高考数学基础知识点学习资料

高考数学基础知识点

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一、 集合

1. 德摩根公式: ?=I ()U A B ?U U A ?U B ；?=U ()U A B ?I U A ?U B .

2. =?=???I U A B A A B B A B ??U B ??I U A A ?=??U U B B ?=U A U ，其中U 表示全集.

3. =+-U I ()()card A B cardA cardB card A B . 二、 不等式

4. 常用不等式: ⑴ ∈?+≥、222a b a b ab R 当且仅当=a b 时取等号； ⑵

++∈?

≥、2

a b

a b R =a b 时取等号；

⑶ -≤+≤+a b a b a b .

5. 定积定和原理: 已知x 、y 都是正数，

如果积xy 是定值p ，那么当=x y 时，和+x y

有最小值

如果和+x y 是定值s ，那么当=x y 时，积xy 有最大值21

4

s .

6. 一元二次不等式++>20ax bx c (或++<20ax bx c ) (≠0a ，240b ac ?=->)，如果a 与++2ax bx c 同号，

则其 解集在两根之外；如果a 与++2ax bx c 异号，则其解集在两根之间. 简而言之，同号两根之外，异号两根之间. <

<>?--><或121212()()0()x x x x x x x x x x .

(这类问题一般可以借助于韦达定理或者结合图像特点寻找约束条件就可以解决问题)

7. 含有绝对值的不等式:

当>0a 时，有?>?>22x a x a x a 或<-x a .

9. 指数不等式与对数不等式:

⑴ 当>1a 时，>?>()()

()()f x g x a a f x g x ；>??

>?>??>?

()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x ；

⑵ 当<<01a 时，>?<()()

()()f x g x a a f x g x ；>??

>?>??

()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x .

三、 函数

10. 设∈≠、，1212[,]x x a b x x ，那么 []--->?>?-12121212()()

()()()00()f x f x x x f x f x f x x x 在[,]a b 上是增函数；

[]---

()()

()()()00()f x f x x x f x f x f x x x 在[,]a b 上是减函数.

12. 两个函数图像的对称性: ⑴ 函数=()y f x 与函数=-()y f x 的图像关于直线=0x (即y 轴)对称；

⑵ 函数=()y f x 与函数-=1()y f x 的图像关于直线=y x 对称.

13. 二次函数的解析式的三种形式:

① 一般式 =++≠2()(0)f x ax bx c a ；

② 顶点式 =-+≠2()()(0)f x a x h k a ；

③ 零点式、两根式 =--≠12()()()(0)f x a x x x x a .

14. 二次函数-?

?=++=++≠ ???2

22

4(0)24b ac b y ax bx c a x a a a 的图像是抛物线，顶点坐标??-- ???

24,24b ac b a a . 15.

分数指数幂-

=

m

n

a

>∈，、*

0a m n N 且>1n )；-

=

1m n

m n

a

a

(>∈，、*0a m n N 且>1n ).

16. =?=log b a N b a N (>≠>，，010a a N ). 17. 对数的换底公式: =

log log log m a m N N a ，推论: =log log m n a a n

b b m

四、 三角

18. 同角三角函数的基本关系式: θθ+=22sin cos 1，θ

θθ

=sin tan cos ，θθ?=tan cot 1. 19. 和角与差角公式:

αβαβαβ±=±sin()sin cos cos sin ；

αβαβαβ±=m cos()cos cos sin sin ；

αβ

αβαβ

±±=

m tan tan tan()1tan tan ；

辅助角公式

:αααφ+=+sin cos )a b ，由利用φ的正弦和余弦来确定辅助角φ所在象限

20. 二倍角公式:

ααα=sin22sin cos ；

ααααα=-=-=-2222cos2cos sin 2cos 112sin ；

α

αα

=

-22tan tan21tan .

23. 三角函数的周期公式:

函数ωφ=+sin()y x ，∈x R 及函数ωφ=+cos()y x ，∈x R (ωφ、、A 均为常数，且ω≠>，00A )的周期

πω=2T ；函数π

πωφ=+≠+∈，，tan()2

y x x k k Z (ωφ、、A 均为常数，且ω≠>，00A )的周期πω=T .

