28.1 锐角三角函数(2)
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28.1.2余弦、正切
3 2
B．
1 2
C． 3
D．
3 3
7 ． Rt △ ABC 中 ， 各 边 长 度 都 扩 大 两 倍 ， 那 么 锐 角 A 的 各 三 角 函 数 值 _______
双基演练 能力提升 聚焦中考
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
1 ． 如 图 1 ， 已 知 △ ABC 中 的 一 边 BC 与 以 AC 为 直 径 的 ⊙ O 相 切 于 点 C ， 若 BC=4 ， AB=5 ， 则 cosB=______ ．
3 C. 5
16 D. 25
） C．m2=2n+1 D．m2=1-2n
（ 2） 已 知 sina+cosa=m， sina· cosa=n， 则 m， n 的 关 系 是 （ A．m=n B．m=2n+1
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
AC 4 AC 4 = ， tanB= = ． AB 5 BC 3
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
课本第81页练习1、2、3题 补充练习 已知等腰三角形的一条腰长为20cm，底边长 为30cm，求底角的正切值．
BcosA=A的来自邻 边 斜 边=b c
A
斜边 c
∠A 的对边 a C
∠A 的邻边 b
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
人教版九年级下册28.1特殊角的锐角三角函数值教学设计
（4）小组合作题：以小组为单位，探讨特殊角的三角函数值在生活中的应用，并撰写一篇小论文。
作业要求：
1.学生需独立完成作业，诚实守信，不得抄袭。
2.解题过程要求步骤清晰，书写规范。
3.小组合作题需充分发挥团队合作精神，共同完成。
4.作业完成后，及时上交，教师将进行批改和反馈。
4.通过对特殊角的锐角三角函数值的学习，培养学生对数的敏感性和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、猜想、验证等教学活动，引导学生自主发现特殊角的锐角三角函数值规律，培养学生自主学习的能力。
2.运用问题驱动的教学方法，激发学生的学习兴趣，引导学生通过合作、探究、讨论等方式，深入理解特殊角锐角三角函数的概念和计算方法。
针对学生的困惑，我会进行有针对性的解答，巩固学生对知识的理解。最后，强调特殊角的锐角三角函数值在实际生活中的应用，提高学生的应用意识，为后续学习打下坚实基础。
五、作业布置
为了巩固学生对特殊角的锐角三角函数值的学习，确保学生能够熟练掌握并运用到实际中，我设计了以下几类作业：
1.基础巩固题：布置一些基本的计算题，要求学生熟练掌握特殊角的正弦、余弦、正切值，并能快速准确地计算出结果。
学生在讨论过程中，可以相互提问、解答，共同探讨特殊角锐角三角函数值的规律。我会巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入思考。讨论结束后，每个小组汇报讨论成果，共同分享学习心得。
（四）课堂练习，500字
在课堂练习环节，我会设计不同难度的题目，让学生独立完成。题目包括基础题、提高题和应用题，旨在检验学生对特殊角的锐角三角函数值的掌握程度。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课环节，我将结合学生的生活经验，提出一个与学生实际相关的问题：“同学们，在我们的日常生活中，如建筑设计、制作家具等，经常会遇到各种角度的测量问题。那么，如何才能快速、准确地计算出这些角度的三角函数值呢？”通过这个问题，激发学生的好奇心，引导学生思考。
作业要求：
1.学生需独立完成作业，诚实守信，不得抄袭。
2.解题过程要求步骤清晰，书写规范。
3.小组合作题需充分发挥团队合作精神，共同完成。
4.作业完成后，及时上交，教师将进行批改和反馈。
4.通过对特殊角的锐角三角函数值的学习，培养学生对数的敏感性和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、猜想、验证等教学活动，引导学生自主发现特殊角的锐角三角函数值规律，培养学生自主学习的能力。
2.运用问题驱动的教学方法，激发学生的学习兴趣，引导学生通过合作、探究、讨论等方式，深入理解特殊角锐角三角函数的概念和计算方法。
针对学生的困惑，我会进行有针对性的解答，巩固学生对知识的理解。最后，强调特殊角的锐角三角函数值在实际生活中的应用，提高学生的应用意识，为后续学习打下坚实基础。
五、作业布置
为了巩固学生对特殊角的锐角三角函数值的学习，确保学生能够熟练掌握并运用到实际中，我设计了以下几类作业：
1.基础巩固题：布置一些基本的计算题，要求学生熟练掌握特殊角的正弦、余弦、正切值，并能快速准确地计算出结果。
学生在讨论过程中，可以相互提问、解答，共同探讨特殊角锐角三角函数值的规律。我会巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入思考。讨论结束后，每个小组汇报讨论成果，共同分享学习心得。
