高三数学(文科)试题试题卷

高三数学(文科)试题试题卷一．选择题（共10题，每题5分，共50分） 1．sin 42sin 72cos 42cos72+=()A ．sin 60B ．cos 60C ．sin114D ． cos1142. 已知集合{|213}A x x =+>,2{|60}B x x x =+-≤,则A B = （ ）.A [3,2)(1,2]-- .B (3,2](1,)--+∞ .C (3,2][1,2)-- .D (,3)(1,2]-∞-3．若,,,a b c R a b ∈<则下列不等式恒成立的是（ ）A ．11a b> B ．22a b < C ．2211a bc c <++ D ．ac bc < 4．在等差数列{}n a 中，若622a =，则8102a a -的值为（ ）A ．11B ．12C ．21D ．225．已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么||a b +=( )A ．3B ．2C ．4D 6．在复平面内，复数1i i+＋(1＋3i )2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7. 将函数x y sin =的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半,纵坐标保持不变，然后将所得曲线向左平移4π单位，得到()x f y =函数的图象，则()()f x =A. ⎪⎭⎫⎝⎛+42sin πx B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+82sin πx C. x 2cos D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-22sin πx 8．若数列}{n a 的前n 项的和32n n S a =-，那么这个数列的通项公式为（ ） A ．13()2n n a -=B ．113()2n n a -=⨯ C ．32n a n =- D ．13n n a -=9．函数||1x y a =-(1)a >的大致图像是（ ）10．定义在R 上的函数f(x)满足()(2)f x f x =+，当]5,3[∈x 时，|4|2)(--=x x f ，则)6(s i n ),2(cos ),1(sin πf f f 的大小关系是（ ）A ．)2(cos )1(sin )6(sinf f f <<πB ．)2(cos )6(sin)1(sin f f f <<πC ．(cos 2)(sin1)(sin)6f f f π<< D ．)6(sin)2(cos )1(sin πf f f <<二．填空题（共4题，每题5分，共20分;两空的第一空2分，第二空3分） 11．已知1tan 2,tan()7βαβ=-=，则tan α= ． 12．在条件02021x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩下， 3z x y =-的最大值是13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为________.14．观察下表中的数字排列规律,则第8行的第2个数是_______;第n 行（2n ≥）第2个数是__________.三．解答题（共6题，共80分） 15．（本小题满分12分）若函数)0(cos sin sin )(2>-=a ax ax ax x f 的图象与直线m y =（m 为常数）相切，并且最小正周期为2π． （Ⅰ）求a 和m 的值；（Ⅱ）若点),(00y x A 是)(x f y =图象的对称中心，且∈0x [0,2π]，求点A 的坐标．16．（本小题满分14分）已知不等式230{|1,}x x t x x m x R -+<<<∈的解集为 （1）求t ，m 的值；（2）若函数f(x)=－x 2＋ax ＋4在区间(],1-∞上递增，求关于x 的不等式2log (32)0a mx x t -++-<的解集.17．（本小题满分14分）如图,在三棱锥S-ABC 中，平面SAC ⊥平面ABC ，且△SAC 是正三角形, △ABC 是等腰直角三角形，其中AC=CB ，O 是AC 的中点，D 是AB 的中点.(Ⅰ) 求证：OD//平面SBC; (Ⅱ) 求证:SO ⊥AB .18．（本小题满分12分）某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b 人，以后学生人数年增长率为4.9‰．该校今年年初有旧实验设备a 套,其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x 套的旧设备，（1）如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？ （2）依照(1)更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？CBAOSD19. (本小题满分14分）已知函数22()4()f x x ax a a R =-+∈． （Ⅰ）如果关于x 的不等式()f x ≥x 的解集为R ，求实数a 的最大值；（Ⅱ）设函数3()23()g x x af x =+，如果()g x 在区间(0，1)上存在极小值，求实数a 的取值范围． 20. (本小题满分14分）已知3()f x x ax =-+在(0,1)上是增函数。

（I ）求实数a 的取值的集合A ；（II ）当a 取A 中的最小值时，定义数列{}n a 满足1(0,1)a b =∈，且12()n n a f a +=试比较n a 与1n a +的大小？（III ）在（II ）的条件下，问是否存在正实数c ，使得0<ca c a n n -+<2对于一切*n N ∈恒成立？若存在，求出c 的取值范围；若不存在，说明理由。