(注意ω小于零的函数周期的求法)

24. 正弦定理及其扩充:

===2sin sin sin a b c

R A B C

25. 余弦定理: =+-2222cos a b c bc A ；=+-2222cos b c a ca B ；=+-2222cos c a b ab C (注意其变形公式). 26. 面积公式: ⑴ ===111

222a b c S ah bh ch (、、a b c h h h 分别表示a 、b 、c 边上的高)；

⑵ ===111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B .

27. 三角形内角和定理: 在ΔABC 中，有ππππ+++=?=-+?

=-?=-+()222()222

C A B

A B C C A B C A B .

(很多与三角形有关的恒等变形或者纯粹解三角形的题目中会用到这些关系)

五、 数列 28. -=?=?-≥?1

1

1

2

n n n S

n a S S n ，其中数列{}n a 的前n 项和=+++…12n n S a a a .

(注意此公式第二行顺推与逆推的应用，这是递推数列的常用公式，可以达到不同的目的)

29. 等差数列的通项公式=+-=+-11(1)n a a n d dn a d (∈*n N )；

其前n 项和公式+-?

?=

=+=+- ??

?2111()(1)12222n n n a a n n d S na d n a d n ；

等比数列的通项公式-==111n n

n a a a q q q

(∈*n N )；

其前n 项和公式?-≠?

=-??=?11

(1)111n n a q q S q

na q 或?-≠?

=-??=?111

()

111n n a a q q S q na q .

(注意: 解答题利用错位相减法时要特别注意讨论=1q 的情况)

30. 等差数列中等距地抽出的一些项仍为等差数列；等比数列等距地抽出的一些项仍为等比数列. 特殊地，等差

数列中某一项是其前后等距两项的等差中项；等比数列中某一项是其前后等距两项的等比中项. 31. 特殊数列的极限:

⑴ ?

==??<=-?

→不存在或01

lim 11

11n n q q q q q ∞

⑵ -==--→11(1)lim

11n n a q a

S q q

∞ 无穷等比数列{}-11n a q ()<1q 各项的和

六、 平面向量

32. 平面两点间的距离公式

: =u u u r 、A B d AB 、1122(,)(,)A x y B x y . 33. 向量的平行与垂直: 设==r r

，1122(,)(,)a x y b x y ，且≠r r 0b ，则

λ?=?-=r

r 1221//0a b b a x y x y ；

⊥≠??=?+=r r

r r r 1212(0)00a b a a b x x y y .

34. 线段的定比分点公式:

设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P

P 的分点，λ是实数，且λ=u u u r u u u r 12P P PP ，则λλ

λλ

+?=??

+?+?=?+?

12

1211x x x y y y 35. 平面上三点A 、B 、C ，若λμ=+u u u r

u u u r

u u u r

OA OB OC ，则A 、B 、C 三点共线等价于λμ+=1.

36. 三角形的重心坐标公式:

设ΔABC 三个顶点的坐标分别为=，，112233(,)(,)(,)A x y B x y C x y ，则ΔABC 的重心++++??

???

123123,33x x x y y y G . 37. 平面向量的分解定理:

如果u r 1e 、u u r 2e 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量r

a ，有且只有一对实数λ1、

λ2，使λλ=+u r u u r r

1122a e e . 这一定理又称平面向量的表示定理，其核心即任意两个不平行的向量可以表示平面内

的任意向量. 此时，这两个不平行的向量称为这一平面内所有向量的一组基.

七、 矩阵、行列式

38. 二元一次方程组+=??+=?111222a x b y c a x b y c ，其对应的系数矩阵为?? ???1

12

2a b a b ，增广矩阵为?? ???

1

112

22a b c a b c ；

三元一次方程组++=??++=??++=?111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ，其对应的系数矩阵为??

? ? ???1

1

12

2233

3a b c a b c a

b c ，增广矩阵为?? ? ? ???

1

1

112

2223

3

3

3a b c d a b c d a b c d .

