空间两点间的距离公式
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4.3.2空间两点间的距离公式
S1
O
Q1
R1
x
y
|P1Q1|=|x1-x2|； |Q1R1|=|y1-y2|；|R1P2|=|z1-z2| |P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|2 | P1P2 | (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 (z1 z2 )2
平面内两点 P1(x1, y1, z1 ), P2(x2 , y2 , z2的) 距离公式是：
| P1P2 | (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 (z1 z2 )2
z
P1(x1 , y1, z1 )
O
P2 (x2 , y2 , z2 )
x
y
4.3.2空间两点间的距离公式
例三 已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，1，4），求证其连线组成的三角形为直角三角形。 利用两点间距离公式，由
C．（-3，1，5）
D．（5，13，-3）
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式 | P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
y
P
1
o
x
P
2
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空间任一点P(x,y,z)到原点O的距离。 z
| AB | 89,| AC | 75,| BC | 14
从而，| AC |2 | BC |2 | AB |2
根据勾股定理，结论得证。
随堂练习
1．若已知A（1，1，1），B（-3，-3，-3），则 线段AB的长为（ A）
A.4 3
B.2 3
C.4 2
D.3 2
4.3.2空间两点间的距离公式
2
2
2
这就是空间两点间的距离公式. 这就是空间两点间的距离公式
思考2:在空间直角坐标系中， 思考 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点 在空间直角坐标系中 A（x，y，0），B（0，y，z），C（x，0，z）， 与坐标原点O的距离分别是什么 的距离分别是什么？ 与坐标原点 的距离分别是什么？
| OA |=
思考:若直线 平面的一条斜线， 思考 若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 若直线 平面的一条斜线 则点P 的距离如何计算？ 则点 1、P2的距离如何计算？
z P1 O y x M N P2
A
| P1P2 |=
(x1 - x2 ) + (y1 - y2 ) + (z1 - z2 )
2
2
2
这就是空间两点间的距离公式. 这就是空间两点间的距离公式
2 2
| OP |=
x +y +z
• 思考 在空间直角坐标系中，方程 思考5:在空间直角坐标系中， 在空间直角坐标系中 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示 为常数） 为常数 什么图形是什么？ 什么图形是什么？
z
P
O y
x
探究（二）:空间两点间的距离公式 探究（ 空间两点间的距离公式
在空间中,设点 在空间中 设点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)在xOy平面上的 设点 ， 在 平面上的 射影分别为M、 射影分别为 、N. 思考1:点M、N之间的距离如何？ 思考1:点 之间的距离如何？ 1:
B O A C
y
x
|OA|=|x|； |OB|=|y|； |OC|=|z|.
思考:若直线 平面的一条斜线， 思考 若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 若直线 平面的一条斜线 则点P 的距离如何计算？ 则点 1、P2的距离如何计算？
4.3.2 空间两点间的距离公式
O
M1 M M2 H N2 y N
N1
在xOy平面上, MN ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 . 过点P1作P2N的垂线，垂足为H,
则 MP 1 z1 , NP 2 z2 , 所以 HP2 z2 z1 .
