固体物理第一章2-精品
合集下载
固体物理答案第一章
bc
2π
b
c
2π
i
Ω
a bc a
同理
b
2π
j
b
c
2π
k
c
khkl
2π
h a
i
k b
j
l c
k
khkl
2π
h
2
k
2
l
2
a b c
d hkl
3π 16
32
a
图1.6 金刚石结构
1.7 证明：用半径不同的两种硬球构成下列稳定结构时小球半 径和大球半径之比值分别为
(1)体心立方（配位数为８）：1 r / R 0.73 ； (2)简单立方（配位数为６）：0.73 r / R 0.41 ； (3)正四面体结构（配位数为４）：0.41 r / R 0.23 ； (4)层状结构（配位数为３）：0.23 r / R 0.16 。
z
z
2 10
131
o
y
x
x
o
y
1.3 若基矢 a,b,c 构成简单正交系，试证明，晶面族（hkl）
的面间距为
dhkl
1 h 2 k 2 l 2 a b c
并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理。
证明：设
a,b,c
第一章 晶体结构和X射线衍射
1.1 指出立方晶格（111）面与（110）面的交线的晶向。
解: 立方晶格（111）面与（110）面的交线为AB，其等效
固体物理-第一章
•
ai
aj
ak
•
•
•
•
顶角8个格点→8×1/8=1个原 子；→平均包含1个原子
原胞的体积 V a1 (a2 a3 ) a3
➢晶体的周期性
面心立方晶胞
晶
胞
的
ABC ABC 排列（立方密堆）
选
取
a1
a 2
jk
顶角8个格点→8×1/8=1个原子；面心6个原 子→6×½=3个原子；→平均包含4个原子
1.1 晶体的周期性
1.1.1 常见的晶体
沸石晶体
方沸石
化学式：RR[Alx+2ySin-(x+2y)O2n]·mH2O含水架状结 构铝硅酸盐矿物，单斜和正交（斜方）晶系为主。 式中R代表碱金属离子，基本上为K+或Na+。
菱沸石
纯净的各种沸石均为无色或白色，但可因混入杂质而呈各种浅色。玻璃光泽。解 理随晶体结构而异。沸石的晶体结构是由硅（铝）氧四面体连成三维的格架，格架中 有各种大小不同的空穴和通道，具有很大的开放性。碱或碱土金属子和水分子均分布 在空穴和通道中，与格架的联系较弱。不同的离子交换对沸石结构影响很小，但使沸 石的性质发生变化。晶格中存在的大小不同空腔，可以吸取或过滤大小不同的其他物 质的分子。工业上常将其作为分子筛，以净化或分离混合成分的物质 ，如气体分离、 石油净化、处理工业污染等。此外沸石还具有独特的吸附性、催化性、离子交换性， 离子的选择性、耐酸性、热稳定性、多成份性、及很高的生物活性和抗毒性等。
1.1.3 基本概念
晶体的特点：晶体具有规则 的几何外形，固定的熔 点，某些晶体具有一定 的解理性。
周期性：晶体中 微粒的排列按照 一定的方式不断 的做周期性重复 的性质，称为晶 体结构的周期性。
固体物理第一章PPT课件
简单晶格。 复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组成，同种原
子各构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而 形成复式晶格。
简单晶格
复式晶格
1.2.2 原胞
在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周 期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿
三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成 晶体，这个平行六面体即为原胞，代表原胞三个边的矢量称为
基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。
任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一
个基元中不同原子周围情况则不相同。
(2)晶格
(a)
(b)
(c)
晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有
规则地做周期性无限分布，通过这些点做三组不共面的平行直
线族，形成一些网格，称为晶格(或者说这些点在空间周期性
也可以代表基元中任意的点子。
(a)
(b)
晶格+基元=晶体结构
2.布拉维晶格、简单晶格和复式晶格
(1)布拉维晶格
