋2a )＝2(a ＋1)2， 由题设2(a ＋1)2≥8，解得a ≥1， 故正实数a 的最小值为1.14.(2017·江西南阳一中月考)如图，∠ACB ＝90°，DA ⊥平面ABC ，AE ⊥DB 交DB 于E ，AF ⊥DC 交DC 于F ，且AD ＝AB ＝2，则三棱锥D －AEF 体积的最大值为__________.答案2 解析 ∵AD ⊥平面ABC ， ∴DA ⊥AB ，AD ⊥BC ， ∵AE ⊥DB ，又AD ＝AB ＝2， ∴DE ＝ 2.又∵BC ⊥AC ，AC ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面ACD ， ∴平面BCD ⊥平面ACD ，∵AF ⊥DC ，平面BCD ∩平面ACD ＝CD ，AF ⊂平面ACD ， ∴AF ⊥平面BCD ， ∴AF ⊥BD ，又AE ⊥BD ， ∴BD ⊥平面AEF ，由AF ⊥EF ，得AF 2＋EF 2＝AE 2＝2≥2AF ·EF ，即AF ·EF ≤1， ∴S △AEF ≤12，当且仅当AF ＝EF ＝1时“＝”成立，∴三棱锥D －AEF 体积的最大值为13×2×12＝26.4.与解析几何有关的压轴小题1.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.4π5 B.3π4 C.(6－25)π D.5π4 答案 A解析 设直线l ：2x ＋y －4＝0.因为|OC |＝12|AB |＝d 1，其中d 1为点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为12d 2＝12×45＝25，其中d 2为点O 到直线l 的距离，圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝4π5.故选A. 2.(2017届云南大理检测)已知双曲线y 2－x 22＝1与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为k 1，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于( )A.12B.－12 C.2 D.－2 答案 A解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则y 21－x 212＝1，y 22－x 222＝1，由点差法可得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)2，所以直线l 的斜率为k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝x 02y 0，直线OP 的斜率为k 2＝y 0x 0，k 1k 2＝x 02y 0×y 0x 0＝12，故选A.3.(2017届枣庄期末)过抛物线y 2＝4ax (a ＞0)的焦点F 作斜率为－1的直线l ，l 与离心率为e 的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的两条渐近线的交点分别为B ，C .若x B ，x C ，x F 分别表示B ，C ，F的横坐标，且x 2F ＝－x B ·x C ，则e 等于( ) A.6 B.6 C.3 D.3 答案 D解析 由题意，知F (a ，0)， 则直线l 的方程为y ＝－x ＋a ， ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，∴直线l 与渐近线的交点横坐标分为a 2a －b ，a 2a ＋b ，又x 2F ＝－x B ·x C ，即a 2＝－a 2a －b ·a 2a ＋b，整理得b 2a 2＝2，∴e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，故选D. 4.已知双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)，以原点O 为圆心，双曲线的半实轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为b ，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B.2 C.3 D.22 答案 B解析 以原点为圆心、双曲线的半实轴长为半径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，渐近线的方程为y ＝±bx ，设A (x ，bx )，因为四边形ABCD 的面积为b ，所以2x ·2bx ＝b ，x ＝±12，将A ⎝⎛⎭⎫12，b 2代入x 2＋y 2＝1可得b 2＝3， 从而可得c ＝2，又因为a ＝1， 所以离心率e ＝ca＝2.5.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为( ) A.2 B.3 C.172D.10答案 B解析 由题意得F ⎝⎛⎭⎫14，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＝y 21，x 2＝y 22，y 21y 22＋y 1y 2＝2，y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1， ∵A ，B 位于x 轴两侧， ∴y 1y 2＝－2，两面积之和为S ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＋12×14×|y 1|＝12×|y 21y 2－y 22y 1|＋12×14×|y 1|＝|y 2－y 1|＋18×||y 1＝⎪⎪⎪⎪2y 1＋y 1＋18×|y 1|＝⎪⎪⎪⎪2y 1＋98y 1＝⎪⎪⎪⎪2y 1＋⎪⎪⎪⎪98y 1≥3，当且仅当|y 1|＝43时“＝”成立. 6.已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫33，1 B.⎣⎡⎦⎤13，12 C.⎣⎡⎦⎤33，22 D.⎝⎛⎦⎤0，22 答案 C解析 设P (m ，n )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －m ，－n )·(c －m ，－n )＝m 2－c 2＋n 2＝c 2， ∴2c 2－m 2＝n 2.① 把P (m ，n )代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得m 2a 2＋n 2b 2＝1，②①代入②得m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a2≥0， ∴a 2b 2≤2a 2c 2，即b 2≤2c 2，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2≤3c 2⇒e ＝c a ≥33.又m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a 2≤a 2⇒a 2≥2c 2⇒e ＝c a ≤22，∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎦⎤33，22. 7.(2017届河南开封月考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M ，N 两点在双曲线C 上，且MN ∥F 1F 2，|F 1F 2|＝4|MN |，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且|F 1Q |＝|QN |，则双曲线C 的离心率为( ) A.2 B.3 C. 5 D.6 答案 D解析 由于MN ∥F 1F 2，|F 1F 2|＝4|MN |， 则|MN |＝c2，设N ⎝⎛⎭⎫c 4，y ，又F 1(－c ，0)，且|F 1Q |＝|QN |，则Q ⎝⎛⎭⎫－3c 8，y 2，点N ，Q 在双曲线上满足方程，有c 216a 2－y 2b 2＝1，9c 264a 2－y24b 2＝1，消去y 得e 2＝6，则e ＝ 6.8.(2017·日照模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点(异于右顶点)，△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(2，0).