与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析无答案
数学初三平行四边形中常做的辅助线
数学初三平行四边形中常做的辅助线一、平行四边形的对角线平行四边形有两条对角线，我们可以通过引入对角线来研究平行四边形的性质。
首先，我们可以证明平行四边形的对角线互相平分。
具体证明如下：设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，连接OA、OB、OC 和OD。
由于平行四边形的两对边分别平行且相等，所以可以得到AO=CO，BO=DO。
又由于AO=CO，BO=DO，所以AOBO和CODA都是菱形。
因为菱形的对角线互相平分，所以AC和BD互相平分。
利用对角线平分的性质，我们可以得到平行四边形中很多有用的结论。
例如，当平行四边形的两对角线相等时，它是一个矩形；当平行四边形的两对角线垂直且相等时，它是一个正方形。
二、平行四边形的中位线平行四边形的中位线是连接相邻两边中点的线段。
通过引入中位线，我们可以研究平行四边形的对应边的关系。
具体来说，我们可以得到以下结论：1. 平行四边形的中位线互相平行且相等；2. 平行四边形的中位线平分平行四边形的面积；3. 平行四边形的中位线长度等于对应边长度的平均值。
三、平行四边形的高线平行四边形的高线是从一个顶点到与对立边垂直相交的线段。
通过引入高线，我们可以研究平行四边形的高度和底边的关系。
具体来说，我们可以得到以下结论：1. 平行四边形的高线互相平行；2. 平行四边形的高线长度相等；3. 平行四边形的高线长度等于底边长度乘以对应高度的比值。
四、平行四边形的角平分线平行四边形的角平分线是从一个内角的顶点到对立边上的一点并且与对立边相交的线段。
通过引入角平分线，我们可以研究平行四边形的内角之间的关系。
具体来说，我们可以得到以下结论：1. 平行四边形的角平分线互相平行；2. 平行四边形的角平分线平分对立角，即对立内角的两个角平分线相交于对立边上的一点。
五、平行四边形的中心连线平行四边形的中心连线是连接两对对边中点的线段。
通过引入中心连线，我们可以研究平行四边形的对角线之间的关系。
与平行四边形有关的常用辅助线作法归类
与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）⑴连结BF ⑵DE BF =⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==, ∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF =图2图1ECAAB第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ）A 111<<mB 222<<mC 1210<<mD 65<<m解：将线段DB 沿DC 方向平移，使得CE DB =,BE DC =,则有四边形CDBE 为平行四边形,∵在ACE ∆中, 12=AC ,10==BD CE ,m AB AE 22==∴101221012+<<-m ，即2222<<m 解得111<<m 故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知：如左下图3，四边形ABCD 为平行四边形求证：222222DA CD BC AB BD AC +++=+证明：过D A ,分别作BC AE ⊥于点E ，BC DF ⊥的延长线于点F∴BC BE BC AB BE BC BE AB CE AE AC ⋅-+=-+-=+=2)(22222222 CF BC BC CD CF BC CF CD BF DF BD ⋅++=++-=+=2)()(22222222 则BE BC CF BC DA CD BC AB BD AC ⋅-⋅++++=+22222222∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD 且CD AB =,BC AD =∴DCF ABC ∠=∠ ∵090=∠=∠DFC AEB∴DCF ABE ∆≅∆ ∴CF BE = ∴222222DA CD BC AB BD AC +++=+图4图3KDCFBB第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
专题二：平行四边形常用辅助线的作法(精排版)
平行四边形几何辅助线的作法补充中位线定理、三角形相似的性质及判定第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可） ⑴连结BF ⑵DE BF = ⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==,∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF =图2图1OOECCDDEF练习1：如图1，E 是平行四边形ABCD 中AD 延长线上一点，ED 交BC 于F ，求证：。
简证：连BD ，由图易得（同底等高），（同底等高）所以，所以，即。
第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2 如图2，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AC=a+b ，BD=a+c （），AB=m ，求m 的取值范围。
简解：要求AB 的值，需把AC 、BD 、AB 集中在一个三角形中，过C 作CE ∥DB 交AB 的延长线于E ，由图易得DBEC 是平行四边形，所以，，即，在△ACE 中，，即。
练习2：如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ，10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ）A 111<<mB 222<<mC 1210<<mD 65<<m 解：将线段DB 沿DC 方向平移，使得CE DB =,BE DC =,则有四边形CDBE 为平行四边形,∵在ACE ∆中,12=AC ,10==BD CE ,m AB AE 22==∴101221012+<<-m ，即2222<<m 解得111<<m 故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
常见四边形辅助线