（四）课堂练习，500字
在课堂练习环节，我会设计不同难度的题目，让学生独立完成。题目包括基础题、提高题和应用题，旨在检验学生对特殊角的锐角三角函数值的掌握程度。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课环节，我将结合学生的生活经验，提出一个与学生实际相关的问题：“同学们，在我们的日常生活中，如建筑设计、制作家具等，经常会遇到各种角度的测量问题。那么，如何才能快速、准确地计算出这些角度的三角函数值呢？”通过这个问题，激发学生的好奇心，引导学生思考。
28.1.2锐角三角函数教案
28.1.2锐角三角函数教案
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级下册第28章“锐角三角函数”的28.1.2节，主要内容为锐角三角函数的定义、性质和应用。具体包括以下知识点：
1.锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切的定义及表示方法。
2.锐角三角函数的性质：正弦、余弦、正切随角度变化的规律。
3.锐角三角函数的值：特殊角度（30°、45°、60°）的正弦、余弦、正切值。
在小组讨论环节，学生们对于锐角三角函数在实际生活中的应用提出了许多有趣的例子。这让我感到很高兴，因为他们不仅理解了理论知识，还能够将其运用到实际情境中。不过，我也意识到在引导讨论时，我需要提供更多开放性的问题，以激发学生的创新思维和深度思考。
最后，总结回顾环节中，学生们的反馈让我了解到他们对于本节课的知识点有了较好的掌握。但是，我也发现了一些学生在应用方面还存在困难。为了帮助他们更好地消化吸收这些知识，我计划在下一节课开始时，先进行一个小测验，以巩固他们对锐角三角函数的理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是描述直角三角形中角度与边长关系的数学函数。它们在解决实际问题，如测量、建筑等领域具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量树的高度，展示如何运用锐角三角函数解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦、正切这三个函数的定义及性质。对于难点部分，如特殊角度的记忆，我会通过图形和记忆法来帮助大家理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《锐角三角函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量物体高度或距离的情况？”（如测量树的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索锐角三角函数的奥秘。
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级下册第28章“锐角三角函数”的28.1.2节，主要内容为锐角三角函数的定义、性质和应用。具体包括以下知识点：
1.锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切的定义及表示方法。
2.锐角三角函数的性质：正弦、余弦、正切随角度变化的规律。
3.锐角三角函数的值：特殊角度（30°、45°、60°）的正弦、余弦、正切值。
在小组讨论环节，学生们对于锐角三角函数在实际生活中的应用提出了许多有趣的例子。这让我感到很高兴，因为他们不仅理解了理论知识，还能够将其运用到实际情境中。不过，我也意识到在引导讨论时，我需要提供更多开放性的问题，以激发学生的创新思维和深度思考。
最后，总结回顾环节中，学生们的反馈让我了解到他们对于本节课的知识点有了较好的掌握。但是，我也发现了一些学生在应用方面还存在困难。为了帮助他们更好地消化吸收这些知识，我计划在下一节课开始时，先进行一个小测验，以巩固他们对锐角三角函数的理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是描述直角三角形中角度与边长关系的数学函数。它们在解决实际问题，如测量、建筑等领域具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量树的高度，展示如何运用锐角三角函数解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦、正切这三个函数的定义及性质。对于难点部分，如特殊角度的记忆，我会通过图形和记忆法来帮助大家理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《锐角三角函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量物体高度或距离的情况？”（如测量树的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索锐角三角函数的奥秘。
28.1余弦和正切(公开课)
解：作AD⊥BC于D.
