难点28 求空间距离
空间距离的运算问题1
22. 空间距离的运算问题1利用传统法求空间距离1 内容概述求空间距离是立体几何的一种重要题型. 常见的空间距离有：点到平面的距离、直线到平面的距离、两条异面直线间的距离和两个平行平面间的距离. 用传统方法求空间距离通常有定义法、等积法：1. 定义法：根据距离定义，直接作出表示距离的线段，再通过解三角形来求得距离.2. 等积法：用定义法求距离比较困难时，可以用等积法间接求得距离. 等积法又有等面积法和等体积法，其中等面积法可以求得点到直线的距离，而等体积法则可以求点到面的距离. 重要思想方法:1. 直接法的本质是通过降维方法，化空间问题为平面问题来求解，这是立体几何解题的常用思想方法.2. 转化、化归思想是求距离的重要思想方法. 求空间距离解题的关键在于利用转化、化归思想，把面面距离和两条异面直线距离化为线面距离，把线面距离化为点面距离，把点面距离化为点线距离再用直接法求得距离，也可以用等积法求出距离.2 例题示范例题1如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ； （2）设1AP =，AD =，三棱锥P A B D -的体积4V =，求A 到平面PBC的距离.思路分析：要求点A 到平面PBC 的距离，只要过点A 作平面PBC 的垂线段．由题意PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又因为底面ABCD 为矩形，所以AB BC ⊥，因为ABPA A =，所以BC ⊥平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC ，作AH PB ⊥交PB 于H ，由面面垂直性质定理可知AH ⊥平面PBC . 所以AH 长PAB CDE即为A 到平面PBC 的距离. 在PAB Rt ∆中可以通过解直角三角形求出AH ，但这样求解比较麻烦．注意到PAB Rt ∆的两条直角边23,1==AB PA ，在PAB Rt ∆中利用等面积法得到AH PB AB AP S ABP ⋅=⋅=∆2121，解得13PA AB AH PB ⋅== 解：（1）设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点. 又E 为PD 的中点，所以//EO PB . EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .（2）解：由16V PA AB AD AB =⋅⋅=32AB =. 由题意PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又因为底面ABCD 为矩形，所以AB BC ⊥，因为ABPA A =，所以BC ⊥平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC ，作AH PB ⊥交PB 于H ，由面面垂直性质定理可知AH ⊥平面PBC . 所以AH 长即为A 到平面PBC 的距离. 利用等积法，AB PA AH PB S ABP ⋅=⋅=∆2121，所以PA AB AH PB ⋅==A 到平面PBC. 【解后归纳】 求点到平面距离的方法总结：（1）过已知点作出平面的垂线段是关键. 作垂线段通常要借助于垂面，然后利用面面垂直性质定理作出平面的垂线.（2）作出垂线段后，通常利用等面积法求得距离.例题2如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AD AB ⊥，2AB =，AD 1=3AA ，E 为CD 上一点，1DE =，3EC =.（1）证明：BE ⊥平面11BB C C ； （2）求点1B 到平面11EAC 的距离.思路分析：第（２）题求点1B 到平面11EAC 的距离，由于平面是倾斜的，过点1B ABCD EA 1B 1C 1D 1很难作出平面11EAC 的垂线或垂面，所以用定义法求距离比较困难．连接E B 1，在三棱锥111C B A E -中，如果把E 看作顶点，不难求出体积11111111=3E A B C A B C V S DD -∆⋅，再变换角度看三棱锥111EC A B -，把1B 看作顶点，把11EC A ∆看作底面，则点1B 到平面11EAC 的距离可以看作三棱锥111C EA B -的高，求出11EC A S ∆，所以利用等积法就可以求出点1B 到平面11EAC 的距离．思路分析２：连11D B ，交11C A 于点O ，此时点1D 到平面11EAC 的距离等于点1B 到平面11EAC 的距离的２倍．连接E D 1，在三棱锥111C D AE -中，利用等积法111111EC A D C D A E V V --=也可以求得点1B 到平面11EAC 的距离．此时图形相对简单．解：（1）在直角梯形ABCD 中，可以求得22213BE =+=，222(42)6BC =+-=，因为3EC =，所以222EC BE BC =+，所以BE BC ⊥，又因为直四棱柱中，1BE BB ⊥，1BB BC B =，所以BE ⊥平面11BB C C .（2）连接E B 1，分别在直角三角形1AA E ，1ECC ，111A D C 中求得1A E =，111EC AC ==111=2A EC S ∆⨯=1111=22A B C S ∆⨯=为111111B A EC E A B C V V --=3=，所以h =另解：连结11B D ，由1111:1:2A B C D =，可知点1B 到平面11EAC 的距离等于点1D 到平面11EAC 的距离一半，在三棱锥111E AC D -，由111111E A C D D A EC V V --=，可以求得点1D 到平面11EAC ，点1B 到平面11EAC 【解后归纳】 求点到平面距离的方法总结：（1）当直接作出垂线段比较困难时，可以考虑利用等体积法求距离. （2）用等体积法求距离，一般用三棱锥体积相等来求解.