过F 2作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，若使||AB ＝b 2的直线l 恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1，2) B.(1，2) C.(2，＋∞) D.(2，＋∞) 答案 C解析 设|F 1F 2|＝2c (c ＞0)，△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1，F 1F 2，PF 2切于点G ，H ，I ， 则||PG ＝||PI ，||F 1G ||＝F 1H ||，F 2H ||＝F 2I . 由双曲线的定义知2a ＝||PF 1||－PF 2||＝F 1G ||－F 2I ||＝F 1H ||－F 2H ， 又||F 1H ||＋F 2H ＝|F 1F 2|＝2c ， 所以||F 1H ||＝c ＋a ，F 2H ＝c －a ， 所以H ()a ，0，即a ＝2.注意到这样的事实：若直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，则当l ⊥x 轴时， |AB |有最小值2b 2a ＝b 2；若直线l 与双曲线的两支各交于一点(A ，B 两点)，则当l ⊥y 轴时， |AB |有最小值2a ，于是，由题意得b 2＞2a ＝4，b ＞2，c ＝a 2＋b 2＞22，所以双曲线的离心率e ＝ca＞ 2.故选C.9.(2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (0＜p ＜4)的焦点为F ，点P 为C 上一动点，A (4，0)，B (p ，2p )，且|P A |的最小值为15，则|BF |等于( )A.4B.92C.5D.112答案 B解析 设P (x ，y )且y 2＝2px ，则 |P A |＝(x －4)2＋y 2＝(x －4)2＋2px ＝x 2＋(2p －8)x ＋16，根号下二次函数的对称轴为x ＝4－p ∈(0，4)， 所以在对称轴处取得最小值，即 (4－p )2＋(2p －8)(4－p )＋16＝15， 解得p ＝3或5(舍去)，所以抛物线方程为y 2＝6x ，B (3，32)，易知点B 在抛物线上， 所以|BF |＝3＋32＝92，故选B.10.(2017届河南省天一大联考)等腰直角△AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p ＞0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，△AOB 的面积是16，抛物线的焦点为F ，若M 是抛物线上的动点，则|OM ||MF |的最大值为( ) A.3 B.6 C.23 D.26 答案 C解析 因为等腰直角△AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p ＞0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ， 所以可设A (a ，a )(a ＞0)， S △AOB ＝12a ×2a ＝16，得a ＝4，将A (4，4)代入y 2＝2px ，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ，所以F (1，0). 设M (x ，y )，则x ≥0，设t ＝1x ＋1(0<t ≤1)，则||OM ||MF＝x 2＋y 2x ＋1＝x 2＋4x x ＋1＝1＋2x ＋1－3()x ＋12＝－3t 2＋2t ＋1＝43－3⎝⎛⎭⎫t －132≤43＝233， 当t ＝13时“＝” 成立.故选C.11.过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，若MF →＝4FN →，则直线l 的斜率为____________. 答案 ±43解析 不妨设M (x 1，y 1)(x 1＞0，y 1＞0)，N (x 2，y 2)， ∵MF →＝4FN →， ∴y 1＝－4y 2，设直线l 的斜率为k MN ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，得y 2－2p k y －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 2＝－p 2，x 2＝p8，∴k MN ＝－p 2－0p 8－p 2＝43.根据对称可得直线l 的斜率为±43.12.(2017届四川成都诊断)如图，抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 经过焦点F ，取线段OB 的中点D ，延长OA 至点C ，使||OA ＝||AC ，过点C ，x D 作y 轴的垂线，垂足分别为E ，G ，则||EG 的最小值为______________.答案 4解析 设点A ，B 的坐标为A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由题意可知 ||EG ＝||OE ＋||OG ＝2⎪⎪⎪⎪y A ⎪⎪⎪⎪＋12y B ≥2()2||y A ×⎝⎛⎭⎫12||y B ＝2||y A y B ，设直线AB 的斜率为k ，联立直线AB 与抛物线的方程，由根与系数的关系，得 y A y B ＝－p 2＝－4，由此可知|EG |≥4 ，当且仅当||y B ||＝4y A 时等号成立， 即||EG 的最小值为4.13.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，点M ，N 在双曲线C 上，O 是坐标原点，若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为2cb ，则双曲线C 的离心率为______________. 答案 23解析 设M (x 0，y 0)，∵四边形OFMN 为平行四边形， ∴x 0＝－c2，∵四边形OFMN 的面积为2cb ， ∴||y 0c ＝2cb ，即||y 0＝2b ，∴M ⎝⎛⎭⎫－c 2，±2b ，代入双曲线方程得e24－2＝1， ∵e ＞1， ∴e ＝2 3.14.(2017·湖南长沙一中月考)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2.这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形.若|PF 1|＝10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是_________. 答案 ⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析 设椭圆和双曲线的方程分别为x 2a 21＋y 2b 21＝1和x 2a 22－y 2b 22＝1，椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，其中m ＞n ，由于△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，，即有m ＝10，n ＝2c ，由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a 1，由双曲线的定义可得m －n ＝2a 2，即得a 1＝5＋c ，a 2＝5－c ，其中c ＜5，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c ＋2c ＞10，可得c ＞52，即52＜c ＜5，由离心率公式可得e 1·e 2＝c a 1·c a 2＝c 225－c 2＝125c 2－1，由于1＜25c 2＜4，则由125c 2－1＞13，则e 1e 2的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，＋∞.5.与向量有关的压轴小题1.