复变函数第一章1.1

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第一章复变函数

z z 0 r0
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x

o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg

复数与复变函数

非零复数ｚ的整数n次根式为:
n
z
=n
iϕ +2kπ
ρe n
=n
ρ (cos ϕ + 2kπ
+ i sin ϕ + 2kπ )
n
n
(k = 0,1,2....n −1)
2. 无穷远点
复平面上一点与球面上的点一一对应，复平面上∝ 点与球面上N相对应，点的幅角无意义。复平面+ ∝为闭平面。
（全平面扩充平面）。
ii) 复数“零”的幅角无定义，其模为零.
iii) 当ρ=1时, z = cosϕ + isinϕ = eiϕ称为单位复数.
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
z1 z2
=
ρ1 ρ 2 [cos(ϕ1
+ ϕ2 ) + i sin(ϕ1
+ ϕ2 )] =
ρ ρ ei(ϕ1 +ϕ2 ) 12
z1 z2
上却有很大的区别，这是因为实变函数Δx 只沿实轴逼近零
，而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此
复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.
z x
例： f (z) = z = x − iy 在复平面上处处不可导
∵ z + ∆z − z = ∆z
∆z
∆z
当 Δz→0 沿实轴
∆z = ∆x, ∆z = ∆x → 1 ∆x ∆x
立。
4. 复变函数
例：初等单值函数
幂函数： w=zn n=1,2, - - - - -
多项式： a0+a1z1+a2z2+- - - - +anzn n 为整数

复变函数第一章1

2 − 2i = 22 + (−2)2 = 2 2
Arg(2 − 2i) = arctan
；，（ k ∈ Z ）；
π
− i 4
2 − 2i = 2 2(cos( − ) +i sin( − )) = 2 2e 4 4
π
−2 π + 2kπ = − + 2kπ 2 4
π
.
引进了复数的三角形式或指数形式，我们可得如下结果：
z 1 ± z 2 = (x 1 ± x 2 ) + i ( y 1 ± y 2 ) ，
复数 z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2 相加（减）的法则是：结果仍是复数 . 这表明复数与复数相加（减）所得的复数可按实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）得到．复数的加法满足交换律和结合律，而且减法是加法的逆运算．
y 显然复数 z 的辐角满足 tan θ = ，且任一非零 x
复数 z 有无穷多个辐角，以 arg z 表示其中的一个特定值，并称满足条件：
− π < arg z ≤ π （1.3）的一个为 Argz 的主值(或复数 z 的主辐角)，习惯上仍记为 argz ．于是 θ = arg z + 2kπ（k ∈ Z ）（1.4）
n
(cosθ + i sinθ ) = cos nθ + i sin nθ （棣莫弗公式）
设 z ≠0，通常，我们把满足方程 w n = z ( n ≥ 2为整数) 的复数 w 称为复数 z 的 n 次方根，记为 w = n z
n iθ iϕ w w = Re z = re 记，，将它们代入方程 = z 得

