2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案26.doc

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第3课时三角函数的图象和性质(对应学生用书(文)、(理)44～46页)1. (必修4P 25练习2改编)函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________．答案：4π解析：函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4的最小正周期为T ＝2π12＝4π.2. (必修4P 39第2题改编)将函数y ＝sinx 的图象上所有的点向右平行移动 π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________________．答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 解析：∵ 向右平移π10个单位，∴ 用x －π10代替y ＝sinx 中的x ；∵ 各点横坐标伸长到原来的2倍，∴ 用12x 代替y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10中的x ，∴ y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.3. (必修4P 45第9题改编)如图，它表示电流I ＝Asin (ωt ＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则I ＝Asin (ωt ＋φ)的解析式为________________．答案：I ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π3t ＋π3解析：由图可知A ＝3，ω＝100π3.代入⎝ ⎛⎭⎪⎫150，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫120，0，解得φ＝π3，于是I ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π3t ＋π3. 4. (必修4P 32练习6改编)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调递增区间是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )解析：－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，所求单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．5. (必修4P 32第5题改编)函数y ＝2sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是________．答案：[1，2]解析：根据正弦函数图象，可知x ＝π6时，函数取到最小值1；x ＝π2时，函数取到最大值2.1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，则称y＝f(x)为周期函数；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝2π|ω|；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝π|ω|．2. 三角函数的图象和性质3. “五点法”作图“五点法”作图原理：在确定正弦函数y ＝sinx 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1、(π，0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1、 (2π，0)．余弦函数呢？4. 函数 y ＝Asin (ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin (ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．[备课札记]题型1 依据三角函数的图象求解析式例1 (2013·南京三模)已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________．答案：23解析：由图象可知函数的四分之三周期为15π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8＝34T ，T＝3π，ω＝2π3π＝23.变式训练已知函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则ω＝________．答案：3解析：由图知，A ＝2，将(0，2)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2代入函数，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12w ＋φ＝2，2sin φ＝2，∴ ⎩⎨⎧φ＝π4，ω＝3.题型2 三角函数的图象变换例2 为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6(x ∈R )的图象，只需把函数y＝2sinx(x ∈R )的图象上所有的点经过怎样的变换得到？解：y ＝2sinx 用6x p +代替x ，左移 6p个单位 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6再用3p代替x ，各点横坐标伸长到原来的3倍。

y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6.备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．解：(1) 因为f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sinx ＝3cosx ＋sinx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cosx ＋12sinx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f(x)的最小正周期为2π.(2) ∵ 将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，∴ g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵ x ∈[0，π]，∴ x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴ 当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g(x)取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g(x)取得最小值－1.题型3 五点法作图例3 已知a ＝(2cosx ，cos2x)，b ＝(sinx ，－3)，f(x)＝a ·b . (1) 求f(x)的振幅、周期，并画出它在一个周期内的图象； (2) 说明它可以由函数y ＝sinx 的图象经过怎样的变换得到．解：(1) f(x)＝a ·b ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，周期T ＝π，振幅A ＝2.列表从略，图象如下：(2) f(x)可以由y ＝sinx 的图象上各点右移π3个单位后，再将纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标缩短到原来的12而得到．备选变式（教师专享）已知f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1) 求ω和φ的值；(2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象； (3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．解：(1) 周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sinφ＝32，－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2) f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：图象如图：(3)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>22，∴2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4， ∴2k π＋π12<2x<2k π＋7π12， ∴k π＋π24<x<k π＋7π24，k ∈Z ，∴x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫kπ＋π24<x<kπ＋7π24，k ∈Z .题型4 函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用 例4 (2013·苏州期末)已知函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上有一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－3. (1) 求f(x)的解析式；(2) 求函数y ＝f(x)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值及对应x 的值．解：(1) 由2πω＝π，得ω＝2.由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－3，得A ＝3. 且2×2π3＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，0＜φ＜π2，∴ φ＝π6.∴ f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2) y ＝f(x)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π12，∴ y max ＝3 2.此时，2x ＋5π12＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π24，k ∈Z . 变式训练已知函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1) 求f(x)的解析式；(2) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求f(x)的最值．