(2017届山西临汾一中等五校联考)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →的值为( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 方法一 AD →·AC →＝|AD →|·|AC →|cos ∠CAD ， ∵|AD →|＝1，∴AD →·AC →＝|AC →|cos ∠CAD ， ∵∠BAC ＝π2＋∠DAC ，∴cos ∠CAD ＝sin ∠BAC ，AD →·AC →＝|AC →|sin ∠BAC ， 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B ＝BCsin ∠BAC，变形得AC sin ∠BAC ＝BC sin B ， ∴AD →·AC →＝|AC →|sin ∠BAC ＝BC ·AD BD＝3，故选C.方法二 AD → ·AC →＝AD → ·(BC →－BA → )＝AD → ·BC →－AD → ·BA →＝AD → ·3BD →＝3AD → ·(BA →＋AD → )＝3AD → ·BA →＋3AD →·AD →＝3.2.(2017届河南省豫北名校联盟精英对抗赛)已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则OC →·AB →的值为( ) A.85 B.75 C.－15 D.45 答案 C解析 ∵3OA →＋4OB →＋5OC →＝0， ∴4OB →＋5OC →＝－3OA →，∴16OB →2＋40OB →·OC →＋25OC →2＝9OA →2，又∵|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，∴OB →·OC →＝－45，同理可求OA →·OC →＝－35，∴OC →·AB →＝OC →·(OB →－OA →)＝－45－⎝⎛⎭⎫－35＝－15. 故选C.3.(2017·浙江温州中学月考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝9，sin B ＝cos A ·sin C ，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA →||CA →＋y ·CB→||CB→，则xy 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 由题设sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0，也即cos C ＝0， ∴C ＝90°，又∵bc cos A ＝9，故b 2＝9，即b ＝3. ∵12ab ＝6，故a ＝4，c ＝5， 故建立如图所示直角坐标系xOy ，则A (3，0)，B (0，4)，则由题设可知P (x ，y )，直线AB 的方程为x 3＋y4＝1且x ＞0，y ＞0，∴x 3＋y4＝1≥2xy 12，即xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时“＝”成立，故选C. 4.(2017·运城期中)已知点O 是△ABC 内部一点，且满足2OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比依次为( ) A.4∶2∶3 B.2∶3∶4 C.4∶3∶2 D.3∶4∶5 答案 A解析 如图所示，延长OA ，OB ，OC ，使OD ＝2OA ，OE ＝3OB ，OF ＝4OC ，∵2OA →＋3OB →＋4OC →＝0， ∴OD →＋OE →＋OF →＝0，即O 是△DEF 的重心，故△DOE ，△EOF ，△DOF 的面积相等，不妨令它们的面积均为1，则△AOB 的面积为16，△BOC 的面积为112，△AOC 的面积为18，故△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比依次为16∶112∶18＝4∶2∶3.故选A.5.若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，则|a ＋b －c |的最小值为( ) A.2－1 B.1 C.2＋1 D.2 答案 A解析 ∵a ·b ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴|a ＋b |＝2，又∵(a ＋b )·c ＝|a ＋b ||c |cos 〈a ＋b ，c 〉＝2cos 〈a ＋b ，c 〉，∴|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ＋b )·c ＝3－22cos 〈a ＋b ，c 〉， ∴当cos 〈(a ＋b ，c )〉＝1时，|a ＋b －c |2min＝3－22＝(2－1)2， ∴|a ＋b －c |的最小值为2－1.6.已知向量m ＝(sin 2x ，1)，n ＝⎝⎛⎭⎫cos 2x ，－32，f (x )＝(m －n )·m ，则函数f (x )的最小正周期与最大值分别为( ) A.π，3＋22 B.π2，3＋22 C.π，72 D.π2，3 答案 B解析 ∵m －n ＝⎝⎛⎭⎫sin 2x －cos 2x ，52， 则f (x )＝(m －n )·m ＝sin 2x (sin 2x －cos 2x )＋52＝sin 22x －12sin 4x ＋52＝－12(cos 4x ＋sin 4x )＋3＝－22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋3， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2，最大值为3＋22，故选B.7.(2017·湖北部分重点中学联考)已知P 是△ABC 所在平面内一点，若AP →＝34BC →－23BA →，则△PBC 与△ABC 的面积的比为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 A解析 在线段AB 上取D 使AD ＝23AB ，则AD →＝－23BA →，过A 作直线l 使l ∥BC ，在l 上取点E 使AE →＝34BC →，过D 作l 的平行线，过E 作AB 的平行线，设交点为P ，则由平行四边形法则可得AP →＝34BC →－23BA →，设△PBC 的高为h ，△ABC 的高为k ，由三角形相似可得h ∶k ＝1∶3， ∵△PBC 与△ABC 有公共的底边BC ， ∴△PBC 与△ABC 的面积的比为13，故选A.8.(2017届福建福州外国语学校期中)已知向量a ，b 满足|a |＝22|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋7在实数集R 上单调递增，则向量a ，b 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤π6，π4 答案 C解析 求导可得f ′(x )＝6x 2＋6|a |x ＋6a ·b ，则由函数f (x )＝2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋7在实数集R 上单调递增，可得f ′(x )＝6x 2＋6|a |x ＋6a ·b ≥0恒成立，即x 2＋|a |x ＋a ·b ≥0恒成立， 故判别式Δ＝a 2－4a·b ≤0恒成立，再由|a |＝22|b |≠0，可得8|b |2≤82|b |2cos 〈a ，b 〉， ∴cos 〈a ，b 〉≥2， 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉∈⎣⎡⎦⎤0，π4. 9.(2017·湖南长沙长郡中学)已知点M (1，0)，A ，B 是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点，且MA →·MB →＝0，。
2018届福建省高三高考压轴卷理科数学试题及答案
