高一数学几何第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
8.1第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征(课件)高一数学(新教材人教版必修第二册)
3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周， 所得的几何体是由( )
A．一个圆台，两个圆锥构成 B．两个圆台，一个圆锥构成 C．两个圆柱，一个圆锥构成 D．一个圆柱，两个圆锥构成 D 解析：旋转形成的几何体是由中间一个圆柱、两端各一个圆 锥组合而成的．
× 提示：根据不同的角度可以得到如下几种情况：
①圆内有一个正方形；②圆内接一个矩形；③圆内有一个矩形．
1．圆锥的侧面展开图是( A．长方形 C．圆
) B．扇形 D．三角形
B 解析：沿圆锥一条母线剪开得到圆锥的侧面展开图是扇形．
2．正方形 ABCD 绕对角线 AC 所在直线旋转一周，所得的组合 体是( )
探究题 4 一个圆台的母线长为 12 cm，两底面面积分别为 4π cm2 和 25π cm2，求：
(1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长．
解：(1)设圆台的轴截面为等腰梯形 ABCD，如 图所示，过 A 作 AM⊥BC 于 M.
由已知可得 O1A＝2 cm，OB＝5 cm. 又 因 为 腰 长 为 12 cm ， 所 以 高 AM ＝ 122－5－22＝3 15(cm)． (2)如图所示，延长 BA，OO1，CD，交于点 S，设截得此圆台的 圆锥的母线长为 l cm.由△SAO1∽△SBO，可得l－l12＝52，解得 l＝20， 即截得此圆台的圆锥的母线长为 20 cm.
第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体
的结构特征
第一阶段 课前自学质疑
高中数学课件 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、简单组合体的结构特征
旋转轴 轴：_______叫做圆 垂直 矩形的一边 柱的轴.底面：_____ 以___________ 于轴的边 _________旋转而成的 所在直线为旋 平行于 圆面.侧面：_______ 转轴,其余三边 轴的边 圆柱 _______旋转而成的曲 旋转形成的面 面.母线：无论旋转到 所围成的旋转 不垂直于 什么位置,_________ 体 轴的边 圆柱 _______.柱体：_____ 和棱柱 _______统称为柱体
2.一个正方体内有一个内切球,作正方体的对角面,所得截面
图形是下图中的 .
【解题指南】1.可以参照给出的截面图形,推断截面位置,从 而判断截面是否存在,也可列举几种不同位置的截面的图形进 行对照,逐一排除. 2.根据球与各面的切点为各面的中心判断.
【解析】1.在与圆柱底面垂直的截面中,随着截面位置的变化, 截面图形也会发生变化.当截面经过圆柱的轴时,所截得的图 形是图(1).当截面不经过圆柱的轴时,截得的图形是图(3).而 图(2)(4)是不会出现的. 答案：(1)(3) 2.正方体的对角面为矩形,所以①错误;④为正方体内接于球 的截面,错误;正方体的内切球与棱不相切,故③错误. 答案：②来自 2.下面的说法正确的有.
①空间中到定点的距离等于定长r的点的集合,构成半径为r的 球面; ②空间中到定点的距离等于定长r的点的集合,构成半径为r的 球; ③一个圆绕其直径旋转半周所形成的曲面围成的几何体是球; ④球的对称轴有无数条,对称中心也有无数个; ⑤用平面截球,随着平面角度不同,截面可能不是圆面.
(2)用一个平面截一个球,得到的是一个圆.(
(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.(
提示：(1)错误.圆台的母线延长后与轴交于一点.
(2)错误.用一个平面截一个球,得到的是一个圆面.