常见四边形辅助线做法一．和平行四边形有关的辅助线作法1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.2．利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.3．利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.例5如图，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.（3）与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6 如图，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.例7如图，过正方形ABCD 的顶点B 作BE//AC ，且AE=AC ，又CF//AE.求证：∠BCF=21∠AEB.5.与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型： （1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形； （2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形； （4） 延长两腰构成三角形； （5）作两腰的平行线等.例8 已知，如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=AC ，∠BAC=90°，BD=BC ，BD 交AC 于点0.求证：CO=CD.例9 如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E.求DE的长.6.和中位线有关辅助线的作法例10 如图11，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.综合练习1. （1）如图1所示，在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与BD 相交于点O ，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结EF ，分别交AC 、BD 于点M N 、，试判断OMN △的形状，并加以证明；（2）如图2，在四边形ABCD 中，若AB CD ，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ；练习 1、为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方，政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖，其中不能．．进行平面镶嵌的是（ ）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形2、如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ）A ．1B ．34C ．23D ．2图 1 图2 图3BFBACD EFMNO3、把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．4、如图，在矩形ABCD 中，BC =20cm ，P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ =x cm(0x ≠)，则AP =2x cm ，CM =3x cm ，DN =x 2cm ．（1）当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边,以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．5．如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连结DE 并延长，交AB 的延长线于F 点，AB BF =．添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（ ）A ．AD BC =B ．CD BF =C ．A C ∠=∠D ．F CDE ∠=∠6.如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =5．过对角线交点Ｏ作OE ⊥AC 交AD 于E ，则AE 的长是（ ） A ．1.6 B ．2.5 C ．3 D ．3.47. 如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．D C A BGHFE A B D C P Q MN 题48. 如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于A ． 70° B.65° C. 50° D. 25°作业1．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列式子中一定成立的是 A ．AC ⊥BD B ．OA=OC C ．AC=BD D ．AO=OD ( )2．如图，平行四边形的周长为cm 28，∆ABC 的周长是cm 22，则AC 的长为( )A ．cm 6B ．cm 12C ．cm 4D ．cm 83．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=5，AB=3，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE 、EC 的长度分别为A ．2和3B ．3和2C ．4和1D ．1和44．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有A ．1种B ．2种C第1题O DB AC第2DBAC第3题EDBAEDBC′FCD ′A 第8题图EBAFCD第5题图第6题图第7题图C ．3种D ．无数种 ( )5．平行四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是( )A ．4：3：3：4B ．7：5：5：7C ．4：3：2：1D ．7：5：7：56．如图，在平行四边形ABCD 中，延长BA 至E ， 下列各式不一定成立的是( )A ．∠1+∠2=1800B ．∠2+∠3=1800C ．∠3+∠4=1800D ．∠2+∠4=18007．两个全等的不等边三角形，可以拼成（不许重叠）形状不同的平行四边形的个数最多为A ．2B ．3C ．4D ．58．已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作为它的两条对角线长的是A ． 10与16B ．12与16C ．20与22D ．10与40 ( )9．如图，EF 过平行四边形ABCD 对角线的交点O ，并交AD 于E ，交BC 与F ，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD 的周长是( )A ．16B ．14C ．12D ．1010．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点O 在BD 上，则图中面积相等的平行四边形有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对11．