1 ∵AB=AC=5，∴BD=DC= 2 BC=3.
∴在Rt△ABD中，AD= AB2 BD2 4，
∴sinB= 4，cosB= 3，tanB= 4 .
5
5
3
课堂小结
余弦
c
B
cos A=
∠A 的邻边 斜边
= b； c
a 正切
A
b
C
tan A=
∠A 的对边 ∠A 的邻边
=a . b
sinB=
AC AB
=
4；
5
cosB=
BC
AB =
3；
5
10
B
AC
tanB= BC
=
4 3
．
6
A
8
C
观察前面的结果，你有什么发现？
sinA=
BC 3
AB = 5
；
cosB=
BC AB
=
3 5
；
tanA=
BC AC
=
3 4
．
小结
tanB=
AC BC
=
4 3
．
若∠A +∠ B = 90°， 则sinA = cosB，tanA·tanB=1.
5
C
tan2 B
AC
A
12
AB（1）13
AB 13 （2） BC 5
B
解：由勾股定理
AB AC2 BC2 22 32 13，
sin A BC 3 13 ，cos A AC 2 13 ， 3
AB 13 tan A BC 3，
AB
13 C 2
A
（2）
AC 2
sin B AC 2 13 ，cos B BC 3 13 ，tan B AC 2 .
【数学课件】九年级下28.1.2锐角三角函数余弦和正切
是否也确定呢？
探究
二、如图，Rt△ABC和Rt△A’B’C’中， ∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’=α，那么
AC 与 AC 有什么关系？
AB AB
B′
B
Aα
C A′
C′
探究
三、如图，Rt△ABC和Rt△A’B’C’中， ∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’=α，那么
BC 与 B,C, 有什么关系？
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
sina = 2 = 2 5 55
cosa = 1 = 5 55
tana = 2
y P(1,2)
α
oA
x
新授
对于锐角A的每一个确定的值， sinA有唯一的值与它对应，所以 sinA是A的函数。同样地，cosA、 tanA也是A的函数。
28.1 .2 余弦、正切
A. 3
B. 2
6 C.
D. 6
2
3
2
3
返回
9．(中考·荆门)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝
AC，点D 为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，
则tan ∠DBC的值为( A )
A. 1 3
B. 2－1
C．2－ 3
1 D. 4
返回
10．(中考·枣庄)如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数 第2课时 余弦、正切
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
知识点 1 余弦函数
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的 邻边与__斜__边____的比叫做∠A的余弦，记作cos A， 即cos A＝____b____． c
返回
AO 4 的值．
解：(1)过点C作CE∥OA交BD于点E，
则△ECP∽△DAP.
∴
AP PC
AD CE
.
∵点C为OB的中点，点D为AO的中点，
C. 20 3
D. 25 3
返回
12．(中考·眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A， B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于 点O，则tan∠AOD＝____2____．
返回
题型 1
余弦、正切函数的定义在求三角 函数值中的应用
13．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且
(1)证明：如图，连接OD. ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B. 又∵∠B＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠ODB. 在Rt△ACD中，∠CAD＋∠ADC＝90°， ∴∠ADC＋∠ODB＝90°.
28.1锐角三角函数--余弦、正切ppt
AB 5
BC 3
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，
AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值． B
解：在RtABC中，
3
2
AC AB2 BC2 32 22 5,
A
C
sin A BC 2，cos A AC 5 ，tan A BC 2 2 5 .
AB 3
AB 3
∴ AB = 19.608 080 89≈19.61m 即旗杆的高度是19.61m.