（3）可以用线面平行关系，转化到一个更容易求解的三棱锥去求距离；也可以利用比例关系，化为其他点到平面的距离来求解.例题3如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD =，11A A =.（1）证明：直线1BC 平行于平面1D AC ； （2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.思路分析１：线面平行时，直线上任一点到平面的距离都相等，可以将线面距离转化为点面距离．如果转化为点B 到平面距离，连接1BD ，问题转化为求三棱锥C AD B 1-的高，设点B 到平面1D A C 距离为h ，求出1111(12)1323D A B C V -=⨯⨯⨯⨯=，11332B AD C V h -=⨯⨯，由等积法得11D ABC B AD C V V --=，解得23h =，即直线1BC 到平面1D AC 的距离为23.思路分析２：如果转化为求点1C 到平面1D AC 距离，连接1AC ，问题转化为求三棱锥C AD C 11-的高，设点1C 到平面1D A C 距离为h ，求出11111(12)1323A D CC V -=⨯⨯⨯⨯=，111332C AD C V h -=⨯⨯，由等积法得1111A D CC C AD C V V --=，解得23h =，即直线1BC 到平面1D AC 的距离为23.思路分析３：连接BD ，BD 与AC 交于点O ，BD 被点O 平分，此时点B 到平面1D AC 的距离等于点D 到平面1D AC 的距离，此时图形更加直观，由11A DD C D AD C V V --=求出距离即可.解：（1）因为1111ABCD A BC D -是长方体，所以11ABC D 是平行四边形，所以11//BC AD ，显然B 不在平面1D AC 上，于是直线1BC 平行于平面1D AC .（2）直线1BC 到平面1D AC 的距离可以转化为点C 到平面1D AC 的距离. 设距离为h ，连结1BD ，在三棱锥1-D ABC 中，1111(12)1323D ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，在1A D C ∆中，1AC D C ==，1AD =，故132A D CS ∆=，所以11332B ADC V h -=⨯⨯. 由11D ABC B AD C V V --=解得23h =，即直线1BC 到ABCDA 1B 1C 1D 1平面1D AC 的距离为23. 【解后归纳】 求直线到平面距离的方法总结：（1）求线面距离，根据直线上的点到平面距离相等，所以可以转化为点面距离来求解. （2）在转化为点面距的时候，选择合适的点会对解题有促进作用.例题4已知在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点.（1）求异面直线1CC 和AB 的距离； （2）若11AB AC ⊥，求二面角11A CD B --的平面角的余弦值.思路分析１：AC BC =，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB . 又直三棱柱中，1CC ⊥ 平面ABC ，所以1CC CD ⊥ ，所以异面直线1CC 和AB 的距离为CD 思路分析２：三棱柱111ABC A B C -中，1//CC 1AA ，所以1//CC 平面11A ABB ，所以异面直线的距离可以转化为直线1CC 到平面11A ABB 的距离，继续转化为点C 到平面11A ABB 的距离，再化为点C 到直线AB 的距离5=CD .解：（1）如图，因AC BC =，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB . 又直三棱柱中，1CC ⊥ 平面ABC ，所以1CC CD ⊥ ，所以异面直线1CC 和AB的距离为CD 另解：三棱柱111ABC A B C -中，1//CC 平面11A ABB ，所以异面直线的距离可以转化为直线1CC 到平面11A ABB 的距离，继续转化为点C 到平面11A ABB 的距离，再化为点C 到直线AB（2）由CD AB ⊥，1CD BB ⊥，故CD ⊥ 面11A ABB ，从而1CD DA ⊥ ，1CD DB ⊥，故11A DB ∠ 为所求的二面角11A CD B --的平面角.因1A D 是1AC 在面11A ABB 上的射影，又已知11C AB A ⊥，由三垂线定理的逆定理得11D AB A ⊥，从ABCDA 1B 1C 1而11A AB ∠，1A DA ∠都与1B AB ∠互余，因此111A AB A DA ∠=∠，所以1Rt A AD ∆≌11Rt B A A ∆，因此1111AA A B AD AA =，得21118A A A DA B =⋅=，从而1A D =11B D A D ==11A DB ∆中，由余弦定理得222111111111cos 23A D DB A B A DB A D DB +-==⋅.【解后归纳】 求两条异面直线距离的方法总结：（1）利用图形关系作出两条异面直线的公垂线，是求两异面直线距离的基本方法，但难度较大.（2）过两条异面直线中的一条直线作另一条直线的平行线，构造线面平行，将异面直线距离化为线面距离，进而转化为点面距离，是求异面直线距离的常用方法.（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离，再化为点面距离．３ 配套练习1.已知正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2AB =，1CC =，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（ ）A.2B.D.12.