：空间距离的各种计算
空间距离
空间距离1．点与点的距离：两点间 的长． 2．点与线的距离：点到直线的 的长． 3．平行线间的距离：从两条平行线中一条上 一点向另一条引垂线，这点到 之间的线段长．4．点与面的距离：点到平面的 的长．5．平行于平面的直线与平面的距离：直线上 一点到平面的 的长．6．两个平行平面间的距离：从其中一个平面上 一点向另一个平面引垂线，这点到 之间的线段长．7．两条异面直线的距离：与两条异面直线都 的直线夹在两 间线段的长．例1. 已知正六边形ABCDEF 的边长为a ，PA ⊥平面AC ，PA ＝a ．求： ⑴ P 到直线BC 的距离； ⑵ P 到直线CD 的距离． 答案：(1)a 27 (2) 2a变式训练1： 已知平面α外不共线的三点A 、B 、C 到α的距离相 等．求证：存在△ABC 的一条中位线平行α或在α内． 提示：分A 、B 、C 在α的同侧与异侧讨论例2．如图， 直线l 上有两定点A 、B ， 线段AC ⊥l ，BD ⊥l ， AC ＝BD ＝a ，且AC 与BD 成120°角，求AB 与CD 间的距离．解：在面ABC 内过B 作BE ⊥l 于B ，且BE ＝AC ，则ABEC 为矩形．∴AB ∥CE ，∴AB ∥平面CDE ．则AB 与CD 的距离即为B 到DE 的距离．过B 作BF ⊥DE 于F ，易求得BF ＝a 21，∴AB 与CD 的距离为a 21．变式训练2：ABCD 是边长为a 的正方形，M 、N 分别为DA 、BC 边上的点，且MN ∥AB交AC 于O 点，沿MN 折成直二面角． ⑴ 求证：不论MN 怎样平行移动(AB ∥MN)，∠AOC 的大小不变；⑵ 当MN 在怎样的位置时，点M 到平面ACD 的距离最大？并求出这个最大值．解(1) 120°； (2) 当且仅当MA ＝MD 时，点M 到平面ACD 的距离最大，最大值为42a ．设MD ＝x ，M 到AD 的距离h 即是M 到平面ACD 的距离： h ＝22)()(x a x x a x -+-≤)(2)(x a x x a x --＝2)(x a x -≤42a(当x ＝2a 时两不等式同取等号)A CBD l A NM B O D CFCDEGB A 北南 3030° 30°例3. 已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离． 解：连结AC 、BD 、AC∩BD ＝0， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ， ∴B 到平面EFG 的距离即0到平面EFG 的距离，AC∩EF ＝K ，连结KG ， ∵EF ⊥KC ，∴EF ⊥平面KGC ，过O 作OH ⊥KG 于H ，则OH ⊥平面EFG ， ∴OH 即为O 到平面EFG 的距离，KC ＝43AC ＝32，KG ＝22，OK ＝41AC ＝2，由Rt △OHK ∽Rt △CKG 得OH ＝11112． 变式训练3：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，Ｅ、F 分别是BB 1、CD 的中点.⑴ 求证：AD ⊥D 1F ；⑵ 求证：AE 与D 1F 所成的角； ⑶ 求点F 到平面A 1D 1E 的距离． 答案：(1) 略 (2) 90° (3)将F 移至AB 中点研究a 1053． 例4．在正北方向的一条公路上，一辆汽车由南向北行驶，速度为100千米/小时，一架飞机在一定高度上的一条直线上飞行，速度为1007千米/小时，从汽车里看飞机，在某个时刻看见飞机在正西方向，仰角为30°，在36秒后，又看见飞机在北偏西30°、仰角为30°处，求飞机飞行的高度. 解：如图A 、C 分别是汽车、飞机开始时的位置，B 、D 分别是经过36秒后的位置，ABEF 是水平面，CFED 是矩形，且CD ＝360036×1007＝7(千米)，AB ＝360036×100＝1千米，CF(或DE)则为飞机的飞行高度，设其为x 千米，在Rt △CFA 中，AF ＝3x ；在Rt △DEB 中，BE ＝3x. 作EG ⊥AB 于G ，EH ⊥AF 于H ，则EG ＝AH ＝23x ，EH ＝AG ＝1＋x 23，FH ＝23x. 在Rt △FHE 中，EF 2＝FH 2＋EH 2，即(7)2＝(23x) 2＋(1＋x 23)2，∴ x ＝1. 故飞机飞行的高度为1千米． 变式训练4：如图，四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． （1）若点D 到平面ABC 的距离不小于3，求二面角A —BC —D 的取值范围； （2）当二面角A —BC —D 的平面角为3π时，求点C 到平面ABD 的距离．解(1)]32,3[ππ(提示：D 到平面ABC 的距离d ∈[3，32] ) (2)取BC 中点E ，连结EA 、ED ，则∠AED ＝3π A E BC G DF ＡBCD ＡC 1D 1B 1 E F ABDC∴AD ＝AE ＝32 ∵34)32(43431312=⋅⋅⋅=⋅⋅=∆-AED BCD A S BC V 又39133221=⨯⨯=∆A B DS，设C 到平面ABD 的距离为h ． 则131312343931=∴=⋅⋅h h1．对于空间距离的重点是点到直线、点到平面的距离，对于两异面直线的距离一般只要求会求给出公垂线段时的距离． 2、求点到平面的距离的方法：⑴ 确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质． ⑵ 转化法．即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求.(3) 等体积法：利用三棱锥的体积公式，建立体积相等关系求出某底上的高，即点面距. 3．距离问题有时也可以利用向量的模的计算解决．具体见第11节的小结4、5两点.。