高一数学人必修二课件时圆柱圆锥圆台球的结构特征简单组合体的结构特征
圆台的侧面是一个曲面， 展开后是一个扇环。
圆台的母线与底面垂直， 且长度相等。
球的定义和性质
定义：球是由一个点（球心 ）和与该点距离相等的所有 点组成的几何体。
04
球心到球面上任意一点的距 离都等于球的半径。
01 03
性质
02
球的表面是一个连续且光滑 的曲面，没有平面部分。
02
圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征
解决实际问题
在解决实际问题时，可以将问题转化为简单 组合体的相关问题，利用圆柱、圆锥、圆台 和球等几何体的性质进行求解。例如，计算 物体的表面积或体积时，可以将物体视为由 这些基本几何体组成的简单组合体。
06
典型例题解析与课堂练习
典型例题解析
例题2
解析圆锥的结构特征，包括底面 、侧面、高等要素，以及如何计 算表面积和体积。
圆柱的结构特征
圆柱的底面是两个完全相等的圆 ，平行且等距。
侧面是一个曲面，展开后是一个 矩形，其中矩形的长等于圆柱底
面的周长，宽等于圆柱的高。
圆柱的轴截面是与底面平行的截 面，形状为矩形。
圆锥的结构特征
圆锥的底面是一个圆，侧面是 一个曲面。
圆锥的母线是连接顶点与底面 圆周上任意一点的直线段，所 有母线长度相等。
简单组合体的分类和特点
特点
叠加类组合体由两个或多个基本 几何体叠加而成，其特点是有明 显的分层结构，各层之间通过平 面或曲面相连。
挖切类组合体是在一个基本几何 体上进行挖切而形成的，其特点 是具有空心结构或内部包含其他 几何形状。
分类：根据组合方式的不同，简 单组合体可分为叠加类组合体、 挖切类组合体和综合类组合体。
例题4
解析球的结构特征，包括球面、 球心、半径等要素，以及如何计 算表面积和体积。
高中数学8-1基本立体图形第2课时圆柱圆锥圆台球与简单组合体的结构特征课件新人教A版必修第二册
(4)球：①旋转图形为半圆；②旋转轴为直径；③由半圆面旋转一周围成的几何体．
2．处理台体问题常采用什么思想？处理组合体问题常采用什么思想？
[提示] 处理台体问题常采用还台为锥的补体思想，处理组合体问题常采
用分割思想．
3．简单旋转体的轴截面有什么作用？应用其解题体现了什么思想？
[提示]
【例3】
一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和
25π cm2，求：
(1)圆台的高；
[解]
(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm．
又由题意知腰长为12 cm，
所以高AM＝ 122 − 5 − 2
＝3 15(cm)．
2
(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．
3
4
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征各有哪些？
[提示]
(1)圆柱：①旋转图形为矩形；②旋转轴为矩形的一边；③由旋转形成的曲面
围成的几何体．
(2)圆锥：①旋转图形为直角三角形；②旋转轴为一条直角边；③由旋转形成的曲面围
成的几何体．
(3)圆台：①所截几何体为圆锥；②截面与底面平行．圆台也可看作是由直角梯形绕其
示，如图中的
球可表示为___
球O
思考 1．如图，在圆柱中任取不重合的两条母线，如AB，CD，它们
有何关系？过它们的截面是怎样的图形？AC是母线吗？
[提示]
AB綉CD，截面ABCD是矩形．AC不是母线．
思考 2．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体
都是圆锥吗？
[提示]
不一定．必须以直角边所在直线为轴．若以斜边所在直线
1.1 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 简单组合体的结构特征
过轴SO作截面,如图.
则△SO'A'∽△SOA,SA'=3 cm,∴������������������������' = ������������'������������',
∴3
3+������
=
������ 4������
=
14.解得
种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
3.做一做:将图甲所示的三角形绕直线l旋转一周,可以得到图乙
所示的几何体的是
.(填序号)
图甲
答案:②
图乙
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
旋转体的结构特征
例1下列命题正确的是
.(填序号)
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是
圆锥;
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和
定 义
截面之间的部分叫做圆台;圆台也可以看 成是以直角梯形中垂直于底边的腰所在直 线为旋转轴,将直角梯形经旋转轴旋转一周
而形成的旋转体是圆台
轴:旋转轴叫做圆台的轴;
相 关 概 念
底面:垂直于轴的边旋转一周所形成的 圆面叫做圆台的底面; 侧面:不垂直于轴的边旋转一周所形成的 曲面叫做圆台的侧面; 母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的
提示:AB∥CD,截面ABCD是矩形.AC不是母线.