(注意: 增广矩阵中最后一列常数项! 一般会出现在小题的概念辨识中)

41. 二阶行列式

=-1

1

12212

2

a b a b a b a b ；

三阶行列式=++---11

1213

21

2223112233122331132132132231122133112332313233

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a . 42. 把三阶行列式中第i 行第j 列的元素ij a 所在的行和列划去，将剩下的元素按原来的位置关系组成的二阶行

列式叫做该元素的余子式；将余子式前加上+-(1)i j 得该元素的代数余子式；三阶行列式按某行(列)展开，例如三阶行列式按第一行展开: =-+11

1213

22

2321232122

21

222311121331

3331

3331

32

31

32

33

a a a a

a a

a a

a a a a a a a a a a a a a a a a . 43. 二元一次方程组+=??+=?111

222a x b y d a x b y d ，记系数行列式=1

122a b D a b ，=1122x d

b D d b ，=11

2

2

y a

d D a d .

⑴ 当≠0D 时，方程组有唯一解?

=??

?

?=??

x

y D x D

D y D

； ⑵ 当=0D ，、x y D D 至少一个不为零时，方程组无解；

⑶ 当===0x y D D D 时，方程组有无穷多组解.

44. 三元一次方程组++=??

++=??++=?1111

22223

333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ，记系数行列式=1112

2233

3a b c D a b c a b c ，=11

12223

3

3x d b c D d b c d b c ，=11

1

2223

3

3

y a d c D a d c a d c ，=1

11

2

223

3

3

z a b d D a b d a b d .

⑴ 当≠0D 时，方程组有唯一解?=??

?

=???=??x y z D x D D y D D z D

；

⑵ 当=0D 时，方程组无解或有无穷多组解.

(注意=0D 时情况比较复杂，只能说明方程组无解或有无穷多组解，与二元一次方程组不同)

45. 平面内三角形的三个顶点坐标分别为11(,)a b 、22(,)a b 、33(,)a b ，则三角形的面积为=1

12

2331

1

121

a b S a b a b . 九、 解析几何 47. 斜率公式-=-21

21

y y k x x ，其中、111222(,)(,)P x y P x y

(很多代数问题可以利用这个公式转化为几何问题，简化解题过程，这是数形结合思想的重要体现)

48. 直线的四种方程: ⑴ 点方向式方程 --=

00

x x y y u v ，直线过点00(,)P x y ，且方向向量为(,)u v ； ⑵ 点法向式方程 -=-00()()a x x b y y ，直线过点00(,)P x y ，且法向量为(,)a b ；

⑶ 点斜式方程 -=-00()y y k x x ，直线过点00(,)P x y ，且斜率为k ；

⑷ 一般式方程

++=0Ax By C ，其中A 、B 不同时为零.

49. 两条直线的平行与垂直: ⑴ 若1:l =+11y k x b ，2:l =+22y k x b ，两直线斜率均存在，则 ① ?=≠，121212//l l k k b b ； ② ⊥?=-12121l l k k ；

⑵ 若1:l ++=1110A x B y C ，2:l ++=2220A x B y C ，且、、、1212A A B B 都不为零，则

① ?

=≠111

12222

//A B C l l A B C ；

② ⊥?+=1212120l l A A B B . 50. 夹角公式:

⑴ 两条相交直线的夹角公式:

α=

cos ；其中1:l ++=1110a x b y c ，2:l ++=2220a x b y c ；

⑵ 到角公式:

α-=

+21

21

tan 1k k k k ；其中1:l =+11y k x b ，2:l =+22y k x b ，≠-121k k ；

(要区别于直线a 到直线b 的角的求解公式)，直线⊥12l l 时，夹角为

π2

.

51. 点到直线的距离公式: =d ，点00(,)P x y ，直线l : ++=0Ax By C .

52. 圆的表示方程: ⑴ 圆的标准方程: -+-=222()()x a y b r ；

⑵ 圆的一般方程: ++++=+->22220(40)x y Dx Ey F D E F ；

⑶ 圆的参数方程: θ

θ=+??=+?

cos sin x a r y b r (θ为参数，πθ∈[0,2))

53. 椭圆+=>>22

221(0)x y a b a b 的参数方程是θθ=??=?

cos sin x a y b πθ≤<>>，，(0200)a b .(圆和椭圆的参数方程一定要

过关)

57. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式:

-=-11AB x x y y

(α为直线倾斜角，注意和韦达定理结合使用)

弦端点11(,)A x y ，22(,)B x y ，由方程=+??=?(,)0

y kx b

F x y 消去y 得到++=20ax bx c ，Δ>0，α为直线AB 的倾斜角，

k 为直线的斜率，以上化简思路再结合韦达定理使用，是很多圆锥曲线解答题的常用解题技巧.