如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为BC 的中点，点P 在线段E D 1上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为 .3.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点. （1）求点C 到平面11A ABB 的距离； （2）若11AB AC ⊥，求二面角11A CD C --的平面角的余弦值.4.如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2,BC AD =PAB PAD∆∆与ABCDA 1B 1C 1第3题图AA 1C 1第2题图C都是边长为2的等边三角形. （1）证明：PB CD ⊥；（2）求点A 到平面PCD 的距离.5. 正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，对角线110B C =，D 是AC 的中点.（1）求点1B 到直线AC 的距离； （2）求直线1AB 到平面1C BD 的距离．6．在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒，11,2AB=BC =BB =，求： （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的余弦值； （2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．ACBA 1B 1C 1第6题图 P CB AD第4题图ABCA 1C 1B 1D第5题图。
求空间距离的方法
求空间距离的方法
1. 嘿呀，咱可以用尺子去量呀！就像你要知道桌子这头到那头有多远，直接拿尺子一量不就清楚啦！比如量量房间的长和宽。
2. 还可以用步测嘞！想想看，走几步能从这儿到那儿，不也能大概知道距离嘛。
就像你从家门口走到公交站大概要走多少步。
3. 用眼睛估算也不是不行呀！凭感觉估量一下嘛。
你看那两座楼感觉离得有多远。
4. 借助一些工具呀，比如激光测距仪！高科技嘞！那可精准啦，就像给距离做了个超级精确的体检。
比如测量大型场馆的长度。
5. 利用地图呀，上面不是有比例尺嘛！从地图上看看两个地方的距离多有意思。
你想想你要去的那个好玩的地方在地图上离你多远。
6. 声音也能帮忙求距离哦！你想想，听到声音然后算一下时间，不就能算出距离啦。
就好像听到远处的雷声，然后估算雷离你有多远。
7. 拍照参照呀！拍张照片，和旁边熟悉的东西对比一下，不就能大概知道有多远啦。
比如说拍张对面山的照片，和旁边的树对比。
8. 依靠记忆呀！你肯定熟悉一些固定距离的，和这个比比不就知道新的距离大概是多少。
就好像你知道从家到学校的距离，新的地方和这个距离比比看。
9. 还可以让别人告诉你呀！哈哈，直接问熟悉的人嘛。
就像你不知道那个地方有多远，去问问在那儿的朋友。
我的观点结论就是：求空间距离方法好多呀，咱就根据实际情况去选择最合适的呗！。
空间距离的求解技巧
空间距离的求解技巧空间距离的求解是空间几何中的基础概念之一，对于空间中的点、线、面等几何体之间的距离关系的计算十分重要。
在现实生活和科学研究中，往往需要通过计算空间距离来求解一些问题，比如飞机航线的规划、物体运动轨迹的预测等。
本文将介绍一些常见的空间距离求解技巧。
一、平面上的距离求解技巧对于平面上的两点之间的距离，可以使用欧几里得距离公式进行计算。
设A(x1, y1)和B(x2, y2)分别为平面上的两点，欧几里得距离可以表示为：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，^2 表示平方运算，√表示开方运算。
二、三维空间中的距离求解技巧对于三维空间中的两点之间的距离，也可以使用欧几里得距离公式进行计算。
设A(x1, y1, z1) 和B(x2, y2, z2)分别为三维空间中的两点，欧几里得距离可以表示为：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)同样地，^2 表示平方运算，√表示开方运算。
三、在数学模型中的距离求解技巧在一些数学模型中，如机器学习中的聚类分析、图像处理中的特征提取等，需要计算特征空间中的向量之间的距离。
常见的向量距离计算方法有如下几种：1. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）：曼哈顿距离是在一个规则的正方形网络中的两点之间的距离，它等于横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值之和。
2. 切比雪夫距离（Chebyshev Distance）：切比雪夫距离是在一个规则的正方体网络中的两点之间的距离，它等于横坐标之差的绝对值和纵坐标之差的绝对值以及纵坐标之差的绝对值的最大值。
3. 闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）：闵可夫斯基距离是在一个n维向量空间中两点之间距离的概念的推广，它可以表示为：d = ∛(∑(|x2 - x1|^p)^1/p)其中，p 为闵可夫斯基距离的阶数，当p = 1 时为曼哈顿距离，当 p = 2 时为欧几里得距离。
怎样求空间角、 空间距离
nPMdab2图npMdα1图MdP nβα4图MdP nα3图怎样求空间角、 空间距离求空间角、 空间距离高考的重点热点之一，属必考内容，同时也是最重要的得分点。
既是必考，就须反复操练，烂熟于心。
