空间直角坐标系 空间两点间的距离公式
合集下载
4-3-1、2 空间直角坐标系和空间两点间的距离公式 67张
第四章
4.3
4.3.1 、4.3.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
画法
在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使 ∠xOy＝_______，∠yOz＝90° 135°
图示
第四章
4.3
4.3.1 、4.3.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即 说 明 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的 正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指 向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角 坐标系.
第四章 4.3 4.3.1 、4.3.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
自主预习 阅读教材P134～137，完成下列问题． 1．空间直角坐标系 以空间中两两______且相交于一点O的三条直线分 垂直 定 义 别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐
原点 标系Oxyz，其中点O叫做坐标_____，x轴、y轴、z 坐标轴 轴叫做________．通过每两个坐标轴的平面叫做 坐标平面 ________，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面
第四章 圆的方程
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
课前自主预习 课堂基础巩固 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
第四章
4.3
4.3.1 、4.3.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
课前自主预习
第四章
4.3
4.3.1 、4.3.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
温故知新 1．平面直角坐标系内的点的对称问题
第四章 4.3 4.3.1 、4.3.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
命题方向
4.3.2 空间两点间的距离公式3
2
2 2 2 (7 4) (1 3) (2 1) 14, =
M 2 M 3 = (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6,
2
M 3 M 1 = (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
2
所以 M2 M3 = M3 M1 ,
提示：在空间中，到定点 的距离等于定长的点的轨 迹是 以原点为球心，
z
P
O y
半径长为 r 的球面．
x
2.如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2 （x2，y2，z2）之间的距离公式会是怎样呢？ 提示：如图，设P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2） 是空间中任意两点，且点P1（x1，y1，z1）、 P2（x2，y2，z2） 在xOy平面上的射影分别为M,N, 那么M,N的坐标为M（x1，y1， 0）， N（x2，y2，0）.
2 2
即 (0 4)2 (0 1)2 ( z 7)2 (3 0)2 (5 0)2 (2 z)2
14 解之得 z 9
14 (0, 0, ). 9
所以所求点的坐标是
【变式练习】 在z轴上求一点M，使点M 到A（1,0,2）与点B（1， -3,1）的距离相等. 答案：(0, 0, 3)
x z
P2 P1
O
M1 N1 M M2
H N2 y N
2 2 MN = (x x ) +(y y ) . 在xOy平面上, 2 1 2 1
过点P1作P2N的垂线，垂足为H,
则 MP1 = z1 ,NP2 = z2 , 所以 HP2 = z2 - z1 .
在RtΔP1HP2中，
P1H = MN = (x2 - x1 ) +(y 2 - y 1 ) ,
2.空间两点间的距离公式
新课导入
通过建立直角坐标系可以确定空间中点的位置。 z z
M （x，y，z）
O x x y y
如何计算空间两点之间的距离?
4.3.2 空间两点间的 距离公式
思考
类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下 空间两点 P1 ( x1,y1,z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ) 间的距离公式吗？ 平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式
|P1Q1|=|x1-x2|； |Q1R1|=|y1-y2|；|R1P2|=|z1-z2|
|P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|2
| P1P2 | (x1 x 2 )2 (y 1 y 2 )2 (z1 z 2 )2
空间内两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2 )的距离公式是：
| AB | (10 4) 2 ( 1 1) 2 (6 9) 2 7 | BC | (4 2) 2 (1 4) 2 (9 3) 2 7 | AC | (10 2) 2 ( 1 4) 2 (6 3) 2 98
因为 7 7 98,
所以
| OP |
x2 y2 z 2
思考
如果|OP|是定长r，那么 x2 y 2 z 2 r2 表示什 么图形？ z
O
x y
表示以原点为球心，r为半径的球体。
空间任意两点间的距离. R2 z S2 O x Q1 y Q2
P2 (x2,y2,z2) S1 P1 (x1,y1,z1) R1
| P1 P2 | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
通过建立直角坐标系可以确定空间中点的位置。 z z
M （x，y，z）
O x x y y
如何计算空间两点之间的距离?