复变函数

第一章复数与复变函数 §1.1复数的定义及其运算域称非空集合F 是域,如果F 有加法和乘法运算,使得(ⅰ) F 对加法而言构成交换群； (ⅱ) \{0}F对乘法而言也构成交换群；(ⅲ) F 对加法和乘法而言成立分配律,即(),,,a b c ab ac a b c F +=+∀∈.例如,有理数的全体和实数的全体都是域.复数在2{(,):,}a b a b =∈ 中规定加法和乘法运算如下：(,)(,)(,)a b c d a c b d +=++；(,)(,)(,)a b c d ac bd ad bc =-+,则易验证它是域.将规定了上述加法和乘法运算后的2用表示,称为复数域.容易看出{(,0):}a a ∈ 构成的一个子域,并且与实数域同构,故通常将(1,0)简记为1,它就是的单位元素；将(0,1)简记为i ,因为它满足21i =-，故称为虚数单位.的元素(,)a b 可简记为a ib +,称为复数.于是, 的四则运算能明确地写出来()()()()a ib c id a c i b d +++=+++； ()()()()a ib c id a c i b d +-+=-+-； ()()()()a ib c id ac bd i ad bc ++=-++；2222c id ac bd ad bci a ib a b a b ++-=++++.复数定义中关于乘法的规定,本质上是“想象出”一个数i ,满足21i =-,然后按分配律展开,再按交换律合并同类项所得到的,即()()()()a ib c id ac aid ibc ibid ac bd i ad bc ++=+++==-++.复数的定义人为痕迹很浓,不易为初学者所接受.复数乘法定义的合理解释 ,{:,},a ba b b a ⎫⎛∈⎪-⎝⎭ 在矩阵加法,,,,,(),a b c d a c b d b a d c b d a c ++⎫⎫⎫⎛⎛⎛+=⎪⎪⎪ ---++⎝⎝⎝⎭⎭⎭和乘法,,,,,(),a b c d ac bd ad bc b a d c ad bc ac bd-+⎫⎫⎫⎛⎛⎛=⎪⎪⎪ ---+-⎝⎝⎝⎭⎭⎭下构成一个域,它显然与复数域同构.这说明复数的乘法本质上是矩阵的乘法.因为矩阵的乘法定义是由线性变换的复合诱导的,非常自然,从而解释了复数乘法定义的合理性.特别的,i 本质上就是2222cos sin 0,11,0sin ,cos ,ππππ⎫⎛⎫⎛=⎪ ⎪ --⎝⎭⎝⎭.作为线性变换,它将2维行向量逆时针旋转2π,其平方1,00,1-⎫⎛⎪-⎝⎭就是将2维行向量逆时针旋转π.这说明21i =-有明确的几何意义,并非是想象出来“虚数”.复数的四则运算跟有理数或实数完全一样,但有一个重要的差别,就是复数不能比较大小.为了说明这个问题,需要有序域的概念.定义1.1.1 称域F 是有序域,如果F 存在非空子集合F +满足(ⅰ) ,,F F αβαβ+++∈∀∈； (ⅱ) ,,F F αβαβ++∈∀∈； (ⅲ) F 是F +,{0}和()F +-的无交并. 此时,若F βα+-∈,则称αβ<.定理1.1.2 有理数域和实数域都是有序域；复数域不是有序域.证: (反证法)假定存在非空子集合+满足定义1.1.1中的(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ).根据(ⅲ),i +∈ 和i +-∈ 二者必居其一.若i +∈ ,根据(ⅱ),有21i +-=∈ ,从而(1)i i +-=-∈ ；若i +-∈ ,根据(ⅱ),也有21()i +-=-∈ ,从而(1)()i i +=--∈ .总之, i +±∈ ,于是根据(ⅰ),0()i i +=+-∈ ,这与(ⅲ)相矛盾.#注记由实数域,利用矩阵的加法和乘法,得到了复数域,{:,},a ba b b a⎫⎛∈⎪-⎝⎭ ,使得是真子域.现在要问,由复数域,能不能利用矩阵的加法和乘法,使得,{:,},z wz w w z ⎫⎛∈⎪-⎝⎭ 也是一个域,并且是它的真子域?答案是否定的,因为当,z w ∈ 时,,,z w w z ⎫⎛⎪-⎝⎭未必有逆.复数的常见符号及性质对于,,z x iy x y =+∈,称z x iy=-为z的共轭,2Re z z z x +==为z的实部,2Im z z iz y -==为z 的虚部,z ==为z 的绝对值.显然成立(ⅰ) z w z w ±=±,,()zw z w z w z w ==； (ⅱ)0,,z z ww z z zw z w ==≥=；(ⅲ) 2222Re z w z zw w±=±+；(ⅳ),z w z w z w z w+≤+-≥-.