一、求空间距离方法方法一：用定义法做出相应的距离，转化为两点间的距离问题求解（通常转化为解三角形问题，有时也用等面积、等体积法求之）方法二： 向量坐标法 则d=||||n MP n ⋅（公式一）1、点P 到平面α的距离.如图1（M 为α内的点，n 为平面的法向量）2、异面直线a 与b 的距离如图2（P 为a 上一点，M 为b 上一点，n 为与两异面直线都垂直的向量）3、平行于平面α的直线l 到平面α的距离如图3（P 为线上一点，M 为面α内一点，n 为平面的法向量）4、平行平面α 、β间的距离如图4（P 为α内一点，M 为β内一点，n 为平面的法向量）二、求空间角的方法方法一：用定义法作角，转化为相交直线所成的角，然后求解. 1、异面直线a 与b 所成的角θ在一条直线上找一点作另一直线的平行线，构成三角形，或在具体图形中找另一点，过此点作两直线的平行线，构成三角形. 2、直线l 与平面α所成的角ϕ斜线上选点P ，过P 作PM ⊥α于M ，连 AM, ϕ=AMP ∠为所求;利用公式cos θb nam5图mαMPn6图=cos 1θ cos ϕ （θ为斜外角，1θ为面平角）3、二面角ϕ过二面角棱上一点分别在两个半平面内做垂线，从而得到所求的二面角（通常利用特殊图形法 、两垂一连法既三垂线定理去做）也可用射影面积公式求之 S ′=S cos ϕ方法二：向量法利用公式cos θ =||||||n m n m ⋅（公式二）求出θ= arccos||||||n m n m ⋅1、异面直线a 与b 所成的角θ如图5分别求出两条直线a 与b 的方向向量m 、n，利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅2、直线l 与平面α所成的角ϕ如图6求与l 的方向向量m ,再求平面α的法向量n , m 与n 所在直线所成的角为θ，利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅则ϕ＝2π－θ 3、求二面角ϕ如图7、8求两平面的法向量m 与n 或如图9、10找分别与两半平面平行且都垂直于棱的两向量m 与n .利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅，当ϕ为锐角时如图7、9ϕ=θ， 当ϕ为钝角时如图8、10 ϕ= π－θ三.、用向量求角，求距离典型例题分析（对我们而言，不能求出角和距离许多时候是因为我们不能找到或作出角和距离。
空间距离的求法PPT教学课件
客喜而笑，洗盏更酌，肴核既尽，杯盘狼 藉。相与枕藉乎舟中，不知东方之 既白。
客人听后高兴地笑了，洗了 酒杯，重新斟酒再饮菜肴果 品已经吃完。空杯空盘杂乱 地放着。我和客人互相枕着 睡觉，东方已经发白。
ALCR
着重理解以下字词：
水波不兴 举酒属客 歌窈窕之章 凌万顷之茫然
且夫天地之间，物各有主 耳得之而为声，目遇之而成色
苏子曰：“客亦知夫水与月乎？逝者如斯，而未尝往也；盈虚 者如彼 ，而 卒莫消长也。盖将自其变者而观之，而天地曾不能一 瞬；自其不变者 而观之， 则物于我皆无尽也。而又何羡乎？且夫 天地之间，物各有主。苟 非吾之所有， 虽一毫而莫取。惟江上之 清风，与山间之明月，耳得之而为 声，目遇之而成色。 取之无禁， 用之不竭。是造物者之无尽藏也，而吾与 子之所共适。”
在江边打柴，以鱼虾为伴侣，同麋鹿做朋友，驾着
一叶扁舟，拿着葫芦做为酒杯相互祝酒。寄托蜉蝣
一样的生命在天地之间，渺小得像大海里的一粒小
米。感叹我的生命短促，羡慕长江的无穷无尽。同
飞升的仙人一道游玩，与明月一样永存。知道这不
可能轻易得到，于是在悲凉的秋风中吹出这样的萧
声。
ALCR
• 苏子曰：“客亦知夫水与月乎？逝者如斯， 而未尝往也；盈虚者如彼 ，而 卒莫消长也。 盖将自其变者而观之，而天地曾不能一瞬； 自其不变者而观之， 则物于我皆无尽也。 而又何羡乎？且夫天地之间，物各有主。 苟非吾之所有， 虽一毫而莫取。惟江上之 清风，与山间之明月，耳得之而为声，目 遇之而成色。 取之无禁，用之不竭。是造 物者之无尽藏也，而吾与子之所适。”
例3：如图：已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是 AB、AD的中点，PC垂直平面ABCD，且PC=2，求点B到 平面EFP的距离。
空间距离高三数学知识点
空间距离高三数学知识点在高三数学中，空间距离是一个重要的知识点，它涉及到三维空间中点、直线、平面之间的距离计算。
掌握了空间距离的概念和计算方法，可以帮助我们解决实际问题，进一步理解几何关系。
一、点到点的距离计算在三维空间中，我们通过坐标来表示点的位置。
假设有点A(x₁, y₁, z₁)和点B(x₂, y₂, z₂)，我们可以用勾股定理来计算点A到点B的距离。
距离公式如下：AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]通过这个公式，我们可以计算两个任意点之间的距离，进而帮助解决空间几何中的问题。
二、点到直线的距离计算在三维空间中，直线的方程可以以参数形式给出。
如果我们有一个点P(x₀, y₀, z₀)和直线L的参数方程为：x = x₁ + aty = y₁ + btz = z₁ + ct其中a、b、c为实数，t为参数。
我们可以通过点P到直线L 的距离公式来计算：d = |(x₀ - x₁, y₀ - y₁, z₀ - z₁) · (a, b, c)| / √(a² + b² + c²)这里的|·|表示向量的模，·表示向量的内积。
通过这个公式，我们可以计算出点到直线的距离。
三、点到平面的距离计算在三维空间中，平面的方程可以以一般式给出。
如果我们有一个点P(x₀, y₀, z₀)和平面的一般式方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C、D为常数。
我们可以通过点P到平面的距离公式计算：d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)这里的|·|表示绝对值。