4.3.2 空间两点间的 距离公式
思考
类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下 空间两点 P1 ( x1,y1,z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ) 间的距离公式吗？ 平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式
|P1Q1|=|x1-x2|； |Q1R1|=|y1-y2|；|R1P2|=|z1-z2|
|P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|2
| P1P2 | (x1 x 2 )2 (y 1 y 2 )2 (z1 z 2 )2
空间内两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2 )的距离公式是：
| AB | (10 4) 2 ( 1 1) 2 (6 9) 2 7 | BC | (4 2) 2 (1 4) 2 (9 3) 2 7 | AC | (10 2) 2 ( 1 4) 2 (6 3) 2 98
因为 7 7 98,
所以
| OP |
x2 y2 z 2
思考
如果|OP|是定长r，那么 x2 y 2 z 2 r2 表示什 么图形？ z
O
x y
表示以原点为球心，r为半径的球体。
空间任意两点间的距离. R2 z S2 O x Q1 y Q2
P2 (x2,y2,z2) S1 P1 (x1,y1,z1) R1
| P1 P2 | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
测量坐标计算公式大全
测量坐标计算公式大全一、两点间距离公式（平面直角坐标系）设两点坐标分别为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，则两点间的距离d为：d = √((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)例如，A(1,2)，B(4,6)，则x_1 = 1,y_1=2,x_2 = 4,y_2 = 6d=√((4 - 1)^2+(6 - 2)^2)=√(3^2 + 4^2)=√(9+16)=√(25) = 5二、中点坐标公式（平面直角坐标系）设两点坐标分别为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，则AB中点M的坐标为(x_m,y_m)，其中。
x_m=(x_1 + x_2)/(2)y_m=(y_1 + y_2)/(2)例如，A( - 2,3)，B(4,-1)，则中点M的坐标为。
x_m=(-2+4)/(2)=1y_m=(3+(-1))/(2)=1即中点M(1,1)三、直线的斜率公式（平面直角坐标系）设直线上两点坐标为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)（x_1≠ x_2），则直线AB的斜率k 为：k=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)例如，A(1,2)，B(3,6)，则k=(6 - 2)/(3 - 1)=(4)/(2)=2四、直线的点斜式方程（平面直角坐标系）已知直线过点(x_0,y_0)，斜率为k，则直线方程为y - y_0=k(x - x_0)例如，直线过点(1,3)，斜率k = 2，则直线方程为y-3 = 2(x - 1)，即y=2x+1五、平面直角坐标系中坐标旋转公式。
设点P(x,y)绕原点旋转θ角后得到点P'(x',y')x'=xcosθ - ysinθy'=xsinθ + ycosθ六、极坐标与直角坐标的转换公式。
1. 直角坐标(x,y)转换为极坐标(ρ,θ)ρ=√(x^2 + y^2)θ=arctan(y)/(x)(x≠0)2. 极坐标(ρ,θ)转换为直角坐标(x,y)x = ρcosθy=ρsinθ七、空间直角坐标系中两点间距离公式。
《空间两点间的距离公式》名师课件2
当 x＝87时，|AB|有最小值 57＝ 735.
此时 A87，277，97，B1，272，67.
例题讲解
例2、已知A（1，-2，11），B（4，2，3） ，C（6，-1，4），求证其连线组成的三角 形为直角三角形。
证明：利用两点间距离公式，由
| AB | 89,| AC | 75,| BC | 14
巩固训练
1、(1)已知两点 P(1，0，1)与 Q(4，3，－1)． ①求 P、Q 之间的距离； ②求 z 轴上的一点 M，使|MP|＝|MQ|. (2)已知 A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求|AB|取最小 值时，A、B 两点的坐标，并求此时的|AB|. 解：
(1)①|PQ|＝ （1－4）2＋（0－3）2＋（1＋1）2＝ 22. ②设 M(0，0，z)由|MP|＝|MQ|， 得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2， 所以 z＝－6.所以 M(0，0，－6)．
空间两点间的距离公式
复习引入
如何计算空间两点之间的距离?