求空间距离的常规方法
解题宝典空间距离包含了点与点之间的距离、点与线之间的距离、点与面之间的距离、线与线之间的距离、线与面之间的距离及两个平面间的距离.求空间距离的题型多样，主要考查同学们的空间想象、分析、推理能力.笔者在本文之中总结了一些求解空间距离问题的常规方法，以供参考.一、直接法直接法是指直接从问题所给出的条件出发，运用相关的定义、公式、性质等进行推理或运算，得出结论的方法.在运用直接法求空间距离时，我们可以直接根据题意，利用点与点之间的距离、点与线之间的距离、点与面之间的距离、线与线之间的距离、线与面之间的距离及两个平面间的距离的定义确定所求的距离或线段，然后利用两点间的距离公式或勾股定理来进行计算和求解.例1.己知平面α和平面β交于直线，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA =1，PB =2，若点A 在β内的射影与点B 在内的射影重合，求点P 到l 的距离.解：若A 在平面β上的射影为C ，则AC ⊥β，PB ⊥β,AC //PB ，同理，若B 在平面α上的射影也为C ，则PA ⊥α,BC ⊥α，PA ∥BC ，∴四边形APBC 是一个平行四边形，又∵AC ⊥β,BC ∈β，∴AC ⊥BC ，∴∠ACB 是α—l —β二面角的平面角，∴α⊥β，∴四边形PACB 是一个矩形，如图1，∵l ⊥平面ACBP ，∴l ⊥PC ，∴PC 即为所求P 到l 的距离，PC 是边长为1，2的矩形的对角线，∴PC =5.二、转化法转化法是指将空间距离转化为平面距离，把距离的计算转化为三角形边、角关系或空间向量的坐标运算进行求解的方法.在运用转化法求空间距离时，我们要注意将面面距离、线面距离转化为点面距离，将点面距离转化为点线距离、点点距离，将线线距离转化为线面距离或面面距离，然后利用两点之间的距离公式或者空间几何体的性质来求出距离.例2.如图2，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，求O 到平面ABC 1D 1的距离.分析：本题可以利用转化法求解.将所求的O 到平面ABC 1D 1的距离转化为点A 1到平面ABC 1D 1的距离，再将点A 1到平面ABC 1D 1的距离转化为点A 到E 的距离.解：如图2，作A 1E ⊥AD 1,∴A 1E ，∵C 1D 1⊥平面AA 1D 1D ，∴C 1D 1⊥A 1E ，∴A 1E ⊥平面AB C 1D 1，∴A 1到平面ABC 1D 1的距离为，又∵O 为A 1C 1的中点，∴O 到平面ABC 1D 1的距离为A 1到平面ABC 1D 1的距离的一半，∴O 到平面ABC 1D 1的距离为三、等体积法等体积法主要适用于求点到平面的距离.在运用等体积法求点到平面的距离时，我们要把所求的距离看作是三棱锥的高，通过变换三棱柱的底和高，抓住体积不变的特征建立等式，求出点到面的距离.对于其他的空间距离，我们也可以将其转化为点到面的距离，利用等体积法来解题.例3.已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为π2，求球心O 到平面ABC 的距离.分析：球心O 到平面ABC 的距离无法直接求出，我们可以利用等体积法解题.设O 到平面ABC 的距离为h ，利用三棱锥体积公式分别求得V A -OBC 、V 0-ABC ，而V 0-ABC =V A -OBC ，即可得到球心O 到平面ABC 的距离.解：设O 到平面ABC 的距离为h ，∵AB ，AC ，CB 的球面距离均为π2，∴∠AOB =∠AOC =∠COB =π2,∵球半径为1，∴AO =BO =CO =1，AB =AC =BC =2，∴V 0-ABC =V A -OBC 13×12×11=16，又∵V 0-ABC =13h )22=，∴=16∴h =，∴球心O 到平面ABC 的距离为.直接法、转化法、等体积法都是求空间距离的常用方法，其中直接法、转化法的适用范围较广，在解题时，我们只需要根据题意将所求的距离进行转化，然后利用相应的定义、公式、性质进行求解即可.等体积法的适用范围较为受限制，但是在解题时，我们可以根据题意构造出相应的三棱锥，然后运用该方法解题.（作者单位：江苏省淮安市新马高级中学）图2图137。
空间距离
掌门1对1教育 高中数学空间距离知识精要空间的距离（1）点到直线的距离：点Ｐ到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离。
在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。
点到平面的距离：点Ｐ到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法（2）异面直线间的距离：异面直线b a ,间的距离为b a ,间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ＡＢ为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与b ，a 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。
（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。
（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。
以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。
