空间距离公式及距离问题
空间中点到直线距离的计算公式
在数学几何中，我们常常需要计算空间中点到直线的距离，这涉及到距离的计算公式以及数学推理。
本文将从基本概念出发，逐步深入地探讨空间中点到直线距离的计算公式。
1. 点到直线距离的概念我们需要了解点到直线距离的概念。
在三维空间中，一条直线可以由参数方程、对称式方程或一般式方程表示，而一点的坐标则由其$x$、$y$、$z$三个坐标值确定。
点到直线的距离即为该点到直线上的某一点（$A(x_0, y_0, z_0)$）的距离。
我们将以参数方程来描述直线，并通过该点到直线距离的公式进行推导和计算。
2. 点到直线距离的计算公式对于空间中的一点$P(x, y, z)$到直线$l$的距离$d$，其计算公式可通过以下步骤得出：步骤一：计算$P$点到直线上任意一点$A(x_0, y_0, z_0)$的距离，即$PA$的长度。
$\displaystyle d(P,l)= \frac{\left | (\vec{AB}) \times (\vec{AC})\right |}{ \left | \vec{AB} \right |}$步骤二：确定直线$l$的参数方程，并利用参数$t$表示直线上任意一点$A(x_0, y_0, z_0)$。
$\begin{cases} x=x_1+ta\\ y=y_1+tb\\ z=z_1+tc \end{cases}$步骤三：将$A(x_0, y_0, z_0)$点坐标代入参数方程，得到直线上一点$A(x(t),y(t),z(t))$。
步骤四：代入步骤一得到的$PA$的长度公式中，结合向量运算得到距离公式。
3. 总结与回顾通过以上推导，我们可以得出空间中点$P(x, y, z)$到直线$l$的距离$d$的计算公式。
这个公式的推导过程涉及到向量的运算和参数方程的应用，深入理解这个公式可以帮助我们更好地理解空间几何的相关知识。
4. 个人观点在学习过程中，我发现通过推导相关公式和结合具体例题来理解空间中点到直线距离的计算公式会更加深入和灵活。
空间两点间距离公式
距离公式？
z
1、设
O(0,0,0),P(x0,y0,z0)
则
OP
o A
OA 2 OB 2 OC 2 x
P C y
B
x02 y02 z02
2、空间任意两点A(x1,y1,z1),P(x2,y2,z2)
作长方体使AP为 长方体的对角线
z
由已知得： C(x2,y1,z1),
P A
B(x2,y2 ,z1)
x 1, 所求点 (1,0,0), (1,0,0). 为
例4.平面上到坐标原点的距离为１的点的
轨迹是单位圆，其方程
为 x2 y2 1
．
在空间中，到坐标原点的距离为１
的点的轨迹是什么？试写出它的方程．
x2 y2 z2 1
轨迹是球面
练3:设A(3,3,1),B(1,-1,5),C(0,1,0),则AB
的中点M到C的距离为____1_3____
分析：介绍空间直角坐标系中的中点坐标 公式；
已知点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2) 则线段AB中点C的坐标是
X= 1 (X1+X2)
2 1
Z= 2 (z1+z2)
y=
1 2
(y1+y2)
M(2,1,3)
例5：如图：M—OAB是棱长为a的正四 面体，顶点M在底面OAB上的射影为H， 分别求出点B、H、M的坐标
(9,0,0)或(-1,0,0)
例２：在xoy平面内的直线x+y=1上确定 一点M，使M到N(6,5,1)的距离最小 略解：设M(x,1-x,0),利用距离公式构造 出一个二次函数后求最值
MN (x 6)2 (1 x 5)2 (1 0)2
关于求空间距离的问题
关于求空间距离的问题 重难点归纳1.空间中的距离主要指以下七种 (1)两点之间的距离 (2)点到直线的距离 (3)点到平面的距离 (4)两条平行线间的距离 (5)两条异面直线间的距离(6)平面的平行直线与平面之间的距离 (7)两个平行平面之间的距离七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离 七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点求点到平面的距离 (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长 (2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离 (3)体积法 (3)向量法求异面直线的距离 (1)定义法，即求公垂线段的长 (2)转化成求直线与平面的距离 (3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的 2.用向量法求距离的公式：⑴异面直线,a b 之间的距离：||AB n d n ⋅= ，其中,,,n a n b A a B b ⊥⊥∈∈。
⑵直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅= ，其中,A a B α∈∈。
n是平面α的法向量。
⑶两平行平面,αβ之间的距离：||AB n d n ⋅= ，其中,A B αβ∈∈。
n是平面α的法向量。
⑷点A 到平面α的距离：||AB n d n ⋅= ，其中B α∈，n是平面α的法向量。