通过这个公式，我们可以计算出点到平面的距离。
四、直线与直线的距离计算在三维空间中，我们可以通过两直线的方向向量来计算它们之间的距离。
求空间距离的方法
5．求空间距离的方法 (1)几何方法①找出或作出有关距离的图形； ②证明它符合定义； ③在平面图形内计算．空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法．(2)向量法①求点到平面的距离如图所示，已知点B (x 0，y 0，z 0), 平面α内一点A (x 1，y 1，z 1),平面 α的一个法向量n ,直线AB 与平面α所成的角为φ，θ＝〈n ，AB →〉，则sin φ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|cos θ|.由数量积的定义知，n ·AB →＝|n ||AB →|cos θ，∴点B 到平面α的距离d ＝|AB →|·sin φ＝|AB →|·|cos θ|＝|n ·AB →||n |.②求直线到平面的距离设直线a ∥平面α，A ∈a ，B ∈α，n 是平面α的法向量，过A作AC ⊥α，垂足为C ，则AC →∥n ， ∵AB →·n ＝(AC →＋CB →)·n ＝AC →·n ， ∴|AB →·n |＝|AC →|·|n |.∴直线a 到平面α的距离d ＝|AC →|＝|AB →·n ||n |.③求两平行平面间的距离(i)用公式d ＝|AB →·n ||n |求，n 为两平行平面的一个法向量，A 、B 分别为两平面上的任意两点． (ii)转化为点面距或线面距求解．考点五：求空间距离(1)(2013·高考北京卷)如图，在棱长为2的正方体A BCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．(2)在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则点C 1到平面A 1ED 的距离是__________． [解析] (1) 如图，过点E 作EE 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，交直线B 1C 1于点E 1，连接 D 1E 1，DE ，在平面D 1DEE 1内过点P 作PH ∥EE 1交D 1E 1于点H ，连接C 1H ，则C 1H 即为点P 到直线CC 1的距离．当点P 在线段D 1E 上运动时，点P 到直线CC 1的距离的最小值为点C 1到线段D 1E 1的距离，即为△C 1D 1E 1的边D 1E 1上的高h .∵C 1D 1＝2，C 1E 1＝1，∴D 1E 1＝5，∴h ＝25＝255.(2)以A 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，D (0,1,0)，C 1(1,1,1)．∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝(1,0，－12)．设平面A 1ED 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1D →＝y －z ＝0n ·A 1E →＝x －12z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝z x ＝12z.令z ＝2，则n ＝(1,2,2)．又C 1A 1→＝(－1，－1,0)， ∴点C 1到平面A 1ED 的距离 d ＝|C 1A 1→·n ||n |＝33＝1.规律小结：利用向量法求点到平面的距离的步骤如下： (1)求出该平面的一个法向量n ；(2)找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的向量a ； (3)利用公式d ＝|n ·a ||n |求距离． 跟踪训练：5．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( ) A. 3 B ．22C.2λ3 D ．55解析：如图所示 ，以射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 G (1，λ，1)，E (1,0，12)，F (1,1，12)，D 1(0,0,1)，GE →＝(0，－λ，－12)，EF →＝(0,1,0)，ED 1→＝(－1,0，12)．过点G 向平面D 1EF 作垂线，垂足为H ，由于点H 在平面D 1EF 内，故存在实数x ，y , 使GH →＝GE →＋xEF →＋yED 1→＝(－y ，－λ＋x ，－12＋12y )，由于GH ⊥EF ，GH ⊥ED 1，所以⎩⎨⎧(－y ，－λ＋x ，－12＋12y )·(0，1，0)＝0，(－y ，－λ＋x ，－12＋12y )·(－1，0，12)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝15，故GH →＝(－15，0，－25)，所以|GH →|＝55，即点G 到平面D 1EF 的距离是55.故选D.。
空间距离公式
空间距离公式空间距离公式是描述物体之间距离的重要公式。
空间距离可以用来研究物理地理等科学方面，以及描述不同物体之间的关系。
空间距离公式可以分为两类：一类是距离公式，这类公式可以计算两个物体之间的距离；另一类是空间关系公式，这类公式可以用来研究不同物体间的关系。
在物理学中，通常使用距离公式来确定物体之间的距离，例如直线的距离公式：d =(x2-x1)2+(y2-y1)2其中，d表示两点之间的直线距离，(x2,y2)和(x1,y1)表示两点的坐标，平方表示平方根。