所以均可以用求函数的最小值法求各距离。
求距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的距离。
注意数学中的转化思想的运用（1）常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；（2）常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置； （3）常用割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题。
空间距离公式
空间距离公式空间距离公式是描述物体之间距离的重要公式。
空间距离可以用来研究物理地理等科学方面，以及描述不同物体之间的关系。
空间距离公式可以分为两类：一类是距离公式，这类公式可以计算两个物体之间的距离；另一类是空间关系公式，这类公式可以用来研究不同物体间的关系。
在物理学中，通常使用距离公式来确定物体之间的距离，例如直线的距离公式：d =(x2-x1)2+(y2-y1)2其中，d表示两点之间的直线距离，(x2,y2)和(x1,y1)表示两点的坐标，平方表示平方根。
还有一种更为常用的公式是曲线距离公式：C =a b (1+y2)1/2dx其中，C表示曲线距离，y表示曲线函数的导数，a和b表示曲线上两点的参数值。
这个公式可以应用于曲线上两点之间的距离。
除了距离公式之外，空间距离公式还有空间关系公式。
空间关系是两个物体之间的关系，它可以用来研究物体之间的相互作用。
例如，距离方程：d =(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2其中，d表示两物体之间的空间距离，(x2,y2,z2)和(x1,y1,z1)表示两物体的位置。
这个公式可以被用来计算物体之间的直线距离。
此外，还有一个常用的公式，称为距离交换公式：D =((x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2+(h2-h1)2)其中，D表示两物体之间的距离交换，(x2,y2,z2,h2)和(x1,y1,z1,h1)表示两物体的位置和高度。
这个公式可以用来计算物体之间的距离交换，广泛用于无人机勘测中。
空间距离公式对于空间领域有着重要的意义。
距离公式可以用来估计物体间的距离，空间关系公式可以用来研究物体间的关系。
它们都是由几何原理推导出来的，它们有着很强的实用性，可以用于许多不同的科学领域，例如物理地理、机器人技术、无人机勘测等。
因此，空间距离公式可以说是一个重要的科学知识，是科学家们精心挖掘的宝藏，我们可以利用它来研究物体间的距离和关系，进而帮助我们更好地理解自然界的奥秘。
空间向量间的距离(高中全部8种方法详细例题)
空间向量间的距离(高中全部8种方法详细例题)1. 利用欧式距离公式计算已知向量A(2, 3, 4)和向量B(1, -2, 5)，求两向量间的欧式距离。
解答：欧式距离公式为：d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)其中，(x1, y1, z1)为向量A的坐标，(x2, y2, z2)为向量B的坐标。
代入数值计算：d = √((1-2)^2 + (-2-3)^2 + (5-4)^2)= √((-1)^2 + (-5)^2 + (1)^2)= √(1 + 25 + 1)= √27≈ 5.196所以向量A和向量B之间的欧式距离约为5.196。
2. 利用曼哈顿距离公式计算已知向量C(3, 5, 2)和向量D(6, 1, 4)，求两向量间的曼哈顿距离。
解答：曼哈顿距离公式为：d = |x2-x1| + |y2-y1| + |z2-z1|其中，(x1, y1, z1)为向量C的坐标，(x2, y2, z2)为向量D的坐标。
代入数值计算：d = |6-3| + |1-5| + |4-2|= |3| + |-4| + |2|= 3 + 4 + 2= 9所以向量C和向量D之间的曼哈顿距离为9。
3. 利用切比雪夫距离公式计算已知向量E(7, 2, 6)和向量F(4, 8, 3)，求两向量间的切比雪夫距离。
解答：切比雪夫距离公式为：d = max(|x2-x1|, |y2-y1|, |z2-z1|)其中，(x1, y1, z1)为向量E的坐标，(x2, y2, z2)为向量F的坐标。
代入数值计算：d = max(|4-7|, |8-2|, |3-6|)= max(|-3|, |6|, |-3|)= 6所以向量E和向量F之间的切比雪夫距离为6。
4. 利用马氏距离公式计算已知向量G(2, 4, 6)和向量H(4, 8, 12)，求两向量间的马氏距离。
解答：马氏距离公式为：d = √((x2-x1)^T * C^-1 * (x2-x1))其中，(x1, x2)为向量G和向量H的坐标，C为协方差矩阵。
高中数学课件空间两点间的距离公式
在本课件中，我们将介绍空间中两点间的距离公式，从什么是空间两点开始， 以及如何用公式计算两点之间的距离。让我们开始吧！
什么是空间两点？
空间中的两点是指在三维坐标系中确定的两个位置点。这两个点可以表示物体的位置、人的定位等等。 在数学中，我们可以使用坐标表示这两个点，例如：点A的坐标为(x1, y1, z1)，点B的坐标为(x2, y2, z2)。
4 地理信息系统
用于测绘、地理分析等领域，计算地物之间 的距离和相对位置。
结束语
通过本课件，我们学习了空间两点间的距离公式，了解了直线距离计算方法 和空间距离计算方法，并举例说明了其应用领域。 希望这些知识对你有所帮助，谢谢观看！
直线距离计算方法演示
让我们通过一个简单的示例演示直线距离计算方法：
1
Step 1