P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N z
解：设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有
MA MB
2
2
2 2 2 2 2 2 即 (0 4) (0 1) ( z 7) (3 0) (5 0) (2 z)
14 解之得 z 9 14 (0, 0, ). 所以所求点的坐标是 9
在z轴上求一点M，使点M 到A（1,0,2）与点B（1，-3,1）
2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，三点的坐标为A(2，1，1)， 2 B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x=_____. 3．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1，0)两点的距离 2x+2y-2z-3=0 相等，则x、y、z满足的关系式是_______________. 4．已知点P在z轴上满足|OP|=1（O是坐标原点），则点P到
P2
在Rt PHP 1 2中，
2 2 PH MN ( x x ) ( y y ) 1 2 1 HP ( x x ) ( y y ) ( z z ) 1 2 2 1 2 1 2 1 , 2 2
因此，空间中任意两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）
2或 6 。 点A(1，1，1)的距离是_________
5．正方体不在同一平面上的两个顶点的坐标分别为A(-1，
4 。 2，-1)，B(3，-2，3)，则正方体的棱长为_____
4.3.2空间两点间的距离公式
x2 y2 z2
解:Q
x
1
x2 z2 10
17
x 1
, 解得
z
3
0
,
y
7 0
点P坐标为(1, 7, 3)或(-1, 7 , 3)。
谢谢！
uuur uuur uuur uuur
AB CB 7, AB CB 6 2 2 (3) 3 6 0,
uuur uuur AB CB,故为等腰Rt。
例 3、如图，正方体 A1 C 的棱长为 3，M BC1 ，N AC ，z
AN =2 CN ， BM =2 C1M ，求 MN 。
AB AB (xB xA )2 ( yB yA )2
3.空间直角坐标系O-xyz下，P1(x1, y1, z1), P2 (x2 , y2 , z2 ) 两点间距离公式又如何呢？
知识探究（一）:点 P（x，y，z）与坐标原 点O的距离公式是怎么样的？
z
O
P
y
x
M
| OP |= x 2 + y 2 + z 2
建立适当的空间直角坐标系，用空间直角坐标法求 D1E 。
z
D1
解:建立如图所示的空间直角坐标系，A1
则D1(0, 0, 2)、E(2, 4,1),
D
C1
B1
·E C
yy
D1E 4 16 1 21。
xA
B
4、若点 P(x, y, z) 到原点距离为 17 ，到平面 yOz 的距离为 1，到 y 轴的距离为 10 ， 求 P 点的坐标(设 y>0，z>0)。
空间两点间的距离公式
一、空间直角坐标系
从空间某一点O引三条互相垂直的射线Ox、Oy、Oz. 并取定长度单位和方向，就建立了空间直角坐标系 .其 中O 点称为坐标原点，数轴Ox, Oy, Oz称为坐标轴，每两 个坐标轴所在的平面Oxy、Oyz、Ozx叫做坐标平面. 三个坐标轴的正方向符合右手系. z 竖轴 方法一：
即以右手握住 z 轴，当右 x 轴 手的四个手指从正向
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
思考P109练习 4 在空间直角坐标系中，给定点M（1，－2，3）， 求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称 点的坐标. z (1)关于坐标平 M M’ 面xoz对称的点 M’(1,2,3)
3
o
1 2
y
x
思考P109练习 4 在空间直角坐标系中，给定点M（1，－2，3）， 求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称 点的坐标。 z M’ (2)关于z轴对称的点 M M’(－1,2,3)
3
o
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
x
五、小结
空间直角坐标系 （轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
思考题
在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？
A(1,2,3) ,
C ( 2,3,4) ,
2
M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M 3 M1 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
2
2
M 2 M 3 M 3 M1 ,
从空间某一点O引三条互相垂直的射线Ox、Oy、Oz. 并取定长度单位和方向，就建立了空间直角坐标系 .其 中O 点称为坐标原点，数轴Ox, Oy, Oz称为坐标轴，每两 个坐标轴所在的平面Oxy、Oyz、Ozx叫做坐标平面. 三个坐标轴的正方向符合右手系. z 竖轴 方法一：
即以右手握住 z 轴，当右 x 轴 手的四个手指从正向
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
思考P109练习 4 在空间直角坐标系中，给定点M（1，－2，3）， 求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称 点的坐标. z (1)关于坐标平 M M’ 面xoz对称的点 M’(1,2,3)
3
o
1 2
y
x
思考P109练习 4 在空间直角坐标系中，给定点M（1，－2，3）， 求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称 点的坐标。 z M’ (2)关于z轴对称的点 M M’(－1,2,3)
3
o
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
x
五、小结
空间直角坐标系 （轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
思考题
在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？
A(1,2,3) ,
C ( 2,3,4) ,
2
M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M 3 M1 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
2
2
M 2 M 3 M 3 M1 ,
课件1：2.4.2 空间两点的距离公式
正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平
面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，
若CM＝BN＝a(0<a< )，求a为何值时，MN的长最小．
分析：该题的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该
说是既简单又易行的方法，方法的对照比较，也更体现出了
坐标法解题的优越性．
＝
.