2018年福建省高考压轴卷理科数学参照公式：样本数据x1，x2，，xn的标准差锥体体积公式s=1(x1x)2(x2x)2⋯(x n x)2V=1Shn3此中x为样本均匀数此中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V=Sh S4R2，V4R33此中S为底面面积，h为高此中R为球的半径一、选择题（本大题共18小题，每题5分，共50分）1、已知全集U R, 会合A 1,2,3,4,5 ,B {x R|x 2}，以下图中暗影部分所表示的会合为A.{1}B.C.{1,2}D.2、以下命题正确的选项是{0,1}{0,1,2}AA．存在x0∈R，使得e x00的否认是：不存在x0∈R，使得e x00；B．存在x0∈R，使得x0210的否认是：随意∈，均有x0210RC．若x=3，则x2-2x-3=0的否命题是：若x≠3，则x2-2x-3≠0. D．若pq为假命题，则命题p与q必一真一假3、已知平面,和直线m，给出条件：①m//；②m；③m；④；⑤//．为使m，应选择下边四个选项中的（）A．③⑤B．①⑤C．①④D．②⑤4、直线y=5与y1在区间0,4上截曲线ymsin xn(m,n0)所得的弦长相2等且不为零，则以下描绘正确的选项是（）（A）m3,n=5（B）m3,n22（C）m3,n=5（D）m3,n225、如图5，在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为△ABC的外心，则AOBC的值是(（）A．43B．8C．62D．66、履行下边的框图，若输入的N是6，则输出p的值是（）K=K+1是开始输入NK=1,P=1P=P*KK<N?否结束输出PA．180B．720C．1840D．51807、如图，设圆弧x2y21(x0,y0)与两坐标轴正半轴围成的扇形地区为M，过圆弧上一点A做该圆的切线与两坐标轴正半轴围成的yB三角形地区为N.现随机在地区N内投一点B，若设点落在1地区M内的概率为P，则P的最大值为（）ＡA．1B．C．1O 1482D．48、为检查某校学生喜爱数学课的人数比率，采纳以下检查方法：（1）在该校中随机抽取180名学生，并编号为1,2,3，,180；2）在箱内搁置两个白球和三个红球，让抽取的180名学生疏别从箱中随机摸出一球，记着其颜色并放回；3）请以下两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜爱数学课的学生.假如总合有26名学生举手，那么用概率与统计的知识预计，该校学生中喜爱数学课的人数比率大概是A.88%B.90%C.92%D.94%x2y29、已知F2、F1是双曲线a2-b2=1(a>0，b>0)的左右焦点F2对于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为A．3B．3C．2D．218、已知f(x)与g(x)都是定义在R上的函数，g(x)0,f/(x)g(x)f(x)g/(x)，且f (x)a x g(x)(a0，且4，在有穷数列f(n)(n1,2,10)中，随意取前k项相加，3g(n)则前k项和大于15的概率是（）16A .3B.4C.2 D.1 555二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）18、设常数a R.若x25a的二项睁开式中x7项的系数为-18,则a_______.x18、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如右图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是．18、小明在做一道数学题目时发现：若复数z1cos1isin1,z2cos2isin2,，z 3cos3isin3(此中1,2,3R),则z1z2cos(12)isin(1+2)，z 2z3cos(23)isin(2+3)，依据上边的结论，能够提出猜想:z·z·z=．2318、若函数flnex，则2014ke=_______________ xxk1201518、意大利有名数学家斐波那契在研究兔子生殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，18，此中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个特别漂亮、和睦的数列，有好多巧妙的属性．比方：跟着数列项数的增添，前一项与后一项之比越迫近黄金切割．人们称该数列{an}为“斐波那契数列”．若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序构成新数列{bn}，在数列{bn}中第2018项的值是___3_____三、解答题：共6小题80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18、(此题满分18分)以下图是展望到的某地5月1日至18日的空气质量指数趋向图，空气质量指数小于180表示空气质量优秀，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月18日中的某一天抵达该市，并逗留2天（Ⅰ）求这人抵达当天空气质量优秀的概率；（Ⅱ）设Ｘ是这人逗留时期空气质量优秀的天数，求Ｘ的散布列与数学希望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）18、(本小题满分18分)已知函数f(x)2Acos2(x)A（xR,A0,||）,yf(x)的部分图像如图所62示,P、Q分别为该图像的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A)．（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及的值；（Ⅱ）若点R的坐标为(1,0),PRQ2,求A的值和PRQ的面积．318、(本小题满分18分)如图，在圆O:x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．设M为线段PD的中点．P （Ⅰ）当点P在圆O上运动时，求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）若圆O在点P处的切线与x轴交于点N，试判断直线MN与轨迹E的地点关系．MN O D x19、（此题满分18分）以下图，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B,C在线段AD上，且AB3，BC4，作BB1AA1，分别交A1D1，AD1于点B1，P，作CC1AA1，分别交A1D1，AD1于点C1，Q，将该正方形沿BB1，折叠，使得DD1与AA1重合，构成以下图的三棱柱ABCA1B1C1．CC1(1)求证：AB平面BCC1B1；A A1B P B AA 11C QC1BP B1D D1C QC1(2)若点E为四边形BCQP内一动点,且二面角E-AP-Q的余弦值为33小值.,求|BE|的最20、(本小题满分18分)设f(x)exa(x1)(e是自然对数的底数，e)，且f(0)．（Ⅰ）务实数a的值，并求函数f(x)的单一区间；（Ⅱ）设g(x)f(x)f(x)，对随意x1,x2R(x1x2)，恒有g(x2)g(x1)m成立．求x2x1实数m的取值范围；（Ⅲ）若正实数1,2知足121，x1,x2R(x1x2)，试证明：f(1 x12x2)1f(x1)2f(x2)；并进一步判断：当正实数1,2,,n知足12n1(nN,n2)，且x1,x2,,x n是互不相等的实数时，不等式f(1 x12x2nxn)1f(x1)2f(x2)nf(xn)能否仍旧成立．21．此题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分18分．假如多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转45的变换R所对应的矩阵为M,将每个点横、纵坐标分别变成本来的2倍的变换T所对应的矩阵为N．（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M1；（Ⅱ）求曲线xy1先在变换R作用下，而后在变换T作用下获得的曲线方程．（2）（本小题满分7分)选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴成立极坐标系．已x1tcos 知曲线C的极坐标方程为4cos，直线l的参数方程为y 6 （t为参数）．3 tsin6（Ⅰ）分别求出曲线（Ⅱ）若点P在曲线数．C和直线C上，且l的直角坐标方程；P到直线l的距离为1，求知足这样条件的点P的个（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲已知a b0，且ma1．b)b(a（Ⅰ）试利用基本不等式求m的最小值t；（Ⅱ）若实数x,y,z知足x24y2z2t，求证：x 2y z 3．2018福建省高考压轴卷理科数学参照答案一、选择题（本大题共18小题，每题5分，共50分）1、【答案】B分析：由图能够获得暗影部分表示的会合为CA(A B)，AB={2，3，4，5}，则CA(A B)={1}选A2、【答案】C分析：命题的否认和否命题的差别:对命题的否认不过否认命题的结论，而否命题，既否认假定，又否认结论。