格点的总体称为布拉维晶格，这种格子的特点是每点周围 的情况完全相同。
(2)简单晶格和复式晶格
简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每 个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为
cc 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4 的长度套构而成,其布拉维晶格为面心立方。
金刚石结构属面心立方，每个结晶学原胞包含4个格点。
金刚石结构每个固体物理学原胞
包含1个格点,基元由两个碳原子组成,
位于（000）和
1 1 1 4 4 4
处。
(b)氯化钠结构
cc
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。
子各构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而 形成复式晶格。
简单晶格
复式晶格
1.2.2 原胞
在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周 期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿
三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成 晶体，这个平行六面体即为原胞，代表原胞三个边的矢量称为
基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。
任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一
个基元中不同原子周围情况则不相同。
(2)晶格
(a)
(b)
(c)
晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有
规则地做周期性无限分布，通过这些点做三组不共面的平行直
线族，形成一些网格，称为晶格(或者说这些点在空间周期性
也可以代表基元中任意的点子。
(a)
(b)
晶格+基元=晶体结构
2.布拉维晶格、简单晶格和复式晶格
(1)布拉维晶格
格点的总体称为布拉维晶格，这种格子的特点是每点周围 的情况完全相同。
(2)简单晶格和复式晶格
简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每 个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为
cc 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4 的长度套构而成,其布拉维晶格为面心立方。
金刚石结构属面心立方，每个结晶学原胞包含4个格点。
金刚石结构每个固体物理学原胞
包含1个格点,基元由两个碳原子组成,
位于（000）和
1 1 1 4 4 4
处。
(b)氯化钠结构
cc
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。
精品课件-固体物理基础教程(贾护军)-第1章
8
第1章 结晶学理论 1.1.3 体心立方结构
如果同种原子在每一层内都是正方排列的，只是第二层原 子的投影正好都位于第一层原子的间隙位置，如图1.4所示， 以此方式重复排列就得到了体心立方结构(BodyCentredCubic， BCC结构)。它的一个典型的重复单元如图1.5所示。可以看到， 这时在立方体的八个顶角和体心位置上各有一个相同的原子， 它与图1.3所示的氯化铯结构的最大区别就是后者在体心位置 上是另一种原子。那么体心立方结构也可以理解成是由所有奇 数层和偶数层原子分别组成的SC结构体心套构而成的，但是应 该注意，由于晶体中同种原子的不可区分性，一般不采用这种
2
第1章 结晶学理论 1.1.1 简立方结构
图1.1给出了同种原子在一层内的一种最简单的排列形式， 即正方排列。如果把这样的原子层严格地重复堆积成三维结构， 即每一层原子的投影都严格重合，就构成了所谓简立方结构 (SimpleCubic，SC结构)，其典型的重复单元如图1.2所示。 这是为了研究晶体结构的共性而进行的一种数学上的抽象，可 以理解为一个立方体的八个顶角上各有一个相同的原子，整个
3
第1章 结晶学理论
图1.1 同种原子在层内的正方排列
4
第1章 结晶学理论