解：(1) 由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，∴ 4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， 即φ＝2k π－11π6，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ φ＝π6，∴ f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2) ∵ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，∴ 2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3.∴ 当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f(x)取得最小值1； 当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f(x)取得最大值 3.1. (2013·贵州文)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ≤π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________．答案：5π6 解析：因为y ＝cos(2x ＋φ)＝cos(－2x －φ)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－（－2x －φ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋φ，图象向右平移π2个单位后为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋φ，与y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3重合，所以φ－π2＝π3，解得φ＝5π6.2. (2013·上海一模)若函数f(x)＝Asin(2x ＋φ)(A>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(0)＝________．答案：－1解析：由图象可知A ＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，即2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝－π6＋2k π，k ∈Z .因为－π2<φ<π2，所以当k ＝0时，φ＝－π6，所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，即f(0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.3. (2013·新课标)已知ω>0，函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54解析：由π2＋2k π≤π2ω＋π4<πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得12＋4k ≤ω≤54＋2k ，k ∈Z .∵ ω>0，∴ 12≤ω≤54.4. (2013·苏北四市期末)已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点．若|f(x 1)－f(x 2)|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为π3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________．答案：－22解析：结合三角函数图象，知道函数的最小正周期为2π3，ω＝3，角φ的终边经过点P(1，－1)，取φ＝－π4，f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin 5π4＝－22.1. 已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的两个相邻最值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2、⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，则这个函数的解析式为________．答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析：∵A ＝2，相邻最值点相距半个周期，即T 2＝2π3－π6＝π2，∴T ＝π，即ω＝2，则函数解析式为y ＝2sin(2x ＋φ)，点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2在函数图象上，∴2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ，即π3＋φ＝2kπ＋π2，得φ＝2kπ＋π6，k ∈Z ，∴ 函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 2. (2014·泰州期末)已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1) 求函数y ＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2) 若f ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π8＝－65，求f(x 0)的值．解：(1) T ＝2π2＝π，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，18π＋k π，k ∈Z .(2) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－π8＝－65，即sin(2x 0)＝－35，所以cos(2x 0)＝±45，f(x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π4＝2(sin2x 0＋cos2x 0)＝25或－725.3. 已知a ＞0，函数f(x)＝－2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f(x)≤1.(1) 求常数a 、b 的值；(2) 设g(x)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间． 解：(1) ∵ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴ 2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，76π.∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a]，∴f(x)∈[b ，3a ＋b]．又∵－5≤f(x)≤1，∴b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2) 由(1)知a ＝2，b ＝－5，∴ f(x)＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 又由lgg(x)＞0，得g(x)＞1，∴ 4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴ sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12， ∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z .由2kπ＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得g(x)的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤kπ，k π＋π6(k ∈Z )．由2kπ＋π2≤2x ＋π6＜2kπ＋5π6，得g(x)的单调减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫kπ＋π6，k π＋π3(k ∈Z )．4. 设a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin2π＋2x 4，cosx ＋sinx ，b ＝(4sinx ，cosx －sinx)，f(x)＝a·b .(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 已知常数ω＞0，若y ＝f(ωx)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，求ω的取值范围；(3) 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π6≤x ≤23π，B ＝{x||f(x)－m|＜2}，若A B ，求实数m 的取值范围．解：(1) f(x)＝sin2π＋2x4〃4sinx ＋(cosx ＋sinx)·(cosx －sinx)＝4sinx·1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 2＋cos2x＝2sinx(1＋sinx)＋1－2sin 2x ＝2sinx ＋1， 所以所求解析式为f(x)＝2sinx ＋1. (2) ∵f(ωx)＝2sinωx ＋1，ω＞0， 由2kπ－π2≤ωx ≤2k π＋π2，得f(ωx)的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z . ∵f (ωx)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω.∴－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω， ∴ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34. (3) 由|f(x)－m|＜2，得－2＜f(x)－m ＜2， 即f(x)－2＜m ＜f(x)＋2. ∵A B ，∴当π6≤x ≤23π时， 不等式f(x)－2＜m ＜f(x)＋2恒成立． ∴f(x)max －2＜m ＜f(x)min ＋2，∵f(x)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝3，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2， ∴m ∈(1，4)．1. 求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意先把ω化为正数．求y＝Acos(ωx＋φ)和y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间类似．2. 求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高(低)点的纵坐标确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由条件求得y＝Asin(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解．3. 由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．请使用课时训练（B）第3课时（见活页）.[备课札记]。