另法：点000(,,),A x y z 平面0Ax By Cz D +++=则d =⑸点A 到直线a 的距离：d =B a ∈，a是直线a 的方向向量。
⑹两平行直线,a b 之间的距离：d =,A a B b ∈∈，a是a 的方向向量。
典型题例示范讲解例1把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求(1)EF 的长；(2)折起后∠EOF 的大小命题意图 考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题 知识依托 空间向量的坐标运算及数量积公式错解分析 建立正确的空间直角坐标系 其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直技巧与方法 建系方式有多种，其中以O 点为原点，以OB 、OC 、OD的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单解 如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz , 设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0), D (0,0, 22a ),E (0,－42a , a ),F (42a , 42a ,0)222223(1)||(0)()(0),44444(2)(0,,),(,,0)44440()044448||,||,cos ,22||EF a a EF OE a a OF a a OE OF a a a a OE OF OE OF OE OF OE =-+++-=∴==-=⋅=⨯+-+⋅=-⋅==<>=12||OF =- ∴∠EOF =120°例2正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离命题意图 本题主要考查异面直线间距离的求法知识依托 求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得错解分析 本题容易错误认为O 1B 是A 1C 与AB 1的距离，这主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离技巧与方法 求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得解法一 如图，在正方体AC 1中， ∵A 1C 1∥AC ,∴A 1C 1∥平面AB 1C ， ∴A 1C 1与平面AB 1C 间的距离等于异面直线A 1C 1与AB 1间的距离连结B 1D 1、BD ，设B 1D 1∩A 1C 1=O 1,BD ∩AC =O ∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D 1D ，连结B 1O ，则平面AB 1C ∩平面BB 1D 1D =B 1O作O 1G ⊥B 1O 于G ，则O 1G ⊥平面AB 1C∴O 1G 为直线A 1C 1与平面AB 1C 间的距离，即为异面直线A 1C 1与AB 1间的距离在Rt △OO 1B 1中，∵O 1B 1=22，OO 1=1，∴OB 1=21121B O OO += 26 ∴O 1G =331111=⋅OB B O O O ，即异面直线A 1C 1与AB 1解法二 如图，在A 1C 上任取一点M ，作MN ⊥AB 1于N ，作MR ⊥A 1B 11A于R ，连结RN ，∵平面A 1B 1C 1D 1⊥平面A 1ABB 1， ∴MR ⊥平面A 1ABB 1，MR ⊥AB 1 ∵AB 1⊥RN ，设A 1R =x ,则RB 1=1－x ∵∠C 1A 1B 1=∠AB 1A 1=45°，∴MR =x ,RN =NB 1=)1(22x - 31)31(23)1(2122222+-=-+=+=x x x RN MR MN (0＜x ＜1) ∴当x =31时，MN 有最小值33即异面直线A 1C 1与AB 1解法三（向量法）如图建立坐标系，则111(1,0,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)A A B C∴111(0,1,1),(1,1,0)AB AC - ＝＝ 设MN 是直线A 1C 1与AB 1的公垂线，且1111(0,,),(,,0)AN AB AM AC λλλμμμ- ＝＝＝＝ 则11(,,0)(0,0,1)(0,,)MN MA A A ANμμλλ=++-+-+ ＝- (,,1),μλμλ=--从而有11100MN AC MN AB ⎧⎪⇒⎨⎪⎩＝＝22032113λλμλμμ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩∴111(,,)||333MN MN =⇒=例3如图，已知ABCD 是矩形，AB =a ,AD =b ,P A ⊥平面ABCD ，P A =2c ,Q 是P A 的中点求 (1)Q 到BD 的距离；(2)P 到平面BQD 的距离解 (1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足 连结QE ，1A∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE ∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ,AD =b , ∴AE =22ba ab +在Rt △QAE 中，QA =21P A =c ∴QE =22222b a b ac ++∴Q 到BD(2)解法一 ∵平面BQD 经过线段P A 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离在Rt △AQE 中，∵AQ =c ,AE =22ba ab +∴AH =22222)(ba cb a abc ++∴P 到平面BD 的距离为22222)(ba cb a abc ++解法二 设点A 到平面QBD 的距离为h ，由V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =31S △ABD ·AQ h =S AQ S BQD ABD =⋅∆∆ 学生巩固练习1 正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角(如图)，M 为矩形AEFD内一点，如果∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为( )A2 B 1 C2D 122 三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=1，AB =4，BC =3，∠ABC =90°,设平面A 1BC 1与平面ABC 的交线为l ，则A 1C 1与l 的距离为( )A 10B 11C 2.6D 2.43 如左图，空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为_________4 如右上图，ABCD 与ABEF 均是正方形，如果二面角E —AB —C 的度数为30°，那么EF 与平面ABCD 的距离为_________5 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =3，CC 1=2，如图(1)求证 平面A 1BC 1∥平面ACD 1； (2)求(1)中两个平行平面间的距离； (3)求点B 1到平面A 1BC 1的距离6 已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求 (1)截面EAC 的面积；(2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离； (3)三棱锥B 1—EAC 的体积 7 如图，已知三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A 与AB 、AC 均成45°角，且A 1E ⊥B 1B 于E ，A 1F ⊥CC 1于F (1)求点A 到平面B 1BCC 1的距离；(2)当AA 1多长时，点A 1到平面ABC 与平面B 1BCC 1的距离相等 8 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =2,AB =31AD =a ,1A1A1∠ADC =arccos552,P A ⊥面ABCD 且P A =a (1)求异面直线AD 与PC 间的距离；(2)在线段AD 上是否存在一点F ，使点A 到平面PCF参考答案1 解析 过点M 作MM ′⊥EF ,则MM ′⊥平面BCF ∵∠MBE =∠MBC∴BM ′为∠EBC 为角平分线，∴∠EBM ′=45°,BM ′=2,从而MN =22 答案 A2 解析 交线l 过B 与AC 平行，作CD ⊥l 于D ，连C 1D ，则C 1D 为A 1C 1与l 的距离，而CD 等于AC 上的高，即CD =512,Rt △C 1CD 中易求得C 1D =513=2.6 答案 C3 解析 以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，因为AQ =BQ =22a ,∴PQ ⊥AB , 同理可得PQ ⊥CD ，故线段PQ 的长为P 、Q 两点间的最短距离，在Rt △APQ中，PQ =22)2()23(2222=-=-a a AP AQ a 答案22a 4 解析 显然∠F AD 是二面角E —AB —C 的平面角，∠F AD =30°,过F 作FG ⊥平面ABCD 于G ，则G 必在AD 上，由EF ∥平面ABCD∴FG 为EF 与平面ABCD 的距离，即FG 2a答案 2a5 (1)证明 由于BC 1∥AD 1，则BC 1∥平面ACD 1 同理，A 1B ∥平面ACD 1，则平面A 1BC 1∥平面ACD 1(2)解 设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d ，则d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离 易求A 1C 1=5，A 1B =25，BC 1=13，则cos A 1BC 1=652,则sin A 1BC 1=6561,则S111C B A ∆=61,由于111111D C A B BC A D V V --=，则31S 11BC A ∆·d =)21(1111D C AD ⋅·BB 1,代入求得d =616112,即两平行平面间的(3)解 由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分，则B 