空间向量 距离的计算
用空间向量求距离
计算点到直线距离
利用向量数量积的性质，有$vec{PQ} cdot vec{n} = 0$，进而求得点
$P$到直线的距离$d = frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{sqrt{A^2 + B^2}}$。
公式在实际问题中应用场景
几何问题
01
在平面几何中，点到直线的距离公式可用于求解点到直线的最
计算向量$vec{AB}$
$vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 z_1)$。
计算向量$vec{AB}$的模
得出两点间距离公式
$|vec{AB}| = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$。
$d = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$。
公式在实际问题中应用场景
1 2 3
空间几何问题
在解决涉及三维空间中点、线、面等几何元素的 问题时，两点间距离公式可用于计算两点之间的 距离。
物理问题
在物理学中，两点间距离公式可用于计算质点之 间的距离，进而解决与距离相关的物理问题，如 万有引力、电场强度等。
工程测量
在土木工程、水利工程等领域，两点间距离公式 可用于测量地面上两点之间的水平距离或空间中 两点之间的直线距离。
短距离、判断点与直线的位置关系等问题。
物理问题
02
在物理学中，点到直线的距离公式可用于计算电场强度、磁场
强度等物理量在空间中的分布情况。
工程问题
03
在工程领域中，点到直线的距离公式可用于计算建筑物之间的
空间向量点到平面的距离公式
空间向量点到平面的距离公式
在空间向量中,平面外一点P到平面α的距离d为：d=|n.MP|/|n|.
式中,n：平面α的一个法向向量,M：平面α内的一点,MP--
向量法求点到面的距离公式推导过程
平面的相关知识点
平面的一般式方程
Ax+By+Cz+D=0
其中n=(A，B,C)是平面的法向量，D是将平面平移到坐标原点所需距
离(所以
D=0时，平面过原点)
向量的模(长度)
向量AB（AB上面有→）的长度叫做向量的模，记作|AB|(AB上有→）或|a|(a上有→)。
向量的性质
向量的模的运算没有专门的法则，一般都是通过余弦定理计算两个向
量的和、差的模。
多个向量的合成用正交分解法，如果要求模一般需要先
算出合成后的向量。
模是绝对值在二维和三维空间的推广，可以认为就是
向量的长度。
推广到高维空间中称为范数。
空间向量基本定理
共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∣∣b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb
共面向量定理
如果两个向量 a, b不共线，则向量 c与向量 a, b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by
空间向量分解定理
如果三个向量 a、 b、 c不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
点到面距离空间向量公式
点到面距离空间向量公式- 设平面α的法向量为→n，平面α内一点A，平面α外一点P。
- 向量→PA在法向量→n方向上的投影的绝对值就是点P到平面α的距离d。
- 根据向量投影公式，向量→a在向量→b上的投影为frac{→a·→b}{|→b|}。
- 那么点P到平面α的距离d = |frac{→PA·→n}{|→n|}|。
2. 公式应用示例。
- 例如，已知平面α的方程为2x - y+z = 0，求点P(1,1,1)到平面α的距离。
- 平面α的法向量→n=(2, - 1,1)。
- 在平面α内任取一点A，不妨令x = 0,y = 0，则z = 0，即A(0,0,0)。
- 向量→PA=(0 - 1,0 - 1,0 - 1)=(-1,-1,-1)。
- 根据距离公式d=|frac{→PA·→n}{|→n|}|，→PA·→n=(-1)×2+(-1)×(-1)+(-1)×1=-2 + 1-1=-2，|→n|=√(2^2)+(-1)^{2+1^2}=√(4 + 1+1)=√(6)。
- 所以d=|(-2)/(√(6))|=(√(6))/(3)。
3. 相关知识点补充（人教版教材关联）- 在人教版教材中，这一知识点是在空间向量章节中。
- 学习这一公式之前，需要熟练掌握空间向量的基本运算，如向量的加减法、向量的数量积等。
- 同时，要理解法向量的概念，平面的法向量垂直于平面内的所有向量。
在求平面法向量时，通常根据平面方程的系数来确定，对于平面Ax + By + Cz+D = 0，其法向量为→n=(A,B,C)。
- 在应用公式计算点到面距离时，准确找出平面内一点和平面的法向量是关键。
如果平面方程没有直接给出，可能需要通过已知条件先求出平面方程，再求法向量进行距离计算。
《空间向量及其运算》距离
AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2
3.求点到平面的距离:如图点P为平面外一点， 点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过 点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的 角为，则点P到平面的距离 n
P
d PO PA sin
1
A
这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的