2018年高考数学压轴题(学生版(文)).doc
2018年高考数学压轴题(学生版(文))2018年高考数学30道压轴题训练1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22应于焦点(,)0F c（0>c）的准线l与x轴相交于点A，2=，过点A的直线与椭圆相交于P、OF FAQ两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ⋅=，求直线PQ的方程；234且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。
（1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。
（2） 证明)(x f 是偶函数。
（3） 试问方程01log)(4=+xx f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。
53．如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(22=-+y x。
（1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程；6（2） 过点F 的直线g 交轨迹E 于G （x 1，y 1）、H （x 2，y 2（3） 过轨迹圆C 的切线，切点为A 、B ，要使四边形PACB 的面积S 最小，求点P 的坐标及S 的最小值。
8642-2-4-15-10-5510x CyXOF784．以椭圆222y ax ＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.95 已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a ＞b＞c，a＋b＋c＝0.（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.106．已知过函数f（x）=13+2x的图象上一点B+ax（1，b）的切线的斜率为－3。
（1）求a、b的值；（2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A －1987对于x∈[－1，4]恒成立；（3）令()()1fxg。
2018全国II卷高考压轴卷理科数学含答案解析
2018全国卷II 高考压轴卷理科数学本试卷共23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知U={y|y=log 2x ，x ＞1}，P={y|y=，x ＞2}，则∁U P=（ ） A ．[21，+∞） B ．（0，21） C ．（0，+∞） D ．（﹣∞，0）∪（21，+∞） 2. “0a >”是“函数3()(0,)f x x ax =++∞在区间上是增函数”的 A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知函数2010sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是( ) A ．(1,2010)B ．(1,2011)C ．(2,2011)D ．[2,2011]4. 设S n 是等差数列{a n }的前n项和，若=，则=（ ）A． B． C ．4 D ．55. 在△ABC 中，AN =41NC ，P 是直线BN 上的一点，若=m +52AC ，则实数m 的值为（ ） A ．﹣4 B ．﹣1 C ．1D ．46. 在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA=AB ，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．7.秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入a 的值均为4，输出s 的值为484，则输入n 的值为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．38. 已知圆C ：x 2+y 2=4，点P 为直线x+2y ﹣9=0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A ．B ．C ．（2，0）D ．（9，0）9. 椭圆x 2+=1（0＜b ＜1）的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△FAB 的外接圆圆心P （m ，n ）在直线y=﹣x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．（，1） B ．（，1） C ．（0，） D ．（0，）10. 在区间[﹣1，1]上任取两数s 和t ，则关于x 的方程x 2+2sx+t=0的两根都是正数的概率为( ) A ．B ．C ．D ．11. 已知12ea dx x=⎰，则()()4x y x a ++展开式中3x 的系数为（ ） A ．24 B ． 32 C. 44 D ．56 12. 已知正数x 、y 、z 满足xyzzS z y x 21,1222+==++则的最小值为（ ）A ．3B ．1)2C ．4D ．1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷 理科数学(三)含精品解析
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
1．设集合 A 1, 2,3， B x 3x 4 ，则 A B （ ）
函数 f x x2 x R， g x 1 x 0， h x 2e ln x ，有下列命题：
x
① F x
f
x
g
x
在
x
1 32
,
0
内单调递增；
② f x和 g x之间存在“隔离直线”，且 b 的最小值为 4 ；
③ f x和 g x之间存在“隔离直线”，且 k 的取值范围是 ( 4，0 ；
A． 1 1 ab
B． log2a log2b C． a b
D． cos a cos b
【答案】B
【解析】函数 y 2x 为增函数，故 b a 0 ．而对数函数 y log2 x 为增函数，所以 log2a log2b ，
故选B．
4．已知函数 f x sin x （ 0 ， π ）图象相邻两条对称轴之间的距离为 π ，将函数
时，
f
x
0
；当
x
2
,
3 2
时，
f
x
0
；当
x
3 2
，5
时，
f x 0 ．所以选D．
9．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法． 所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．按照这样的思 路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框
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一．选择题（共26小题）1．设实数x，y 满足，则z=+的取值范围是（）A．[4，] B．[，] C．[4，] D．[，]2．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC ，且，AC=2AB，PA=1，BC=3，则该三棱锥的外接球的体积等于（）A ．B ．C ．D ．3．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC且PA=2，△ABC 是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ． B．4πC．8πD．20π4．已知函数f（x+1）是偶函数，且x＞1时，f′（x）＜0恒成立，又f（4）=0，则（x+3）f（x+4）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）B．（﹣6，﹣3）∪（0，4） C．（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞）D．（﹣6，﹣3）∪（0，+∞）5．当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣2ax）e x的图象大致是（）A ．