数学建模在材料科学研究中的运用
数学专业的数学与材料科学
数学专业的数学与材料科学数学作为一门科学，与各个学科密切相关。
数学专业的学生需要学习并应用数学知识，为其他学科的发展做出贡献。
本文将讨论数学专业与材料科学之间的联系，以及数学在材料科学研究中的应用。
一、数学与材料科学的联系数学是材料科学的基础，两者之间存在着紧密的联系。
材料科学研究的对象是各种物质的结构、性能和组成，而数学则提供了描述和分析这些特性的方法和工具。
1. 统计分析统计学是数学的一个分支，广泛应用于材料科学中。
材料的性能通常涉及到大量的数据和实验结果，通过统计分析可以得到这些数据的规律性和趋势。
统计学帮助材料科学家从海量的数据中快速提取有效信息，为材料的优化和改进提供依据。
2. 微分方程微分方程是数学中的重要工具，也是材料科学研究的数学模型之一。
材料的行为通常可以通过微分方程来描述，例如弹性力学方程、热传导方程等。
通过求解微分方程，可以预测和控制材料的性能，为材料工程提供指导。
3. 凸优化凸优化是数学中的一个分支，广泛应用于材料科学中的材料设计和合成过程中。
凸优化通过数学模型和算法，寻找材料的最佳组成和结构。
研究人员可以利用凸优化方法，预测材料的性能并进行优化，从而提高材料的性能和可靠性。
二、数学在材料科学研究中的应用1. 材料的力学行为研究材料的力学行为是材料科学研究中的重要内容。
通过数学模型和计算方法，可以描述和分析材料的受力和变形过程。
应用数学方法可以研究材料的弹性性质、塑性变形、疲劳寿命等力学行为，并为材料的设计和开发提供依据。
2. 材料的相变和相平衡研究材料的相变和相平衡是材料科学研究中的关键问题。
数学统计方法、热力学和几何模型等数学工具可以用来描述和分析材料的相变机制和相平衡状态。
通过数学建模和计算方法，可以预测材料的相变温度、相变速率等关键参数，为新材料的合成和优化提供指导。
3. 材料的电子结构研究材料的电子结构研究是材料科学中的重要领域。
量子力学和数学方法可以用来描述和计算材料中电子的行为和性质。
数学与材料科学材料性能建模和优化
数学与材料科学材料性能建模和优化数学与材料科学：材料性能建模和优化在当今科技飞速发展的时代，材料科学作为一门关键的学科，对于推动各个领域的进步起着至关重要的作用。
从航空航天到电子设备，从生物医药到新能源开发，高性能材料的需求日益增长。
而数学，作为一门精确而强大的工具，在材料性能的建模和优化方面发挥着不可或缺的作用。
要理解数学在材料性能建模和优化中的角色，首先得明白材料性能是什么。
材料性能可以包括力学性能（如强度、硬度、韧性）、热学性能（如导热系数、热膨胀系数）、电学性能（如导电性、介电常数）、光学性能（如折射率、透光率）等等。
这些性能决定了材料在不同应用场景中的适用性和表现。
数学建模在材料科学中的应用，就像是给材料的各种性能和行为建立一个精确的“画像”。
通过收集大量的实验数据和观察结果，运用数学的语言和方法，将材料的性能与各种影响因素之间的关系量化表达出来。
比如，在研究金属材料的强度时，可以建立一个基于晶体结构、原子间结合力、位错运动等因素的数学模型。
这个模型能够帮助我们预测在不同的加工条件下，金属材料的强度会如何变化。
再来说说优化。
优化的目标是在众多可能的材料组成和工艺条件中，找到能够使材料性能达到最佳的方案。
这就像是在一个复杂的“迷宫”中寻找最优的路径。
数学中的优化理论和算法为我们提供了强大的工具。
例如，在设计一种新型的复合材料时，我们需要考虑不同组分的比例、纤维的排布方式、制造工艺参数等因素。
通过建立数学模型，并运用优化算法，可以快速地筛选出最优的设计方案，大大节省了实验和研发的时间和成本。
数学中的统计学方法在材料性能研究中也大有用处。
通过对大量实验数据的统计分析，可以揭示材料性能的分布规律，评估实验结果的可靠性，发现潜在的影响因素。
例如，在研究一批同类型材料的强度数据时，统计分析可以告诉我们强度的平均值、标准差等信息，帮助我们判断这批材料的质量稳定性。