6倍。
思考： (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以 某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么 有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
A1 B1 D C
D1
C1Βιβλιοθήκη (3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 A B 是多少? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平 面的距离或两点间的距离）
补充作业：
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面 ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点， z G 求点B到平面GEF的距离。
x
F
D
C
A
E
B
y
4.异面直线的距离:
①作直线a、b的方向向量a、 b，求a、b的法向量n，即此 异面直线a、b的公垂线的方 向向量； ②在直线a、b上各取一点 A、B，作向量AB； ③求向量AB在n上的射影 d，则异面直线a、b间的距 离为
1 解:∵ D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 1 A1 E 1, , 0 , D1B 1,1, 1 2 设 n ( x , y , z )是与 A1 E , D1 B都垂直的向量， A1 1 则 n A E 0, 1 x y 0, y 2 x , 2 即 z 3 x, n D1 B 0, x y z 0, 取x＝1，得其中一个n (1, 2, 3) A 选A1 E与BD1的两点向量为 D1 A1 1, 0, 0 , D1 A1 n 14 得A1 E与BD1的距离 d 14 n
立体几何空间向量点到直线距离
立体几何空间向量点到直线距离
要计算立体几何空间中点到直线的距离，可以使用以下步骤：
1. 确定直线的参数方程：假设直线的参数方程为 P + td，其中 P 是直线上的一个点，d 是直线的方向向量，t 是参数。
2. 计算点到直线的向量：设点为 A，点到直线的向量为 V = A - P。
3. 计算距离：点到直线的距离可以通过计算点到直线向量 V 在直线方向向量 d 上的投影来获得。
投影长度即为点到直线的距离。
具体计算步骤如下：
1. 计算投影向量：将向量 V 投影到直线方向向量 d 上，得到投影向量Proj = (V · d) / |d|² * d，其中·表示点乘运算。
2. 计算距离：点到直线的距离为 |V - Proj|，即点到直线向量 V 减去投影向量 Proj 的模长。
请注意，这个方法适用于计算立体几何空间中点到直线的距离。
如果直线是平面上的，则可以使用平面几何中的方法计算点到直线的距离。
空间向量间的距离
空间向量间的距离可以通过以下公式计算：
空间向量的距离公式是：d= |n·MP| |n|，其中n是平面的法向量，MP是点P到平面的向量。
该公式用于计算空间中一点到平面的距离。
另外，点到平面的距离也可以通过向量运算计算，设该点与平面内任意一点的连线的向量为a向量，平面的法向量为n向量，距离为d= |a·n| |n|，即a向量与n向量的数量积除以n向量的模。
此外，欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧式空间中两点间的距离公式。
它可用于计算两点之间的直线距离，也可以用于计算向量的距离。
空间向量中点到平面的距离公式
空间向量中点到平面的距离公式
空间中点到平面的距离可以使用向量的方法来求解。
假设空间中平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，点P(x0, y0, z0)为空间中的任意点，则点P到平面的距离可以表示为点P到平面的法向量的投影。
设平面的法向量为n=(A, B, C)，则点P到平面的距离d可以表示为d = |(n·OP)|/|n|，其中·表示向量的点积，|n|表示向量n的模长，OP为点P到平面上的任意一点Q的向量。
另一种常用的方法是通过点到平面的距离公式来求解。
设点
P(x0, y0, z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则有d =
|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)。
这个公式也可以用来求解点到平面的距离。
从几何的角度来看，点到平面的距离实际上就是点到平面的垂直距离，可以通过这两种方法来求解。
这些公式和方法可以帮助我们在空间解决点到平面的距离问题。
空间向量求点面距离公式
点到面的距离公式空间向量
在空间向量中,平面外一点P到平面α的距离d为：d=|n.MP|/|n|.式中,n：平面α的一个法向向量,M ：平面α内的一点,MP--
向量法求点到面的距离公式推导过程
平面的相关知识点
平面的一般式方程
Ax+By+Cz+D=0
其中n = (A，B, C)是平面的法向量，D是将平面平移到坐标原点所需距离(所以
D=0时，平面过原点)
向量的模(长度)
向量AB（AB上面有→）的长度叫做向量的模，记作|AB|(AB上有→）或|a|(a上有→)。
向量的性质
向量的模的运算没有专门的法则，一般都是通过余弦定理计算两个向量的和、差的模。
多个向量的合成用正交分解法，如果要求模一般需要先算出合成后的向量。
模是绝对值在二维和三维空间的推广，可以认为就是向量的长度。