___________高三数学(文科)试题答案一、选择题：二、填空题：11．3 12．－3 13．0 14．29；222n n -+三、解答题：15．解：（Ⅰ）21)2cos 2(sin 212sin 21)2cos 1(21)(++-=--=ax ax ax ax x f 21)42sin(22++-=πax ………………………（4分） ∵)(x f y =的图象与m y =相切.∴m 为)(x f 的最大值或最小值. 即221+=m 或221-=m ……（6分） 又因为)(x f 最小正周期为2π. 又0,222>==a a T ππ 所以2=a ……………………（8分） （Ⅱ） 即21)44sin(22)(++-=πx x f ……………………（9分） 令0)44sin(=+πx ．则)(,164)(,4400Z k k x Z k k x ∈-=∴∈=+ππππ（10分） 由0≤164ππ-k ≤,()2k Z π∈得k =1,2, 因此对称中心为)21,163(π、)21,167(π． (12)16．解：⑴ 不等式t x x +-32＜0的解集为{|1,}x x m x R <<∈∴⎩⎨⎧==+t m m 31得⎩⎨⎧==22t m⑵ f(x)=44222a a x ++--）（在(,1]-∞上递增，∴1,22a a ≥≥又0loglog)32()23(22＜x x at x mx a+--++-= ，由2≥a ，可知0＜x x 322+-＜1由2230x x -<， 得0＜x ＜23 由22310x x -+>，得x ＜21或x ＞1 故原不等式的解集为{x|0＜x ＜21或1＜x ＜23}17．(Ⅰ)证明: ∵O 是AC 的中点，D 是AB 的中点 ∴OD//BC,又BC ⊆平面SCD,OD ⊄平面SCD∴ OD//平面SBC; …………………………………6分(Ⅱ) 证明:SAC ∆是正三角形, O 是AC 的中点，∴SO AC ⊥.又∵平面SAC ⊥平面ABC ，∴SO ACB ⊥平面，∴SO AB ⊥. …………………………………12分18．解：（1）设今年学生为b 人，则10年后学生为b (1+4.9‰)10＝1.05b ,由题设可知，1年后的设备为(110%) 1.1a x a x ⨯+-=-．2年后的设备为22(1.1)(110%) 1.1 1.1 1.1(1 1.1)a x x a x x a x -⨯+-=--=-+． 3年后的设备为23232(1.1 1.1)(110%) 1.1 1.1 1.1 1.1(11.11.1)a x x x a x x x a x --⨯+-=---=-++ ……10年后的设备为1029101.1(1 1.1 1.1 1.1)1(1 1.1)2.61 1.12.616.a x a x a x ⨯-++++⨯-=-⨯-=-由题设得2.61621.05a x a b b -=⨯ ，解得132x a =．（2）全部更换旧设备还需116232aa ÷=． 答：（1）每年更换旧设备为2116a m ．（2）按此速度全部更换旧设备还需16年．19．解： （Ⅰ）()f x x ≥ 的解集为R ，22(41)0x a x a ∴-++≥恒成立2240(41)a a -≤∴∆=+，即212810a a ++≤解得11.26a -≤≤-故a 的最大值为1.6-………………………………6分 （Ⅱ）由已知可得：3222()23123g x x ax a x a =+-+ 则'22()66126()(2)g x x ax a x a x a =+-=-+令'()0g x =得x a =或2.x a =-………………………………8分（1）若0a =，则'()0g x ≥， ()g x ∴在R 上单调递增，在（0，1）上无极值； （2）若0a >，则当2x a <-或x a >时，'()0g x >；当2a x a -<<时，'()0g x < ∴当x a =时，()g x 有极小值；又 ()g x 要在区间(0，1)上存在极小值，∴01a <<………………11分 （3）若0a <，则当'2()0x a x a g x <>->或时，；当'2()0a x a g x <<-<时， ∴当2x a =-时，()g x 有极小值；又 ()g x 要在区间(0，1)上存在极小值，∴1021,02a a <-<<<∴-……14分 综上所述，当102a <<-或01a <<时，()g x 要在区间(0，1)上存在极小值 20．解：①设任意12,x x ∈(0,1),且12x x <，则33111122332112222121211222212121()()()()()()()() ()()f x f x x ax x ax x x a x x x x x x x x a x x x x x x x x a -=-+--+=-+-=-+++-=-++-由题意知：11()()0f x f x -< 且 12x x < 2221210x x x x a ∴++-<恒成立12,x x ∈(0,1) ∴ 222121x x x x ++∈(0,3) ∴ 3a ≥∴A ：[3, +∞ ]②由题意知：3a =a=3时，312()3n n n n a f a a a +==-+ ∴ 311322n n n a a a +=-+ ，n N ∈ ∴ 332113111(1)22222n n n n n n n n n a a a a a a a a a +-=-+-=-+=--由①可知313()22g x x x =-+ 在(0,1)为增函数 ∴1(0,1)a b =∈∴ 332111313131222222a a a b b =-+=-+<-+= 又 221(3)02a b b =->∴2(0,1)a ∈ ……由此猜想：(0,1)n a ∈以下用数学归纳法证明：(0,1)n a ∈ 1) 由已知：12,(0,1)a a ∈2) 设(2,)n k k k N =≥∈时，结论成立∴(0,1)k a ∈∴1n k =+时, 311322k k k a a a +=-+ 313()22g x x x =-+在(0,1)为增函数∴33113130001112222k a +=-+<<-+=∴101k a +<<∴对于一切正整数n ，均有 (0,1)n a ∈∴211(1)02n n n n a a a a +-=--> ∴ 1n n a a +>③ 设存在正实数c ，使0<ca c a n n -+<2恒成立 ∴n a c > 21n n n a c ca c a c +=+-- 即: 211n c a c -<<-恒成立, 即201n ca c<<-即 12na c c ->即 3n a c >∴3n a c >恒成立. 1n n a a +> 对任意n 成立. ∴ 13a c >∴103a c <<，即c 的取值范围为：(0,)3b。