微分方程也是数学在材料科学中的重要应用之一。
数学建模在科学研究中的作用是什么
数学建模在科学研究中的作用是什么在当今的科学研究领域，数学建模已经成为一种不可或缺的工具。
它不仅帮助科学家更深入地理解自然现象，还为解决各种复杂问题提供了有效的方法和思路。
那么，数学建模在科学研究中的作用究竟是什么呢？首先，数学建模能够将复杂的现实问题简化和抽象化。
科学研究中常常会遇到各种各样复杂的现象和问题，这些问题往往涉及众多的因素和变量。
通过数学建模，我们可以忽略一些次要的因素，抓住问题的关键特征和主要规律，将其转化为数学语言和方程。
例如，在研究天体运动时，我们可以通过建立数学模型来描述行星的轨道、速度和位置等，从而更清晰地理解天体之间的相互作用。
其次，数学建模有助于预测和推断。
一旦建立了合理的数学模型，我们就可以利用它来对未来的情况进行预测。
这对于科学研究中的决策制定和规划具有重要意义。
比如，在气象学中，通过建立大气环流的数学模型，结合当前的气象数据，我们可以预测未来几天甚至几周的天气变化，为农业生产、交通出行等提供重要的参考。
再者，数学建模能够促进不同学科之间的交流和融合。
科学研究的领域越来越广泛，跨学科的研究也日益增多。
数学作为一种通用的语言，通过数学建模，可以打破学科之间的壁垒，让不同领域的科学家能够更好地理解和交流彼此的研究成果。
例如，在生物学中，利用数学模型来研究种群的增长和生态系统的平衡，使得生物学家和数学家能够共同探讨和解决相关的问题。
数学建模还可以为实验设计提供指导。
在进行科学实验之前，通过建立数学模型，可以预先估计实验的结果和可能出现的情况，从而优化实验方案，提高实验效率。
比如，在药物研发中，通过建立药物在体内代谢的数学模型，可以预测不同剂量和给药方式下药物的效果，为临床试验的设计提供依据。
此外，数学建模有助于发现新的科学规律和理论。
在对模型进行分析和求解的过程中，我们可能会发现一些之前未曾注意到的现象和关系，从而为新的科学发现提供线索。
例如，在物理学中，对量子力学的数学模型的研究，推动了人们对微观世界的认识和理解，催生了一系列新的理论和技术。
数值模拟和仿真在材料科学中的应用
数值模拟和仿真在材料科学中的应用数值模拟和仿真技术在材料科学中的应用已经成为一个不可避免的趋势。
随着计算机技术的不断发展，材料科学领域的研究已经由传统的实验方法向计算机仿真方法转移。
本文将介绍数值模拟和仿真在材料科学中的应用。
一、数值模拟和仿真的概念数值模拟和仿真是计算机科学中的基本方法之一。
数值模拟是通过遵循已知规律和数学方程来计算机模拟实际过程，以便预测未来或解决问题。
仿真是通过计算机模拟物理现象，以便理解其工作原理和展示其特点。
数值模拟主要是通过数学建模方法来计算过程，仿真则是通过计算机模拟物理环境来实现物理环境的模拟。
二、数值模拟在材料科学中的应用1. 材料结构与性能的预测数值模拟可以用来预测材料的结构和性能。
通过数学建模和仿真，科学家可以在计算机上设计新材料，学习材料在不同条件下的性能并进行优化。
这项技术已被广泛应用于多种领域，包括航空航天、汽车、医疗设备以及化学工业等。
2. 材料加工过程的模拟数值模拟可以模拟材料加工的过程，例如锻造、压制和注塑等。
这种技术可以用来预测材料在加工过程中的变形和应力分布，从而优化生产工艺，提高生产效率并减少成本。
特别是在新材料的研发中，这种技术可以帮助研究人员快速开发出高性能材料的生产工艺。
3. 材料热响应的模拟数值模拟可以用来模拟材料的热响应过程。
在研究材料的热机械性能时，数值模拟可以计算材料在高温下的应力、变形和应变率等参数，帮助科学家更好地理解材料的性能并进行优化。
三、总结综上所述，数值模拟和仿真技术在材料科学中的应用非常广泛。
这种技术的发展将有助于提高材料的性能，减少生产成本并提高生产效率。
未来，这种技术将继续在材料科学领域发挥重要作用，并将有助于创造更多高价值的新材料。
数学建模在实验设计中的应用