点评：求几何体中线段的长度的步骤：(1)利用几何体中的
线面关系、对称关系等建立适当的坐标系；(2)表示出几何
体中各点的坐标；(3)利用距离公式求线段的长度．
跟 踪 训 练
1．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，
则△ABC的形状是(
A．等腰三角形
练习1：点M(4，－3,5)到坐标原点O(0,0,0)的距离为
+ (−) + =
___________________．
练习2：如果|OP|是定长r，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？
答案：表示球心为O，球半径为r的球．
基 础 梳 理
2．在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距
课堂小结
归 纳 总 结
空间中两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，
常应用在四个方面：一是根据坐标求距离，二是根据距离
求点的坐标，三是利用边长判断三角形的形状，四是求空
间中点的轨迹方程．目的都是考查空间中两点间距离公式，
解答时可类比平面上解决类似问题的方法．在求轨迹方程
时，注意理解方程表示的图形．
∵|BC|2＋|AC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形．
答案：C
面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，
若CM＝BN＝a(0<a< )，求a为何值时，MN的长最小．
分析：该题的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该
说是既简单又易行的方法，方法的对照比较，也更体现出了
坐标法解题的优越性．
＝
.
点评：求几何体中线段的长度的步骤：(1)利用几何体中的
线面关系、对称关系等建立适当的坐标系；(2)表示出几何
体中各点的坐标；(3)利用距离公式求线段的长度．
跟 踪 训 练
1．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，
则△ABC的形状是(
A．等腰三角形
练习1：点M(4，－3,5)到坐标原点O(0,0,0)的距离为
+ (−) + =
___________________．
练习2：如果|OP|是定长r，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？
答案：表示球心为O，球半径为r的球．
基 础 梳 理
2．在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距
课堂小结
归 纳 总 结
空间中两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，
常应用在四个方面：一是根据坐标求距离，二是根据距离
求点的坐标，三是利用边长判断三角形的形状，四是求空
间中点的轨迹方程．目的都是考查空间中两点间距离公式，
解答时可类比平面上解决类似问题的方法．在求轨迹方程
时，注意理解方程表示的图形．
∵|BC|2＋|AC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形．
答案：C
两点之间的距离公式
两点之间的距离公式
两点之间的距离公式：
两点之间的距离可以用一个简单的公式来表示：距离=根号（（x1-x2）的平方）+（（y1-y2）的平方）。
该公式也叫欧几里得距离，是基于欧几里得几何定义的直线距离。
两点之间的距离公式是由古希腊数学家欧几里得提出的，它描述了任何两点之间的距离，包括二维平面和三维空间中的两点。
公式可以用来计算距离，也可以用来计算两个点之间的距离。
欧几里得距离是常见的距离计算公式，在几何学和数学中都有广泛的应用。
它在许多地方都有用，比如计算两个城市之间的距离，或者在数据分析中计算两个点之间的相似度。
欧几里得距离公式也可以用来对多维数据进行分析。
例如，可以使用它来比较两个点在某个维度上的距离，从而确定它们之间的相似性。
它还可以用来计算两个点之间的距离，从而确定它们之间的差异性。
因此，欧几里得距离公式是一个重要的数学工具，它能够帮助我们快速计算两点之间的距离，从而发现数据之间的相关性以及差异性。
它在许多领域得到了广泛的应用，是一个非常有用的工具。
求两点间的距离公式
求两点间的距离公式在数学中，求两点间的距离是一种基本的计算方法。
无论是在平面上还是在空间中，我们都会使用这个公式进行计算。
在本文中，我们将探讨如何求两点间的距离公式，以及其应用。
一、平面上的两点间距离平面上两个点之间的距离，可以通过勾股定理来计算。
在坐标系中，设点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2)，则这两个点之间的距离公式为：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]其中，√ 表示平方根。