在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD 的周长为40，则S 平行四边形ABCD ．GC第10题O DB A EF C第11题 DBAEFE C第9题 ODBAFE C第6题1DA 243B12．自平行四边形65角的顶点作平行四边形的两条高，则这两条高的夹角为 ．13．O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，∆ABO 的面积为52cm ，则这个平行四边形的面积为 ．14．如图，等腰∆ABC 中，AB=AC ，AB=8cm ，D 为BC 上任意一点，DE ∥AC ，DF ∥AB ，则平行四边 形AEDF 的周长为 ．15．在平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，AB ：BC=1：2，则∠AMD=16．平行四边形ABCD 一个内角平分线把一条边分成cm 4和cm 5两段，则平行四边形ABCD 的周长为 ．C第14题D BA EF。
初中几何常见辅助线和题型(无答案)
一、角平分线半垂直，补全垂直试试看，角平分线加垂线，三线合一试试看1、已知，△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AD延长线于点E，EF∥AC交AB于点F.求证：AF =FB2、已知，如图△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于D.求证：∠BAD=∠CAD +∠C3、已知，如图Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CD⊥BE交BE延长线于点D.求证：BE=2CD4、已知，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AD，∠EAD=∠BAD.求证：AB=AE+CE5、已知，如图△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 于E . 求证：)(21AB AC BE -=6、(2011•大连25)已知，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ,点D 在线段BC 上，∠C=2∠EDB ，BE ⊥DE ，垂足为点E ，DE 与AB 相交于点F . (1)求∠EBF .(2)探究BE 与FD 的数量关系，并证明.二、证明线段和差倍，截长补短试试看1、如图，在△ABC 中，81BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+.求ABC ∠的度数.2、已知△ABC 中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．3、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN∠=︒，射线MN与DBA∠外角的平分线交于点N，试判断DM与MN有怎样的数量关系，并证明.4、如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN DM⊥且与ABC∠外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？并证明你的结论.5、已知：如图，ABCD是正方形，∠F AD=∠F AE.求证：BE+DF =AE.6、如图所示，△ABC 是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上. 求AMN ∆的周长．7、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°. 求证：AD 平分∠CDE .8、已知：如图，ABCD 是正方形，∠EAF=45°，且∠EAF 两边交BC 、CD 分别于E 、F 两点.求证：BE +DF =EF .9、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=BC=8，点E 为BC 边上一点，且BE=2，∠EAD=45°. 求DE 的长.10、如图，在△OAB 和△O ′CD 中(O ′ 在线段OA 上)，∠A ＜90°，OB=O ′D ，∠AOB=∠CO ′D ，∠OAB 与∠O ′CD 互补，试探索线段AB 与CD 的数量关系，并证明你的结论.11、已知：∠BAC=90°，AB=AC ，AD=DC ，AE ⊥BD . 求证：∠ADB=∠CDE12、(2006•大连模拟26)如图，Rt △ABC 中，AB=AC ，点D 、E 是线段AC 上两动点，且AD=EC ，AM ⊥BD ，垂足为M ，AM 的延长线交BC 于点N ，直线BD 与直线NE 相交于点F .试判断△DEF 的形状，并加以证明.13、如图1-1，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 在边BC 上，且BD=CE ，连结AD ，当∠BAD=13∠BAC ， CF ⊥AD ，交AB 于点F ，点G 为垂足，直线EF 交直线AD 、AC 分别于点H 、M . (1)在图1-1中，∠BAD= °，∠DAC= °. (2)如图1-1，猜想△HDE 的形状，并证明你的结论.(3)若点D 、E 在直线BC 上，如图1-2，其它条件不变，试判断△HAM 与(2)中△HDE 的形状是否相同，若不相同，说明理由；若相同，请证明.14、(2012•大连25)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=2∠BCD=2a ，点E 在AD 上，点F 在DC 上，且∠BEF=∠A .（1）∠BEF=_____(用含a 的代数式表示)；（2）当AB=AD 时，猜想线段EB 、EF 的数量关系，并证明你的猜想；七、要想证明是切线，半径垂线仔细添1、已知：如图，⊙O 的直径AB=8cm ，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ．（图1-2）(1) 若∠ACP=120°，求阴影部分的面积； (2)若点P 在AB 的延长线上运动，∠CP A 的平分线交AC 于点M ，∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数．2、已知：如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，OC=BC ，OB AC 21． (1)求证：AB 是⊙O 的切线； (2)若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD 的长． (3)在(2)的条件下，求图中的阴影面积.3、如图，以等腰△ABC 中的腰AB 为直径作⊙O ，交底边BC 于点D ，交AC 边于点E ．