复习引入
1.在平面直角坐标系中两点间 的距离公式是什么？
复习引入
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式
| P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
y
P1
o
x
P2
复习引入
2.类比平面两点间的距离公式，你 能猜想出在空间直角坐标系中两点 间的距离公式吗？
|BC|＝ （6－4）2＋（－1－2）2＋（4－3）2＝ 14， 所以|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，故△ABC 为直角三角形．
例题讲解
例1、(2)如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上
已知两个坐标点求距离的公式
已知两个坐标点求距离的公式介绍在几何学中，已知两个点的坐标，我们经常需要计算它们之间的距离。
这种距离计算在物理学、地理学、计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍两个坐标点之间距离计算的基本公式。
直角坐标系下的两点距离计算在直角坐标系中，我们可以通过两个点的坐标来计算它们之间的距离。
设两个点的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)。
根据勾股定理，我们可以使用以下公式计算两个点之间的距离d：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中x2、x1、y2和y1分别代表点B和A的x坐标和y坐标。
示例假设点A的坐标为(2, 3)，点B的坐标为(5, 7)，我们可以使用上述公式计算它们之间的距离。
将坐标代入公式中，可以得到：d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5。
三维空间中的两点距离计算对于三维空间中的点，我们可以通过类似的方法计算它们之间的距离。
假设点A的坐标为(x1, y1, z1)，点B的坐标为(x2, y2, z2)，我们可以使用以下公式计算它们之间的距离：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)同样，我们可以通过将点A和点B的坐标代入公式来计算它们之间的距离。
总结已知两个坐标点，我们可以使用勾股定理来计算它们之间的距离。
根据坐标点所在的空间维度不同，我们可以使用二维或三维距离公式来计算距离。
这些公式在各种领域中都有着重要的应用，例如计算两个物体之间的距离、城市之间的距离等。
在实际应用中，我们可以使用计算机编程语言中提供的数学库函数来直接计算距离，这样可以更加方便和高效地进行坐标点距离的计算。
希望本文对你计算两个坐标点之间的距离有所帮助！。
用4.3.2空间两点间的距离公式
解：以底面中心作为坐标原点O，建立如图所示坐标系， 则P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上，且P1、P2、P3、P4 均在xOy平面上. ∵正四棱锥的所有棱长为a， a a a a 0) . ∴P1 ( ， ， 0) ，P2 ( ， ，
2 2
2 2
∵P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称.
dx dy dz
y z
2 0
2 0 2 0 2 0
O x
x z
2 0 2 0
x y
规律：谁没有，就等于谁.
练 5 ．点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________ ． 1. 习 5
[解析]
d＝|z|＝5.
6．已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个 2.
[答案] ．(1,1,1)或(－1，－1，－1) 坐标同号，则点M的坐标为________
3 解： M的坐标为 (4, ,5) 2 5 N的坐标为 (4,3, ) 2
(0,0,5) (4,0,5) (4,3,5)
(0,3,5)
3 AC与BO交点的坐标 (2, ,0) 2
3 5 AC1与A1C的交点的坐标 (2, , ) 2 2
(0,3,0)
(0,0,0)
(4,0,0) (4,3,0)
练 7.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为D1D、BD的 1 习 中点，G在棱CD上，且CG= CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系， 写出E、F、G、H点的坐标. 4 z (0,0,1) 解:如图所示,以D为原点,DA所在直线为x 轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴 建立空间直角坐标系. (1,0,1)
(2)求EF的长．
2 2
2 2
∵P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称.
dx dy dz
y z
2 0
2 0 2 0 2 0
O x
x z
2 0 2 0
x y
规律：谁没有，就等于谁.
练 5 ．点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________ ． 1. 习 5
[解析]
d＝|z|＝5.
6．已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个 2.