例如，若点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(5,7)，则这两个点之间的距离公式为:d = √[(5-2)² + (7-3)²]= √[3² + 4²]= √(9+16)= √25= 5这代表点A和点B之间的距离为5个单位长度。
二、空间中的两点间距离与平面上不同，空间中的两点之间的距离需要使用三维勾股定理来计算。
在三维坐标系中，设点A的坐标为(x1,y1,z1)，点B的坐标为(x2,y2,z2)，则这两个点之间的距离公式为：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]例如，若点A的坐标为(2,3,4)，点B的坐标为(5,7,2)，则这两个点之间的距离公式为:d = √[(5-2)² + (7-3)² + (2-4)²]= √[3² + 4² + (-2)²]= √(9+16+4)= √29这代表点A和点B之间的距离为√29个单位长度。
三、应用求两点间距离的公式，可以广泛应用于各个领域。
以下是一些例子：1. 道路建设：在规划道路时，需要计算两个建筑物之间的距离，以确定最佳道路位置。
2. GPS导航：GPS系统利用卫星定位技术来计算用户当前位置和目的地之间的距离。
3. 机器人设计：在设计机器人的路径规划系统时，需要计算机器人当前位置和目标位置之间的距离，以决定机器人的运动路径。
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A（1，2，4），B（-1，2，4）， C（0，-1，-5），D（-1，-4，-3）。 3.求点N（3，-2，-4）到原点、各坐标平面和各坐标轴的距离。
小结:
空间任意两点A（x1，y1，z1）， B（x2，y2，z2）的距离公式:
|AB|= ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2
Z
C BB
P D
AA
C
Y
X
易知，C，D两点坐标分别为（x1，y2，z1），（x2，y2，Z1）， 由于AC平行于y轴，所以|AC|=|y1-y2|，同理有|CD|=|x1-x2|， |DB|=|z1-z2|，由公式就有|AB|= | AC |2 | CD|2 | DB |2
即 |AB|= ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )（2 空间两点的距离公式）
么对角线长 d= a2 b2 c2
二、坐标计算
给出空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，
z2），如何利用点的坐标求它们的距离？
（1）如左图，这两个点中，
Z
一个是原点O（0，0，0），另
C
一个不在坐标平面上，设为P
（x1，y1，z1），如何求出OP
O
P
的长？
BY
A
X
易知，A，B，C的坐标为A（x0，0，
c
a2 b2
C b
a2 b2 c2
c
D
A
a
（1）
CA
b B
a
（2）
图2-58
BA
a2 b2
C
（3）
在Rt△ABC中，由勾股定理可知，|AC|= a2 b2 （如图2-58（2））
而在Rt△ACC′中，|AC′|= a2 b2 c2（如图2-28（3））
一般的，如果长方体的长、宽、高分别是a，b，c，那
空间两点间的 距离公式
广东龙川一中 杨政菊
问题提出
长方体的对角线:如图,连接长方体两个顶点A,C’的线段AC’ 就称为长方体的对角线
D' A'
D
A
C'
B' C
B
？建筑用砖通常是长方体，我们可以拿尺子测量
出一块砖的长、宽和高，那么怎样测量它的对角线AC′的长 度呢？直接测量比较困难，我们可以用间接的方法去测量。 如果有三块砖，你如测量AC′的长度，两块呢？
0），B（0，y0，0），C（0，0，
z0），所以|OA|=|x0-0|=|x0|，
同理有|OC|=|z0-0|=|z0|，|OB|=|y0-
0|=|y0|，即|OP|= | OA|2 | OB |2 | OC |2
=
x2 0
y2 0
z2 0
（2）如下图，给出空间任意两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），如 何利用点的坐标求它们的距离？
三块砖可以按照图2-57（1）的方式码放，然后测量 AC′的长度； 两块砖则按照图2-57(2)的方式码放，也可以 测量AC′的长度。
A
（1）
C'
图2-57
C'
A
（2）
一、公式计算
如图2-58（1），已知一块砖的长、宽、高分别为a，b， c，我们如何计算出对角线AC′的长度？
D' A'
C'
C'
B'
解 由已知，可设M（x，1-x，0），则
|=
( x 6 )2 ( 1 x 5 )2 ( 1 0 )2
2( x 1)2 512
所以
|MN|min= 51
课堂练习
1.求点P（1，2，-2）和Q（-1，0，-1）之间的距离。 2.在方格纸上先画出一个空间直角坐标系，然后画出下列各点：
例4 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P， 使它与点P0（4，1，2）的距离为 。30
解：设点的坐标是（x，0，0），由题意，|P0P|= 30
即
( x 4 )2 12 22 = 30
所以
（x-4）2=25
解得x=9或x=-1.