图1.2 简立方结构的重复单元
5
第1章 结晶学理论 常识告诉我们，显然这种结构是不稳定的，因而自然界中
不会存在这种结构的晶体。尽管近来在实验室中发现，放射性 元素钋(Po)会临时以简立方结构的形式存在，但随即发生衰 变，这与我们的结论是不矛盾的。
向距离为
处各有一个Na3原a 子。于是Na晶体中所有Na原子
是完全等效的，即Na晶体的基2 元中就只含有一个Na原子。类
似地，Cu原子组成的FCC结构中所有Cu原子也是完全等效的，
第1章 结晶学理论 1.1.3 体心立方结构
如果同种原子在每一层内都是正方排列的，只是第二层原 子的投影正好都位于第一层原子的间隙位置，如图1.4所示， 以此方式重复排列就得到了体心立方结构(BodyCentredCubic， BCC结构)。它的一个典型的重复单元如图1.5所示。可以看到， 这时在立方体的八个顶角和体心位置上各有一个相同的原子， 它与图1.3所示的氯化铯结构的最大区别就是后者在体心位置 上是另一种原子。那么体心立方结构也可以理解成是由所有奇 数层和偶数层原子分别组成的SC结构体心套构而成的，但是应 该注意，由于晶体中同种原子的不可区分性，一般不采用这种
2
第1章 结晶学理论 1.1.1 简立方结构
图1.1给出了同种原子在一层内的一种最简单的排列形式， 即正方排列。如果把这样的原子层严格地重复堆积成三维结构， 即每一层原子的投影都严格重合，就构成了所谓简立方结构 (SimpleCubic，SC结构)，其典型的重复单元如图1.2所示。 这是为了研究晶体结构的共性而进行的一种数学上的抽象，可 以理解为一个立方体的八个顶角上各有一个相同的原子，整个
3
第1章 结晶学理论
图1.1 同种原子在层内的正方排列
4
第1章 结晶学理论
图1.2 简立方结构的重复单元
5
第1章 结晶学理论 常识告诉我们，显然这种结构是不稳定的，因而自然界中
不会存在这种结构的晶体。尽管近来在实验室中发现，放射性 元素钋(Po)会临时以简立方结构的形式存在，但随即发生衰 变，这与我们的结论是不矛盾的。
向距离为
处各有一个Na3原a 子。于是Na晶体中所有Na原子
是完全等效的，即Na晶体的基2 元中就只含有一个Na原子。类
似地，Cu原子组成的FCC结构中所有Cu原子也是完全等效的，
固体物理
第一章晶体结构⏹布拉菲点阵概念⏹惯用晶胞（单胞）概念⏹初基晶胞（原胞）概念⏹Wigner-Seize晶胞⏹晶体结构基元+点阵=晶体结构⏹简单的晶体结构（1）sc，bcc，fcc结构的特征（2）金刚石结构（3）六角密堆积结构（4）NaCl结构（5）CsCl结构⏹晶列, 晶向, 晶面, 晶面族, 晶面指数, 密勒指数, 晶面间距晶面指数（hkl)的定义和求法方向指数[abc]的定义和求法⏹对称操作⏹7种晶系和14种布拉菲点阵1以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的简立方和面心立方晶体中的原子数之比。
2证明立方晶系的晶列[hkl]与晶面族(hkl)正交3某元素晶体的结构为体心立方布拉菲格子，试指出其格点面密度最大的晶面系的密勒指数，并求出该晶面系相邻晶面的面间距4在立方晶胞中画出（122），（001），（10），（210）晶面和[122]5晶体中可以独立存在的8种对称元素是：、、、、、、、。
⏹布拉格定理⏹倒易点阵初基矢量公式⏹布里渊区的求法（二维正方格子和长方格子）⏹实验衍射方法（劳厄法、转动晶体法和粉末法）⏹倒易点阵矢量和晶面指数间的关系1考虑晶体中一组互相平行的点阵平面（hkl），（a）证明倒易点阵矢量G（hkl）=hb1+kb2+lb3垂直于这组平面（hkl）；（b）证明两个相邻的点阵平面间的距离d（hkl）为2从体心立方铁的（110）平面来的X-射线反射的布喇格角为22º，X-射线波长λ=1.54Å。
试计算铁的立方晶胞边长；(b）从体心立方结构铁的(111)平面来的反射的布喇格角是多少？答案：a）a=2.91Å；b）θ=27.28º3对于点阵常数为a的二维六角点阵，（a）写出正点阵的初基矢量；（b ）计算倒易点阵的初基矢量；（c ）画出第一、第二、第三布里渊区；（d ）计算第一布里渊区的体积。
4半导体材料Si 和Ge 单晶的晶体点阵类型为 ，倒易点阵类型为 ，第一布里渊区的形状为 ，每个 原子的最近邻原子数为 。
固体物理讲义第一章