58. 圆锥曲线的对称问题:

曲线=(,)0F x y 关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是--=00(2,2)0F x x y y . (可以利用中点坐标公式推导之)

十、 复数 以下i 为虚数单位

59. 复数+=+?==，i i a b c d a c b d ∈、、、()a b c d R

60. 复数=+i z a b 的模

: =+i z a b 61. 复数的四则运算法则:

⑴ +++=+++(i)(i)()()i a b c d a c b d ；

⑵ +-+=-+-(i)(i)()()i a b c d a c b d ；

⑶ ++=-++(i)(i)()()i a b c d ac bd bc ad ；

⑷ +-+÷+=

++≠++2222

(i)(i)i (i 0)ac bd bc ad

a b c d c d c d c d

. 62. 注意共轭复数的概念.

63. 注意实部和虚部的概念. (虚部有没有包括i 呢?)

十一 、立体几何、空间向量: 73. 面积射影定理: θ

=

'

cos S S ，其中平面多边形及其射影的面积分为、'S S ，它们所在平面所成锐二面角为θ. 74. 圆柱的轴、底面、侧面、母线、高；圆锥的轴、顶点、底面、侧面、母线、高等概念的理解. 75. 柱体的体积=V Sh ，柱体的侧面积=侧S ch ，其中c 为底面周长；

锥体的体积=

3

Sh

V ，圆锥的侧面积π=侧'S rh ，其中'h 为母线长. 76. 若球的半径为r ，则其体积π=

3

43

V r ，其表面积π=24S r .

十二 、排列组合与二项式定理

78. 分布计数原理(加法原理): =+++…12n N m m m . 79. 分布计数原理(乘法原理): =???…12n N m m m .

80. 排列数公式: =--+=-…!

P (1)(1)()!

m

n

n n n n m n m . ∈≤、，*()n m m n N .

82. 组合数公式: --+=

=

=???-……P (1)(1)!

C 12!()!

P m

n m n

m m

n n n m n m m n m . ∈≤、，*()n m m n N

83. 组合数的两个性质:

⑴ -=C C m n m

n n ；

⑵ -++=1

1C C C m m m n n n .

85. 排列数与组合数的关系: =?P !C m

m n n m .

86. 二项式定理: ---+=++++++……011222()C C C C C n n n n r n r r n n

n n n n n a b a a b a b a b b ；

二项展开式的通项公式: -+==…1C (0,1,2,,)r n r r

r n T a

b r n . (注意通项的下标)

十三 、概率、统计

87. 等可能性事件的概率: =()m P A n

. 88. 总体均值: μ=

+++ (121)

()N x x x N

；

总体中位数:

将每个个体按从小到大排列，N 为奇数时即为中间位置的数；N 为偶数时为

中间的两个数的算术平均数； 总体方差: σμμμ??=-+-++-?

? (2222)

121()()()N x x x N ；

总体标准差:

σ.

89. 随机抽样: 如果在抽样过程中能使总体中的每一个个体都有相同的可能性被选入样本，那么这种抽样叫做随

机抽样，所得的样本称为随即子样； 系统抽样: 把总体中的每一个个体编上号，按某种相等的间隔抽取样本的方法；

分层抽样: 把总体分成若干个部分，然后在每个部分进行随机抽样的方法.

90. 样本的平均值(总体均值的点估计值): =+++ (121)

()n x x x x n ；

样本的标准差(总体标准差的点估计值): =

s .

(注意样本标准差和总体标准差计算公式中n 与-1n 的区别，极有可能出小题)

91. 互斥事件A 、B 分别发生的概率的和=+U ()()()P A B P A P B ；

概率的加法公式: =+-U ()()()()P A B P A P B P AB ;

92. n 个互斥事件分别发生的概率之和: +++=+++……1212()()()()n n P A A A P A P A P A . 93. 独立事件A 、B 同时发生的概率=?()()()P AB P A P B

94. n 个独立事件同时发生的概率: =???……1212()()()()n n P A A A P A P A P A .