数学建模在实验设计中的应用导语：数学建模作为一门综合性学科，已经在多个领域得到了广泛的应用。
在实验设计中，数学建模能够提供一种科学的方法和理论基础，帮助研究人员准确、全面地分析和解释实验数据，为科学研究提供支持和指导。
本文将探讨数学建模在实验设计中的应用，分析其优势和局限性，并通过案例阐述其实践意义。
第一部分：数学建模在实验设置中的应用实验是科学研究的基础，而数学建模则是实验数据分析和解释的有效工具。
在实验设置中，数学建模能够帮助研究人员确定实验方案，并预测实验结果。
通过建立合适的数学模型，可以有效地降低实验成本和时间，提高实验效率。
例如，对于新药的研发过程中，通过对动物实验数据进行数学建模，可以预测药物的药代动力学和药效学特性，从而优化药物的临床试验方案，减少不必要的试验损耗。
第二部分：数学建模在实验数据分析中的应用实验数据的分析是实验设计的重要环节。
数学建模可以为研究人员提供一种科学的方法，对实验数据进行统计分析和模式识别，从而揭示数据背后的规律和内在关系。
在生物学和医学领域，数学建模在实验数据分析中的应用尤为突出。
例如，通过对肿瘤生长的数学模型建立和模拟，可以预测肿瘤的生长趋势，为临床医生提供科学的诊断和治疗决策依据。
第三部分：数学建模在实验结果验证中的应用实验结果的验证是实验设计的重要环节。
通过对实验结果进行数学建模，可以验证实验数据的可靠性和可重复性。
例如，在工程设计中，通过建立数学模型对设计方案进行仿真和优化，可以检验方案的合理性和可行性。
同时，数学建模还可以在实验结果异常时，帮助研究人员快速定位问题，提供问题解决的思路和方法。
第四部分：数学建模在实验优化设计中的应用实验优化是实验设计的重要目标。
通过数学建模，研究人员可以建立多目标优化模型，找到最优的实验方案和参数组合。
例如，在材料科学中，通过建立材料力学模型，可以优化材料的组分和制备参数，提高材料的力学性能。
通过数学建模，实验优化设计可以在实验资源有限的情况下，充分发挥实验效益，提高实验设计的成功率。
数学在材料科学与工程中的应用
数学在材料科学与工程中的应用数学作为一门精确、抽象的科学，不仅仅在纯粹的数学领域有着广泛的应用，而且在各个实际科学和工程领域中也发挥着重要的作用。
材料科学与工程领域是应用数学的一个重要领域之一。
本文旨在探讨数学在材料科学与工程中的应用，并具体阐述数学在材料组成、结构、性能及制备过程等方面的重要作用。
一、材料组成的数学建模在材料科学与工程中，对于材料的组成和成分进行精确的描述是至关重要的。
而数学提供了精确度较高的建模工具，以帮助研究人员对材料的组成进行分析和理解。
例如，通过使用线性代数中的向量和矩阵运算，可以将复杂的材料元素组成表达为简洁的数学表达式。
这种数学模型可以帮助科学家更好地理解材料的成分，进而推导材料的物理、化学性质。
二、材料结构的数学描述材料的结构对其性能具有重要影响，因此对材料结构的描述和分析也是材料科学与工程的重要内容之一。
数学提供了丰富的几何学和拓扑学工具，用于描述和分析材料的结构。
例如，对于晶体材料而言，可以使用晶体学中的点群和空间群的数学方法，对晶体的结构进行精确描述，揭示出晶格的周期性和对称性。
此外，拓扑学的方法也被广泛应用于描述复杂材料的结构和形态，如纳米材料的形貌和微观结构等。
三、材料性能的数学分析材料的性能是材料科学与工程的核心问题之一。
而数学则提供了量化和分析材料性能的方法和工具。
例如，通过使用微积分和差分方程等数学方法，可以对材料的力学性能进行建模和分析，如弹性模量、屈服强度等指标的计算。
此外，概率统计和回归分析等数学方法也被广泛用于材料性能的预测和优化。
这些数学工具和方法的应用使得科学家能够更准确地分析和改进材料的性能。
四、材料制备过程的数学模拟在材料科学与工程中，对于材料的制备过程进行准确的数学建模和模拟，可以帮助科学家更好地理解和控制材料的微观结构和宏观性能。
例如，在材料热处理工艺的研究中，数学模型可以帮助预测材料在不同温度下的晶粒尺寸和分布，或者预测材料在不同合金配比下的相变行为。