固体物理讲义第一章前言：固体物理学是用自然科学的基本原理从微观上解释固体的宏观性质并阐明其规律的科学课程的主要内容晶体的物理性质与内部微观结构以及其组成粒子（原子、离子、电子）运动规律之间的关系●晶体结构（基于X射线衍射）●晶体结合与晶体缺陷●晶格振动（基于统计物理和量子力学研究固体热学性质）●固体能带论（基于量子力学和统计物理研究固体的导电性）第一章晶体结构内容：晶体中原子排列的形式及其数学描述主要包括:●晶体的周期结构●十四种布拉菲格子和七大晶系●典型的晶体结构●晶面和米勒指数●晶体的对称性固体的性质取决于组成固体的原子以及它们的空间排列。
例如同为碳元素组成的石墨（导体）、碳60和金刚石就有明显不同的特性。
1.1晶体的周期结构晶体结构的特征：周期性组成晶体的粒子（原子、分子、离子或它们的集团）在空间的排列具有周期性（长程有序、平移对称性*）对称性晶体的宏观形貌以及晶体内部微观结构都具有自身特有的对称性。
晶体可以看成是一个原子或一组原子以某种方式在空间周期性重复平移的结果。
晶体内部原子排列具有周期性是晶体的主要特征，另一个特征是由周期性所决定的对称性（表现在晶体具有规则的外形）。
周期排列所带来的物理后果的讨论是本课程的中心。
（对称性最初是用来描述某些图形或花样的几何性质，后来经过推广、加深，用它表示各种物理性质/物理相互作用/物理定律在一定变换下的不变性。
在这里，我们主要关注的是对称性最初的、狭义的意义，即几何图形和结构（不管有限还是无限）的对称性。
虽然眼睛看不到晶体中的原子，但是原子的规则排列往往在晶体的一些几何特征上明显的反映出来。
实际上，人们最初正是从大量采用矿物晶体的实践中，观察到天然晶体外型的几何规则性，从理论上推断晶体是由原子作规则的晶格排列所构成。
后来这种理论被X衍射所证实。
）布拉菲空间点阵和基元●为了描述粒子排列的周期性，把基元抽象为几何点，这些点的集合称为布拉菲点阵。
布拉菲点阵的特点：所有格点是等价的，即整个布拉菲点阵可以看成一个格点沿三个不同的方向，各按一定的周期平移的结果●格点：空间点阵中周期排列的几何点●基元：一个格点所代表的物理实体●空间点阵：格点在空间中的周期排列在理想的情况下，晶体是由全同的原子团在空间无穷重复排列而构成。
固体物理第一章第二节 自由电子气体的热性质
2
6
Q( )(k BT ) 2
准确到二级近似，略去高次项得：
I Q( )+
2
6
Q( )(k BT ) 2
取：
H g ( )
则：I = n
此外,我们已知,化学势 和T0时的费米 能量0F非常接近,所以，我们可以将Q()在0F 附近展开，即
1 0 0 Q( ) Q( )+( - )Q( ) ( - F ) 2 Q( F )+ 2
0 F 0 F 0 F
此外,对于I=n有：
0 F
H ( ) g ( )
0 F
（1） 代入下式，并只取到一级近似
1 0 0 Q( ) Q( )+( - )Q( ) ( - F ) 2 Q( F )+ 2
0 F 0 F 0 F
0 0 0 Q F H ( F ) g ( F )
d Q( ) Q( ) ( g ( )) 0 F d
0 F
代入
I Q( )+
Q( )(k BT ) 2 得到： 6
2 0 F
2
其中
d 2 u u0 ( ) g ( ) [ g ] 0 (kBT ) F 6 d
0 F 0 F
1.计算单位体积电子的能量
自由电子气体在一般温度下单位体积的总能 量（内能）为：
u g ( ) f ( )d
０
这又是费米积分形式
I H ( ) f ( )d
０
且我们已知上式近似为
I Q( )+
0 F
2
6
0 F
Q( )(k BT ) 2
固体物理阎守胜第一章_金属自由电子气体模型
费 米 球
费米面： 费米能， 费米动量， 费米速度， 费米温度
2 kF EF 2m 2
pF kF
vF
kF m
TF
EF kB
由于
N 2
1 4 3 V 4 3 kF 2 3 kF k 3 8 3
N k 3 3 2 n V
3 F 2
自由电子气体模型中仅有的一个独立参量：
k2 E (k ) 2m
2
皆与波矢有关
p k
p k v m m
Born-von Karman边界条件
( x, y, z ) ( x L, y, z ) ( x, y, z ) ( x, y L, z ) ( x, y, z ) ( x, y, z L)
2. 对于电子受到的散射或碰撞，简单地用弛豫时间 描述。在dt时间内，电子受到碰撞的几率为 dt / ， 大体
相当于相继两次散射间的平均时间。
在外加电场E情况下，自由电子的运动满足含时 薛定谔方程
2 2 e (r , t ) i (r , t ) 2m
