高考数学专题基础班第4讲等差数列与等比数列(T)

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等差数列与等比数列专题辅导（小编推荐）

等差数列与等比数列专题辅导（小编推荐）第一篇：等差数列与等比数列专题辅导（小编推荐）等差数列与等比数列专题辅导(1)在等差数列｛an｝中, a7=9, a13=-2, 则a25=()A-22B-24C60D64(2)在等比数列｛an｝中, 存在正整数m, 有am=3，am+5=24, 则am+15=()A864B1176C1440D1536(3)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列, 则a2=()A–4B–6C–8D–10(4)设数列{an}是等差数列，且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n 项和，则()AS4>S3BS4=S2CS6(5)已知由正数组成的等比数列｛an｝中,公比q=2, a1·a2·a3·…·a30=245, 则a1·a4·a7·…·a28=5101520A 2B2C2D2(6)若{an}是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003.a2004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是：()A．4005B．4006C．4007D．4008(7)在等比数列｛an｝中, a1<0, 若对正整数n都有anAq>1B0a1(3n-1)(8)设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1=__________.2(9)等差数列｛an｝的前m项和为30, 前2m项和为100, 则它的前3m项和为_________.(10)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列, 且a1=2, 公和为5,那么a18的值为_______,这个数列的前21项和S21的值为.(11)已知等差数列｛an｝共2n+1项, 其中奇数项之和为290, 偶数项之和为261,求第n+1项及项数2n+1的值.(12)设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项和S10=110且a1，a2，a4成等比数列.（Ⅰ）证明a1=d；（Ⅱ）求公差d的值和数列{an}的通项公式.(13)已知等比数列｛an｝的各项都是正数, Sn=80, S2n=6560, 且在前n项中, 最大的项为54, 求n的值.(14)ΔOBC的三个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）, 设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n, Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn), an=（Ⅰ）求a1,a2,a3及an;（Ⅱ）证明yn+4=1-(Ⅲ)若记bn=y4n+41yn+yn+1+yn+2.2yn,n∈N*;4-y4n,n∈N*,证明{bn}是等比数列.答案:1-7 BDBDA BB8.29.21010.3, 5211.29, 1912.(2)d=2 an=2n13.n=414.(1)an=2(2)(3)证明略第二篇：等差数列与等比数列等差数列与等比数列⎧>0,递增数列⎪一、等差数列的定义：an+1-an=d（d：公差）（常数）⎨=0，常数列，⎪<0,递减数列⎩1．证明数列{an}为等差数列：（1）定义：an+1-an=d（常数）（2）等差中项：2an+1=an+an+2注：(1)不可用a2-a1=a3-a2=a4-a3=Λ=“常数”证(2)a1=⎨例1．（1）已知数列{an}为等差数列，求证：数列{an+an+1}为等差数列；变式：①已知数列{an}为等差数列，求证：数列{an+t}（t为常数）为等差数列；②已知数列{an}为等差数列，求证：数列{tan}（t为常数）为等差数列；③已知数列{an}、{bn}均为等差数列，求证：数列{an+bn}为等差数列（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，求证：数列{an}为等差数列；变式：①已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+1，求：an②已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an2+bn，求：an ③已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an2+bn+c，求：an（3）已知数列{an}满足：a1=1,an+1=数列；（4）已知数列{an}，a1=1，an+1=为等差数列（5）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：数列{an}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列⎧S1,n=1⎩Sn-Sn-1,n≥2an1,且bn=，求证：数列{bn}为等差an+1ann1an+，且bn=nan，求证：数列{bn}n+1n+1Sn=n(a1+an)22．证明数列{an}为单调数列：an+1-an=f(n)⎨⎧>0,递增数列递减数列⎩<0，注：（1）求数列{an}中an的极值也可采用此方法（2）已知数列{an}为等差数列ⅰ.若a1<0,d>0，则Sn有最小值；解法：①令an≤0{bn}②Snⅱ.若a1>0,d<0，则Sn有最大值；解法：①令an≥0②Sn例2．已知an=(11-2n)2n，求数列{an}的最大项例3．（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且an=10-2n,求Sn的最大值；(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且an=2n-13,求Sn的最小值；3．叠加法：已知a1=a，an+1-an=f(n)，求an例4．（1）已知数列{an}为等差数列，首项为a1，公差为d,求an；（2）已知数列{an}，a1=1,an+1=4．通项公式：an=a1+(n-1)d（1）an=am+(n-m)d（2）an是关于n的一次函数，且n的系数为公差d.例5．已知数列{an}为等差数列，a5=-3，a9=13，求an5．等差中项：若a、b、c成等差数列，则b=（1）若数列{an}为等差数列，则2an+1n+11an+，求an nna+c称为a、c的等差中项2=an+an+2；（2）若已知三个数成等差数列，且其和为定值，则可设这三个数为a-d、a、a+d；（3）若数列{an}为等差数列，且公差d≠0,则am+an=ap+aq⇔m+n=p+q(4)在有穷等差数列{an}中,与首尾两项距离相等的两项的和等于首尾两项的和.即：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=Λ=ak+an-k+1例6．（1）已知：等差数列中连续三项的和为21，平方和为179，求这三项（2）在3与19之间插入3个数后成等差数列，求这三个数（3）已知：a、b、c成等差数列求证：①b+c、a+c、a+b成等差数列；②a(b+c)、b(a+c)、c(a+b)成等差数列；③a-bc、b-ac、c-ab 成等差数列（4）已知：a、b、c成等差数列，求证：2222111成等差数列 b+ca+ca+blg(a-c)、lg(a+c-2b)成等差（5）已知：成等差数列，求证：lg(a+c)、数列（6）若方程a(b-c)xb(c-a)x+c(a-b)=0有相等实根，求证：成等差111abc111abc数列例7．在等差数列{an}中，(1)若a5+a10=12,求S14；(2)若a8=m,求S15；(3)若a4+a6+a15+a17=50,求S20；(4)若a2+a4=18,a3+a5=32,求S6；(5)若a2+a5+a12+a15=36,求S16；(6)若a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8(7)若等差数列{an}的各项都是负数，且a32+a82+2a3⋅a8=9，则其前10项和S10= ____________(8)在等差数列{an}中，若a3+a15=a5+an，则n=_______6．数列{an}的前n项和Sn=注：（1）倒序法求和；（2）等差数列{an}的前n项和Sn是关于自然数n的二次函数，且n的系数为n(a1+an)n(n-1)n(n-1)=na1+d=nan-d 222d，2常数项为零，即：Sn=An2+Bn（当A=0时数列{an}为常数列）；（3）①S2n-1=(2n-1)an（可以将项与和之间进行相互转化）。