[答案] ．(1,1,1)或(－1，－1，－1) 坐标同号，则点M的坐标为________
3 解： M的坐标为 (4, ,5) 2 5 N的坐标为 (4,3, ) 2
(0,0,5) (4,0,5) (4,3,5)
(0,3,5)
3 AC与BO交点的坐标 (2, ,0) 2
3 5 AC1与A1C的交点的坐标 (2, , ) 2 2
(0,3,0)
(0,0,0)
(4,0,0) (4,3,0)
练 7.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为D1D、BD的 1 习 中点，G在棱CD上，且CG= CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系， 写出E、F、G、H点的坐标. 4 z (0,0,1) 解:如图所示,以D为原点,DA所在直线为x 轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴 建立空间直角坐标系. (1,0,1)
(2)求EF的长．
空间中两点的距离公式PPT教学课件
有些鱼类的唇有味蕾分布。 有些鱼类口边有富有味蕾的须。
10
（一）齿teeth
作用：捕食，不能 咀嚼。
硬骨鱼类的齿：可 分为颌齿、腭齿、 犁齿、咽齿等。 统称为口腔齿。
犁齿和腭齿的有无，
左右下咽齿是否
分离或愈合等常
作为分类标志之
11
咽齿
鲤科鱼类的第五鳃弓 的角鳃骨特别扩大，特称 为咽骨或下咽骨，咽骨上 长的齿，就是咽齿。
胰脏分泌胰蛋白酶、胰脂肪酶及胰淀粉酶， 能消化分解蛋白质、脂肪和醣类，为十分重 要的消化酶类。胰脏产生的消化酶通过胰31管
胃腺（gastric gland）
圆口类及肺鱼类无特殊分化的胃腺，其余鱼类 胃腺一般均存在。少数无胃鱼类如鲤科、隆 头鱼科等无胃腺。
胃腺分泌胃蛋白酶，分解食物中的蛋白质。凶 猛的肉食性鱼类的胃蛋白酶的活性特别高。
Y 型：盲囊部明显突出，贲门部、幽门 部及盲囊部分界明显，如拟沙丁鱼、鳀及鳗 鲡等鱼类的胃。
卜型：盲囊部特别延长而发达，幽门部22较
四、肠（intestine）
软骨鱼类板鳃亚纲的肠可明显分出小肠和大 肠，小肠又可分为十二指肠及回肠。大肠 可分为结肠和直肠。
硬骨鱼类及全头类的肠的末端以肛门开口体 外，板鳃亚纲肠管末端则以肛门开口于泄 殖腔。
X
§4.3.1 空间中两点的距离公式
1
(1) 在空间直角坐标系中，任意一点 P(x,y,z)到原点的距离：
z
| OP | x2 y2 z2
O x
P(x,y,z)
y
P`(x,y,0)
2
(1) 在空间直角坐标系中，任意两点 P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离：
| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
10
（一）齿teeth
作用：捕食，不能 咀嚼。
硬骨鱼类的齿：可 分为颌齿、腭齿、 犁齿、咽齿等。 统称为口腔齿。
犁齿和腭齿的有无，
左右下咽齿是否
分离或愈合等常
作为分类标志之
11
咽齿
鲤科鱼类的第五鳃弓 的角鳃骨特别扩大，特称 为咽骨或下咽骨，咽骨上 长的齿，就是咽齿。
胰脏分泌胰蛋白酶、胰脂肪酶及胰淀粉酶， 能消化分解蛋白质、脂肪和醣类，为十分重 要的消化酶类。胰脏产生的消化酶通过胰31管
胃腺（gastric gland）
圆口类及肺鱼类无特殊分化的胃腺，其余鱼类 胃腺一般均存在。少数无胃鱼类如鲤科、隆 头鱼科等无胃腺。
胃腺分泌胃蛋白酶，分解食物中的蛋白质。凶 猛的肉食性鱼类的胃蛋白酶的活性特别高。
Y 型：盲囊部明显突出，贲门部、幽门 部及盲囊部分界明显，如拟沙丁鱼、鳀及鳗 鲡等鱼类的胃。
卜型：盲囊部特别延长而发达，幽门部22较
四、肠（intestine）
软骨鱼类板鳃亚纲的肠可明显分出小肠和大 肠，小肠又可分为十二指肠及回肠。大肠 可分为结肠和直肠。
硬骨鱼类及全头类的肠的末端以肛门开口体 外，板鳃亚纲肠管末端则以肛门开口于泄 殖腔。
X
§4.3.1 空间中两点的距离公式
1
(1) 在空间直角坐标系中，任意一点 P(x,y,z)到原点的距离：
z
| OP | x2 y2 z2
O x
P(x,y,z)
y
P`(x,y,0)
2
(1) 在空间直角坐标系中，任意两点 P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离：
| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【自主解答】 如图所示，分别以 AB，AD，AA1 所在的直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系．
由题意可知 C(3,3,0)，D(0,3,0)， ∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2， ∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)， ∵N 为 CD1 的中点，
3 ∴N2，3，1.