数学在材料科学中的作用
数学在材料科学中的作用数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念和关系的学科，广泛应用于各个领域，包括材料科学。
在材料科学中，数学扮演着至关重要的角色，它帮助我们理解和解决材料相关的问题，促进技术进步和创新。
本文将探讨数学在材料科学中的作用，并展示其在不同领域的应用。
1. 材料模型和预测数学在材料科学中的主要作用之一是通过建立模型来预测和描述材料的性质和行为。
通过数学公式和方程式，科学家们能够定量地描述材料的结构、力学行为、热学性质等。
例如，在材料力学中，弹性模型和塑性模型使用数学公式来描述材料的应变和变形。
这些模型不仅可以帮助我们理解材料的力学行为，还可以预测材料在不同载荷条件下的性能。
2. 缺陷分析和优化设计材料中的缺陷对材料的性能和行为有着重要影响。
数学在材料科学中的另一个作用是帮助分析和优化材料中的缺陷。
通过数学建模和计算方法，科学家们可以预测和理解材料中缺陷的形成、扩展和聚集过程。
例如，在材料研究中，常常使用数学方程式来描述晶体缺陷的扩散行为，以及材料中的孔隙形成和演化过程。
这些分析结果可以帮助研究人员设计和优化材料，提高其性能和可靠性。
3. 材料结构分析和优化数学在材料科学中的另一个关键作用是帮助分析和优化材料的结构。
材料的结构对其性能和功能具有重要影响。
通过数学方法和模型，科学家们可以确定材料的晶体结构、原子排列以及相互作用等。
例如，通过数学方法和计算模拟，可以确定不同晶体之间的晶格匹配程度，这对于合金材料的设计和制备非常重要。
此外，数学方法还可以帮助研究人员优化材料的结构，以实现特定的功能要求。
4. 材料性能预测和优化数学也可以用于预测和优化材料的性能。
通过建立数学模型和方程，科学家们可以预测材料的热学性能、电学性能、光学性能等。
例如，在太阳能电池研究中，数学模型可以用于预测材料对太阳光的吸收和转换效率。
这些预测结果可以指导材料设计和优化，以提高其性能和效率。
总结起来，数学在材料科学中扮演着不可或缺的角色。
数学建模在材料科学中的应用
数学建模在材料科学中的应用随着人类社会的不断发展，我们对材料科学的要求越来越高，需要不断更新材料的性能，使其更加符合我们的需求。
在这个背景下，数学建模成为了材料科学中不可或缺的重要工具。
本文将重点论述数学建模在材料科学中的应用。
一、数学建模在材料科学中的意义材料科学是一门涉及多个学科的交叉学科，它所研究的材料有着各种各样的性质和特征，如力学性质、电学性质、磁学性质等等。
因此，对于材料科学的研究，需要依靠一系列的实验才能得出结果。
但是，实验具有时间长、花费高等缺点，并且需要消耗大量的资源和材料，不良的实验结果也会对环境带来不良影响。
这些问题在实际应用中受到越来越多的关注。
相对而言，数学建模是一种既经济又快速的研究方法。
利用数学方法，可以对材料的性质和特征进行理论分析、模拟和预测。
数学建模的结果可以为实验提供指导，减少实验的时间和材料消耗，也可以为材料设计提供精准的理论预测。
因此，在材料研究中广泛运用数学建模是十分必要的。
二、数学建模在材料科学中的应用2.1、材料结构的分析材料的性能往往与其结构密切相关。
材料结构是指它的晶体结构、表面形貌和微观结构等。
数学建模可以通过对材料的分析和计算，提供更加准确的结构特征描述和预测，进一步分析和改善材料的性能。
2.2、力学性质的研究在材料设计和制造中，力学性质是非常重要的指标之一，如强度、韧性、硬度等。
这些指标对于工业生产和实际应用都有着举足轻重的作用。
在力学性质研究中，运用数学建模可以快速得到各种物理量的计算结果，如材料的应力分布、疲劳寿命、断裂韧性等参数，这些参数为材料的设计和制造提供了有力的支持。
2.3、电学性质的分析电学性质是指材料的导电性、介电性、光电性等性质。
材料的电学性质不仅涉及到电子学、电力学和信息学等多个领域，而且在很多应用中都扮演着重要角色。