§1.2 复数的几何表示复数的几何表示将复数(,)z x iy x y =+∈与平面2 上的点(,)x y ，起于(0,0)终于(,)x y 的向量，甚至起于(,)a b 终于(,)a x b y ++的向量视为相同,如图所示.复数加法和减法的几何意义(如图所示)复数的三角记法和指数记法对于平面上异于原点、极坐标为(,)r θ的复数z ,可记为 (cos sin )zr i θθ=+ (三角式)或 i zre θ= (指数式),称θ为复数z 的幅角.如下图所示.复数乘法的几何意义对于非零复数11111(cos sin )i z re r i θθθ==+和 22222(cos sin )i w r e r i θθθ==+,其乘积本质上就是由2阶方阵11111cos ,sin sin ,cos z r θθθθ⎫⎛⎪ -⎝⎭ 和 22222cos ,sin sin ,cos w r θθθθ⎫⎛⎪ -⎝⎭ 所确定的线性变换的复合,故12()12121212(cos()sin())i zw r r e r r i θθθθθθ+==+++；12()12121122(cos()sin())i r r r r e i z w θθθθθθ-==-+-.非零复数i z z e θ=的幅角的全体用{2:}Argz k k θπ=+∈ 表示,但只有唯一的一个幅角0(,]θππ∈-,称为z 的幅角的主值,记为0argz θ=.关于复数z 的幅角,有如下一些等式(理解为集合的相等) ArgzArgz =-；()Arg zw Argz Argw =+；()Arg Argz Argw z w =-.注意关于z 的幅角的主值,可能会有argz argz ≠-；(例如1z =-)()arg zw argz argw ≠+；(例如1,z w i =-=) ()z w arg argz argw ≠-.(例如1,1z w ==-)两个复数(平面向量)的平行与正交向量z 与w 平行⇔Im 0zw =；向量z 与w 正交⇔Re 0zw =.证：设,z x iy w u iv =+=+,则向量z 与w 平行⇔xv yu =⇔Im zw0=；向量z 与w 正交⇔0xu yv +=⇔Re 0zw =.#例1.2.1'(4P ,第4题) 若12,0z z λλ=>.证明：21212z z z z λλ-=-.证： 2222241211222Re z z z z z z λλλ-=-+2222221212Re z z z z λλλ=-+2221122(2Re )z z z z λ=-+2212z z λ=-.#例1.2.2'(13P,第15题) 设12,01z z λ≠<≠.证明:{:z ∈ 12}z z z z λ--=是圆周(Apollonius 圆周),并求出其圆心a 和半径R .证：由例1.2.1',该平面集合中的点z 满足21212()()z z z z z z λλ---=-,221212(1)()z z z z z λλλ---=-,即212122211z z z z z λλλλ---=--.这恰好是以a2122=1z z λλ--为圆心,以R 1221z z λλ-=-为半径的圆周的方程.#例1.2.3(11P,第8题) 如图所示,两个正方形共用一个顶点,证明：A ,垂足H ,中点M 共线.证：因为1()2a b M +=,故只需证明a b +与ib ia +正交即可,此显然.#例1.2.4 证明: 三角形123z z z 三边的中点,三顶点在对边的垂足,三顶点与垂心的中点,这九个点共圆(九点圆),并且该三角形的外心,重心,九点圆心,垂心在同一条直线上.具体地说,如果选取外心作原点,则外心,重心,九点圆心,垂心便分别是1231231230,11(),(),()32z z z z z z z z z ++++++.证：因为外心为原点,故1230z z z R ===>.(1) 重心为1231()3z z z ++.123123111()(2)33z z z z z z z ++-=+-,23123111()(2)22z z z z z z +-=+-,这说明1231()3z z z ++位于1z 对边的中线上. (2) 垂心为123()z z z ++.123123()()z z z z z z ++-=+,222323232233Re()()Re()z z z z z z z z z z +-=+--0=,这说明123()z z z ++位于1z 到对边的垂线上.(3) 1231()2z z z ++到六中点的距离为12R . 