[探究共研型]
空间两点间的距离
探究 1 已知两点 P(1,0,1)与 Q(4,3，－1)，请求出 P、Q 之间的距离．
【提示】 |PQ|＝ 1－42＋0－32＋1＋12＝ 22.
探究 2 的坐标．
上述问题中，若在 z 轴上存在点 M，使得|MP|＝|MQ|，请求出点 M
【提示】 设 M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|， 得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2， ∴z＝－6.∴M(0,0，－6)．
[再练一题] 1．在棱长都为 2 的正三棱柱 ABCA1B1C1 中，建立恰当的空间直角坐标系， 并写出三棱柱 ABCA1B1C1 各顶点的坐标.
【解】
取 BC，B1C1 的中点分别为 O，O1，连接 OA，OO1，
3 根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1 两两互相垂直，且 OA＝ 2 ×2 ＝ 3，
任意一点 Px，y，z，关于原点对称的点是 P1－x，－y，－z；关于 x 轴 横轴对称的点是 P2x，－y，－z；关于 y 轴纵轴对称的点是 P3－x，y，－z； 关于 z 轴竖轴对称的点是 P4－x，－y，z；关于 xOy 平面对称的点是 P5x，y， －z；关于 yOz 平面对称的点是 P6－x，y，z；关于 xOz 平面对称的点是 P7x， －y，z.,求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的 口诀来记忆.
(2) 在空间直角坐标系中，在 yOz 平面上的点的坐标一定可写成 (0 ， b ， c ) ．( ) ) )
(3)在空间直角坐标系中，在 Oz 轴上的点的坐标可记作(0,0，c)．( (4)在空间直角坐标系中，在 xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c)．(
【解析】 (1)错误．x 轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为 0. (2)、(3)、(4)正确．
【精彩点拨】 对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标．
【自主解答】
(1)由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y
轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为 P1(－2，－1，－4)． (2)由于点 P 关于 xOy 平面对称后，它在 x 轴、y 轴的分量不变，在 z 轴的分 量变为原来的相反数，所以对称点坐标为 P2(－2,1，－4)． (3)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3 的中点， 由中点坐标公式，可得 x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以 P3 的坐标为(6，－3，－12)．
【答案】 －7 或 13
[小组合作型]
空间中点的坐标的确定
在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 D1D、BD 1 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝4CD，H 为 C1G 的中点，试建立适当的坐标系， 写出 E、F、G、H 的坐标．
【精彩点拨】 求点的坐标．
要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所
画法
在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使∠xOy＝____ ，∠yOz 135° ＝90°
图示
右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中， 本书建立的坐标系都是____
y 轴的正方向， x 轴的正方向， 说明 让右手拇指指向__ 食指指向__ 中指指向
__ z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
教材整理 2 空间两点间的距离公式 阅读教材 P136“练习”以下至 P137 部分，完成下列问题．
2 2 2 x ＋ y ＋ z 1．点 P(x，y，z)到坐标原点 O(0,0,0)的距离|OP|＝__________.
2 ． 任 意 两 点 P1(x1 ， y1 ， z1) ， P2(x2 ， y2 ， z2) 间 的 距 离 |P1P2| ＝
2 2 2 x － x ＋ y － y ＋ z － z 1 2 1 2 1 2 ______________________________.
在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝ 110，则 m 的值 为________．
【解析】 |AB|＝ －1－22＋2－12＋3－m2 ＝ 110， ∴(3－m)2＝100,3－m＝± 10. ∴m＝－7 或 13.