例如，光电器件和半导体材料中的导电性和半导体性质精密的计算需要依赖于数学建模。
2.4、热力学性质的研究热力学性质是指材料的热传导、热容、热膨胀等物理特性。
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数学建模在材料科学研究中的运用例一 探讨热膨胀系数同弹性模量关系的数学模型1、问题现代科技水平的不断发展,机械,航空等领域中对设备精度要求也越来越高。
材料科学中的热物性随着设备中机械精度的提高温度对设备精度的影响得到各国科研性工程技术人员的重视。
热物性理论研究日益加强,材料的热膨胀理论、热容理论、导热性、热稳定性等理论,都是研究的热点。
材料的热膨胀同弹性模量本质上都同材料晶体结构和原子间作用力有着密切的关系,两者之间有着必然的联系。
为了深入了解材料热膨胀机理，就需要建立热膨胀系数和弹性模量的模型。
2、建立模型固体材料的热膨胀本质归结为晶体原点间平均距离随温度升高而增大。
温度越高,质点振动越大,质点间距也相应增加,宏观上晶体就发生了膨胀。
现以较为典型的双原子模型解释。
如图示,设r 0 为双原子平衡时位置,横坐标为原子间距,纵坐标为原子间势能U ( r) 。
当温度升高后,原子由于振动加剧而使间距变为r = r o + x ,则原子势能变为U ( r) = U ( r o + x) 。
将函数U ( r o + x ) 在r = r o 处展开成泰勒级数: （1） 因为0d o =⎥⎦⎤⎢⎣⎡r dr U 略去x 3 及以后的高次项,则(1) 式成为2o22d d !21x r r U ) U ( r U ( r) o ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=。
........r d !31d d !213332o22+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x d U x r r U x r dr dU ) U ( r U ( r) o o此时U ( r) 代表一条抛物线, 如图示虚线。
温度升高,原子在平衡位置r 0 处振幅增大, 但不会产生膨胀, 这与膨胀事实相反。
故考虑进x 3项,则由(1) 式得（2）(2) 式图形如图1实线所示。
由图可见,其原子振动平衡位置随温度升高(平行横坐标的平行线1 ,2 ,3 , ⋯代表升高的温度T1 , T2 ,T3 , ⋯) 将扩大,如图AB 点线所示,引起晶体膨胀。
在温度T 下,温度变化1 ℃相应的线性热膨胀αt 表示: ) t t t (d t lim 12i 10t t <<=∆∆=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→∆i i t L t dL L L α （3） 式中 αt ———热膨胀率,一般以10 - 6 ℃- 1为单位表示。
对于各向同性物体,应力σ同应变ε之比就是弹性模量E ,即著名的Hooke 定律:εσE =现对其进行微观分析,固体对所有作用力的反应实质是来自原子间相互作用的势能。
对一对相距为r 原子的势能U 可以写成:3332o 22r d !31d d !21x d U x r r U U ( r) U ( r) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=m B rr A - r) ( U n += 式中: A , B , m , n 是决定于材料成分和结构的常数。
其中,研究表明, n < m ,意义是斥力对距离变化更敏感。
原子间作用力F( r)可写为:11+++-==m n rmB r nA dr dU(r)-F( r) 由上式得: （m-n）nA mB r 10⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 再以热膨胀的双原子势能模型定量讨论弹性模量。