一二三四五
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课前篇 自主预习
3.关于圆柱的结构特征,请完成下表:
圆柱及相关概念
图形及表示
定 义
以矩形一边所在直线为旋转轴,其余 三边旋转形成的面所围成的旋转体叫 做圆柱
高中数学必修2立体几何优质课件：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征与简单组合体的结构特征
[对点训练] 1．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意
两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线 的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个 截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是 ________．
解析：(1)正确，圆柱的底面是圆面； (2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是 一个矩形面；
5. 如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝ 45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到 一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．
解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体 拼接而成的．
答案：D
2.右图是由哪个平面图形旋转得到的( )
解析：图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形 绕图中虚线旋转360°得到． 答案：A 3．等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°，所得几何 体是________． 答案：圆锥
4．如图所示的组合体的结构特征为________．
解析：该组合体上面是一个四棱锥，下面是一个四棱柱， 因此该组合体的结构特征是四棱锥和四棱柱的一个组合 体． 答案：一个四棱锥和一个四棱柱的组合体
(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点； (4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才 是旋转体． 答案：(1)(2)
简单组合体 [例2] 观察下列几何体的结构特点，完成以下问题：
(1)图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出 几何图形，可旋转该图形180°后得到几何体①；
(2)图②所示几何体结构特点是什么？试画出几何图形， 可旋转该图形360°得到几何体②；
圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征与简单组合体的结构特征
【知识梳理】
旋转 体
2023年人教A版高一第二册 立体几何圆柱、圆锥、圆台、球的 结构特征,简单组合体的结构特征
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3．圆台的上、下底面半径分别为5 cm， 10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中 点M拉一条绳子绕圆台侧面转到下底A点，如 图．求：
(1)绳子的最短长度； (2)当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子 的最短距离．
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2．下列组合体是由哪些几何体组成的？
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解：(1)由两个几何体组合而成，分别为球、圆柱． (2)由三个几何体组合而成，分别为圆柱、圆台、圆柱． (3)由三个几何体组合而成，分别为圆锥、圆柱、圆台．
解：可把圆柱展开两次，如图，
则 AB′即为所求． AB＝2，BB′＝2×2π×1＝4π， ∴AB′＝ AB2＋BB′2 ＝ 4＋16π2＝2 1＋4π2. ∴蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋4π2.
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求旋转体表面上两点间的距离的方法 求从旋转体的表面上一点，沿旋转体表面运动到另一点， 所走过的最短距离，常常将旋转体沿某条母线剪开，使两点展 在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题．
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2．如图，第一排中的图形绕虚线旋转一周，能形成第二 排中的某个几何体．请把一、二排中相应的图形用线连起来．
答案：(1)—C (2)— B (3)—D (4)—A
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人教高中数学必修第二册 第8章 1.基本立体图形 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征考点学习目标核心素养圆柱、圆锥、圆台、球的概念理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体直观想象简单组合体的结构特征了解简单组合体的概念和基本形式直观想象旋转体中的计算问题会根据旋转体的几何体特征进行相关运算直观想象、数学运算问题导学预习教材P101－P104的内容，思考以下问题：1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？3．这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征(1)圆柱的结构特征定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆柱的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边柱体：圆柱和棱柱统称为柱体(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图1所示．(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图3所示．(2)圆锥的结构特征定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边锥体：圆锥和棱锥统称为锥体■名师点拨(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．(2)平行于底面的截面都是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图3所示．(3)圆台的结构特征定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分图示及相关概念轴：圆锥的轴底面：圆锥的底面和截面侧面：圆锥的侧面在底面和截面之间的部分母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分台体：圆台和棱台统称为台体(1)圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点．(2)平行于底面的截面是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图3所示．(4)球的结构特征定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图示及相关概念球心：半圆的圆心半径：半圆的半径直径：半圆的直径■名师点拨(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面．(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝R2－d2.2．简单组合体(1)概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)两种构成形式①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．()(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．()(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．()(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√下列几何体中不是旋转体的是()解析：选D.由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体．过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案：B可以旋转得到如图的图形的是()解析：选A.题图所示几何体上面是圆锥，下面是圆台，故平面图形应是由一个直角三角形和一个直角梯形构成．指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．解：①是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的；②是由一个圆柱和两个圆台组合而成的；③是由一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的．圆柱、圆锥、圆台、球的概念(1)给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．(2)给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．其中正确说法的序号是________．【解析】(1)①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．(2)根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．【答案】(1)①②(2)①④(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．判断下列各命题是否正确．(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(3)到定点的距离等于定长的点的集合是球．解：(1)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(2)正确．(3)错误．应为球面．简单组合体的结构特征如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.