高三高考数学复习等差数列、等比数列PPT课件

(4)在等比数列中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则 am·an＝ap·aq.特别地，若 m＋n＝2p 则 am·an＝ap2
(5)在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列(n 为偶
数且 q＝－1 除外)．
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4.判断和证明数列是等差(比)数列的两种方法
小结：等差(比)数列基本运算的求解策略
(1)抓住基本量a1和公差d(公比q)． (2)把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.
如：由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常采用两式相除(即比值的方式)或整体化思想进行相关计算.
变式 1-1(2019·无锡调研)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，
解：{an}为等差数列，设其公差为d.由a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，得d＝3 ，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2. {bn}为等比数列，设其公比为q，由b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，得q＝－2，
∴b2＝b1·q＝2.则ab22＝22＝1.
变式1-3(2018·全国Ⅰ卷改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝ 2，则a5＝__-1__0____. 解：法一设等差数列{an}的公差为 d，
法二设等差数列{an}的公差为 d，
∵3S3＝S2＋S4，
∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，
∴3a1＋3×2 2d＝d.
∴S3＝a4－a3，
∵a1＝2，∴d＝－3，
∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
方法归纳 (1)在等差(比)数列中，首项 a1 和公差 d(公比 q)是两个最基本的元素，在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于 a1 和 d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量． (2)解决数列与数学文化相交汇问题的关键：一是读懂题意，即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是 “解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、公比(或公差)、项数、通项公式或前 n 项和等．