固体通常指在承受切应力时具有一定程度刚 性的物质，包括晶体、准晶体和非晶态固体。 固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子 组成？它们是怎样排列和结合的？这种结构是如何 形成的？在特定的固体中，电子和原子取什么样的 具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动 形态有什么联系？各种固体有哪些可能的应用？探 索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。
(1.1.3)
•自由电子近似使 V (r ) 为常数势，可简单地取为零。 则方程（1.1.3）成为：
2
2m
2 (r ) E (r )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
个晶面簇； （3）每一个晶面簇都将晶体中所有的格点包含无遗。
一个晶面族的特征有：
1、晶面方位 2、晶面间距
由晶面指数决定
➢ 晶面指数：一个晶面的标志，就是要指明它的空 间方位。一个晶面的空间方位，由该晶面在三个 坐标轴上的截距完全决定。与这三个截距的倒数 相对应的三个互质整数，称为该晶面的晶面指数。 晶面指数有两种，基于单胞基矢坐标系的晶面指 数称为密勒指数，基于原胞基矢坐标系的晶面指 数称为面指数。
指数简单的面是最重要的晶面，如（100）、（110）、（111）之类。 这些面指数低的晶面系，其面间距d 较大，原子层之间的结合力弱，晶 体往往在这些面劈裂，成为解理面，一般容易显露。如Ge、Si、金刚石 的解理面是（111）面，而III-V族化合物半导体的解离面是（110）面。
[111]
双层 ➢ 立方晶胞的体对角线[111]方向， 与之垂直的晶面为（111）面；
第一章(2) 晶体结构
1.7 晶向、晶面和它们的标志 1.8 倒格子 1.9 布里渊区
1.7 晶向、晶面和它们的标志
一、晶列
➢ 定义
布拉菲格子的格点可以看作分列在一
系列相互平行的直线系上，这些直线
系称为晶列。同一个格子可以形成方
向不同的晶列。
R
➢ 性质
（1）任一晶列上都有无穷多个格点； （2）任一晶列都有无穷多条相互平行的晶列，构成一
c o s
rr a,n
d
/
a h
r r
cos b,n
d
/
b k
r r
cos c,n
d
/
c l
rr rr rr
考虑到正交坐标系有： c o s 2a ,n c o s 2b ,n c o s 2c ,n 1
（2）晶面的密勒指数和面指数，使用起来各有所长。密勒指数所用的 坐标系比较简单，单胞基矢坐标系的坐标轴大多是相互垂直的， 因此密勒指数比较容易确定。面指数在数学解析分析中具有很多 优越的性质。如面指数直接给出的是距离原点最近的晶面，在计 算晶面间距时比较简单。根据情况不同，两种晶面指数的方便程 度不同。
若选用自然长度单位a1、a2、a3分别等于1，则有：
rr rr rr
c o s a 1 ,n : c o s a 2 , n : c o s a 3 , n h 1 : h 2 : h 3
即晶面指数之比等于晶面法线方向与各坐标轴夹角的余弦之比。
h1、h2、h3的数值可以由晶面族（h1 h2 h3）中任一晶面在基矢坐标轴上的截距来求出。
➢ （111）面为一个双层密排面，双
双层
层面内部相互作用强，两个相邻双
层面之间相互作用弱，在晶体生长、
晶面解理、化学腐蚀等情况下，表
双层
面往往有倾向成为（111）面的趋
势。
金刚石晶格中的双层密排面
另一方面，因为一晶系包含了所有的格点（原子），因此， 面间距大的晶体，格点的面密度必然大。若用表示格点 （原子）的体密度，则格点面密度与面间距的关系为：
➢ 晶向指数（原胞）：
如果从一个格点沿晶向到最近邻格点的位移矢量为
u u u r u u r u u r u u r O R l1 a 1 l2a 2 l3a 3
则晶向就用 l1l2 l3 来标志，称为晶向指数。 l1l2 l3 晶列上格点的周期为：
u r u u r u u r u u r R l l1a1l2a2l3a3
➢ 晶向指数（晶胞）： 如果从一个格点沿晶向到最近邻格点的位移矢量为 marnbrpcr，则晶
向就用 m n p 来标志（m、n、p为互质的整数），称为晶向指数。
（1）提到方向，并不是单指某个个别的直线，而是指符合平移对称性而完全等价的一族平行直线。 （2）指数大的方向，如[157]，其单位长度上的原子数比指数小的，如[111]，方向的要少些。
a 1 h1 c o s
rr a1,n
d
a 2 h 2 c o s
rr a2,n