设对双原子键合作用—微扰,使之偏离平衡,此微力d F 与微位移d r 之间关系为:dr dr U d -dF r r 022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 3、解决方案从弹性模量的物理本质可知,随温度升高,原子间距增大,相互作用力减小,金属的弹性模量降低,弹性模量同温度关系可由下式表示:01=+E r dTdr m r dT dH m-m (4) 其中, m 为常数, H = E/ E 0 , E 0 为当温度为德拜温度ΘD 时的材料弹性模量：32aM MV T 137 =Θ 式中: M 是相对原子量, V a 为原子体积, T M 为熔点。
整理(4) 式得:011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡m r dT dr dT dH H （5） 上式中, m = - 25 。
考虑到r dT dr 1即为(3) 式中的热膨胀率αt ,故上式可化为: 0m d dH 1=+t TH α α(T)mdT mdT -αdH Ht -==1 两边积分,得:α( T) md T dH H ⎰⎰-=1⎰=(T)mdT - eH α 将H = E/ E 0 代入,得:⎰=dT T αm e E E ）（0 （6）方程（6）就是材料热膨胀系数同材料的弹性模量之间的关系模型。
由以上分析知材料热膨胀同材料的弹性模量其物理本质都同原子间作用力密切相关,只是两者原子间发生作用的起因有别。
材料的热膨胀是因为温度升高,原子振幅加大,引起原子间斥力增加,平衡距离加大,原子间仍是平衡状态;而弹性模量是两原子受到外力作用,偏离平衡位置,双子间呈引力(或斥力) 状态,该引力(或斥力) 值同外界作用力平衡。
两者偏移平衡位置大小都同原子间作用力有关,故两者有着本质上的联系。
建立了两者的数学关系模型,在材料的物理性能理论研究与生产应用中有着较高的研究价值与应用前景。
例二 探讨无机材料固态烧结初期的烧结动力学模型。
1、问题烧结是无机材料制品制作的一个必须的过程，其烧结速度的快慢、时间的长短、直接影响着制品加工的效率和效益。
众所周知，无机材料如水泥、陶瓷、耐火材料等都是由固体颗粒材料组成，这些颗粒料由于大小不一、形状不一、堆积紧密程度不一，且它们的物理化学性质也不同，研究起来相当复杂。
为了研究其烧结初期的动力学，对于这些固体颗粒料我们根据加工设备的特性，可以将其视做球体形状来处理，这样抽象简化后问题就相对简单了，如果再将其烧结过程简单的看成为双球粘结在一起的话，那么这双球模型还便于测定原子的迁移量，从而更易定量地掌握烧结过程并为进一步研究物质迁移的各种机理奠定基础。
2、建立模型G．C．Kuczynski提出粉末压块是由等径球体作为模型。
随着烧结的进行，各接触点处开始形成颈部，并逐渐扩大，最后烧结成一个整体。
由于各颈部所处的环境和几何条件相同，所以，只需确定二个颗粒形成的颈部的成长速率就基本代表了整个烧结初期的动力学关系。
一般来说，无机材料粉料在烧结时，由于传质机理各异而引起颈部增长的方式不同，因此，在假设的球体模型下，还要进一步的进行修改假设，即双球模型的中心距可能有二种情况出现：一种中心距不变如图1.1(A)；另一种中心距缩短如图1.1(B)。
图1.1烧结模型由图 1.1所示的模型可以列出由简单几何关系计算得到的两球形接触的颈部曲率半径r，颈部体积v，颈部表面积A与颗粒半径r和接触颈部半径x之间的关系(假设烧结初期r变化很小，x≥ρ）。
1-1（A）1-1（B）当固态烧结的主要传质方式为蒸发—凝聚时，且烧结体处于烧结初期时，在高温下，烧结过程仅仅在高温下蒸气压较大的系统内进行，如氧化铅、氧化锌和氧化铁的烧结。