等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

等差数列与等比数列基本公式PPT课件

例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p,
使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.
(1)求p
(2)证明{an}成等差数
列
(2)根据已求得的p=1/2 Sn=(1/2)nan,
由等差数列定义,满足an-an-1=d(常数) 的数列是等差数列
所以第一步求通项,第二步“作差”.
证明: n≥2时,an=Sn-Sn-1=(1/2)nan-(1/2)(n-1)an-
习题分析:
7.数列{an}各项均为正数,前n项和为An,数列{bn}的前n项和为Bn,且满足Bn=-n(n-1),bn=log2an,求An.
42
22
cos(A C) 1 A C
故 A=B=C, 公差 d=0.
例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列: ak1 , ak2 , ak3 ,......., akn 恰好为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求 k1+k2+.....+kn
已知三数和为19=>
a d 2 a d a
19
a
四数为: 9,6,4,2或 25,-10,4,18.
归纳
为了便于解方程，应该充分分析条件的特征,尽量减少未知数的个数, 用最少的未知数表达出数列的有关项的数量关系，促使复杂的问题转化为较简单的问题，获得最佳的解决方法。
解(: AS)190,0S2(0-BS)1-0,9S030-S(20C,).1.1..0...(.D,)S1-110-1S0100成等差数列,公差
(S10 S20

Sa110aa211...a..1.2a.1.0.... 10a(2a0121a01(0a)1125(a22a01)

课标专用天津市高考数学二轮复习专题四数列4.1等差数列与等比数列课件

①求{an}的通项公式;
②求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
分析推理(1)首先根据已知用an表示bn,进而表示出cn,然后检验
cn+1-cn是否为常数即可证明;也可以先写出数列{an}的通项公式,再
根据已知求出数列的通项公式进行判断.(2)①首先根据已知列
出方程组求出首项与公比,进而求出数列的通项公式;②根据①问,
核心归纳•预测演练
-9-
突破点四
等差数列与等比数列的判定与证明
【例2】(1)已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意
2
的 n∈N*,bn 是 an 和 an+1 的等比中项.设 cn=+1
− 2 ,n∈N*,求证:数
列{cn}是等差数列.
(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.
(1)当q=1时,Sn=na1.
此时Sn+1+Sn+2=(n+1)a1+(n+2)a1=(2n+3)a1.
由Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列可得,Sn+1+Sn+2=2Sn,
即(2n+3)a1=2na1.
因为a1≠0,显然该等式不成立,所以此时Sn+1,Sn,Sn+2不能构成等差
数列.
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等差数列与等比数列
高频考点•探究突破
核心归纳•预测演练
突破点四
= 1.3,
1 + 2 + 3 = 3.9,
故 2
6 + 7 + 8 + 9 = 3,
7 + 8 = 1.5,

等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

一、定义法01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：{}1(00)n n na q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：1nn a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a qa -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。

证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=。

证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d=0时，显然命题成立当d≠0时，∵111111n n n na a d a a++⎛⎫=-⎪⎝⎭∴再证充分性：∵122334111a a a a a a++⋅⋅⋅1111n n nna a a a++++=⋅⋅………①∴122334111a a a a a a++⋅⋅⋅11212111n n n n nna a a a a a++++++++=⋅⋅⋅………②②﹣①得：12121111n n n nn na a a a a a+++++=-⋅⋅⋅两边同以11n na a a+得：112(1)n na n a na++=+-………③同理：11(1)n na na n a+=--………④③—④得：122()n n nna n a a++=+即：211n n n na a a a+++-=-{}n a为等差数列例2.设数列}{na的前n项和为n S，试证}{na为等差数列的充要条件是)(,2)(*1NnaanS nn∈+=。