过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ． (1)求证：DF 为⊙O 的切线； (2)若∠A=60°，AB=8，求DF 的长. (3)在(2)的条件下，求图中的阴影面积.4、如图，点A 、B 、F 在⊙O 上，∠AFB=30°，OB 的延长线交直线AD 于点D ，过点B 作BC ⊥AD 于C ，∠CBD=60°，连接AB . (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若BC=3，求⊙O 的直径.5、如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B . (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.6、已知：如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 是边BC 的中点．以BD 为直径作⊙O ，交边AB 于点P ，联结PC ，交AD 于点E ． (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若PC 是⊙O 的切线，BC = 8，求DE 的长．7、已知：如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF ⊥AC 于F 交AB 的延长线于G . (1)求证：FG 是⊙O 的切线；(2)求AD的长.8、如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE于C，过C作CD⊥AE于D，DC的延长线与AB的延长线交于点P .(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)若AE=5，BE=6，求DC的长.9、如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于E，DA平分∠BDE.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长.10、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)联结EF ，求BD AC的值.11、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC ，E 是垂足. (1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)如果AB=5，12DE CE ，求CE 的长.12、已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA =∠AOE ，交AB 的延长线于点D . (1)求证：FD 是⊙O 的切线；(2)设OC 与BE 相交于点G ，若OG=2，求⊙O 半径的长； (3)在（2）的条件下，当OE=3时，求图中阴影部分的面积. 的弦，过点O 作AB 的平行线，交⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足∠D =∠ACB .(1)判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若⊙O的半径等于5，AB=8，求CD的长.14、已知：如图，在△ABC中，∠ACB =90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，过B、D、E三点作⊙O．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)设⊙O交BC于点F，连结EF，若BC=9，CA=12.求EFAC的值.15、已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠F AE，ED⊥AF交AF的延长线于点C．(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长．16、如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交于点F，且CF=9，BF：AF=32，求EF的长．17、(2012•大连23) 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F.(1)猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；(2)若AB=6，AD=5，求AF的长.八、有k倍，比线段，截图相似平行线1、如图，点E是BC上一点，BE=k•EC，∠BAE=∠CDE.猜想AB、CD的数量关系，加以证明.2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB= k•AC，CD∥BA，点P是BC上一点，连结AP，过点P做PE⊥AP交CD于E.探究PE与P A的数量关系，并加以证明.3、如图，在△ABC中，AB= k•AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于点P.探究PE与PD的数量关系，并加以证明.4、如图，在△ABC中，∠DBC+∠ECB=∠A，BD、CE交于点P，P B= k•PC.探究BE与CD的数量关系，并加以证明.5、如图，BD平分∠EBC，D′是BD上一点，且BD=k•BD′，连结D′C、DE，并延长DE至点A，使得EA=ED，且∠ABE=∠C.探究AB与CD′的数量关系，并加以证明.6、如图，CB=CD，∠ABC+∠CDE=180°，AB= k•DE.探究AF与EF的数量关系，并加以证明.7、如图，在△ABC中，AC=BC，P为AB上一点，且AP= k•PB，∠EPF+∠C=180°.探究PE与PF的数量关系，并加以证明.8、如图，AD是△ABC的中线，AB= k•AC，点E是AC延长线上一点，且∠AEF=∠BAD，EF交BA延长线于点F.探究AE与AF的数量关系，并加以证明.9、(2012•大连25)如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=2∠BCD=2a ，点E 在AD 上，点F 在DC 上，且∠BEF=∠A .（1）∠BEF=_____(用含a 的代数式表示)；（2）当AB=AD 时，猜想线段EB 、EF 的数量关系，并证明你的猜想； （3）当AB ≠AD 时，将“点E 在AD 上”改为“点E 在AD 的延长线上，且AE ＞AB ，AB=mDE ，AD=nDE ”，其他条件不变（如图2），求EB EF的值（用含m 、n 的代数式表示）。
平行四边形题型和辅助线(完美打印版)
