吉林省四平四中2019届高三第二次模拟考试卷+文科数学+Word版含答案

2019届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·肇庆统测]若复数z 满足12i1iz +=+，则z =（ ） AB ．32CD ．122．[2019·武汉六中]设集合{}2540A x x x =∈+->N ，集合[]0,2B =，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．[]0,2C ．∅D ．{}1,23．[2019·海淀八模]如图给出的是2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（ ）A ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关B ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大C ．2008年以来我国实际利用外资同比增速最大D ．2010年以来我国实际利用外资同比增速最大4．[2019·湘潭一模]已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，223S a =，则3412a a a a +=+（ ） A ．14B ．12C ．2D ．45．[2019·河南名校联考]已知函数()32f x x ax bx c =+++的图象的对称中心为()0,1，且()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,7，则b =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．[2019·肇庆统测]已知ABC △的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为（ ） A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．4155AD AB AC =+ 7．[2019·遵义联考]如图为一个几何体的三视图，则该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）A． B ．4 C．D ．58．[2019·滨州期末]已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是PF 直线与抛物线C 的一个交点，若3PF FQ =，则QF =（ ） A ．3B ．83C ．4或83D ．3或49．[2019·宁德期末]已知函数()32,0ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x x a =--有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)0,2B ．[)0,1C ．(],2-∞D ．(],1-∞10．[2019·衡水中学]如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．1πB ．12πC ．112π- D ．1142π-11．[2019·湖北联考]椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线Ω：()222210,0x y m n m n-=>>焦点相同，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号F 为左焦点，曲线Γ与Ω在第一象限、第三象限的交点分别为A 、B ，且2π3AFB ∠=，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是（ ） A ．20x y -=B ．20x y +=C．0x =D0y +=12．[2019·丰台期末]如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为（ ）AB ．1 CD ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·驻马店期中]设变量x ，y 满足约束条件：3000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为_____．14．[2019·呼和浩特调研]已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =____． 15．[2019·宜昌调研]已知直线0x y +=与圆C ：222220x y x y ++--=相交于A 、B 两点，则ACB ∠=__________．16．[2019·黄山八校联考]不等式()2cos 3sin 3a x x -≥-对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·镇江期末]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且co s co s 3co s c B b C a B +=．（1）求cos B 的值；（2）若2CA CB -=，ABC △的面积为b ．18．（12分）[2019·龙岩期末]如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别是11A D ，1CC 棱的中点．（1）证明：BN ⊥平面MCD ； （2）求三棱锥ABMN -的体积．19．（12分）[2019·海淀期末]为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核成绩为优秀的概率； （2）从图中考核成绩满足[]80,89X ∈的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率； （3）记()P a X b ≤≤表示学生的考核成绩在区间[],a b 内的概率，根据以往培训数据，规定当8510.510X P ⎛-⎫≤≥ ⎪⎝⎭时培训有效．请你根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．20．（12分）[2019·德州期末]已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，椭圆C 的离心率是12． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P ，Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP ，AQ 斜率分别为1k ，2k ，若1214k k =-，请判断直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．21．（12分）[2019·湘潭一模]已知函数()2e x f x x ax =--．（1）证明：当22ln 2a ≤-时，x 的导函数()f x '的最小值不小于0； （2）当0x >时，()1f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·哈尔滨三中]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =-，()k ∈R ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 6sin 80ρρθρθ--+=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有四个公共点，求k 的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·揭阳毕业]已知函数()22f x x a x =--+． （1）当2a =时，求不等式()2f x <的解集；（2）当[]2,2x ∈-时，不等式()f x x ≥恒成立，求a 的取值范围．2019届高三第二次模拟考试卷文科数学答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】依题意()()()()12i 1i 12i 31i 1i 1i 1i 22z +-+===+++-，∴z=C ． 