高考数学：证明等差等比数列的解法

高考数学：证明等差等比数列的解法
我们在数列部分常碰到这样的问题：证明某个复杂数列为等差或者等比数列。

比如下面这道题：
从求证出发，我们回顾等比数列的定义：从第2项开始，数列的后一项除以前一项等于同一个不为零的常数，则这个数列为等比数列。

这就是我们证明等比数列的主要办法，也称定义法.即只需证明后项/前项为常数即可。

使用定义法的技巧，就是在化简过程中，保持前项不变，然后后项用题中给定的关系式代入。

道理也是显然的，要使得计算结果为常数，必须要出现消项、约分，所以把后项朝前项去靠近，才能最终通过消项、约分得到常数。

根据条件中给定的关系式，代入上式。

结果还真是一个常数，神奇吗？
其实一点也不神奇，只要方法正确，常数是命题者设计好了的，你不用担心。

下面，增加一点难度，看这一道分段形式给出的数列递推式。

请自觉做题3分钟.不要往下看。

分析：首先来理解数列递推式传递的信息.我们用具体的例子来理解它。

通过这种方式，我们对数列有了一些感性的认识。

不管怎样，还是采用定义法来证明。

还是采用前面介绍的技巧：保持前项不变，把后项用题中给定的关系式代入。

注意看，分子项和分母项的脚标相差2，我们根据题目所给递推式，可以分两步来。

咦！结果又是一个常数。

废话，要不是常数，那就是题目出错了。

总结：定义法来真好用，证明等比显奇功。

高考数学专题讲座第4讲等差数列与等比数列

高考数学专题讲座第4讲等差数列与等比数列一、考纲要求1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题．2．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题．二、基础过关1．在首项为81，公差为-7的等差数列{}n a 中，最接近零的是第（）．A ． 11项B ．12项C ．13项D ．14项2．已知等差数列{}n a 中，0≠n a ，若1>m ，且0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ，则m 等于( ) ．A ．38B ．20C ．10D ．93．数列{}n a 中，11=a ，对所有*N n ∈都有221n a a a n =Λ，则=+53a a （）．A ．1661 B ．925 C ．1625 D ．15314．（03年全国）设{a n }是首项为1的正项数列，且（n +1）a 2n +1-na n 2+a n +1a n =0(n=1,2,3,…),它的通项公式是__ _．5．如果一个数列{}n a 满足h a a n n =+-1，其中h 为常数，2,*≥∈n N n ，则称数列{}n a 为等和数列，h 为公和，n S 是其前n 项和．已知等和数列{}n a 中311-==h a ，，则=2004a ，=2005S ．6．设数列{}n a ，{}n b 分别为正项等比数列，n n R T ,分别为数列{}n a lg 与{}n b lg 的前n 项和，且12+=n nR T n n ，则55log a b 的数值为_________．三、典型例题例1 已知数列{}n a 中，b na a a a n n +=-=+11,40，其中a ，b 为常数，且∈n N *，∈a N *，b 为负整数．（1）用a ，b 表示n a ；（2）若0,087<>a a ，求通项公式．例2 （04年湖南）已知数列{}n a 是首项为a 且公比不等于1的等比数列，S n 是其前n 项和，a 1,2a 7,3a 4成等差数列．（1）证明12S 3, S 6, S 12-S 6成等比数列；（2）求和 T n =a 1+2a 4+3a 7+---+na 3n -2 ．例3 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足)(212N n a a a n n n ∈-=++．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a a a S +++=Λ21，求n S ；（3）设)12(1n n a n b -=,)(21N n b b b T n n ∈+++=Λ，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N ,均有32mT n >成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．例 4 在直角坐标平面上有一点列ΛΛ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 位于函数4133+=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25-为首项，1-为公差的等差数列{}n x ．（1）求点n P 的坐标；（2）设抛物线列ΛΛ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的顶点为n P ，且过点)1,0(2+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：nn k k k k k k 13221111-+++Λ．