B ．CD ．6．抛物线y2=4x的焦点为F，M为抛物线上的动点，又已知点N（﹣1，0），则的取值范围是（）A．[1，2] B．[，] C．[，2] D．[1，]7．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为a n，则a14+a15+a16+a17的值为（）A．55 B．52 C．39 D．268．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x3+x2，若不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．9．将函数的图象向左平移个单位得到y=g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，|x1﹣x2|min =，则φ的值是（）A ．B ．C ．D ．10．在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈（，]，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，]11．如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为30π，则正四棱柱体的高为（）A ．B ．C ．D．512．若函数f（x）=2sin （）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A 的直线l与函数的图象交于B、C 两点，则（+）=（）A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．3213．已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+2=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A ．B ．﹣1 C．2 D．2+214．已知抛物线方程为y2=8x，直线l的方程为x﹣y+2=0，在抛物线上有一动点P到y轴距离为d1，P到l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．2﹣2 B．2 C．2﹣2 D．2+215．如图，扇形AOB中，OA=1，∠AOB=90°，M是OB中点，P是弧AB上的动点，N是线段OA 上的动点，则的最小值为（）A．0 B．1 C ．D．1﹣16．若函数f（x）=（5+4x﹣x2）在区间（a﹣1，a+1）上递减，且b=，c=，则（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c17．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是（）A ．B ．C．2 D ．18．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且y=f（x+1）为偶函数，f（2）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，e4）B．（e4，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）19．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜x，且f（2）=1，则不等式f（x ）＜x2﹣1的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）20．对任意实数a，b，定义运算“⊕”：，设f（x）=（x2﹣1）⊕（4+x），若函数y=f（x）﹣k有三个不同零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，2] B．[0，1] C．[﹣1，3）D．[﹣1，1）21．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）22．定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果ξ∈[a，b]，使得f（b）﹣f（a）=f′（ξ）（b﹣a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：①f（x）=3x+2；②f （x）=x2；③f（x）=ln（x+1）；④中，在区间[0，1]上“中值点”多于1个的函数是（）A．①④B．①③C．②④D．②③23．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x ）＞，则不等式f（x2）＜的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣1，1）24．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，若f（x）＞1对x ∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．25．在R上定义运算⊕：xy=x（1﹣y）若对任意x＞2，不等式（x﹣a）x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，7] B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，7] D．（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）26．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x），且当x∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（0＜a＜1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．27．已知函数f（x）=xe x﹣ae2x（a∈R）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则实数a 的取值范围为．28．函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3﹣x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；（4）设曲线y=e x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若tφ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）；以上正确命题的序号为（写出所有正确的）29．已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且．若不等式对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为．30．已知点A（0，1），直线l：y=kx﹣m与圆O：x2+y2=1交于B，C两点，△ABC和△OBC的面积分别为S1，S2，若∠BAC=60°，且S1=2S2，则实数k的值为．31．定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果ξ∈[a，b]，使得f（b）﹣f（a）=f′（ξ）（b﹣a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：①f（x）=3x+2；②f（x）=x2﹣x+1；③f（x）=ln（x+1）；④f（x）=（x ﹣）3，在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为．（写出所有满足条件的函数的序号）32．已知函数f（x）=x 3﹣3x，x∈[﹣2，2]和函数g（x）=ax﹣1，x∈[﹣2，2]，若对于x1∈[﹣2，2]，总x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数a的取值范围．1．解：由已知得到可行域如图：由图象得到的范围为[kOB，kOC]，即[，2]，所以z=+的最小值为4；（当且仅当y=2x=2时取得）；当=，z 最大值为；所以z=+的取值范围是[4，]；故选：C．