还有一种更为常用的公式是曲线距离公式：C =a b (1+y2)1/2dx其中，C表示曲线距离，y表示曲线函数的导数，a和b表示曲线上两点的参数值。
这个公式可以应用于曲线上两点之间的距离。
除了距离公式之外，空间距离公式还有空间关系公式。
空间关系是两个物体之间的关系，它可以用来研究物体之间的相互作用。
例如，距离方程：d =(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2其中，d表示两物体之间的空间距离，(x2,y2,z2)和(x1,y1,z1)表示两物体的位置。
这个公式可以被用来计算物体之间的直线距离。
此外，还有一个常用的公式，称为距离交换公式：D =((x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2+(h2-h1)2)其中，D表示两物体之间的距离交换，(x2,y2,z2,h2)和(x1,y1,z1,h1)表示两物体的位置和高度。
这个公式可以用来计算物体之间的距离交换，广泛用于无人机勘测中。
空间距离公式对于空间领域有着重要的意义。
距离公式可以用来估计物体间的距离，空间关系公式可以用来研究物体间的关系。
它们都是由几何原理推导出来的，它们有着很强的实用性，可以用于许多不同的科学领域，例如物理地理、机器人技术、无人机勘测等。
因此，空间距离公式可以说是一个重要的科学知识，是科学家们精心挖掘的宝藏，我们可以利用它来研究物体间的距离和关系，进而帮助我们更好地理解自然界的奥秘。
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难点28 求空间距离空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.●难点磁场(★★★★)如图，已知ABCD 是矩形，AB =a ,AD =b ,P A ⊥平面ABCD ，P A =2c ,Q 是P A 的中点.求：(1)Q 到BD 的距离； (2)P 到平面BQD 的距离. ●案例探究［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求：(1)EF 的长；(2)折起后∠EOF 的大小.命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目.知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式.错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直.技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为原点，以、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单.解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－42a , a ),F (42a , 42a ,0) 21||||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420)0,42,42(),42,42,0()2(23,43)420()4242()042(||)1(22222-=>=<==-=⋅+-+⨯=⋅=-==∴=-+++-=OF OE a a a a a a a a a a a a EF a a a a a∴∠EOF =120°［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目.知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.错解分析：本题容易错误认为O 1B 是A 1C 与AB 1的距离，这主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离.技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.解法一：如图，连结AC 1，在正方体AC 1中，∵A 1C 1∥AC ,∴A 1C 1∥平面AB 1C ，∴A 1C 1与平面AB 1C 间的距离等于异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.连结B 1D 1、BD ，设B 1D 1∩A 1C 1=O 1,BD ∩AC =O ∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，∴AC ⊥平面BB 1D 1D∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D 1D ，连结B 1O ，则平面AB 1C ∩平面BB 1D 1D =B 1O 作O 1G ⊥B 1O 于G ，则O 1G ⊥平面AB 1C∴O 1G 为直线A 1C 1与平面AB 1C 间的距离，即为异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 在Rt △OO 1B 1中，∵O 1B 1=22，OO 1=1，∴OB 1=21121B O OO += 26∴O 1G =331111=⋅OB B O O O ，即异面直线A 1C 1与AB 1间距离为33. 解法二：如图，在A 1C 上任取一点M ，作MN ⊥AB 1于N ，作MR ⊥A 1B 1于R ，连结RN ，∵平面A 1B 1C 1D 1⊥平面A 1ABB 1，∴MR ⊥平面A 1ABB 1，MR ⊥AB 1∵AB 1⊥RN ，设A 1R =x ,则RB 1=1－x ∵∠C 1A 1B 1=∠AB 1A 1=45°， ∴MR =x ,RN =NB 1=)1(22x - 31)31(23)1(2122222+-=-+=+=x x x RN MR MN (0＜x ＜1) ∴当x =31时，MN 有最小值33即异面直线A 1C 1与AB 1距离为33.