【答案】 A[变条件、变问法]若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形．(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．解：(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示．(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示．(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图③所示．(4)以AD边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．旋转体中的计算问题如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．【解】设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示，则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.所以SA ′SA ＝O ′A ′OA ，所以33＋l ＝r 4r ＝14.解得l ＝9，即圆台O ′O 的母线长为9 cm.解决旋转体中计算问题的方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．[注意] 在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．1．已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm ，2 cm ，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm ，则圆台的母线长为________．解析：如图是圆台的轴截面，由题意知AO ＝2 cm ，A ′O ′＝1 cm ，SA ＝12 cm.由A ′O ′AO ＝SA ′SA ，得SA ′＝A ′O ′AO ·SA ＝12×12＝6(cm)．所以AA ′＝SA －SA ′＝12－6＝6(cm)．所以圆台的母线长为6 cm.答案：6 cm2．轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r ，则其轴截面面积为________． 解析：由圆锥的结构特征可知，轴截面为等腰直角三角形，其高为r ，所以S ＝12×2r 2＝r 2.答案：r 21．如图所示的图形中有( )A ．圆柱、圆锥、圆台和球B ．圆柱、球和圆锥C ．球、圆柱和圆台D ．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B.根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B.2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能是() A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱答案：D3．下列说法中正确的是________．①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．解析：①错误，连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，所以①不正确．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．答案：②4．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高h为________cm.解析：h＝20cos 30°＝20×32＝103(cm)．答案：10 35．如图所示，将等腰梯形ABCD绕其底边所在直线旋转一周，可得到怎样的空间几何体？该几何体有什么特点？解：若将等腰梯形ABCD绕其下底BC所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以AD为母线，BC所在的直线为轴的圆柱和两个分别以AB，CD为母线的圆锥组成的几何体，如图(1)所示．若将等腰梯形ABCD绕其上底AD所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以BC 为母线，AD所在的直线为轴的圆柱中两底分别挖去以AB，CD为母线的两个圆锥得到的几何体，如图(2)所示．[A基础达标]1．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是() A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析：选D.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周，如图，钝角△ABC中，AB边最小，以AB为轴，其他两边旋转一周，得到的几何体是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥．故选D.2．如图所示的组合体的结构特征是()A．一个棱柱中截去一个棱柱B．一个棱柱中截去一个圆柱C．一个棱柱中截去一个棱锥D．一个棱柱中截去一个棱台解析：选C.如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得．3．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形解析：选D.该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．4．如图，将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是()A．圆锥B．圆锥和球组成的简单组合体C．球D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单组合体答案：D5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A．①②B．①③C．④D．①⑤解析：选D.一个圆柱挖去一个圆锥，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．6．如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法：①由一个长方体割去一个四棱柱构成．②由一个长方体与两个四棱柱组合而成．③由一个长方体挖去一个四棱台构成．④由一个长方体与两个四棱台组合而成．其中正确说法的序号是__________．解析：该组合体可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱构成的，也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的．答案：①②7．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝42－r2.·2r·h＝r42－r2＝8，所以r2＝8，所以h＝2 2.由题意可知12答案：2 28．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.解析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，交OB 于点C .在Rt △ABC 中，AC ＝12 cm ，BC ＝8－3＝5 (cm)．所以AB＝122＋52＝13(cm)． 答案：13 9．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．10．一个圆锥的高为2 cm ，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．解：如图轴截面SAB ，圆锥SO 的底面直径为AB ，SO 为高，SA 为母线，则∠ASO ＝30°.在Rt △SOA 中，AO ＝SO ·tan 30°＝233(cm)． SA ＝SO cos 30°＝232＝433(cm)． 所以S △ASB ＝12SO ·2AO ＝433(cm 2)． 所以圆锥的母线长为433cm ，圆锥的轴截面的面积为433cm 2. [B 能力提升]11．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )A ．2B ．2π C.2π或4π D.π2或π4解析：选C.如图所示，设底面半径为r ，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr ＝4，所以r ＝2π.所以选C.12．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm ，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r ＝6，其中∠ABO ＝30°，所以该地球仪的半径R ＝6cos 30°＝ 4 3 cm.答案：4 313．圆锥底面半径为1 cm ，高为 2 cm ，其中有一个内接正方体，这个内接正方体的棱长为________cm.解析：圆锥的轴截面SEF 、正方体对角面ACC 1A 1如图．设正方体的棱长为x cm ，则AA 1＝x cm ，A 1C 1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ，则SO ＝ 2 cm ，OE ＝1 cm.因为△EAA 1∽△ESO ，所以AA 1SO ＝EA 1EO ，即x 2＝1－22x 1. 所以x ＝22，即该内接正方体的棱长为22 cm. 答案：2214．一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示)．由已知可得上底半径O 1A ＝2 cm ，下底半径OB ＝5 cm ，又因为腰长为12 cm ，所以高AM ＝122－（5－2）2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. [C 拓展探究]15.如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面直径构成边长为6 m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)解：因为△ABC 为等边三角形，所以BC ＝6，所以l ＝2π×3＝6π，根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：n π×6180＝6π， 故n ＝180°，则∠B ′AC ＝90°，所以B ′P ＝36＋9＝35(m)，所以小猫所经过的最短路程是3 5 m.。
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形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．
轴：旋转轴叫做圆柱的轴；
底面：垂直于轴的边
侧面
底面
旋转而成的圆面叫做
圆柱的底面； 侧面：平行于轴的边 旋转而成的曲面叫做
母线 轴 底面
圆柱的侧面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都 叫做圆柱侧面的母线． 表示方法：圆柱用表示它的轴的字母表示，如圆柱O′O.