123231111()()222z z z z z z ++-+=,这说明1231()2z z z ++到1z 对边中点的距离为12R.12311231111()()222z z z z z z z z ++-+++=,这说明1231()2z z z ++到1z 与垂心中点的距离为12R .(4) 1z 在对边的垂足位于六点圆上.只需证明1z 的对边上有一点,1z 到对边的垂线上有一点,这两点是六点圆的直径对点.事实上,1z 与垂心的中点11231()2z z z z +++,1z 对边的中点231()2z z +,这两点的中点恰为六点圆心1231()2z z z ++.#§1.3 扩充复平面和复数的球面表示将添上一个想象的点∞,使其成为“加一点的紧致化”.称∞为的无穷远点,∞= {}∞ 为复扩充平面.规定,z zz +∞=∞+=∞∀∈ ；,0z z z ⋅∞=∞⋅=∞∀≠∈ ；0,z z =∀∈∞ ； ,0z z ∞=∞∀≠∈ ； ∞⋅∞=∞等等.如图所示,单位球面上异于北极(0,0,1)的点123(,,)x x x 与复平面上的点z 一一对应,北极(0,0,1)与∞对应.注意到123311(,,0)(0,0,1)x x x x ---与123(,,)(0,0,1)x x x -方向相同,便知1231x x x i z -=+.由2221231x x x ++=,便知333322212212(111111)x x x x x x z +---+=+=+=+.于是1322(1)1z z z z x x z ++=-=+； 2322(1)(1)z z iz z x x i z --=-=+；222321111z z z x -++=-=；称单位球面与复扩充平面的这样的对应为复扩充平面的球面表示；该单位球面便称为Riemann 球面.§1.4 复数列的极限设,0a r ∈> ,称(,){:}B a r z z a r =∈-<为以a 为中心、以r 为半径的圆盘.特别地,称(0,1)B 为单位圆盘.也称(,)B a r 为a 点的r 邻域,称(,){:}B r z z r ∞=∈> 为∞点的r 邻域.于是,关于复数列收敛的各种概念和结论都能建立.§1.5 开集、闭集和紧集开集、闭集、紧集；点集E 的孤立点、极限点、导集E '、闭包E 、内点、内部0E 、外点、外部0()c E 、边界点、边界E ∂；曲线、简单曲线(Jordan 曲线)、简单闭曲线(Jordan 闭曲线)、可求长曲线；连通集、(区)域、单连通(区)域、多连通(区)域.§1.6 曲线和(区)域复平面上最常用到的点集拓扑概念复平面上最常用到的点集拓扑定理Cantor 闭集套定理、Heine-Borel 有限覆盖定理、Bolzano-Weierstrass 列紧性定理、Jordan 平面划分定理. 定理1.5.6 设E 是紧集,F 是闭集,并且E F =∅ ,则00,z E w F ∃∈∈使得(,)inf{:,}d E F z wz E w F =-∈∈=000z w ->.证：取{},{}n n z E w F ⊂⊂使得(,)d E F =lim n nn z w →∞-.因为E 是紧集,故存在{}n z 的子列{}k n z 收敛于0z E ∈.因为相应的{}k n w 是有界复数列, F 是闭集,故又存在其子列{}k n w '收敛于0w F ∈.于是,注意到00z w ≠,便得到(,)d E F =00lim 0k k n n n z w z w ''→∞-=->.#§1.7 复变函数的极限和连续性复变函数设E ⊂是非空点集.称映射:f E →为复变函数,也可用()w f z =表示.若记z x i y =+,w u iv =+,则()(,)w f z f x y ==()()(,)(,)u z iv z u x y iv x y =+=+.于是,复变函数()w f z =的极限、连续、一致连续等概念就是映射2(,):u v E → 的相应概念.有关映射的各种性质也对复变函数成立.重要注记由于2z z x +=,2z z iy -=,故一般将()w f z =理解为以,z z为自变量的函数,即(,)(,)(,)w f z z u z z iv z z ==+.以后将看到,这样做会带来很多方便,并且具有“复风格”.第二章解析函数 §2.1复变函数的导数定义2.1.1 设D⊂是域,f是D 上的函数,0z D ∈.如果存在有限极限00()()limz z f z f z z z →--,则称f在0z 处可导,称该有限极限为f在0z 处的导数(或微商),记作0()f z '.