确定点A和点B的坐标：A(2, 3, 4d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)计算直线距离。
3
Step 3
代入点的坐标计算：d = √((5-2)² + (7-3)² + (1-4)²)。
如何用公式计算两点之间的距 离？
通过直线距离计算方法和空间距离计算方法，我们可以计算空间两点之间的 距离。
直线距离计算方法使用勾股定理，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)，其 中d表示两点之间的直线距离。
空间距离计算方法利用向量的知识，将两点按照向量形式表示后，计算两个 向量的模的差，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。
4
Step 4
空间坐标中两点之间距离公式
空间坐标中两点之间距离公式在空间中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。
欧几里得距离公式也被称为直线距离公式，它可以用于计算二维和三维空间中两点之间的距离。
我们来看二维空间中两点之间的距离公式。
假设我们有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以通过以下公式计算：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]其中，d表示两点之间的距离。
这个公式实际上就是在计算两点之间的直线距离，可以通过勾股定理来理解。
我们可以通过计算两点在x轴和y轴上的坐标差值的平方和再开根号得到两点之间的距离。
接下来，我们将公式推广到三维空间中。
假设我们有两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的距离可以通过以下公式计算：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²]这个公式与二维空间中的公式类似，只是多了一个维度。
同样地，我们可以通过计算两点在x轴、y轴和z轴上的坐标差值的平方和再开根号得到两点之间的距离。
这个公式在实际应用中非常常见。
例如，在三维计算机图形学中，我们经常需要计算物体的位置和姿态之间的距离，用于模拟物体的运动和交互。
另外，在导航和地理信息系统中，我们也可以利用这个公式来计算两个地点之间的直线距离。
除了二维和三维空间，这个公式还可以推广到更高维度的空间中。
在高维空间中，我们可以通过类似的方法计算两点之间的距离。
然而，随着维度的增加，我们很难直观地理解空间的形状和距离关系，因此在实际应用中，我们更常使用二维和三维空间的距离计算。
总结起来，空间坐标中两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。
在二维空间中，公式为d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]；在三维空间中，公式为d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²]。
空间距离知识点总结
空间距离知识点总结空间距离是指物体在空间中的位置之间的距离，通常用来描述物体之间的相对位置关系。
在日常生活中，我们经常使用距离来描述物体的位置关系，比如在行驶中使用路程来描述两个地点之间的距离，或者在导航中使用地图上的距离来指引行驶方向。
在物理学和数学中，距离是一个重要的概念，它被用来描述空间中的位置关系，衡量物体之间的远近。
空间距离的研究对于理解物体的位置关系、运动轨迹、引力场等具有重要的意义。
本文将就空间距离的基本概念、常见的计算方法以及与空间距离相关的知识点进行总结。
一、空间距离的基本概念1.欧几里得距离欧几里得距离是指在欧几里得空间中两点之间的直线距离，它是最常见的距离定义之一。
在二维欧氏空间中，两点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$之间的距离可使用以下公式计算：$$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$在三维空间中，可以类似地定义欧几里得距离。
而在更高维的空间中，欧氏距离的定义也可以很容易地推广到n维空间。
欧几里得距离在几何学、物理学和工程学中都有广泛的应用，它是最为直观的距离定义之一。
2.曼哈顿距离曼哈顿距离又称为城市街区距离，它是指在城市街区中两点之间的距离，即两点在横纵坐标上的距离之和。
在二维平面上，两点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$之间的曼哈顿距离可使用以下公式计算：$$d = |x_2-x_1| + |y_2-y_1|$$曼哈顿距离的概念最初来源于纽约市的城市规划，被用来衡量从一个街区到另一个街区的行走距离。
曼哈顿距离在寻路算法、距离测量以及图像处理等领域有广泛的应用。
3.切比雪夫距离切比雪夫距离是指在几何空间中两点之间的最大距离，它是欧几里得距离的一种特殊情况。
在二维平面上，两点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$之间的切比雪夫距离可使用以下公式计算：$$d = \max(|x_2-x_1|, |y_2-y_1|)$$切比雪夫距离在图像处理、模式识别、机器学习等领域被广泛运用，它能够很好地描述两个点之间的最大距离，具有一定的实际意义。