[构建· 体系]
1．点 A(－1,2,1)在 x 轴上的投影点和在 xOy 平面上的投影点的坐标分别为 ( ) A．(－1,0,1)，(－1,2,0) B．(－1,0,0)，(－1,2,0) C．(－1,0,0)，(－1,0,0) D．(－1,2,0)，(－1,2,0)
【解析】 点 A(－1,2,1)在 x 轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标 都为 0， 故为(－1,0,0)， 点 A(－1,2,1)在 xOy 平面上横、 纵坐标不变且竖坐标是 0， 故为(－1,2,0)．
M 是 A1C1 的三分之一分点且靠近 A1 点， ∴M(1,1,2)．由两点间距离公式，得 |MN|＝ 21 ＝ 2 .
3 －12＋3－12＋1－22 2
利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：
[再练一题] 3． 如图 432 所示， 直三棱柱 ABCA1B1C1 中， |C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， AC⊥CB， D，E 分别是棱 AB，B1C1 的中点，F 是 AC 的中点，求 DE，EF 的长度．
【解析】 由|AB|＝ 6－42＋2＋72＋z－12 ＝11， 解得 z＝7 或－5.
【答案】 7 或－5
5．(2016·威海高一检测)VABCD 为正四棱锥，O 为底面中心，若 AB＝2， VO＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标.
【解】
以底面中心 O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．
【自主解答】
建立如图所示的空间直角坐标系．点 E 在 z 轴上，它的 x
1 DD1 的中点，故其坐标为0，0，2.
坐标、y 坐标均为 0，而 E 为
1 1 由 F 作 FM⊥AD、FN⊥DC，由平面几何知 FM＝2、FN＝2，则 F 点
1 1 坐标为2，2，0. 3 3 点 G 在 y 轴上，其 x、z 坐标均为 0，又 GD＝4，故 G 点坐标为0，4，0.
[基础· 初探] 教材整理 1 空间直角坐标系
阅读教材 P134～P135“例 1”以上部分，完成下列问题． 1．空间直角坐标系 以空间中两两____ 垂直且相交于一点 O 的三条直线分别为 x 轴、y 轴、 定义 z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系 Oxyz，其中点 O 叫做坐标
原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做______ 坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做 ____ zOx 平面 坐标平面，分别称为 xOy 平面、yOz 平面、____ ________
【答案】 A
3．已知 A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段 AB 中点的坐标为________．
【解析】 设中点坐标为(x0，y0，z0)， 3＋5 2－2 －4＋2 则 x0＝ 2 ＝4，y0＝ 2 ＝0，z0＝ 2 ＝－1， ∴中点坐标为(4,0，－1)．
【答案】 (4,0，－1)
4．设 A(4，－7,1)，B(6,2，z)，|AB|＝11，则 z＝________.
如图 431 所示， 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， |AB|＝|AD|＝3， |AA1| ＝2，点 M 在 A1C1 上，|MC1|＝2|A1M|，N 在 D1C 上且为 D1C 的中点，求线段 MN 的长度．
图 431
【精彩点拨】 先建立空间直角坐标系，求出点 M、N 的坐标，然后利用 两点间的距离公式求解．
1 1 由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点，故 HK＝2、CK＝8.
7 1 7 ∴DK＝8.故 H 点坐标为0，8，2.
1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性． 2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其 两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上 正负号)，确定第三个坐标．
【答案】 B
2．在空间直角坐标系中，点 P(3,4,5)与 Q(3，－4，－5)两点的位置关系是 ( ) A．关于 x 轴对称 B．关于 xOy 平面对称 C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
【解析】 点 P(3,4,5)与 Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标 互为相反数，所以两点关于 x 轴对称．
阶 段 一
4.3 4.3.1 4.3.2Βιβλιοθήκη 空间直角坐标系 空间直角坐标系
阶 段 三
空间两点间的距离公式
阶 段 二
学 业 分 层 测 评
1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2． 能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点． (重点、 易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问 题．(重点)
∵V 在 z 轴正半轴上，且|VO|＝3，它的横坐标与纵坐标都是零， ∴点 V 的坐标是(0,0,3)．而 A、B、C、D 都在 xOy 平面上， ∴它们的竖坐标都是零． 又|AB|＝2， ∴A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，V(0,0,3)．
由题意可知 C(3,3,0)，D(0,3,0)， ∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2， ∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)， ∵N 为 CD1 的中点，
3 ∴N2，3，1.