2．解：∵三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC ，且，AC=2AB，PA=1，BC=3，设AC=2AB=2x，∴由余弦定理得32=x2+4x2﹣2×，解得AC=2，AB=，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，构造长方体ABCD﹣PEFG，则三棱锥P﹣ABC的外接球就是长方体ABCD﹣PEFG的外接球，∴该三棱锥的外接球的半径R===，∴该三棱锥的外接球的体积：V==．故选：A．3．解：根据已知中底面△ABC 是边长为的正三角形，PA⊥底面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球∵△ABC 是边长为的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r==1，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1，故球的半径R==，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=8π，故选：C．4．解：∵函数f（x+1）是偶函数，∴其图象关于y轴对称，∵f（x）的图象是由f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，∴f（x）的图象关于x=1对称，又∵x＞1时，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）在（1，+∞）上递减，在（﹣∞，1）上递增，又f（4）=0，∴f（﹣2）=0，∴当x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（﹣2，1）∪（1，4）时，f（x）＞0；∴对于（x﹣1）f（x）＜0，当x∈（﹣2，1）∪（4，+∞）时成立，∵（x+3）f（x+4）＜0可化为（x+4﹣1）f（x+4）＜0，∴由﹣2＜x+4＜1或x+4＞4得所求的解为﹣6＜x＜﹣3或x＞0．故选D5．解：解：由f（x）=0，解得x2﹣2ax=0，即x=0或x=2a，∵a＞0，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．设a=1，则f（x）=（x2﹣2x）ex，∴f'（x）=（x2﹣2）ex，由f'（x）=（x2﹣2）ex＞0，解得x ＞或x ＜﹣．由f'（x）=（x2﹣2）ex＜0，解得，﹣＜x ＜即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选B．6．解：设过点N的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∴由△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，可得k=±1，此时直线的倾斜角为45°．过M作准线的垂线，垂足为A，则|MF|=|MA|，∴=∴直线的倾斜角为45°或135°时，取得最大值，倾斜角为0°时，取得最小值1，∴的取值范围是[1，]．故选：D．7．解：设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，则=390，解得d=，∴a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d=4a1+58d=4×5+58×=52．故选：B．8．解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x3+x2，∴f（0）=0，且f′（x）=3x2+2x≥0，即函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，∵f（x）是奇函数，∴函数f（x）在（﹣∞，0]上也是增函数，即函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，则不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）等价为﹣4t＞2m+mt2对任意实数t恒成立即mt2+4t+2m＜0对任意实数t恒成立，若m=0，则不等式等价为4t＜0，即t＜0，不满足条件．，若m≠0，则要使mt2+4t+2m＜0对任意实数t恒成立，则，解得m ＜﹣，故选：A9．解：将函数的图象向左平移个单位得到y=g（x）=sin[2（x+φ）+]=sin（2x+2φ+）的图象，对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为2时，|x1﹣x2|min=．不妨设x1=，此时x2 =±．若x1=，x2 =+=，则g（x2）=﹣1，sin2φ=1，φ=．若x1=，x2 =﹣=﹣，则g（x2）=﹣1，sin2φ=﹣1，φ=，不合题意，故选：B．10．解：∵OP在y轴上，且平行四边形中，MN∥OP，∴M、N两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M，N两点关于x轴对称，MN=OP=a，可设M（x ，﹣），N（x ，），代入椭圆方程得：|x|=b，得N （b ，），α为直线ON的倾斜角，tanα==，cotα=，α∈（，]，∴1≤cotα=≤，，∴，∴0＜e=≤．∴椭圆C的离心率的取值范围为（0，]．故选：A．11．解：∵球形容器表面积的最小值为30π，∴球形容器的半径的最小值为r==，∴正四棱柱体的对角线长为，设正四棱柱体的高为h，∴12+12+h2=30，解得h=2．故选：B．12．解：由f（x）=2sin （）=0可得∴x=6k﹣2，k∈Z∵﹣2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）=（x1+x2，y1+y2）（4，0）=4（x1+x2）=32故选D13．解：如图，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=﹣1于点C，连接PF，根据抛物线的定义得PA+PC=PA+PF，∵P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，∴d1+d2=PA+PB=（PA+PC）﹣1=（PA+PF）﹣1，根据平面几何知识，可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值，∵F（1，0）到直线l：x﹣y+2=0的距离为=∴PA+PF 的最小值是，由此可得d1+d2的最小值为﹣1故选：B．14．解：点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x﹣y+2=0的垂线，此时d1+d2最小，∵F（2，0），则d1+d2=﹣2=2﹣2，故选：C．15．解；分别以OA，OB为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设P（cosα，sinα），N（t，0），则0≤t≤1，0≤α≤，M（0，），∴=（﹣cosα，﹣sinα），=（t﹣cosα，﹣sinα）．∴=﹣（t﹣cosα）cosα﹣sinα（﹣sinα）=cos2α+sin2α﹣tcosα﹣sinα=1﹣sin （α+φ）．其中tanφ=2t，∵0≤α≤，0≤t≤1，∴当α+φ=，t=1时，取得最小值1﹣=1﹣．故选：D．16．解：由5+4x﹣x2＞0，得﹣1＜x＜5，又函数t=5+4x﹣x2的对称轴方程为x=2，∴复合函数f（x）=（5+4x﹣x2）的减区间为（﹣1，2），∵函数f（x）=（5+4x﹣x2）在区间（a﹣1，a+1）上递减，∴，则0≤a≤1．而b=＜0，c=＞1，∴b＜a＜c．故选：D．17．解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，∴F1（﹣c，0）F2（c，0）P（x，y），渐近线l1的直线方程为y=x，渐近线l2的直线方程为y=﹣x，∵l2∥PF2，∴，即ay=bc﹣bx，∵点P在l1上即ay=bx，∴bx=bc﹣bx即x=，∴P （，），∵l2⊥PF1，∴，即3a2=b2，∵a2+b2=c2，∴4a2=c2，即c=2a，∴离心率e==2．故选C．18．