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高中数学立体几何 空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线.(2)在Rt △BEF 中，BF =a 23,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 212，即EF =a 22.由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为a 22. 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED .∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB .∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离.∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =22212322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∴AB 、CD 的距离是22. 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.例1题图例2题图（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.题型二：两条异面直线间的距离【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =32BE =332332=⨯. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =36331222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-BO AB .∴A 到平面BCD 的距离是36. 【例4】在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =2π,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55,又P A ⊥平面ABCD ,P A =a ,求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离.【规范解答】 (1)作AF ⊥DC 于F ,连结PF , ∵AP ⊥平面ABCD ,AF ⊥DC ,∴PF ⊥DC , ∴∠PF A 就是二面角P —CD —A 的平面角. 在△ADF 中,∠AFD =90°,∠ADF =arcsin55,AD =3a ,∴AF =53a , 在Rt △P AF 中tan ∠PF A =3535==a a AF PA ,∴∠PF A =arc tan 35. (2)∵P A ⊥平面ABCD ,∴P A ⊥BC ,又BC ⊥AB ,∴BC ⊥平面P AB ,作AH ⊥PB ,则BC ⊥AH ,∴AH ⊥平面PBC ,∵P A ⊥AB ,P A =AB =a ,∴PB =2a ,∴AH =a 22.【例5】如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. ∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1.∴DF=C 1H=2. .6222=+=∴DF BD BF （Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ， 且AG ⊂面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到面AEC 1F 的距离..113341712317123,17121743cos 3cos 3,.17,1,2211221=+⨯=⨯=∴=⨯===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CGBGCC EB 知由从而可得由解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0）， A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.∵AEC 1F 为平行四边形，例3题图B ACD1A1B 1C1A .62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴（II ）设1n 为面AEC 1F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x AF n AE n 得由⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则11114cos 33||||CC n CC n α⋅==⋅ ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d【例6】正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。
（1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离． 解：（1）连结BD ，D B 1，由三垂线定理可得：AC D B ⊥1， 所以D B 1就是1B 点到直线AC 的距离。