练习:
使用计算器求下列锐角的三角函数值.（精确到 0.01）
（1）sin20°，cos70°； sin35°，cos55°； sin15°32′，cos74°28′；
（2）tan3°8′，tan80°25′43″；
新知探索:60°角的三角函数值
B
2
3
60.0
A
C
1
sin60°= A的对边 3
斜边
2
cos60°= A的邻边 1 斜边 2
tan60°= A的对边 3 A的邻边
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切 值如下表：
锐角a 三角函数
30°
45°
60°
sin a
1
2
3
2
2
2
cos a
3
2
1
28.1锐角三角函数（2）
——正弦 正切
复习与探究：
在 RtABC中， C 90
B 1.锐角正弦的定义
c
A
b
a
∠A的正弦：
s
inA
A的对边 斜边
BC AB
a c
C
2、当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之 确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为 什么？
28,1 锐角三角函数 第二课时-九年级数学下册课件(人教版)
A. 3
12
B. 3
6
C. 3
3
D.
3 2
4 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，∠CAB＝∠ACB， 过点B 作BE⊥AB 交AC 于点E. (1)求证：AC⊥BD； (2)若AB＝14，cos∠CAB＝ 7 ，
8
求线段OE 的长．
(1)证明：∵∠CAB＝∠ACB，∴)， ∴cos α＝ 1 .
2
常见错解：∵方程2x
2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝
1 2
，
∴cos α＝2或cos α＝ 1 .忽略了cos α (α 为锐角)
2
的取值范围是0＜cos α＜1.
易错点：忽视锐角三角函数值的范围而致错.
1 如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD，BC 相交于点P， 如果∠DPB＝α，那么 CD 等于( B )
∴ ▱ABCD是菱形．∴AC⊥BD.
(2)解：在Rt△AOB 中，cos ∠OAB＝ AO 7 ，AB＝14，
AB 8
∴AO＝
7 8
AB＝
49 4
.
在Rt△ABE 中，cos ∠EAB＝ AB 7 ，
AE 8
AB＝14，∴AE＝
8 7
AB＝16，
∴OE＝AE－AO＝16－
BC 5
C
（1）
解： AB AC2 BC2 22 32 13,
┌
所以
sin A BC
3
3
13 ,
sin B AC
2
2 13 ,
AB 13 13
AB 13 13
cos A AC 2 2 13 , AB 13 13
tan A BC 3 .
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5 5
O D
6
B
A
5
计算技巧
7
A
3
C
1 A
练习：
已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°． D是AC边上一点，DE⊥AB于E点． DE∶AE＝1∶2． 求：sinB、cBiblioteka sB、tanB．方法：转移角
2k
B ADE
k
5k
例6.如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、 AC的高，且BF=4，AC=3，求tan∠BAD的值
A F B D E C
4 3
例7 已知 ABC 内接于⊙O中， AB为⊙O的直径 BC=6，AC＝8， (1)求cosA及sinA的值； (2)求sin∠BOC及tan∠BOC的值．
C
学探诊47页15题
8
方法： 构造直角三角形
6 8 24 CD 10 5 24 49 1 7 OD 52 ( ) 2 5 5 5 5
复习
回顾
A的对边 a sin A 斜边 c A的邻边 b cos A 斜边 c
在Rt△ABC中
A的对边 a tan A A的邻边 b
例题示范 例4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，
3 sinA＝ ， 求: cosA、tanB的值． 5
B
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°有 BC sin A AB
AB
又
6
BC 5 6 10 sin A 3
A
C
AC AB2 BC2 102 62 8
AC 4 cos A , AB 5
AC 4 tan B BC 3
试一试：
下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. 指出∠A和∠B的对边、邻边. (CD ) BC (1) sinA = = B (AB ) AC D (AD) (2) cosA = = AC (AB ) AC A C (3) sinB= (4) cosB=
(AC )
AB
= CD ( BC ) = BD ( BC )
(BC )
AB
例5 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，
AC=3 ， 求: 1 三个三角函数的值．
4
B
D
1
分析
方法：转移角
BC sin 1 sin A AB AC cos 1 cos A AB BC t an 1 t an A AC 7 4 3 4 7 3