（3）设{}1,,2|≥∈==n N n x x x S n ，{}1,4|≥==n y y y T n ，等差数列{}n a 的任一项T S a n I ∈，其中1a 是T S I 中的最大数，12526510-<<-a ，求{}n a 的通项公式．四、热身演练1．（20XX 年天津文）等差数列}{n a 中，已知311=a ，452=+a a ，33=n a ，则n 为（）． A ．48B ．49C ．50D ．512．（20XX 年天津）若S n 是数列{}n a 的前n 项和，且,2n S n =则}{n a 是（）．A ．等比数列，但不是等差数列B ．等差数列，但不是等比数列C ．等差数列，而且也是等比数列D ．既非等比数列又非等差数列3．（20XX 年福建）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若9535=a a ，则=59S S（）． A ．1 B ．1- C ．2 D ．214．（20XX 年上海）若数列{}n a 前8项的值各异，且n n a a =+8，对任意的*N n ∈都成立，则下列数列中可取遍{}n a 前8项值的数列为（）．A ．{}12+k aB ．{}13+k aC ．{}14+k aD ．{}16+k a5．等差数列{}n a 共有2n 项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为（）．A ．3B ．3-C ．2-D ．1-6．等差数列{}n a 中，104,36139-=-=S S ，已知等比数列{}n b 的7755,a b a b ==，则=6b ．7．（04年北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和． 5，______________，这个数列的前n ________________．8．（99年全国）在等差数列{}n a 中，满足7473a a =，且01>a ，n S 是数列{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n = ．9．（20XX 年浙江）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，))(1(31*N n a S n n ∈-=．（1）求21,a a ；（2）求证：数列{}n a 是等比数列．10．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知434131S S 与的等比中项为551S ，434131S S 与的等差中项为1，求等差数列{}n a 的通项． 11．（04年重庆）设a 1=1,a 2=35,a n +2=35a n +1-32a n (n =1,2,---)，令b n =a n +1-a n (n =1,2---)．（1）求数列{b n }的通项公式；（2）求数列{na n }的前n 项的和S n ．12．已知数列{}n a 是公差0≠d 的等差数列，其前n 项和为n S ．（1）求证：点),(,),2,2(),1,1(2211nS n P SP S P n n Λ在同一条直线1l 上；（2）过点),2(),,1(2211a Q a Q 作直线2l ，设θ的夹角为与21l l ，求证：42tan ≤θ．答案二、基础过关 1、C 2、C 3、A 4、n 1 5、-4，-3005 6、199三、案例探究1、解：（1） b na a a n n +=-+1Θ，()()()()()()b a b a na b a na a a a a a a n n n n ++++-++-=-++-+-∴---ΛΛ212211 又40)1(2)1(,401+-+-=∴=b n a n n a a n Θ.(2)为负整数，且，b N a b a a b a a ,,040728040621*87∈<++=>++=Θ ∴由线性规划知识知:,10,1-==b a5022122+-=∴n n a n 2、（Ⅰ）证明由4713,2,a a a 成等差数列，得41734a a a +=，即 .3436aq a aq += 变形得 ,0)1)(14(33=-+q q 所以14133=-=q q 或（舍去）.