1、D 1到平面A 1BC 1的距离相等，则由(2)知点B 1到平面A 1BC 1 6 解 (1)连结DB 交AC 于O ，连结EO ， ∵底面ABCD 是正方形∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45°又DO =22a ，AC =2a ，EO =︒45cos DO =a ，∴S △EAC =22a (2)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1 ∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a(3)连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =23a 32422322311a a a V EAC B =⋅⋅=-7 解 (1)∵BB 1⊥A 1E ，CC 1⊥A 1F ，BB 1∥CC 1 ∴BB 1⊥平面A 1EF 即面A 1EF ⊥面BB 1C 1C 在Rt △A 1EB 1中，∵∠A 1B 1E =45°，A 1B 1=a∴A 1E =22a ,同理A 1F =22a ,又EF =a ，∴A 1E =22a 同理A 1F =22a ,又EF =a∴△EA 1F 为等腰直角三角形，∠EA 1F =90°过A 1作A 1N ⊥EF ，则N 为EF 中点，且A 1N ⊥平面BCC 1B 1 即A 1N 为点A 1到平面BCC 1B 1的距离 ∴A 1N =221a = 又∵AA 1∥面BCC 1B ，A 到平面BCC 1B 1的距离为2a ∴a =2，∴所求距离为2(2)设BC 、B 1C 1的中点分别为D 、D 1，连结AD 、DD 1和A 1D 1，则DD 1必过点N ，易证ADD 1A 1为平行四边形∵B 1C 1⊥D 1D ,B 1C 1⊥A 1N ∴B 1C 1⊥平面ADD 1A 1 ∴BC ⊥平面ADD 1A 1得平面ABC ⊥平面ADD 1A 1，过A 1作A 1M ⊥平面ABC ，交AD 于M ， 若A 1M =A 1N ，又∠A 1AM =∠A 1D 1N ，∠AMA 1=∠A 1ND 1=90°∴△AMA 1≌△A 1ND 1,∴AA 1=A 1D 1=3,即当AA 1=3时满足条件8 解 (1)∵BC ∥AD ,BC ⊂面PBC ,∴AD ∥面PBC从而AD 与PC 间的距离就是直线AD 与平面PBC 间的距离 过A 作AE ⊥PB ，又AE ⊥BC ∴AE ⊥平面PBC ，AE 为所求在等腰直角三角形P AB 中，P A =AB =a∴AE =22a (2)作CM ∥AB ，由已知cos ADC =552 ∴tan ADC =21,即CM =21DM ∴ABCM 为正方形，AC =2a ,PC =3a 过A 作AH ⊥PC ,在Rt △P AC 中，得AH =36下面在AD 上找一点F ，使PC ⊥CF取MD 中点F ，△ACM 、△FCM 均为等腰直角三角形 ∴∠ACM +∠FCM =45°+45°=90°∴FC ⊥AC ,即FC ⊥PC ∴在AD 上存在满足条件的点F课前后备注学法指导: 立体几何中的策略思想及方法立体几何中的策略思想及方法近年来，高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养题目起点低，步步升高，给不同层次的学生有发挥能力的余地大题综合性强，有几何组合体中深层次考查空间的线面关系因此，高考复习应在抓好基本概念、定理、表述语言的基础上，以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何问题的有效的策略思想及方法一、领悟解题的基本策略思想高考改革稳中有变运用基本数学思想如转化，类比，函数观点仍是考查中心，选择好典型例题，在基本数学思想指导下，归纳一套合乎一般思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运用，逐步内化为自己的经验，解决一般基本数学问题就会自然流畅二、探寻立体几何图形中的基面立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了三、重视模型在解题中的应用学生学习立体几何是从认识具体几何模型到抽象出空间点、线、面的关系，从而培养空间想象能力而数学问题中许多图形和数量关系都与我们熟悉模型存在着某种联系它引导我们以模型为依据，找出起关键作用的一些关系或数量，对比数学问题中题设条件，突出特性，设法对原图形补形，拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、形象的、直观的模型，利用其特征规律获取优解。
空间点点到直线的距离公式
空间点点到直线的距离公式点到直线的距离公式是数学中一个基本的概念，它用于计算一个空间点到给定直线的最短距离。
这个概念在几何、物理和工程学中都有广泛的应用。
下面将详细介绍点到直线的距离公式，并给出一些实际应用的例子。
首先，让我们明确一下什么是空间点和直线。
在三维空间中，我们用三个坐标轴表示一个点的位置，通常用(x,y,z)表示。
这些坐标分别代表点在x轴、y轴和z轴上的位置。
而直线通常由一个点和与直线平行的向量表示。
现在让我们考虑一个空间点P(x1,y1,z1)和一条直线L，直线L可以由一个点A(x0,y0,z0)和一个平行于直线的向量V(a,b,c)表示。