2．【答案】A【解析】集合{}{}{}2540150,1,2,3,4A x x x x x =∈+-=∈-<<=>N N ，集合[]0,2B =， 则{}0,1,2AB =．故选A ．3．【答案】C【解析】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的， 因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A 错误； 我国实际利用外资规模2012年比2011年少，∴选项B 错误； 从图表中的折线可以看出，2008年实际利用外资同比增速最大， ∴选项C 正确；2008年实际利用外资同比增速最大，∴选项D 错误；故选C ． 4．【答案】A【解析】由题意得，22123S a a a =+=，2112a a =，公比12q =，则2341214a a q a a +==+，故选A ． 5．【答案】A【解析】∵函数()32f x x ax bx c =+++的图象的对称中心为()0,1，∴()()2f x f x -+=， ∴()()()()112222f f f f ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，即141a c a c +=⎧⎨+=⎩，得01a c =⎧⎨=⎩，∴()31f x x bx =++，()23f x x b '=+，又∵()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,7， ∴()()17112f f -'=-，即531b b -+=-，解得1b =，故选A ． 6．【答案】A【解析】画出图像如下图所示，故()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，故选A ． 7．【答案】C【解析】∵根据三视图得出：几何体为下图AD ，AB ，AG 相互垂直，面AEFG ⊥面ABCDE ，BC AE ∥，3AB AD AG ===，1DE =，根据几何体的性质得出：AC =GC ==5GE =，BG =，4AE=，EF =CE =故最长的为GC =．故选C ． 8．【答案】B【解析】设Q 到l 的距离为d ，则由抛物线的定义可得QF d =， ∵3PF FQ =，∴4PQ d =，1Q x >， ∴直线PF的斜率为= ∵抛物线方程为24y x =，∴()1,0F ，准线:1l x =-， ∴直线PF 的方程为)1y x =-，与24y x =联立可得53Q x =或35Q x =（舍去）， ∴58133QF d ==+=，故选B ． 9．【答案】A【解析】绘制出()f x 的图像，()f x x a =+有3个零点，令()h x x a =+与()f x 有三个交点，则()h x 介于1号和2号之间，2号过原点，则0a =，1号与()f x 相切，则()2321f x x '=-=，1x =-，1y =，代入()h x 中，计算出2a =， ∴a 的范围为[)0,2，故选A ． 10．【答案】C【解析】如下图所示，连接相邻两个小圆的交点，得四边形EFMN ，易知四边形EFMN 为正方形，设圆O 的半径为r ，则正方形EFMN 的边长也为r ，∴正方形的EFMN 的面积为2r ，阴影部分的面积为22222π2π22r rr r r ⎡⎤⎛⎫--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴阴影部分占总面积的比值为222π112π2πr r r -=-，即在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是112π-，故选C ． 11．【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为1F ，由题意点A 与点B 关于原点对称，因此1AF BF =， 又2π3AFB ∠=，∴1π3FAF ∠=； 由椭圆与双曲线定义可得12AF AF a +=，12AF AF m -=， ∴AF a m =+，1AF a m =-，根据余弦定理可得22211112cos FF AF AF AF AF FAF =+-∠， 即()()()()222π42cos 3c a m a m a m a m =++--+-，化简得22243c m a =+≥，∴离心率乘积为2c c c a m am ⋅=≥，当且仅当223m a =（1）时，去等号;由2222a b m n -=+，∴2222243c m b m n --=+，∴223b n =（2）， 再将（1）（2）代入2222a b m n -=+可得222m n =，∴双曲线的渐近线方程为0x =或0x =，故选C ． 12．【答案】C【解析】延展平面EFG ，可得截面EFGHQR ，其中H 、Q 、R 分别是所在棱的中点，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，∴1D P ∥平面EFGHQR ，由中位线定理可得AC EF ∥，EF 在平面EFGHQR 内，AC 在平面EFGHQR 外， ∴AC ∥平面EFGHQR ，∵1D P 与AC 在平面1D AC 内相交，∴平面1D AC ∥平面EFGHQR ， ∴P 在AC 上时，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点， ∵BO 与AC 垂直，∴P 与O 重合时BP 最小，此时，三角形1PBB的面积最小，最小值为122⨯故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】92【解析】作出变量x ，y 满足约束条件：3000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩可行域如图，由2z x y =+知，122zy x =-+，∴动直线122z y x =-+的纵截距2z取得最大值时，目标函数取得最大值．由300x y x y +-=⎧⎨-=⎩得33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭．结合可行域可知当动直线经过点33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭时，目标函数取得最大值3392222z =+⨯=．故答案为92． 14．【答案】21n -【解析】∵11a =，12n n n a a +=+，∴1212a a =+，2322a a =+，3432a a =+，…，112n n n a a +=﹣﹣，等式两边分别累加得：121122221n nn a a +++==+-﹣，故答案为21n-． 15．【答案】60︒【解析】圆C ：222220x y x y ++--=的圆心C ：()1,1-，半径2r =，圆心C到直线0x y +=的距离为d ==∴2AB ==，∴三角形ABC 为等边三角形，∴60ACB ∠=︒． 故答案为60︒． 16．【答案】3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令sin x t =，11t -≤≤，则原函数化为()()23g t at a t =-+-，即()()33g t at a t =-+-， 由()333at a t -+-≥-，()()21310at t t ----≥，()()()1130t at t --+-≥及10t -≤知，()130at t -+-≤，即()23a t t +≥-，（1） 当0t =，1-时（1）总成立，对01t <≤，202t t <+≤，2max332a t t -⎛⎫≥=- ⎪+⎝⎭； 对10t -<<，2104t t -≤+<，2min312a t t -⎛⎫≤= ⎪+⎝⎭，从而可知3122a -≤≤，故答案为3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）13；（2）3b =．