推广到高维空间中称为范数。
空间向量基本定理
共线向量定理两个空间向量a, b向量( b向量不等于0），a∣∣b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb
共面向量定理
如果两个向量a, b不共线，则向量c与向量a, b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by
空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
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学习目标：
1．能借助空间几何体内的位置关系求空间 的距离； 2．能用向量方法解决点面、线面、面面的 距离的计算问题，体会向量方法在研究几 何问题中的作用； 3. 探究题型，总结解法步骤。
复习回顾：
1.我们所学距离有哪几种？
2.已知，A(1,2,0),B(0,1,1),C(1,1,2) 试求平面ABC的一个法向量.
D
A B
练习3、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
z
d
AB n n
A1
N
D1
F E
C1
M B1 D
C B
y
x
A
小结：
怎样利用向量求距离？ 点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在 平面法向量上投影的绝对值。 直线到平面的距离：转化为点到平面的距离。 平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平 面的距离。
作业：
P50 A组2，3
F A
C
E
y
B
练习2: 正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，求AC与平 面DA1C1的距离 DA n D1 C1 d n
A1 B1
D
A B
C
三、求平面与平面间距离
例3、正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，
求平面A1DC1与平面AB1C的距离
D1 A1 B1 C1
d
C
DA n n
如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
N D M A B C
解：如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－xyz 则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )
∴d=| PA ||cos PA, n |=
| n|
A
O
| PA | | n | | cos PA, n |
=
| PA n | |n|
.
这个结论说明，平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点 （常选特殊点）的向量在平面的法向量上的投影的绝对值
例1、已知正方形ABCD的边长为4，GC⊥ 平面ABCD，GC=2,E、F分别是AB、AD的 z 中点，求点B到平面GEF的距离。
∴d
MA n n a a A MNC 即点 到平面 的距离为 . 2 2
二、求直线与平面的距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。
G
d
| n BE| n
2 11 . 11
x D
2 2 1 1 a , 0, 0) N ( a , a, a ) ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点, ∴ M ( 2 2 2 2
1 1 2 2 z ∴ MC ( a , a , 0) , MN (0, a , a ) , MA ( a , 0, 0) P 2 2 2 2 设 n ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC 2 N ∴ n MC ax ay 0 且 C D y 2 a a M n MN y z 0 2 2 2 A 解得 x y z , B 2 x ∴可取 n ( 2,1, 1)
G
x D F A
C
E
y
B
例: 1 如图，已知正方形
ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点 B 到 z 平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2),
设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z )
x
F
D
C
取n (1,1, 3) ,BE (2,0,0)
d | n BE| n
2 x 2 y 0 n EF， n EG 2 x 4 y 2z 0 A
一、求点到平面的距离
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
E
y
B
2 11 2 11 .点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11 11
• 求点到平面的距离的步骤：
• ⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个 不共线向量的坐标； • ⑵ 求平面的一个法向量的坐标； • ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接 向量的坐标； • ⑷ 代入公式