我们的目标是计算点P到直线L的最短距离d。
为了计算点P到直线L的距离，我们可以使用向量的投影来解决这个问题。
首先，我们可以构造一个从点P到直线L上一点B(x,y,z)的向量BP。
然后，我们可以计算向量BP在直线L的方向上的投影BP'。
最后，点P到直线L的最短距离d就等于向量BP减去向量BP'的长度。
接下来，让我们详细说明如何计算向量BP在直线L方向上的投影BP'。
根据向量的定义，我们可以得到向量BP的坐标表示为:BP=(x-x1,y-y1,z-z1)由于向量BP在直线L的方向上，所以向量BP可以表示为一个与直线L平行的向量V乘以一个标量t:BP=t*V=(t*a,t*b,t*c)将向量BP的坐标表示与其标量表示相等，并解方程组，可以得到:t=(x-x1)/a=(y-y1)/b=(z-z1)/c通过解这个方程组，我们可以得到点P到直线L的投影距离t。
然后，我们可以计算点P到直线L的最短距离d。
这个距离可以通过计算向量BP的长度来得到：d=，BP，=，t*V，=，t，*，V将点P的坐标代入公式并计算出标量t，然后将得到的t值代入三个坐标的公式中，分别计算出a、b、c，然后计算出，V。
将这些值代入公式，即可得到点P到直线L的最短距离d。
点与空间直线距离公式
点与空间直线距离公式摘要：1.引言2.点与空间直线距离公式3.空间直线距离公式推导4.常见问题与应用5.总结正文：在数学中，点与空间直线距离公式是一种用于计算空间中两点之间直线距离的方法。
该公式可以帮助我们在解决几何问题时，快速准确地计算出点与直线之间的距离。
在三维空间中，这个公式可以扩展到计算点与平面的距离。
首先，我们来看一下空间直线距离公式。
假设我们有两个点A(x1, y1, z1) 和B(x2, y2, z2)，那么空间直线距离公式可以表示为：d = sqrt[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]其中，d 表示点A 到点B 的直线距离，sqrt 表示平方根运算。
接下来，我们推导一下空间直线距离公式的来源。
假设我们有一个点P(x, y, z) 在空间中，我们需要计算该点到直线AB 的距离。
首先，我们需要找到一个与直线AB 垂直的向量N，可以表示为：= (y2 - y1, z2 - z1, x1 - x2)然后，我们计算向量PN，可以表示为：PN = (y - y1, z - z1, x - x1)接下来，我们使用点到直线的距离公式，计算PN 与N 之间的夹角θ，可以表示为：cos(θ) = (PN · N) / (|PN| * |N|)其中，PN · N 表示向量PN 与N 之间的点积，|PN|和|N|分别表示向量PN 和N 的长度。
最后，我们可以得到点P 到直线AB 的距离d，可以表示为：d = |PN| * sin(θ)将向量PN 和N 表示为坐标形式，我们可以得到空间直线距离公式：d = sqrt[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]在实际应用中，空间直线距离公式可以帮助我们解决许多与距离有关的问题，例如计算两个物体之间的距离、计算光线传播的距离等。
此外，该公式还可以应用于计算机图形学、地理信息系统和机器视觉等领域。
空间几何点到平面的距离公式
空间几何点到平面的距离公式
空间几何中，点到平面的距离公式是指计算一个点到一个平面的最短距离的公式。
这个公式在许多应用中非常有用，比如在计算机图形学中用于确定点到三维物体表面的距离，或者在物理学中用于计算点到平面的力和电场。
要计算点到平面的距离，我们可以使用向量和点法式，具体公式如下：
设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，点P的坐标为(x0, y0, z0)。
点P到平面的距离d可以通过以下公式计算：
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|/√(A^2 + B^2 + C^2)
其中|Ax0 + By0 + Cz0 + D|表示点P到平面的有向距离，即如果点P在平面的上方，则距离值为正，如果点P在平面的下方，则距离值为负。
√(A^2 + B^2 + C^2)是平面法线的模长，用于归一化距离。
这个公式可以通过以下步骤推导得到：
1. 首先，我们可以通过平面方程将平面上任意一点(x, y, z)代入，得到该点到平面的有向距离：
d = |Ax + By + Cz + D|/√(A^2 + B^2 + C^2)
2. 然后，我们将该公式中的点(x, y, z)替换为点P的坐标(x0, y0, z0)，得到点P到平面的有向距离公式：
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|/√(A^2 + B^2 + C^2)
这个公式适用于任意的平面和点的组合。
它可以方便地用于计算点到平面的距离，并且可以根据需要进行扩展和修改，以满足特定的应用需求。
用4.3.2空间两点间的距离公式
2 2
2 2
∵P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称.
dx dy dz
y z
2 0
2 0 2 0 2 0
O x
x z
2 0 2 0
x y
规律：谁没有，就等于谁.