（1）底面是圆面. （2）侧面展开图是以母线长为半径的扇形面. （3）母线相交于顶点. （4）平行于底面的截面是与底面平行且半径不相等 的圆面. （5）轴截面是等腰三角形面．
探究点3
圆台的结构特征
圆柱、圆锥可以看作是由矩
形或三角形绕其一边所在直 线旋转而成，圆台是否也可
看成是某图形绕轴旋转而成？
O′
【变式练习】
有下列说法： ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球的直径是球面上任意两点间的连线； ③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．
① 其中正确说法的序号是________ ．
[解析] 利用球的结构特征判断： ①正确； ②不正确， 因为直径必须过球心； ③不正确， 因为得到的是一个圆面．
O
圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与 截面之间的部分叫做圆台．如图：
上底面 母线
O′
侧面 下底面
轴
表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆台
O′O.
【变式练习】
圆台的母线 A．平行 C．与高相等 ( B ) B．相等 D．与底面平行
[解析]圆台的母线延长线交于一点，则 A 项不正确；圆台 的母线大于高，则 C 项不正确；圆台的母线与底面相交， 则 D 项不正确；很明显 B 项正确．
【解析】选B.以等腰梯形的较长的底边所在的直线为旋转 轴.则相当于两个直角三角形分别绕它的一直角边旋转得 两个圆锥.还有一个矩形绕它的一边旋转得圆柱.所以选B.
5.说出下列几何体的主要结构特征.
四棱锥、四棱柱拼接 圆锥、圆台拼接
简单几何体的结构特征
柱体
锥体
台体
球
棱柱
圆柱
棱锥
圆锥
棱台
圆台
简单几何体的分类：
探究点2
圆锥的结构特征
顶点 S
母 线 轴 侧 面
A
O B
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转
轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆
锥.如图：
母线 侧面 顶点
轴
底面
请仿照圆柱中的相关定义给出圆锥中的相关定义.
表示方法：圆锥也用表示它的轴的字母表示，如圆锥 SO.
【提升总结】
圆锥具有的几何结构特征
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是( D ) A．①② B．②③ C．①③ D．②④
3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面， 这个几何体不可能是( D ) A．圆锥 C．球 B．圆柱 D．棱柱
[解析]棱柱的任何截面都不可能是圆面．
4.（2014·成都高一检测）将一个等腰梯形绕着它的较长的 底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ B ） A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 的结构特征
观察下面的图片, 这些图片 中的物体具有怎样的形状?我们如 何描述它们的形状?
特点：组成几何体的 面不全是平面图形.
旋转体：
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋
转所形成的封闭几何体.
1.理解圆柱、圆锥、圆台和球的相关概念.（重点）
2.掌握圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征.（难点）
B.以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转一周所得的
旋转体为圆柱
C.圆柱、圆锥、棱锥的底面都是圆
D.有一个面为多边形，其他各面都是三角形的几何体
是棱锥
2．给出下列命题： ①圆柱的母线与它的轴可以不平行； ②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆 心三点的连线都可以构成直角三角形； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的 连线是圆台的母线；
棱柱 多面体 棱锥 棱台 简单几何体 圆柱 圆锥 旋转体 圆台 球
不论去往何方，身后永远有不变的祝福， 凝注的眼光——母校用宽大的胸怀包容我们， 等待我们，期许我们。
探究点4球的结构特征如何描述它们具有的共同结构特征？ 球：以半圆的直径所在直线为旋 转轴，半圆面旋转一周形成的旋
转体叫做球体，简称球．
O
半径
球心
球心：半圆的圆心叫做球的球心.
半径：半圆的半径叫做球的半径. 直径：半圆的直径叫做球的直径. 表示方法：球常用表示球心的字母表示，如球O.
直径 球心
O
半径
3.培养学生的空间想象能力和抽象概括能力.
底面
旋转轴
探究点1
圆柱的结构特征
A′ O′
A
O
母线
侧面
圆柱的结构特征
（1）底面是平行且半径相等的圆面. （2）侧面展开图是矩形面. （3）母线平行且相等.
（4）平行于底面的截面是与底面平行且半径相等的圆面. （5）轴截面是矩形面． 圆柱: 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转
探究点5
简单组合体的结构特征
走在街上会看到一些物体，它们的主要几何结构 特征是什么？
由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体．认识它 们的结构特征要注意整体与部分的关系．
圆柱
圆台
圆柱
【变式练习】 1.由简单几何体拼接而成，如图.
2.由简单几何体截去或者挖出一部分组成，如图.
1.下列命题是正确命题的是（ A ） A.以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一 周所得的旋转体为圆锥