由 .1611211)1(121)1(123316136=+=----=q qq a q q a S S .1611111)1(1)1(166611216126612==-+=-----=-=-q q q q a q q a S S S S S 得.12661236S S S S S -= 所以12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列. （Ⅱ）解：.3232)1(36323741--++++=++++=n n n naqaq aq a na a a a T ΛΛ 即 .)41()41(3)41(212a n a a a T n n --⋅++-⋅+-⋅+=Λ ①①×)41(-得： a n a n a a a T n n n )41()41()41(3)41(24141132---⋅++-⋅+-⋅+=--Λ.)41()54(54)41()41(1])41(1[a n a a n a n n n -⋅+-=-⋅-----=所以 .)41()542516(2516a n a T n n -⋅+-=3、解（1）由a n+2=2a n+1－a n ⇒a n+2－a n+1=a n+1－a n ,可知{a n }成等差数列，d=1414--a a =－2 ∴a n =10－2n（2）由a n =10－2n ≥0得n ≤5，∴当n ≤5时，S n =－n 2+9n ；当n>5时，S n =n 2－9n+40故S n =⎪⎩⎪⎨⎧+-+-409922n n n n 551>≤≤n n （n ∈N ）（3）b n =)12(1n a n -=)22(·1+n n =21(n 1－11+n )∴T n = b 1+b 2+…+b n=21[(1－21)+(21－31)+…+(n 1－11+n )] =12121)1(2T T T nn n n n n >>>=->+--Λ∴要使T n >32m 总成立，需32m <T 1=41恒成立，即m<8，（m ∈Z ）.故适合条件的m 的最大值为7.4、解：（1）23)1()1(25--=-⨯-+-=n n x n 1353533,(,3)4424n n n y x n P n n ∴=⋅+=--∴----（2）n c Θ的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P .∴设n c 的方程为：,4512)232(2+-++=n n x a y 把)1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：1)32(22++++=n x n x y .32|0'+===n y k x n ，)321121(21)32)(12(111+-+=++=∴-n n n n k k n nn n k k k k k k 13221111-+++∴Λ)]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n Λ =641101)32151(21+-=+-n n （3）}1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x S ，}1,),512(|{≥∈+-==n N n n y y T }1,,3)16(2|{≥∈-+-==n N n n y y ,S T T ∴=I T 中最大数171-=a .设}{n a 公差为d ，则)125,265(91710--∈+-=d a ，由此得 ).(247,24),(12,129248**N n n a d N m m d T a d n n ∈-=∴-=∴∈-=∴∈-<<-Θ又四、热身演练1、C2、B3、A4、B5、B6、24±7、3 当n当n8、99、解 (1)由)1(3111-=a S 得)1(3111-=a a ，211-=∴a ，又)1(3122-=a S ，即)1(31221-=+a a a ，得412=a . (2)当2≥n 时，1113131)1(31)1(31----=---=-=n n n n n n n a a a a S S a ，得211-=-n n a a ，所以{}n a 是首项为21-，公比为21-的等比数列.10、解法一：设等差数列{a n }的首项a 1=a ，公差为d ，则其通项为根据等比数列的定义知S 5≠0，由此可得解法二：依题意，得11、解：（I ）因121+++-=n n n a a b n n n n n n b a a a a a 32)(323235111=-=--=+++故{b n }是公比为32的等比数列，且故,32121=-=a a b ),2,1()32(Λ==n b n n （II ）由得nn n n a a b )32(1=-=+)()()(121111a a a a a a a a n n n n n -++-+-=--++Λ])32(1[232)32()32()32(21n n n -=++++=-Λ注意到,11=a 可得),2,1(3231Λ=-=-n a n n n . 记数列}32{11--n n n 的前n 项和为T n ，则n n n n n T n T )32()32(23232,)32(322121⋅++⋅+=⋅++⋅+=-ΛΛ 两式相减得,)32(])32(1[3)32()32()32(3213112n n n n n n n T --=-++++=-Λ1832)3()1(232)21(32,32)3(9)32(3])32(1[911211-+++=-+++=+++=+-=--=-+-n n nn n n nn n n n n n T n na a a S n n T ΛΛ从而故12、证明：(1)因为等差数列{a n }的公差d ≠0，所以Kp 1p k 是常数(k=2，3，…，n)．(2)直线l 2的方程为y-a 1=d(x-1)，直线l 2的斜率为d ．。