平行四边形题型和辅助线(完美打印版)平行四边形是一种特殊的四边形，具有以下性质：两组对边分别平行，两组对边分别相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，邻角互补。
在判定平行四边形时，可以选择不同的方法。
常见的考点包括利用平行四边形的性质求解角度、线段长和周长，求解某边的取值范围，以及综合计算问题。
另外，还可以利用平行四边形的性质证明角相等、线段相等和直线平行，或利用判定定理证明四边形是平行四边形。
在解决平行四边形问题时，常用的辅助线方法包括：连对角线或平移对角线，过顶点作对边的垂线构造直角三角形，连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线，连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形，以及过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
平行四边形包括矩形、正方形和菱形，它们的两组对边、对角和对角线都具有相同的性质。
因此，在处理平行四边形问题时，可以将其转化为常见的三角形、正方形等问题处理，以达到更好的解决效果。
例如，在证明平行四边形的性质时，可以连对角线或平移对角线，或通过构造直角三角形和线段平行或中位线等方法，将问题简化为常见的三角形或线段问题。
这样可以更加方便地解决问题，提高解题效率。
四、构造相似或等积三角形例7：在正方形ABCD中，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF交于P，证明AP=AB。
证明：连接AP、BP，由于BE=EF，CF=DF，所以三角形BEP和CFP相似，即EP/FP=BE/CF=1，所以EP=FP，又因为EP=AB/2，所以AP=AB。
例8：在平行四边形ABCD中，E、F分别是DC、DA上一点，AE=CF，AE与CF交于P，证明PB平分∠APC。
证明：连接AP、BP、CP，由于AE=CF，所以△AEP和△CFP全等，即∠APE=∠CPF，又因为AB∥CD，所以∠APE=∠BPC，所以∠XXX∠XXX，即PB平分∠APC。
平行四边形辅助线的常见添法
平行四边形辅助线的常见添法1. 什么是平行四边形？在几何学中，平行四边形是一种特殊的四边形，它具有两对对立边分别平行。
一个平行四边形有以下特点： - 两对对立边分别平行 - 对立角相等 - 对角线互相平分在解决几何问题时，我们经常需要在平行四边形中绘制一些辅助线来帮助我们理解和解决问题。
接下来，我们将介绍一些常见的平行四边形辅助线的添法。
2. 垂直平分线垂直平分线是指通过一个角的顶点并垂直于对立边的直线。
在一个平行四边形中，通过任意一个内角的顶点作垂直于对立边的直线可以将该对立边等分为两个相等部分。
3. 中位线中位线是指连接两个相邻顶点并且与对立边中点重合的直线。
在一个平行四边形中，通过连接两个相邻顶点并且与对立边中点重合的直线可以将该平行四边形分成两个面积相等的三角形。
4. 对角线对角线是指连接两个非相邻顶点的直线。
在一个平行四边形中，通过连接两个非相邻顶点的直线可以将该平行四边形分成两个对角线互相平分的三角形。
5. 高线高线是指从一个顶点到对立边的垂直距离。
在一个平行四边形中，通过从一个顶点到对立边的垂直距离可以找到该平行四边形的高。
6. 平行四边形的性质除了上述常见的添法外，平行四边形还具有一些其他重要性质： - 相邻内角互补- 对立内角互补 - 相邻外角互补 - 对立外角互补 - 内角和为180度 - 外角和为360度这些性质使得我们在解决几何问题时可以利用平行四边形的特性来简化问题或者得出结论。
7. 总结通过本文介绍，我们了解了常见的平行四边形辅助线的添法。
这些辅助线可以帮助我们更好地理解和解决平行四边形相关的几何问题。
同时，我们也了解到平行四边形具有一些重要的性质，这些性质在解决几何问题时起到了关键作用。
希望通过本文的介绍，读者对于平行四边形辅助线的常见添法有了更深入的理解，并能够在实际问题中灵活运用。
专题04 平行四边形几何辅助线(专题详解)(原卷版)
专题04 平行四边形几何辅助线专题详解专题04 平行四边形几何辅助线专题详解 (1)1 平行四边形 (2)知识框架 (2)方法1 分类讨论思想 (2)一、动态讨论 (2)（1）1个点的移动 (2)（2）2个点的移动 (2)二、高的位置的讨论 (3)（1）过点作下（上）侧边的高 (3)（2）过点右（左）侧边的高 (3)三、求平行四边形第4点坐标 (3)方法2 平行四边形的面积 (4)一、利用面积解决问题 (4)二、方程思想 (4)方法3 构造中位线 (4)一、连接法 (4)（1）连接两中点 (5)（2）知一中点，取另一中点 (5)（3）知两中点，构双中位线 (5)二、倍长法 (5)（1）倍长垂直于角平分线的线段 (6)（2）倍长线段 (6)2 特殊的平行四边形 (7)知识框架 (7)方法1 矩形的折叠问题 (7)方法2 构造斜边上的中线 (8)一、连中点 (8)二、取中点 (9)方法3 60°的菱形模型 (9)方法4 利用菱形的对称性解题 (10)方法5 正方形的典型模型 (10)一、a=2b型 (11)二、a=2b型 (11)三、a±b=c型 (11)四、a±b=2c型 (12)方法6 构造正方形 (12)一、利用45°角构造正方形 (12)二、利用四边形构造正方形 (13)三、利用直角三角形构造正方形 (13)方法7 运用正方形的性质求坐标 (13)方法8 动点问题的研究 (14)1 平行四边形知识框架{ 分类讨论思想{ 动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4个点的坐标平行四边形的面积{利用面积解决问题方程思想构造中位线{连接法{连接两中点知一中点，取另一中点知两中点，构双中位线倍长法{倍长垂直于角平分线的线段倍长线段 方法1 分类讨论思想分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4点坐标一、动态讨论解题技巧：点在线段的不同位置，也会造成不同的结果（1）1个点的移动如下图，1个点C 在直线AB 上移动，会出现3种情况：①在线段AB 左侧；②在线段AB 当中；③在线段AB 右侧，具体见例1.（2）2个点的移动如下图，2个点C 、D 在线段AB 上移动（C 、D 两点在AB 中），会出现2种情况：①点C 在点D 的左侧；②点C 在点D 的右侧，具体见例2.例1.▱ABCD的内角∠BCD的平分线CE交射线DA于点E，若AE=3，DE=4，求▱ABCD的周长。
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平行四边形有关的常用辅助线作法
第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）
图2
图1
E
C
A
A
B
第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ）
A 111<<m
B 222<<m
C 1210<<m