●锦囊妙记空间中的距离主要指以下七种： (1)两点之间的距离. (2)点到直线的距离. (3)点到平面的距离. (4)两条平行线间的距离. (5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离. (7)两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角(如图)，M 为矩形AEFD 内一点，如果∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为( )21 D. 23C. B.1 22A.2.(★★★★)三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=1，AB =4，BC =3，∠ABC =90°,设平面A 1BC 1与平面ABC 的交线为l ，则A 1C 1与l 的距离为( )A.10B.11C.2.6D.2.4二、填空题3.(★★★★)如左下图，空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为_________.4.(★★★★)如右上图，ABCD 与ABEF 均是正方形，如果二面角E —AB —C 的度数为 30°，那么EF 与平面ABCD 的距离为_________.三、解答题5.(★★★★★)在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =3，CC 1=2，如图：(1)求证：平面A 1BC 1∥平面ACD 1； (2)求(1)中两个平行平面间的距离； (3)求点B 1到平面A 1BC 1的距离.6.(★★★★★)已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求：(1)截面EAC 的面积；(2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离； (3)三棱锥B 1—EAC 的体积.7.(★★★★)如图，已知三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A 与AB 、AC 均成45°角，且A 1E ⊥B 1B 于E ，A 1F ⊥CC 1于F .(1)求点A 到平面B 1BCC 1的距离；(2)当AA 1多长时，点A 1到平面ABC 与平面B 1BCC 1的距离相等. 8.(★★★★★)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =2,AB =31AD =a , ∠ADC =arccos552,P A ⊥面ABCD 且P A =a .(1)求异面直线AD 与PC 间的距离；(2)在线段AD 上是否存在一点F ，使点A 到平面PCF 的距离为36. 参考答案难点磁场解：(1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足连结QE ，∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE ∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ,AD =b , ∴AE =22ba ab +在Rt △QAE 中，QA =21P A =c ∴QE =22222b a b ac ++∴Q 到BD 距离为22222ba b a c ++. (2)解法一：∵平面BQD 经过线段P A 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离. 在Rt △AQE 中，∵AQ =c ,AE =22ba ab +∴AH =22222)(ba cb a abc ++∴P 到平面BD 的距离为22222)(ba cb a abc ++解法二：设点A 到平面QBD 的距离为h ，由 V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =31S △ABD ·AQ h =22222)(ba cb a abcS AQ S BQD ABD ++==⋅∆∆ 歼灭难点训练一、1.解析：过点M 作MM ′⊥EF ,则MM ′⊥平面BCF ∵∠MBE =∠MBC∴BM ′为∠EBC 为角平分线， ∴∠EBM ′=45°,BM ′=2,从而MN =22 答案：A2.解析：交线l 过B 与AC 平行，作CD ⊥l 于D ，连C 1D ，则C 1D 为A 1C 1与l 的距离，而CD 等于AC 上的高，即CD =512,Rt △C 1CD 中易求得C 1D =513=2.6答案：C二、3.解析：以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，因为AQ =BQ =22a ,∴PQ ⊥AB ,同理可得PQ ⊥CD ，故线段PQ 的 长为P 、Q 两点间的最短距离，在Rt △APQ 中，PQ =22)2()23(2222=-=-a a AP AQ a 答案：22a 4.解析：显然∠F AD 是二面角E —AB —C 的平面角，∠F AD =30°,过F 作FG ⊥平面ABCD 于G ，则G 必在AD 上，由EF ∥平面ABCD .∴FG 为EF 与平面ABCD 的距离，即FG =2a . 答案：2a 三、5.(1)证明：由于BC 1∥AD 1，则BC 1∥平面ACD 1 同理，A 1B ∥平面ACD 1，则平面A 1BC 1∥平面ACD 1(2)解：设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d ，则d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离.