在BD B Rt 1∆中,6810222211=-=-=BC C B BB 34=BD ．2122121=+=∴B B BD D B ．（2）因为AC 与平面BD 1C 交于ＡＣ的中点Ｄ， 设E BC C B =⋂11，则1AB //DE ，所以1AB //平面BD C 1， 所以1AB 到平面BD 1C 的距离等于Ａ点到平面BD 1C 的距离，等于Ｃ点到平面BD 1C 的距离，也就等于三棱 锥1BDC C -的高， BDC C BDC C V V --=11 ，131311CC S hS BDC BDC ∆∆=∴，131312=∴h ，即直线1AB 到平面BD 1C 的距离是131312． 【解后归纳】 求空间距离注意三点： 1．常规遵循一作二证三计算的步骤； 2．多用转化的思想求线面和面面距离；3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．【范例4】如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4π.解析：法1（1）∵AE ⊥面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2，故.2121,232152211=⋅⋅==-⋅⋅=∆∆BC AE S S ACE C AD 而 11111131,1,.33223D AECAEC AD C V S DD S h h h -∆∆∴=⋅=⋅∴⨯=⨯∴=1A（3）过D 作DH ⊥CE于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ， ∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角.设AE=x ，则BE=2－x11,, 1.4,,,Rt D DH DHD DH Rt ADE DE Rt DHE EH x π∆∠=∴=∆=∴∆=在中在中在中.4,32.32543.54,3122π的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=⇒+-=+∴+-=∆=∆法2：以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，E(1，x ，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为 （2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0）， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，)1,0,1(1-=AD ，设平面ACD 1的法向量为),,(c b a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01AD n AC n 也即⎩⎨⎧=+-=+-002c a b a ，得⎩⎨⎧==c a b a 2， 从而)2,1,2(=n ，所以点E 到平面AD 1C 的距离为.313212||1=-+==n n E D h （3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a n =， ∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0)2(02,0,01x b a c b CE n C D n 令b =1, ∴c=2, a =2－x ，∴).2,1,2(x n -=依题意.225)2(222||||4cos211=+-⇒=⋅=x DD n DD n π∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为4π. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.把边长为a 的正△ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，则点A 到BC 的距离是 ( )A.aB.a 26 C.a 33 D.a 415 2.△ABC 中，AB =9，AC =15，∠BAC =120°.△ABC 所在平面外一点P 到三个顶点A 、B 、C 的距离都是14，那么点P 到平面α的距离为 ( )A.7B.9C.11D.133.从平面α外一点P 向α引两条斜线P A ,PB .A ,B 为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分别是2cm 和12cm ,则P 到α的距离是 ( )A.4cmB.3cm 或4cmC.6cmD.4cm 或6cm4.空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为 ( )A.a 21 B.a 22 C.a 23 D.a 5.在四面体P —ABC 中，P A 、PB 、PC 两两垂直.M 是面ABC 内一点，且点M 到三个面P AB 、PBC 、PCA 的距离分别为2、3、6，则点M 到顶点P 的距离是 ( )A.7B.8C.9D.106.如图，将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离是 ( )A.a 43B.a 43 C.a 23 D.a 467.如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD =AD ＝1，设点C 到平面P AB 的距离为d 1，点B 到平面P AC 的距离为d 2，则有 ( )A.1<d 1<d 2B.d 1<d 2<1C.d 1<1<d 2D.d 2<d 1<18.如图所示，在平面α的同侧有三点A 、B 、C ，△ABC 的重心为G .