d
a 3 h 3 c o s
rr a3,n
d
a2
r n
od
a1
a1/h1
晶面指数的意义
c o sa r1 ,n r:c o sa r2 ,n r:c o sa r3 ,n r h 1:h 2:h 3 a 1 a 2 a 3
➢ 等效晶面：由于单胞具有旋转对称性，某些 非平行的平面按旋转对称性可能是等价的， 这些平面称为等效晶面，可用同一个密勒指
数概括，用 h1h2h3 表示。
（1）简单立方晶格中一个晶面的密勒指数是和晶面法线的晶 向指数完全相同的，这给确定晶面指数提供了一个简单 途径。
（2）与立方边[100]、面对角线[110]和体对角线[111]垂直的 晶面分别为（100）、（110）、（111）面。
1 0 1
1 0 1
1 1 0
1 1 0
0 1 1
[110]及其等效晶向 0 1 1
等效晶向表示为<110>
体心立方元素晶体，[111]方向上的结晶学周期为多少？实际周期为多大？
解答：结晶学的晶胞，其基矢为a、b、c，只考虑由格矢R=ha+kb+lc构成 的格点。因此，体心立方元素晶体[111]方向上的结晶学周期为： u r r r r rrr R l h a k b lc a a a 3 a
由此得： c o sa r1 ,n r:c o sa r2 ,n r:c o sa r3 ,n r1:1:1 r a 1 s a 2 ta 3
与上式相比较，有
h1
:
h2
:
h3
1: r
1:1 st
晶面指数不仅可以标志晶面族，还可用以得出晶面系中相邻晶面的面间距和不同晶面 系中两个晶面之间的夹角。例如对于简单正交晶格，选晶胞基矢作为坐标轴，其密勒 指数可写为（hkl），有
由于一个晶面族包含了所有的格点，而任意两点间所
通过的平行晶面数总是整数。截距为 l , m , n 的晶面系
中，总有两个晶面分别通过基矢的两端，从而这个晶
面系把基矢a1、a2、a3分别截成h1、h2、h3个等长的 小段。由右图看出，该晶面系中离原点最近的晶面的
截距分别为a1/h1、a2/h2，a3/h3，若用n表示该晶面系 的法线，d表示该晶面系的面间距，有
a
三、晶面（crystal plane or lattice plane）
➢ 定义：布喇菲格子的格点还可以看成分列在平行等距的平面系上，这 样的平面称为晶面。同一个格子可以有无穷多方向不同的晶面系。
（100）
（110）
（111）
立方晶格中的（100）、（110）、（111）面
➢ 性质：
（1）任一晶面上都有无穷多个格点； （2）任一晶面都有无穷多个相互平行的晶面，构成一
➢ 等效晶向：由于单胞具有某些旋转对称性，晶体在 某些晶向上的性质可能是完全相同的，这些晶向称 为等效晶向，统称一组等效晶向时用 l1 l 2 l3 表示。
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
C
o
A
B
立方边OA的晶向： [100] 面对角线OB的晶向：[110] 体对角线OC的晶向：[111]
（2）通常u是a的分数的倍数，v是b的分数倍，表示为：
u a
,
v b
,
w c
（3）其倒数为
a u
,
b v
,
c w
（4）然后乘以公因子，使其简化为一组最小的整数， 这组最小的整数称为该平面的密勒指数，用 （hkl）表示。
p
y
x
举例说明
设u=2a，v=b，w=c，则
ua, bv ,
晶面族：晶面平行等距
1、确定面指数的方法
uur uur uur 在原胞基矢坐标系中，若一个晶面在三个基矢 a1,a2,a3 方向上的截距的倒数，
约化为三个互质的整数
h1 , h2，, h放3 在圆括号中
h1h，2 h用3 来标志该晶面。
放在圆括号中的这一组三个互质整数
h1h2就h3称 为该晶面的面指数。
d
知道了晶体的体密度，求出面间距，即可求出（h k l）面 的面密度。原子密度大的晶面，对射线的散射强，因而指 数简单的晶面系在X射线衍射中往往为照片中的亮点所对 应的晶面。
A
d
Ad A
2、确定密勒指数的方法
若一个晶面在单胞基矢坐标系的三个基矢方向上的截距分别
rr r 为 ua,vb,wc，用三个数字 u,v, w 就可以标志晶面的空间方
001 010
1 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
[100]及其等效晶向 等效晶向表示为<100>
立方晶格的等效晶向
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