D 65<<m
第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知：如左下图3，四边形ABCD 为平行四边形
求证：2
2
2
2
2
2
DA CD BC AB BD AC +++=+
图4
图3
K
C
F
B
B
第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
例4：已知：如右上图4，在正方形ABCD 中，F E ,分别是CD 、DA 的中点，BE 与
CF 交于P 点，求证：AB AP =
第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
例5如左下图5，在平行四边形ABCD 中，点E 为边CD 上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。
图6
图5
D
B
B
F
第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线 例6已知：如右上图6，在平行四边形ABCD 中，BN AN =,BC BE 3
1
=,NE 交BD 于F ，求BD BF :
综合练习
一、一般多边行
1、如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 是四边形各边的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。
2、某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产形状如图所示的风筝，点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的中点，其阴影部分用的甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料），若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料多少匹？
3、提出问题：如图①所示，在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，△PBC 与△ABC 和△DBC 的面积之间有什么关系？
探究问题：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的，特殊的情形入手： （1）当AP=2
1
AD 时（如图②）： ∵AP=
21AD ，△ABP 和△ABD 的高相等，∴ABD ABP S S ∆∆=2
1。
∵PD=AD －AP=21AD ，△CDP 和△CDA 的高相等，∴CDA CDP S S ∆∆=2
1。
∴CDP ABP ABCD PBC S S S S ∆∆∆--=四边形
＝CDA ABD ABCD S S S ∆∆--
21
21四边形 ＝()()ABC ABCD DBC ABCD ABCD S S S S S ∆∆----四边形四边形四边形2
1
21
＝ABC DBC S S ∆∆+2
1
21 （2）当AP=3
1
AD 时，探求DBC ABC PBC S S S ∆∆∆与与之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP=6
1
AD 时，DBC ABC PBC S S S ∆∆∆和与之间的关系式为______________________； （4）一般地，当AP=n
1
AD （n 表示正整数）时，探求DBC ABC PBC S S S ∆∆∆和与之间的关
系，写出求解过程； 问题解决：当AP=
n m AD ⎪⎭
⎫
⎝⎛≤≤10n m 时，DBC ABC PBC S S S ∆∆∆和与之间的关系为_______。
① ②
二、多边形
1、如图，如果直线m 是多边形ABCDE 的对称轴，其中∠A=130°，∠B=110°，那么∠BCD 的度数等于（ ）
A 、40°
B 、50°
C 、60°
D 、70° 2、一个零件的形状如图所示，按规定∠A 应等于
90，∠B 、∠C 应分别为 21和
32，检验工人量得∠BDC= 148，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？
3、王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm 的正方形板子，另一块是上底为30cm ，下底为120cm ，高为60cm 的直角梯形板子（如图①），王师傅想将这两块板子裁剪成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE 围成的区域（如图②），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B 为一个顶点。
（1）求FC 的长。
（2）利用图②求出矩形顶点B 所对的顶点到BC 边的距离x （cm ）为多少时，矩形的面积y （2
cm ）最大？最大面积是多少？
（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。
① ②
三、平行四边形 （矩形、菱形、正方形与其相同）
1、如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF 。
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明； （2）判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由； （3）若AB=6，BD=2DC ，求四边形ABEF 的面积。
2、如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点G 、H 在DC 边上，且GH=2
1
DC 。
若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为____________。
3、如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 对角线BD 所在直线上两点，DE=BF ，请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等。
（只需研究一组线段相等即可）。
（1）连结_________；（2）猜想：_____________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）。
4、如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，连结DE 、BF 、BD 。
（1）求证：△ADE ≌△CBF 。
（2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论。