如果A 、B 、C 、G 到平面α的距离分别为a 、b 、c 、d ，那么a+b+c 等于 ( )A.2dB.3dC.4dD.以上都不对9.如图，菱形ABCD 边长为a ，∠A =60°，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点且2====DGCGFB CF HD AH EB AE ，沿EH 和FG 把菱形的两锐角折起，使A 、C 重合，这时点A 到平面EFGH 的距离是 ( )A.2a B.a 22 C.a 23 D.a 615二、思维激活10.二面角α-MN -β等于60°，平面α内一点A 到平面β的距离AB 的长为4，则点B 到α的距离为 .11.在60°的二面角α—l —β中，A ∈α,AC ⊥l 于C ，B ∈β，BD ⊥l 于D ，又AC =BD =a ,CD =2a ，则A 、B 两点间距离为 .12.设平面α外两点A 和B 到平面α的距离分别为4cm 和1cm ，AB 与平面α所成的角是60°，则线段AB 的长是 .13.在直角坐标系中,已知A (3,2),B (-3,-2)沿y 轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A —Oy —B 后,∠AOB =90°，则cos α的值是 . 三、能力提高第6题图第7题图 第8题图 第9题图14.在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，E是P A的中点，求点E到平面PBC的距离．15.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB为直角，侧面AB1与侧面AC1所成的二面角为60°，M为AA1上的点.∠A1MC1=30°，∠BMC1=90°，AB=a.(1)求BM与侧面AC1所成角的正切值.(2)求顶点A到面BMC1的距离.第15题图16.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直.∠ABC=90°,BC=2,AC =23,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离.17.如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB与BC的中点，EF与BD交于H.(1)求二面角B1—EF—B的大小.(2)试在棱B1B上找一点M，使D1M⊥面EFB1，并证明你的结论.(3)求点D1到面EFB1的距离.第17题图空间的距离习题解答1.D 折后BC =2a ,∴点A 到BC 的距离为415422a a a =⎪⎭⎫⎝⎛-.2.A BC =21120cos 159215922=︒⨯⨯-+. ∴△ABC 外接圆半径R =37120sin 221=︒,∴点P 到α的距离为.7)37(1422=-3.D 设PO ⊥α垂足为O ,|PO |=x cm ,∠OAP =β,∠OBP =γ,那么β-γ=45°, tan β=2x ,tan γ=12x,tan (β-γ)=tan 45° 展开左边并整理得:x 2-10x +24=0,解得x 1=6,x 2=4.4.B P 、Q 的最短距离即为异面直线AB 与CD 间的距离，当P 为AB 的中点，Q 为CD 的中点时符合题意.5.A PM =7632222=++.6.C 取BD 的中点O 连AO 、OC ，作OE ⊥AC 于E ，则OE 为所求，∴AO =CO =AC =23a . 7.D 点C 到平面P AB 的距离d 1=22, 点B 到平面P AC 的距离d 2=33211221=+⋅， ∵12233<<,∴d 2<d 1<1． 8.B |MM ′|=2c b +，又3122=+-+-c b a cb d .∴a +b +c =3d . 9.A 设BD 的中点为O ，∴EO =6760cos 2322322a a a a a =︒⨯⨯-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛，点A 到平面EFGH 的距离为23679422a a a =-. 10.2 作AC ⊥MN 于C ，连BC ，则BC ⊥MN ，∴∠ACB =60°，又MN ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面α，作BD ⊥AC 于D ，则BD ⊥α，∴BD 的长即为所求，得BD =2．11.a 3 AB =a a a a a a 360cos 2)2(222=︒⋅⋅⋅-++. 12.23cm 或3310cm 当点A 、B 在α同侧时，AB =3260sin 3=︒;当点A 、B 在α异侧时，AB =331060sin 5=︒ 13.94如图,AB ″=26)32(22222=+=+OB OA ∵BC ⊥y 轴,B ′C ⊥y 轴,∴∠B ′CB ″为二面角A —Oy —B 的平面角. ∠B ′CB ″=α,在△B ′CB ″中,B ′C =B ″C =3, B ′B ″=104262=-,由余弦定理易知cos α=94. 14.如图，将点E 到平面PBC 的距离转化成线面距，再转化成点面距. 连AC 、BD ，设AC 、BD 交于O ，则EO ∥平面PBC ， ∴OE 上任一点到平面PBC 的距离相等． ∵平面PBC ⊥平面ABCD ，过O 作OG ⊥平面PBC ，则G ∈BC ， 又∠ACB=60°，AC=BC=AB=a ， ∴OC =2a ,OG =OC sin60°=43a .点评：若直接过E 作平面PBC 的垂线，垂足难以确定．在解答求距离时，要注意距离之间的相互转化有的能起到意想不到的效果．15.