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等差数列与等比数列
【知识要点】
1．你能写出等差数列的通项公式和前n 项和公式吗？ 2．你能写出等比数列的通项公式和前n 项和公式吗？ 3．等差数列和等比数列还有哪些性质呢？
【典型例题】
例1．在等差数列}{n a 中．
（1）已知614515,153,33a a a 求==；
（2）已知d a S S 和公差求1128,168,48==; （3）已知3116,3S a 求=
例2．在等比数列}{n a 中，661=+n a a ，12812=⋅-n a a ，前n 项和S n =126 求n 和公比q ．
【课型】：新授课【教学目标】【教学重难点】【新课导入】：
例3．（1）在等差数列}{n a 中，24321-=++a a a ，78201918=++a a a ，则此数列前20项和等于（） A 、160 B 、180 C 、200
D 、220
（2）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（） A 、5 B 、4 C 、3
D 、2
（3）等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（） A 、130 B 、170 C 、210
D 、260
例4．设等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，已知0,0,1213123<>=S S a . （1）求公差d 的取值范围．
（2）指出1221,,S S S 中哪一个值最大，并说明理由．
例5.数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知n 1n 1S n
2
n a ,1a +=
=+，证明：（1）数列}{n
S
n 是等比数列．
（2）n n a S 41=+
例6．已知正项数列}{n a ，其前n 项和S n 满足6a 5a S 10n 2
n n ++=，且1531,,a a a 成等比数列，求数列}{n a 的通项n a ．
【课堂训练】
1．已知等差数列}{n a 中，1a ,16a a 497==+，则12a 的值是（） A 、15 B 、30 C 、31
D 、64
2．设等差数列}{n a 的公差是d ，如果它的前n 项和2
n S n -=，那么（） A 、2,12-=-=d n a n B 、2,12=-=d n a n C 、2,12-=+-=d n a n
D 、2d ,1n 2a n =+-=
3．已知等差数列}{n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列，则=2a （） A 、—4 B 、—6 C 、—8
D 、—10
4．已知数列}{n a 的通项公式为,,n 211a n -=||||||21n n a a a S +++= 设,
10S 则的值为（）
A 、25
B 、50
C 、100
D 、150
5．等比数列}{n a 中前m 项和为20，前2m 项和为80，则前3m 项和为（） A 、100 B 、180 C 、260
D 、140
6．等差数列}{n a 中，8310,120a a S +=那么的值为 7．已知数列}{n a 的通项公式为32-=n a n ，其前n 项和是S n ，则数列
}{
n
S n
的前10项和为
8．在等差数列}{n a 中，满足n S a a a ,0,73174>=且是数列}{n a 的前n 项和，当S n 取得最大值时，则n= ．
9．设}{n a 是一个公差为)0(≠d d 的等差数列，它的前10项和S 10=110，且421,,a a a 成等比数列．（1）证明：d a =1
（2）求公差d 的值和数列}{n a 的通项公式．
10．数列}{n a 中，,531=
a 数列1
n n a 12a --= ),2(*∈≥N n n 数列n b 满足n b =
1
a 1n - )(*
∈N n （1）求证数列}{n b 是等差数列
（2）求数列}{n a 中的最大项和最小项，并说明理由．
等差数列与等比数列作业
日期姓名完成时间成绩
1．等差数列24．22．20…的前项n S 的最大值是（） A 、154 B 、156 C 、158
D 、160
2．设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若
3163=S S ，则12
6S S
等于（） A 、103
B 、
31 C 、8
1
D 、9
1
3．若}{n a 是等差数列，首项0,0,020082007200820071<⋅>+>a a a a a ，则使前n 项和
0>n S 成立的最大自然数n 是（）
A 、4013
B 、4014
C 、4015
D 、4016
4．等差数列}{n a 中，1952=+a a ，==15,40a S 则 5．等差数列}{n a 的项数为奇数，其中奇数项之和S 奇=44，偶数项之和S 偶=33，则项数m= ．
6．数列}{n a 的前n 项和为,102n n S n -=求数列|}{|n a 的前n 项之和．
教师评语：。