[探究共研型]
空间两点间的距离
探究 1 已知两点 P(1,0,1)与 Q(4,3，－1)，请求出 P、Q 之间的距离．
【提示】 |PQ|＝ 1－42＋0－32＋1＋12＝ 22.
探究 2 的坐标．
上述问题中，若在 z 轴上存在点 M，使得|MP|＝|MQ|，请求出点 M
【提示】 设 M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|， 得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2， ∴z＝－6.∴M(0,0，－6)．
[再练一题] 1．在棱长都为 2 的正三棱柱 ABCA1B1C1 中，建立恰当的空间直角坐标系， 并写出三棱柱 ABCA1B1C1 各顶点的坐标.
【解】
取 BC，B1C1 的中点分别为 O，O1，连接 OA，OO1，
3 根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1 两两互相垂直，且 OA＝ 2 ×2 ＝ 3，
任意一点 Px，y，z，关于原点对称的点是 P1－x，－y，－z；关于 x 轴 横轴对称的点是 P2x，－y，－z；关于 y 轴纵轴对称的点是 P3－x，y，－z； 关于 z 轴竖轴对称的点是 P4－x，－y，z；关于 xOy 平面对称的点是 P5x，y， －z；关于 yOz 平面对称的点是 P6－x，y，z；关于 xOz 平面对称的点是 P7x， －y，z.,求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的 口诀来记忆.
(2) 在空间直角坐标系中，在 yOz 平面上的点的坐标一定可写成 (0 ， b ， c ) ．( ) ) )
(3)在空间直角坐标系中，在 Oz 轴上的点的坐标可记作(0,0，c)．( (4)在空间直角坐标系中，在 xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c)．(
【解析】 (1)错误．x 轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为 0. (2)、(3)、(4)正确．
【精彩点拨】 对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标．
【自主解答】
(1)由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y
轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为 P1(－2，－1，－4)． (2)由于点 P 关于 xOy 平面对称后，它在 x 轴、y 轴的分量不变，在 z 轴的分 量变为原来的相反数，所以对称点坐标为 P2(－2,1，－4)． (3)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3 的中点， 由中点坐标公式，可得 x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以 P3 的坐标为(6，－3，－12)．
【答案】 －7 或 13
[小组合作型]
空间中点的坐标的确定
在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 D1D、BD 1 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝4CD，H 为 C1G 的中点，试建立适当的坐标系， 写出 E、F、G、H 的坐标．
【精彩点拨】 求点的坐标．
要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所
画法
在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使∠xOy＝____ ，∠yOz 135° ＝90°
图示
右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中， 本书建立的坐标系都是____
y 轴的正方向， x 轴的正方向， 说明 让右手拇指指向__ 食指指向__ 中指指向
__ z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
教材整理 2 空间两点间的距离公式 阅读教材 P136“练习”以下至 P137 部分，完成下列问题．
2 2 2 x ＋ y ＋ z 1．点 P(x，y，z)到坐标原点 O(0,0,0)的距离|OP|＝__________.
2 ． 任 意 两 点 P1(x1 ， y1 ， z1) ， P2(x2 ， y2 ， z2) 间 的 距 离 |P1P2| ＝
2 2 2 x － x ＋ y － y ＋ z － z 1 2 1 2 1 2 ______________________________.
在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝ 110，则 m 的值 为________．
【解析】 |AB|＝ －1－22＋2－12＋3－m2 ＝ 110， ∴(3－m)2＝100,3－m＝± 10. ∴m＝－7 或 13.