(1)∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，∴∠BAC 为二面角B 1—AA 1—C 1的平面角，∴∠BAC =60°.又∵∠ACB 为直角，∴BC ⊥侧面AC 1.连MC ，则MC 是MB 在侧面AC 1上的射影. ∴∠BMC 为BM 与侧面AC 1所成的角.且∠CMC 1=90°，∠A 1MC 1=30°，所以∠AMC =60°. 设BC =m ，则AC =m 33，MC =32m ， 所以tan ∠BMC =23. 即BM 与侧面AC 1所成的角的正切值为23. (2)过A 作AN ⊥MC ，垂足为N ，则AN ∥面MBC 1.∵面MBC ⊥面MBC 1，且过N 作NH ⊥MB ，垂足为H ， 则NH 是N 到面MBC 1的距离，也就是A 到面MBC 1的距离. ∵AB =a ,AC =2a,且∠ACN =30°， ∴AN =4a 且∠AMN =60°，∴MN =a 123.第14题图解∴NH =MN sin ∠BMC =a 123×a 5239(本题还可用等积法). 16.(1)如图所示,作A 1D ⊥AC ,垂足为D ,由面A 1ACC 1⊥面ABC ,得A 1D ⊥面ABC ∴∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角 ∵AA 1⊥A 1C ,AA 1=A 1C ∴∠A 1AD =45°为所求.(2)作DE ⊥AB 垂足为E ,连A 1E ,则由A 1D ⊥面ABC ,得A 1E ⊥AB , ∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角.由已知AB ⊥BC 得DE ∥BC ,又D 是AC 的中点,BC =2,AC =23 ∴DE =1,AD =A 1D =3,tan ∠A 1ED =DEDA 1=3,故∠A 1ED =60°为所求. (３)连结A 1B ,根据定义,点C 到面A 1ABB 1的距离,即为三棱锥C —A 1AB 的高h . 由V C —A 1AB =V A 1-ABC 得31S △AA 1B h =31S △ABC ·A 1D 即313223122⨯⨯=⋅⨯h ,∴h =3为所求. 17.(1)如图连结B 1D 1，AC ，B 1H ， ∵底面为正方形ABCD ， ∴对角线AC ⊥BD .又∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点 ∴EF ∥AC .∴EF ⊥BD .又∵棱B 1B ⊥底面ABCD ，EF 面ABCD ，∴EF ⊥B 1B . 又B 1B ∩BD =B ,BB 1面BB 1D 1D ，BD 面BB 1D 1D . ∴EF ⊥面BB 1D 1D .而B 1Ｈ面BB 1D 1D ，BH 面BB 1D 1D ，∴EF ⊥B 1H ，EF ⊥BH . ∴∠B 1HB 为二面角B 1—EF —B 的平面角. 在Rt △B 1BH 中，B 1B =a ,BH =a 42， ∴tan ∠B 1HB =221=BHBB . ∴∠B 1HB =arctan22.∴二面角B 1—EF —B 的大小为arctan22.(2)在棱B 1B 上取中点M ，连D 1M ， 则D 1M ⊥面EFB 1.连结C 1M .∵EF ⊥面BB 1D 1D ，D 1M 面BB 1D 1D . ∴D 1M ⊥EF .又∵D 1C 1⊥面B 1BCC 1.∴C 1M 为D 1M 在面B 1BCC 1内的射影.在正方形B 1BCC 1中，M 、F 分别为B 1B 和BC 的中点， 由平面几何知识B 1F ⊥C 1M .于是，由三垂线定理可知B 1Ｆ⊥D 1Ｍ，而B 1F 面EFB 1，EF 面EFB 1，EF ∩B 1F =F ， ∴D 1M ⊥面EFB 1.(3)设D 1M 与面EFB 1交于N 点，则D 1N 为点D 到面EFB 1的距离， ∵B 1Ｎ面EFB 1,D 1M ⊥面EFB 1，第17题图解∴B 1N ⊥D 1M .在Rt △MB 1D 1中，由射影定理D 1B 12=D 1N ·D 1M ， 而D 1B 1=2a ,D 1Ｍ=a M B D B 2321211=+， ∴D 1N =.341211a M D B D = 即点D 1到面EFB 1的距离为a 34.空间距离的计算1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1) 求证：EF 是AB 和CD 的公垂线；(2)求AB 和CD 间的距离；【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离.例1题图例2题图【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.题型二：两条异面直线间的距离例3、如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离；例4、在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =2,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55,又P A ⊥平面ABCD ,P A =a ,求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离.例5、如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.例3题图B ACD1A1B 1C D 1C 1B 1A 1EDC BA 例6、正三棱柱111CB A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。