【解析】（1）由cos cos 3cos c B b C a B +=及余弦定理得：2222222223222a c b a b c a c b c b aac ab ac+-+-+-+=，整理得22223ac a c b =+-， ∴由余弦定理得222213cos 223aca cb B ac ac +-===． （2）∵在ABC △中，()0,πB ∈，又∵1cos 3B =，∴sin B =，由2CA CB -=得2BA =，即2c =，由1sin 2S ac B ==可得3a =，由余弦定理得2222212cos 3223293b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴3b =．18．【答案】（1）见解析；（2）1．【解析】（1）证明：取1DD 的中点H ，连接AH 、HN ，∵H 、N 是中点，∴HN AB ∥，∴四边形ABNH 是平行四边形，∴AH BN ∥，∵CD ⊥平面11ADD A ，AH ⊂平面11ADD A ，∴CD AH ⊥， 又∵M 是棱11A D 的中点，∴1ADH DD M ≅△△， ∴90AHD MDH ∠+∠=︒，∴AH M D ⊥， 又CDMD D =，∴AH ⊥平面MCD ，又∵AH BN ∥，∴BN ⊥平面MCD ． （2）由题意可知A BMN N ABM V V --=， ∵HN AB ∥，∴N ABM H ABM B AMH V V V ---==， ∵AB ⊥平面11ADD A ，∴AB 是高且2AB =， 又()132212121122AMH S =⨯-⨯+⨯+⨯=△， ∴11321332B AMH AMH V S AB -=⋅=⋅⋅=△，∴三棱锥A BMN -的体积为1． 19．【答案】（1）730；（2）35；（3）见解析． 【解析】（1）设这名学生考核优秀为事件A ，由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀， ∴所求概率()P A 约为730． （2）设从图中考核成绩满足[]80,89X ∈的学生中任取2人，至少有一人考核成绩优秀为事件B ， ∵表中成绩在[]80,89的6人中有2个人考核为优∴基本事件空间Ω包含15个基本事件，事件B 包含9个基本事件 ∴()93155P B ==． （3）根据表格中的数据，满足85110X -≤的成绩有16个， ∴8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==>⎪⎝⎭． ∴可以认为此次冰雪培训活动有效．20．【答案】（1）22143x y +=；（2）过定点()1,0． 【解析】（1）由点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的离心率是12，可得22191412a b c a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可解得222431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设点P ，Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，（i ）当直线PQ 斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，（ii ）当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+， 联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()()2224384120k x kmx m +++-=， 由()()()2222226444341248430k m k m k m ∆=-+-=-+>，有2243k m +>，由韦达定理得：122843kmx x k +=-+，212241243m x x k -=+， 故()()1212121224y y k k x x ==-++，可得()()12124220y y x x +++=， 可得()()()()12124220kx m kx m x x +++++=， 整理为()()()2212124142440k x x km x x m ++++++=，故有()()22222412841424404343m km k km m k k -+-+++=++， 化简整理得2220m km k --=，解得：2m k =或m k =-，当2m k =时直线PQ 的方程为2y kx k =+，即()2y k x =+，过定点()2,0-不合题意， 当m k =-时直线PQ 的方程为y kx k =-，即()1y k x =-，过定点()1,0， 综上，由（i ）（ii ）知，直线PQ 过定点()1,0． 21．【答案】（1）见证明；（2）(],e 1a ∈-∞-． 【解析】（1）证明：()e 2x f x x a ='--， 令()e 2x g x x a =--，则()e 2x g x '=-．则当(),ln 2x ∈-∞时，()0g x '<，当()ln 2,x ∈+∞时，()0g x '>． ∴函数()g x ，即()f x '在ln 2x =取得最小值，()ln 222ln 20f a '=--≥．（2）解：当0x >时，2e 1xx ax x --≥-，即e 11x a x x x≤--+．令()()e 110x h x x x x x=--+>，则()()()()2221e 1e 11xx x x x x h x x x -----+'==．令()()e 10x x x x ϕ=-->，则()e 10x x ϕ='->． 当()0,x ∈+∞时，()x ϕ单调递增，()()00x ϕϕ>=． 则当()0,1x ∈时，()0h x '<，∴()h x 单调递减． 当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，∴()h x 单调递增． ∴()()min 1e 1h x h ==-，∴(],e 1a ∈-∞-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）()()22132x y -+-=；（2）7k >． 【解析】（1）由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=， 代入曲线2C 的极坐标方程可得222680x y x y +--+=， 因此，曲线2C 的普通方程为()()22132x y -+-=． （2）将曲线1C 的方程可化为()()2,22,2k x x y k x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，由于曲线1C 与曲线2C 有四个公共点，直线()202kx y k x --=≥与曲线2C 相交且直线()202kx y k x +-=<与曲线2C 相交，<2670k k -->，解得1k <-或7k >，<2670k k +->，解得7k <-或1k >，∴7k <-或7k >，综上所述，实数k 的取值范围是7k >． 23．【答案】（1）()4,43⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭,；（2）12a ≤-． 【解析】（1）①当2x <-时，()()22262f x x x x =-+++=+<，解得4x <-， ②当22x -≤<时，()()222322f x x x x =-+-+=--<，解得423x -<<，③当2x ≥时，()()22262f x x x x =--+=--<，解得2x ≥， 综上知，不等式()2f x <的解集为()4,43⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭,． （2）当[]2,2x ∈-时，()()()()22121f x x a x a x a =--+=-++-， 设()()g x f x x =-，则[]2,2x ∀∈-，()()()2210g x a x a =-++-≥恒成立， 只需()()2020g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩， 即60420a ≥⎧⎨--≥⎩，解得12a ≤-．。