[构建· 体系]
1．点 A(－1,2,1)在 x 轴上的投影点和在 xOy 平面上的投影点的坐标分别为 ( ) A．(－1,0,1)，(－1,2,0) B．(－1,0,0)，(－1,2,0) C．(－1,0,0)，(－1,0,0) D．(－1,2,0)，(－1,2,0)
【解析】 点 A(－1,2,1)在 x 轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标 都为 0， 故为(－1,0,0)， 点 A(－1,2,1)在 xOy 平面上横、 纵坐标不变且竖坐标是 0， 故为(－1,2,0)．
M 是 A1C1 的三分之一分点且靠近 A1 点， ∴M(1,1,2)．由两点间距离公式，得 |MN|＝ 21 ＝ 2 .
3 －12＋3－12＋1－22 2
利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：
[再练一题] 3． 如图 432 所示， 直三棱柱 ABCA1B1C1 中， |C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， AC⊥CB， D，E 分别是棱 AB，B1C1 的中点，F 是 AC 的中点，求 DE，EF 的长度．
【解析】 由|AB|＝ 6－42＋2＋72＋z－12 ＝11， 解得 z＝7 或－5.
【答案】 7 或－5
5．(2016·威海高一检测)VABCD 为正四棱锥，O 为底面中心，若 AB＝2， VO＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标.
【解】
以底面中心 O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．
【自主解答】
建立如图所示的空间直角坐标系．点 E 在 z 轴上，它的 x
1 DD1 的中点，故其坐标为0，0，2.
坐标、y 坐标均为 0，而 E 为
1 1 由 F 作 FM⊥AD、FN⊥DC，由平面几何知 FM＝2、FN＝2，则 F 点
1 1 坐标为2，2，0. 3 3 点 G 在 y 轴上，其 x、z 坐标均为 0，又 GD＝4，故 G 点坐标为0，4，0.
[基础· 初探] 教材整理 1 空间直角坐标系
阅读教材 P134～P135“例 1”以上部分，完成下列问题． 1．空间直角坐标系 以空间中两两____ 垂直且相交于一点 O 的三条直线分别为 x 轴、y 轴、 定义 z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系 Oxyz，其中点 O 叫做坐标
原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做______ 坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做 ____ zOx 平面 坐标平面，分别称为 xOy 平面、yOz 平面、____ ________
【答案】 A
3．已知 A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段 AB 中点的坐标为________．
【解析】 设中点坐标为(x0，y0，z0)， 3＋5 2－2 －4＋2 则 x0＝ 2 ＝4，y0＝ 2 ＝0，z0＝ 2 ＝－1， ∴中点坐标为(4,0，－1)．
【答案】 (4,0，－1)
4．设 A(4，－7,1)，B(6,2，z)，|AB|＝11，则 z＝________.
如图 431 所示， 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， |AB|＝|AD|＝3， |AA1| ＝2，点 M 在 A1C1 上，|MC1|＝2|A1M|，N 在 D1C 上且为 D1C 的中点，求线段 MN 的长度．
图 431
【精彩点拨】 先建立空间直角坐标系，求出点 M、N 的坐标，然后利用 两点间的距离公式求解．
1 1 由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点，故 HK＝2、CK＝8.
7 1 7 ∴DK＝8.故 H 点坐标为0，8，2.
1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性． 2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其 两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上 正负号)，确定第三个坐标．
【答案】 B
2．在空间直角坐标系中，点 P(3,4,5)与 Q(3，－4，－5)两点的位置关系是 ( ) A．关于 x 轴对称 B．关于 xOy 平面对称 C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
【解析】 点 P(3,4,5)与 Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标 互为相反数，所以两点关于 x 轴对称．
阶 段 一
4.3 4.3.1 4.3.2Βιβλιοθήκη 空间直角坐标系 空间直角坐标系
阶 段 三
空间两点间的距离公式
阶 段 二
学 业 分 层 测 评
1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2． 能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点． (重点、 易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问 题．(重点)
∵V 在 z 轴正半轴上，且|VO|＝3，它的横坐标与纵坐标都是零， ∴点 V 的坐标是(0,0,3)．而 A、B、C、D 都在 xOy 平面上， ∴它们的竖坐标都是零． 又|AB|＝2， ∴A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，V(0,0,3)．