第一章 随机事件与概率

本空间的子集就是随机事件. 随机试验 样本空间
子集
随机事件
必然事件不可能事件是两个特殊的 随机事件.
第1.2节
事件的关系和运算
一、随机事件间的关系及运算
二、小结
一、随机事件间的关系及运算
I.随机事件间的关系 设试验E 的样本空间为 , 而 A, B, Ak
(k 1,2,) 是 的子集 . 1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 ,
A AB
B

推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的积事件 ,
k 1
n
即A1 , A2 ,, An同时发生 ;
称 Ak 为 可 列 个 事 件 1 , A2 , 的 积 事 件 A ,
k 1

即A1 , A2 ,同 时 发 生 .
和事件与积事件的运算性质
(1) 可以在相同的条件下重复地进行; 随 (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 机 先明确试验的所有可能结果; 试 (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 验 出现.
3. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样
A B C
二、小结
1.随机事件间的关系
2.事件间的运算规律
3. 概率论与集合论之间的对应关系
记号
概率论
样本空间,必然事件 不可能事件 e 基本事件 A 随机事件 A A的对立事件 A B A出现必然导致B出现 A B 事件A与事件B相等

集合论 空间(全集) 空集 元素 子集 A的补集 A是B的子集 A集合与B集合相等
一目标发射同一种炮弹多
发 , 观察弹落点的情况”.
结果: “弹落点可能会不同”. 实例3 “抛掷一枚骰子,观 结果有可能为:
察出现的点数”.
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性
联系 , 其数量关系无法用函数的形式加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的 出现具有一定的统计规律性 。 概率论就是研究 随机现象及其统计规律的一门数学学科.
基本事件,事件A—出现偶数,事件B—出现奇数 解：用表示掷骰子出现的点数为
{1,2,3,4,5,6}
基本事件
{1},{2},{3},{4},{5},{6}
A {2,4,6};
B {1,3,5}.
五、小结
1.随机现象的特征:条件不能完全决定结果. 2.随机现象是通过随机试验来研究的.
3. 进行一次试验之前不能确切知道哪一个结果
会出现.
三、样本空间 样本点
定义1.1 对于随机试验E，它的每一个可 能结果称为样本点，由一个样本点组成的 单点集称为基本事件。所有样本点构成的 集合称为E 的样本空间或必然事件，用 或S表示
我们规定不含任何元素的空集为不可能事件， 用 表示。
四、随机事件的概念
实验者
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
f
德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f (H ) n的增大
1 . 2
重要结论
频率当 n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐增 大时 , 频率趋于稳定值, 这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的
A A ,
i i i 1 i 1
n
n
A A
i i 1 i 1
n
n
i
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的 运算关系表示下列事件：
A : 至 少 有 一 人 命 中 目 ” A B C “ 标 : A : 恰 有 一 人 命 中 目 标:” ABC ABC ABC “ A : 恰 有 两 人 命 中 目 标:” ABC ABC ABC “ A : 最 多 有 一 人 命 中 目 ” BC AC AB “ 标 : A : 三 人 均 命 中 目 标:” ABC “ A : 三 人 均 未 命 中 目 标:” “
A ( B C ) ( A B ) ( A C ) AB AC , A ( B C ) AB AC
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C )( B C ).
(4)对偶律 : A B A B, A B A B.
如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
二、随机试验
试验, 是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学 实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观 察”、或 “测量” 等. 定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称
为随机试验.
1.试验可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先 明确试验的所有可能结果;
第 一 章
随 机 事 件 及 其 概 率
第1.1节 随机事件的概念及其运算
一、 随机现象 二、 随机试验
三、 样本空间 样本点 四、 随机事件的概念 五、 小结
一、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生
的现象称为确定性现象. 实例
“太阳从东边升起”,
1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 0.4 0.6 0.2
n 500 f nH
0.502 0.498 0.512
1 在 处波动较小 20.2 24 0.48
随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 1.0 247 0.494 25 0.50
0.4 0.8
0.44 251 22 1 在 处波动较大 249 25 0.50 2 21 0.42 256
格”
与“直径合格”的差. 图示 A 与 B 的差
B A
A B B
B A

A B A B

6. 事件的互逆（对立）
A B 且 AB . 则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作 A.
若事件 A 、B 满足 实例 “骰子出现1点”对立 点” 图示 A 与 B 的对立. A “骰子不出现1 B A
3. 事件的交 (积) "二 事 件 , B同 时 发 生 也 是 一 个 事 件称 为 A " , 事 件A 与 事 件B 的积 事 件 记 作A B， 显 然 , A B {e | e A且e B}.
积事件也可记作
A B 或 AB.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是 “长度合格”与“直径合格”的交或积事件. 图示事件A与B 的积事件.
18
27
0.36 0.54
0.502 251 波动最小 262 0.524
258 0.516
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的
f 不一定相同;
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅
度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . 互斥 “骰子出现1点” 点”
“骰子出现2
图示 A与B互斥
A B

说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形式 A+B. 任意事件A与不可能事件为互斥.
5. 事件的差 事件 “A 出现而 B 不出现”，称为事件 A 与
B 的差. 记作 A- B.
实例 “长度合格但直径不合格”是“长度合
则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
A
B

若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事 件A与事件B相等,记作 A=B. 2. 事件的和(并) “ 二 事 件A, B至 少 发 生 一 个 ” 也 是 个 事 件 一 , 称 为 事 件A 与 事 件 的和 事 件记 作A B， 显 然 B . A B {e | e A或e B}. 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是 “长度 不合格”与“直径不合格”的并. B 图示事件 A 与 B 的并.
Hale Waihona Puke (2) f n ( ) 1, f n ( ) 0
( 3) 若 A1 , A2 , , Ak 是两两互不相容的事件则 , f ( A1 A2 Ak ) f n ( A1 ) f n ( A2 ) f n ( Ak ).
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. n5 n 50 试验 序号 nH f f nH
概率.
二、概率的统计定义
1.定义1.2 在随机试验中,若事件A出现的频率nA/n随 着试验次数n的增加,趋于某一常数p, 0 p 1
则定义事件A的概率为p,记作P(A)=p .
性质1.1 (概率统计定义的性质)
(1) 对任一事件A ,有 0 p( A) 1;
( 2) P () 1, P () 0;
“水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,