[111]及其等效晶向 等效晶向表示为<111>
设晶面族（h1 h2 h3）中离开原点的距离等于d（为整数）的晶面在三个基矢坐标轴上
的截距分别为ra1、sa2、ta3，则有：
r r
rr
ra1 n ra1 cos a1, n d
r r
rr
sa2 n sa2 cos a2 , n d
r r
rr
ta3 n tas cos a3 , n d
w c
2,1,1
其倒数为
一个晶面族的特征有：
1、晶面方位 2、晶面间距
由晶面指数决定
➢ 晶面指数：一个晶面的标志，就是要指明它的空 间方位。一个晶面的空间方位，由该晶面在三个 坐标轴上的截距完全决定。与这三个截距的倒数 相对应的三个互质整数，称为该晶面的晶面指数。 晶面指数有两种，基于单胞基矢坐标系的晶面指 数称为密勒指数，基于原胞基矢坐标系的晶面指 数称为面指数。
指数简单的面是最重要的晶面，如（100）、（110）、（111）之类。 这些面指数低的晶面系，其面间距d 较大，原子层之间的结合力弱，晶 体往往在这些面劈裂，成为解理面，一般容易显露。如Ge、Si、金刚石 的解理面是（111）面，而III-V族化合物半导体的解离面是（110）面。
[111]
双层 ➢ 立方晶胞的体对角线[111]方向， 与之垂直的晶面为（111）面；
第一章(2) 晶体结构
1.7 晶向、晶面和它们的标志 1.8 倒格子 1.9 布里渊区
1.7 晶向、晶面和它们的标志
一、晶列
➢ 定义
布拉菲格子的格点可以看作分列在一
系列相互平行的直线系上，这些直线
系称为晶列。同一个格子可以形成方
向不同的晶列。
R
➢ 性质
（1）任一晶列上都有无穷多个格点； （2）任一晶列都有无穷多条相互平行的晶列，构成一
c o s
rr a,n
d
/
a h
r r
cos b,n
d
/
b k
r r
cos c,n
d
/
c l
rr rr rr
考虑到正交坐标系有： c o s 2a ,n c o s 2b ,n c o s 2c ,n 1
（2）晶面的密勒指数和面指数，使用起来各有所长。密勒指数所用的 坐标系比较简单，单胞基矢坐标系的坐标轴大多是相互垂直的， 因此密勒指数比较容易确定。面指数在数学解析分析中具有很多 优越的性质。如面指数直接给出的是距离原点最近的晶面，在计 算晶面间距时比较简单。根据情况不同，两种晶面指数的方便程 度不同。
若选用自然长度单位a1、a2、a3分别等于1，则有：
rr rr rr
c o s a 1 ,n : c o s a 2 , n : c o s a 3 , n h 1 : h 2 : h 3
即晶面指数之比等于晶面法线方向与各坐标轴夹角的余弦之比。
h1、h2、h3的数值可以由晶面族（h1 h2 h3）中任一晶面在基矢坐标轴上的截距来求出。
➢ （111）面为一个双层密排面，双
双层
层面内部相互作用强，两个相邻双
层面之间相互作用弱，在晶体生长、
晶面解理、化学腐蚀等情况下，表
双层
面往往有倾向成为（111）面的趋
势。
金刚石晶格中的双层密排面
另一方面，因为一晶系包含了所有的格点（原子），因此， 面间距大的晶体，格点的面密度必然大。若用表示格点 （原子）的体密度，则格点面密度与面间距的关系为：
➢ 晶向指数（原胞）：
如果从一个格点沿晶向到最近邻格点的位移矢量为
u u u r u u r u u r u u r O R l1 a 1 l2a 2 l3a 3
则晶向就用 l1l2 l3 来标志，称为晶向指数。 l1l2 l3 晶列上格点的周期为：
u r u u r u u r u u r R l l1a1l2a2l3a3
➢ 晶向指数（晶胞）： 如果从一个格点沿晶向到最近邻格点的位移矢量为 marnbrpcr，则晶
向就用 m n p 来标志（m、n、p为互质的整数），称为晶向指数。
（1）提到方向，并不是单指某个个别的直线，而是指符合平移对称性而完全等价的一族平行直线。 （2）指数大的方向，如[157]，其单位长度上的原子数比指数小的，如[111]，方向的要少些。
a 1 h1 c o s
rr a1,n
d
a 2 h 2 c o s
rr a2,n
d
a 3 h 3 c o s
rr a3,n
d
a2
r n
od
a1
a1/h1
晶面指数的意义
c o sa r1 ,n r:c o sa r2 ,n r:c o sa r3 ,n r h 1:h 2:h 3 a 1 a 2 a 3
➢ 等效晶面：由于单胞具有旋转对称性，某些 非平行的平面按旋转对称性可能是等价的， 这些平面称为等效晶面，可用同一个密勒指