易求A 1C 1=5，A 1B =25，BC 1=13，则cos A 1BC 1=652,则sin A 1BC 1=6561,则S 111C B A ∆=61,由于111111D C A B BC A D V V --=，则31S 11BC A ∆·d =)21(31111D C AD ⋅·BB 1,代入求得d =616112,即两平行平面间的距离为616112. (3)解：由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分，则B 1、D 1到平面A 1BC 1的距离相等，则由(2)知点B 1到平面A 1BC 1的距离等于616112. 6.解：(1)连结DB 交AC 于O ，连结EO ， ∵底面ABCD 是正方形∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45°又DO =22a ，AC =2a ，EO =︒45cos DO =a ，∴S △EAC =22a (2)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1 ∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a(3)连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =23a 32422322311a a a V EAC B =⋅⋅=-7.解：(1)∵BB 1⊥A 1E ，CC 1⊥A 1F ，BB 1∥CC 1 ∴BB 1⊥平面A 1EF 即面A 1EF ⊥面BB 1C 1C 在Rt △A 1EB 1中，∵∠A 1B 1E =45°，A 1B 1=a∴A 1E =22a ,同理A 1F =22a ,又EF =a ，∴A 1E =22a 同理A 1F =22a ,又EF =a∴△EA 1F 为等腰直角三角形，∠EA 1F =90°过A 1作A 1N ⊥EF ，则N 为EF 中点，且A 1N ⊥平面BCC 1B 1 即A 1N 为点A 1到平面BCC 1B 1的距离∴A 1N =221a = 又∵AA 1∥面BCC 1B ，A 到平面BCC 1B 1的距离为2a ∴a =2，∴所求距离为2(2)设BC 、B 1C 1的中点分别为D 、D 1，连结AD 、DD 1和A 1D 1，则DD 1必过点N ，易证ADD 1A 1为平行四边形.∵B 1C 1⊥D 1D ,B 1C 1⊥A 1N ∴B 1C 1⊥平面ADD 1A 1 ∴BC ⊥平面ADD 1A 1得平面ABC ⊥平面ADD 1A 1，过A 1作A 1M ⊥平面ABC ，交AD 于M ， 若A 1M =A 1N ，又∠A 1AM =∠A 1D 1N ，∠AMA 1=∠A 1ND 1=90°∴△AMA 1≌△A 1ND 1,∴AA 1=A 1D 1=3,即当AA 1=3时满足条件. 8.解：(1)∵BC ∥AD ,BC ⊂面PBC ,∴AD ∥面PBC从而AD 与PC 间的距离就是直线AD 与平面PBC 间的距离. 过A 作AE ⊥PB ，又AE ⊥BC ∴AE ⊥平面PBC ，AE 为所求.在等腰直角三角形P AB 中，P A =AB =a ∴AE =22a (2)作CM ∥AB ，由已知cos ADC =552 ∴tan ADC =21,即CM =21DM ∴ABCM 为正方形，AC =2a ,PC =3a 过A 作AH ⊥PC ,在Rt △P AC 中，得AH =36下面在AD 上找一点F ，使PC ⊥CF取MD 中点F ，△ACM 、△FCM 均为等腰直角三角形 ∴∠ACM +∠FCM =45°+45°=90°∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F.［学法指导］立体几何中的策略思想及方法立体几何中的策略思想及方法近年来，高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养.题目起点低，步步升高，给不同层次的学生有发挥能力的余地.大题综合性强，有几何组合体中深层次考查空间的线面关系.因此，高考复习应在抓好基本概念、定理、表述语言的基础上，以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何问题的有效的策略思想及方法.一、领悟解题的基本策略思想高考改革稳中有变.运用基本数学思想如转化，类比，函数观点仍是考查中心，选择好典型例题，在基本数学思想指导下，归纳一套合乎一般思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运用，逐步内化为自己的经验，解决一般基本数学问题就会自然流畅.二、探寻立体几何图形中的基面立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来.在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面.这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了.三、重视模型在解题中的应用学生学习立体几何是从认识具体几何模型到抽象出空间点、线、面的关系，从而培养空间想象能力.而数学问题中许多图形和数量关系都与我们熟悉模型存在着某种联系.它引导我们以模型为依据，找出起关键作用的一些关系或数量，对比数学问题中题设条件，突出特性，设法对原图形补形，拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、形象的、直观的模型，利用其特征规律获取优解.。