所以，P点的坐标为（9，0，0） 或（-1，0，0）.
例5 在xOy平面没的直线x+y=1上确定一点M， 使M到点N（6，5，1）的距离最小。
作业：P113 5, 6
小结:
空间任意两点A（x1，y1，z1）， B（x2，y2，z2）的距离公式:
|AB|= ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2
Z
C BB
P D
AA
C
Y
X
易知，C，D两点坐标分别为（x1，y2，z1），（x2，y2，Z1）， 由于AC平行于y轴，所以|AC|=|y1-y2|，同理有|CD|=|x1-x2|， |DB|=|z1-z2|，由公式就有|AB|= | AC |2 | CD|2 | DB |2
即 |AB|= ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )（2 空间两点的距离公式）
么对角线长 d= a2 b2 c2
二、坐标计算
给出空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，
z2），如何利用点的坐标求它们的距离？
（1）如左图，这两个点中，
Z
一个是原点O（0，0，0），另
C
一个不在坐标平面上，设为P
（x1，y1，z1），如何求出OP
O
P
的长？
BY
A
X
易知，A，B，C的坐标为A（x0，0，
c
a2 b2
C b
a2 b2 c2
c
D
A
a
（1）
CA
b B
a
（2）
图2-58
BA
a2 b2
C
（3）
在Rt△ABC中，由勾股定理可知，|AC|= a2 b2 （如图2-58（2））
而在Rt△ACC′中，|AC′|= a2 b2 c2（如图2-28（3））
一般的，如果长方体的长、宽、高分别是a，b，c，那
空间两点间的 距离公式
广东龙川一中 杨政菊
问题提出
长方体的对角线:如图,连接长方体两个顶点A,C’的线段AC’ 就称为长方体的对角线
D' A'
D
A
C'
B' C
B
？建筑用砖通常是长方体，我们可以拿尺子测量
出一块砖的长、宽和高，那么怎样测量它的对角线AC′的长 度呢？直接测量比较困难，我们可以用间接的方法去测量。 如果有三块砖，你如测量AC′的长度，两块呢？
0），B（0，y0，0），C（0，0，
z0），所以|OA|=|x0-0|=|x0|，
同理有|OC|=|z0-0|=|z0|，|OB|=|y0-
0|=|y0|，即|OP|= | OA|2 | OB |2 | OC |2
=
x2 0
y2 0
z2 0
（2）如下图，给出空间任意两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），如 何利用点的坐标求它们的距离？
三块砖可以按照图2-57（1）的方式码放，然后测量 AC′的长度； 两块砖则按照图2-57(2)的方式码放，也可以 测量AC′的长度。
A
（1）
C'
图2-57
C'
A
（2）
一、公式计算
如图2-58（1），已知一块砖的长、宽、高分别为a，b， c，我们如何计算出对角线AC′的长度？
D' A'
C'
C'
B'
解 由已知，可设M（x，1-x，0），则
|=
( x 6 )2 ( 1 x 5 )2 ( 1 0 )2
2( x 1)2 512
所以
|MN|min= 51
课堂练习
1.求点P（1，2，-2）和Q（-1，0，-1）之间的距离。 2.在方格纸上先画出一个空间直角坐标系，然后画出下列各点：
例4 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P， 使它与点P0（4，1，2）的距离为 。30
解：设点的坐标是（x，0，0），由题意，|P0P|= 30
即
( x 4 )2 12 22 = 30
所以
（x-4）2=25
解得x=9或x=-1.
所以，P点的坐标为（9，0，0） 或（-1，0，0）.
例5 在xOy平面没的直线x+y=1上确定一点M， 使M到点N（6，5，1）的距离最小。
作业：P113 5, 6