数概括，用 h1h2h3 表示。
（1）简单立方晶格中一个晶面的密勒指数是和晶面法线的晶 向指数完全相同的，这给确定晶面指数提供了一个简单 途径。
（2）与立方边[100]、面对角线[110]和体对角线[111]垂直的 晶面分别为（100）、（110）、（111）面。
1 0 1
1 0 1
1 1 0
1 1 0
0 1 1
[110]及其等效晶向 0 1 1
等效晶向表示为<110>
体心立方元素晶体，[111]方向上的结晶学周期为多少？实际周期为多大？
解答：结晶学的晶胞，其基矢为a、b、c，只考虑由格矢R=ha+kb+lc构成 的格点。因此，体心立方元素晶体[111]方向上的结晶学周期为： u r r r r rrr R l h a k b lc a a a 3 a
由此得： c o sa r1 ,n r:c o sa r2 ,n r:c o sa r3 ,n r1:1:1 r a 1 s a 2 ta 3
与上式相比较，有
h1
:
h2
:
h3
1: r
1:1 st
晶面指数不仅可以标志晶面族，还可用以得出晶面系中相邻晶面的面间距和不同晶面 系中两个晶面之间的夹角。例如对于简单正交晶格，选晶胞基矢作为坐标轴，其密勒 指数可写为（hkl），有
由于一个晶面族包含了所有的格点，而任意两点间所
通过的平行晶面数总是整数。截距为 l , m , n 的晶面系
中，总有两个晶面分别通过基矢的两端，从而这个晶
面系把基矢a1、a2、a3分别截成h1、h2、h3个等长的 小段。由右图看出，该晶面系中离原点最近的晶面的
截距分别为a1/h1、a2/h2，a3/h3，若用n表示该晶面系 的法线，d表示该晶面系的面间距，有
a
三、晶面（crystal plane or lattice plane）
➢ 定义：布喇菲格子的格点还可以看成分列在平行等距的平面系上，这 样的平面称为晶面。同一个格子可以有无穷多方向不同的晶面系。
（100）
（110）
（111）
立方晶格中的（100）、（110）、（111）面
➢ 性质：
（1）任一晶面上都有无穷多个格点； （2）任一晶面都有无穷多个相互平行的晶面，构成一
➢ 等效晶向：由于单胞具有某些旋转对称性，晶体在 某些晶向上的性质可能是完全相同的，这些晶向称 为等效晶向，统称一组等效晶向时用 l1 l 2 l3 表示。
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
C
o
A
B
立方边OA的晶向： [100] 面对角线OB的晶向：[110] 体对角线OC的晶向：[111]
（2）通常u是a的分数的倍数，v是b的分数倍，表示为：
u a
,
v b
,
w c
（3）其倒数为
a u
,
b v
,
c w
（4）然后乘以公因子，使其简化为一组最小的整数， 这组最小的整数称为该平面的密勒指数，用 （hkl）表示。
p
y
x
举例说明
设u=2a，v=b，w=c，则
ua, bv ,
晶面族：晶面平行等距
1、确定面指数的方法
uur uur uur 在原胞基矢坐标系中，若一个晶面在三个基矢 a1,a2,a3 方向上的截距的倒数，
约化为三个互质的整数
h1 , h2，, h放3 在圆括号中
h1h，2 h用3 来标志该晶面。
放在圆括号中的这一组三个互质整数
h1h2就h3称 为该晶面的面指数。
d
知道了晶体的体密度，求出面间距，即可求出（h k l）面 的面密度。原子密度大的晶面，对射线的散射强，因而指 数简单的晶面系在X射线衍射中往往为照片中的亮点所对 应的晶面。
A
d
Ad A
2、确定密勒指数的方法
若一个晶面在单胞基矢坐标系的三个基矢方向上的截距分别
rr r 为 ua,vb,wc，用三个数字 u,v, w 就可以标志晶面的空间方
001 010
1 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
[100]及其等效晶向 等效晶向表示为<100>
立方晶格的等效晶向
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
[111]及其等效晶向 等效晶向表示为<111>
设晶面族（h1 h2 h3）中离开原点的距离等于d（为整数）的晶面在三个基矢坐标轴上
的截距分别为ra1、sa2、ta3，则有：
r r
rr
ra1 n ra1 cos a1, n d
r r
rr
sa2 n sa2 cos a2 , n d
r r
rr
ta3 n tas cos a3 , n d
w c
2,1,1
其倒数为