由于表面曲率不同，必然在系统的不同部位有不同的蒸气压，于是主要通过气相传质，如图1.2简化模型所示：图1.2蒸发-凝聚传质模型在这个简化模型下，由于在球形颗粒表面有正曲率半径，而在两个颗粒触接处有一个小的负曲率半径的颈部，两处的粉体颗粒表就存在不同的蒸发蒸气压，物质将从蒸气高的凸的表面蒸发通过气相传递而凝聚到低压凹形颈部处，从而使颈部逐渐被填充。
这两处的蒸气压差可用开尔文公式(1-1)表示：)11(ln 21xdRT M p p +=ργ （1-2） 式中： P 1—曲率半径为ρ处的蒸气压；P 2—球形颗粒表面蒸气压；γ—表面张力；d —密度。
对式(1-1)式进行分析，由于凸凹两处的物质蒸气压力差P 1一P 2是很小的，由高等数学可知，当x 充分小时，ln(1+x )≈x 。
所以ln P l／P 2＝ln(1+Δp ／P 2)≈ΔP ／P 2，又由于x >>ρ，所以式(1-1)又可写作：ΔP ＝γM P o ／d ρRT (1-3)式中: ΔP —为负曲率半径颈部和接近于平面的颗粒表面上的饱和蒸气压之间的压差。
由于从凸表面蒸发的气体在压差ΔP 的作用下，向凹凝聚，根据气体分子运动论可以推出物质在单位面积上凝聚速率正比于平衡气压和大气压差的朗格缪尔(Langmuir)公式： 2/1)2(RTM p U m πα∆= （1-4） 式中: U m —为凝聚速率，每秒每平方厘米上凝聚的克数，g/cm2.s ；α—为调节系数，其值接近于1；ΔP —为凹面与平面之间蒸气压差。
这样在两个颗粒的接触颈部，由于气相的凝聚使其体积增长。
当凝聚速率等于颈部体积增加时即有：dt dV d A Um //*= (1-5)根据烧结模型公式1-1（A)中，相应的颈部曲率半径ρ、颈部表面积A 和体积V 代人(1-5)式，并将(1-4)式代人(1-5)得： dt dx dx r x d d r x RT M RT d MP •⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=••⎪⎭⎫ ⎝⎛2124322/10πππργ （1-6）将(1-6)式移项并积分，可以得到球形颗粒接触面积颈部生长速率关系式： 3/13/23/122/32/302/323/t r d T R P M r x •⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-γπ （1-7）此方程得出了颈部半径(x )和影响生长速率的其它变量(r ，P 。
，t )之间的相互关系。
3、解决方案3/13/23/122/32/302/323/t r d T R P M r x •⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-γπ即为无机材料固态烧结初期的动力学模型。
它反映了蒸发—凝聚传质机理下，固相烧结初期两相接触的颗粒颈部半径(x)和影响生长速率的其它变量(r ，P ，t)之间的相互关系。
接触颈部的生长x /r 随时间(t)的1／3次方而变化。
在烧结初期可以观察到这样的速率规律。
而且只在开始时比较显著，随着烧结的进行，颈部增长很快就停止了。
因此对这类传质过程用延长烧结时间不能达到促进烧结的效果。
以上这就是以蒸发——凝聚机理为主的烧结初期的烧结动力学模型的建立过程。
例三 超塑性单向拉伸变形的数学模型1、问题超塑性变形的失稳是一个复杂的问题, 多年来各国学者在失稳的力学研究方面做出很大的贡献, 但是由于不同学者的研究思路和方法不同, 所得的结论也各异, 因此有必要在理论上进行规范。
只有通过建立超塑性拉伸变形在均匀变形阶段的数学模型, 从数学理论的角度出发解析变形的稳定性, 从而得出应变硬化指数是变形是否稳定的关键参数的结论。
2、建立模型设试样为超塑性材料, 拉伸变形过程中试样承受的载荷为P, 长度为L, 变形过程中任一瞬间试样的横截面积为A 。
这里的P 、L 、A 均为时间函数, 与试样的轴向位置无关。
变形过程中的真实应力为σ,其变化率为σ'; 自然塑性应变为ε, 应变速率为ε'；长度变化率为L ' ,截面积变化率为A '。