练 5 ．点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________ ． 1. 习 5
[解析]
d＝|z|＝5.
6．已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个 2.
[答案] ．(1,1,1)或(－1，－1，－1) 坐标同号，则点M的坐标为________
3 解： M的坐标为 (4, ,5) 2 5 N的坐标为 (4,3, ) 2
(0,0,5) (4,0,5) (4,3,5)
(0,3,5)
3 AC与BO交点的坐标 (2, ,0) 2
3 5 AC1与A1C的交点的坐标 (2, , ) 2 2
(0,3,0)
(0,0,0)
(4,0,0) (4,3,0)
练 7.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为D1D、BD的 1 习 中点，G在棱CD上，且CG= CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系， 写出E、F、G、H点的坐标. 4 z (0,0,1) 解:如图所示,以D为原点,DA所在直线为x 轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴 建立空间直角坐标系. (1,0,1)
(2)求EF的长．
空间两点间的距离公式
2
一、空间两点间的距离公式
在空间中，设点P1（x1，y1，z1），P2（x2， y2，z2）在xOy平面上的射影分别为M、N.
z
O x P1 N y P2
M
思考1:点M、N之间的距离如何？
MN
x1 x2
2
y1 y2
2
思考2:若直线P1P2 是xOy平面的一条 斜线，则点P1、P2的距离如何计算？
例2
设 P 在 x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为
到点 P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍，求点 ， P在
PP1 PP2
x
2
2
2
3
2
x 2 11 , x2 2,
2 x 2 1 12
2 2
∴点 M
23 的坐标为0， 4 ，0.
小结
一、空间两点间的距离公式：
d ( x 2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 )
2 2
2
二、空间中点坐标公式：
x1 x2 x 2 y1 y2 y 2 z1 z2 z 2
例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1)、 M 2 ( 7,1,2)、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M 1 M 2 (7 4)2 (1 3)2 ( 2 1)2 14,
2
M 2 M 3 (5 7)2 ( 2 1)2 ( 3 2)2 6, M 3 M1
z
P1 O x P2
A
y
M
N
P1 P2
x1 x2
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d a
2 2
c b
2
d a b c
在空间直角坐标系中点O（0，0，0）到 点P（x0，y0，z0）的距离，怎么求？
z d y0 P z0 x0
O x
y yBiblioteka dx y z2 0 2 0
2 0
在空间直角坐标系中点P（x，y，z）到 点xOy平面的距离，怎么求？
z P z0 y x x0
0
d xOy z d yOz x d xOz y
y
O
在空间直角坐标系中，P（x0，y0，z0）到 坐标轴的距离，怎么求？
dx dy
y z
2 0 2 0
2 0 2 0 2 0
z d y0 P z0 x0
x z
2 0
dz x y
y
O x
在空间直角坐标系中，点P（x1，y1，z1） 和点Q（x2，y2，z2）的距离，怎么求？
例：如图：M—OAB是棱长为a的正四面 体，顶点M在底面OAB上的射影为H，分 别求出点B、H、M的坐标 z M A H y
O
x
B
小结：1、会画空间直角坐标系 2、根据坐标描点，根据点求坐标 3、对称点 4、距离公式、中点公式
作业：P113 4、5、6、7
例:设A(3,3,1),B(1,-1,5),C(0,1,0),则AB 的中点M到C的距离为_________
空间中点公式： A（x1，y 1，z 1）与B（x 2，y 2，z 3） 中点M（x 0，y 0，z 0），则 x1＋x 2 y 1＋y 2 z 1＋z 2 x 0＝ ，y 0＝ ，z 0＝ 2 2 2
分析：通过类比
d ( x 2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 )
2 2
2
——空间两点距离公式
例：求点P（1，2，－2）和Q（－1，0，－1） 之间的距离。
例：空间直角坐标系中，在x轴找一个点P， 使它与点P0（4，1，2）的距离为 30
例：在xOy平面内的直线 x＋y＝1上确定一点M。 使M到点N（6，5，1）的距离最小。