解：∵y=f（x+1）为偶函数，∴y=f（x+1）的图象关于x=0对称，∴y=f（x）的图象关于x=1对称，∴f（2）=f（0），又∵f（2）=1，∴f（0）=1；设（x∈R），则，又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴y=g（x）单调递减，∵f（x）＜ex，∴，即g（x）＜1，又∵，∴g（x）＜g（0），∴x＞0，故答案为：（0，+∞）．19．解：设g（x）=f（x ）﹣（x2﹣1），则函数的导数g′（x）=f′（x）﹣x，∵f′（x）＜x，∴g′（x）=f′（x）﹣x＜0，即函数g（x）为减函数，且g（2）=f（2）﹣（×4﹣1）=1﹣1=0，即不等式f（x ）＜x2﹣1等价为g（x）＜0，即等价为g（x）＜g（2），解得x＞2，故不等式的解集为{x|x＞2}．故选：D．20．解：由x2﹣1﹣（4+x）=x2﹣x﹣5≥1得x2﹣x﹣6≥0，得x≥3或x≤﹣2，此时f（x）=4+x，由x2﹣1﹣（4+x）=x2﹣x﹣5＜1得x2﹣x﹣6＜0，得﹣2＜x＜3，此时f（x）=x2﹣1，即f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有三个不同零点，即y=f（x）﹣k=0，即k=f（x）有三个不同的根，作出函数f（x）与y=k的图象如图：当k=2时，两个函数有三个交点，当k=﹣1时，两个函数有两个交点，故若函数f（x）与y=k有三个不同的交点，则﹣1＜k≤2，即实数k的取值范围是（﹣1，2]，故选：A21．解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵exf（x）＞ex+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．22．解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[a，b]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[a，b]的两个端点连线的斜率值．对于①，根据题意，在区间[a，b]上的任一点都是“中值点”，f′（x）=3，满足f（b）﹣f（a）=f′（x）（b﹣a），∴①正确；对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[a，b]只存在一个“中值点”，∴②不正确；对于③，f（x）=ln（x+1）在区间[a，b]只存在一个“中值点”，∴③不正确；对于④，∵f′（x）=3（x ﹣）2，且f（1）﹣f（0）=，1﹣0=1；∴3（x ﹣）2×1=，解得x=±∈[0，1]，∴存在两个“中值点”，④正确．故选：A23．解：根据题意，设g（x）=f（x ）﹣，其导数g′（x）=f′（x ）﹣＞0，则函数g（x）在R上为增函数，又由f（1）=1，则g（1）=f（1）﹣=，不等式f（x2）＜f（x2）﹣＜g（x2）＜g（1），又由g（x）在R上为增函数，则x2＜1，解可得：﹣1＜x＜1，即不等式的解集为（﹣1，1）；故选：D．24．解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，故函数的周期为=π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+φ）+1．若f（x）＞1对x ∈（﹣，）恒成立，即当x ∈（﹣，）时，sin（2x+φ）＞0恒成立，故有2kπ＜2（﹣）+φ＜2+φ＜2kπ+π，求得2kπ+φ＜2kπ+，k∈Z，结合所给的选项，故选：D．25．解：∵xy=x（1﹣y），∴（x﹣a）x≤a+2转化为（x﹣a）（1﹣x）≤a+2，∴﹣x2+x+ax﹣a≤a+2，a（x﹣2）≤x2﹣x+2，∵任意x＞2，不等式（x﹣a）x≤a+2都成立，∴a ≤．令f（x）=，x＞2，则a≤[f（x）]min，x＞2而f（x）===（x﹣2）++3≥2+3=7，当且仅当x=4时，取最小值．∴a≤7．故选：C．26．解：由f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期为4，∵当x∈[﹣2，0]时，=2﹣2﹣x，∴若x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=2﹣2x=f（x），即f（x）=2﹣2x，x∈[0，2]，由f（x）﹣loga（x+2）=0得f（x）=loga（x+2），作出函数f（x）的图象如图：当a＞1时，要使方程f（x）﹣loga（x+2）=0恰有3个不同的实数根，则等价为函数f（x）与g（x）=loga（x+2）有3个不同的交点，则满足，即，解得：＜a ＜故a 的取值范围是（，），故选：C．二．填空题（共6小题）27．解：函数f（x）=xex﹣ae2x可得f′（x）=ex（x+1﹣2aex），要使f（x）恰有2个极值点，则方程x+1﹣2aex=0有2个不相等的实数根，令g（x）=x+1﹣2aex，g′（x）=1﹣2aex；（i）a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在R递增，不合题意，舍，（ii）a＞0时，令g′（x）=0，解得：x=ln，当x＜ln时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣∞，ln）递增，且x→﹣∞时，g（x）＜0，x＞ln时，g′（x）＜0，g（x）在（ln，+∞）递减，且x→+∞时，g（x）＜0，∴g（x）max=g（ln）=ln+1﹣2a =ln＞0，∴＞1，即0＜a ＜；故答案为：（0，）．28．解：对于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x，则，，y1=1，y2=5，则，φ（A，B）=，（1）错误；对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；对于（3），设A（x1，y1），B（x2，y2），y′=2x，则kA﹣kB=2x1﹣2x2，==．∴φ（A，B）==，（3）正确；对于（4），由y=ex，得y′=ex，φ（A，B）==．tφ（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．故答案为：（2）（3）．29．解：∵数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n 项和，且．∴，∴，由a1＞0，解得a1=1，=3a2，由a2＞0，解得a2=3，∴公差d=a2﹣a1=2，an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∵不等式对任意n∈N*恒成立，∴对任意n∈N*恒成立，∴==≥2+17=25．当且仅当2n=，即n=2时，取等号，∴实数λ的最大值为25．故答案为：25．30．解：设圆心O、点A到直线的距离分别为d，d′，则d=，d′=，根据∠BAC=60°，可得BC对的圆心角∠BOC=120°，且BC=．∴S△OBC=OBOCsin∠BOC=×1×1×sin120°=，∴S1=②．∴=，=∴k=±，m=1故答案为：±．31．解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．如图．对于①，根据题意，在区间[0，1]上的任何一点都是“中值点”，故①正确；对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故②不正确；对于③，f（x）=ln（x+1）在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故③不正确；对于④，根据对称性，函数在区间[0，1]存在两个“中值点”，故④正确．故答案为：①④．32．解：∵f（x）=x3﹣3x，∴f′（x）=3（x﹣1）（x+1），当x∈[﹣2，﹣1]，f′（x）≥0，x∈（﹣1，1），f′（x）＜0；x∈（1，2]，f′（x）＞0．∴f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数，（﹣1，1）上递减，（1，2）递增；且f（﹣2）=﹣2，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（2）=2．∴f（x）的值域A=[﹣2，2]；又∵g（x）=ax﹣1（a＞0）在[﹣2，2]上是增函数，∴g（x）的值域B=[﹣2a﹣1，2a﹣1]；根据题意，有AB。