如果f在D 中的每一点处都可导,则称f是D 上的全纯函数(或解析函数).如果f在0z 的某个邻域上可导,则称f在0z 处全纯.显然,f在0z 处可导等价于f 在0z 处可微(严格地,应该称为复可微),即000()()()()f z z f z f z z o z '+∆-=∆+∆ (0)z ∆→.命题 2.1.2 若f在0z 处可导,则f在0z 处连续.例 2.1.3 函数()f z z =在上处处可导；()g z z =在上处处不可导；()arg h z z =在\{0} 上处处不可导. 证： (ⅰ)()1f z '=.(ⅱ)000()()limlimz z z z g z g z z z z z z z →→----=显然不存在,这是因为0zx iy =+时,0000000()()()()lim1x x x iy x iy x iy x iy →---+-+=；0z x iy =+时,0000000()()()()1limy y x iy x iy xiy x iy →---+-+=-.(ⅲ)()()arg arg limlimz z z z h z h z z zz z z z →→----=显然不存在,这是因为0()z rz r =∈ 时,00001arg arg 0limr rz z rz z →--=；i z e z θ=时,000000arg arg 10(1)limlimi i i e z z e z z e ziz θθθθθθ→-→--=≠--=.#命题 2.1.4 复变函数求导的四则运算、复合函数求导的链式法则和反函数的求导公式,与实变函数一样,仍然成立.于是,全纯函数的和、差、积、商、复合、反函数都是全纯函数.§2.2 Cauchy-Riemann 方程定义 2.2.1 设D ⊂是域,f u iv =+是D 上的函数,000z x iy D =+∈.如果二元实函数,u v 在00(,)x y 处可微,即0000()()()()()f f f z z f z x y xyz z o z ∂∂+∆-=∆+∆∂∂+∆ (0)z ∆→,则称f在0z 处实可微.称000()()()yffdx dyxdf z z z ∂∂∂+∂=为f在0z 处的微分.命题2.2.2 记1()2i zx y ∂∂∂=-∂∂∂,1()2i z x y ∂∂∂=+∂∂∂,z x i y ∆=∆+∆,z x i y ∆=∆-∆,则f 在0z 处实可微等价于0000()()()()()f f f z z f z z z z z z zo z ∂∂+∆-=∆+∆∂∂+∆(0)z ∆→.此时,000)()()(f f z z dz z zzdf dz∂∂=+∂∂就是f在0z 处的微分.这说明,如果将复变函数f视为,z z 的函数,则其微分的形状与实变函数一样.证：0000()()()()()f f f z z f z z x z y o z xy∂∂+∆-=∆+∆+∆∂∂00()()()22f z z f z z z z o z xyi ∂∆+∆∂∆-∆=++∆∂∂00001111(()())(()())()2222f f f f z z z z z z o z xi yxi y∂∂∂∂=+∆+-∆+∆∂∂∂∂00()()()f f z z z z o z zz∂∂=∆+∆+∆∂∂ (0)z ∆→.#定理2.2.3和定理2.2.4 设D ⊂是域,f u iv =+是D 上的函数,0z D ∈.那么,f在0z 处可导的充要条件是 (ⅰ)f在0z 处实可微；(ⅱ) f 在0z 处满足齐次Cauchy-Riemann 方程0()0fzz ∂∂=.此外,f满足齐次Cauchy-Riemann 方程0fz∂∂=还可改写成ux∂∂v y ∂=∂, v u xy ∂∂=-∂∂；当f在0z 处可导时,000()()()f f f z z z zx∂∂'==∂∂0()f z i y∂=∂.这说明,()(,)f z f z z =是全纯函数,在直观上可理解为“(,)f z z 与z 无关”.证：“充分性”.若f 在0z 处实可微,并且0()0fzz ∂∂=,则000()()()()f z zf z z f z z o z ∂∂+∆-=∆+∆ (0)z ∆→,这就是f在0z 处可导的等价条件.“必要性”.若f在0z 处可导,则存在有限极限0000()()()lim()x x xf z f z f x z f z ∆→∆∆-∂∂+'==,0000()()()lim()y y yi f z i f z f yz i if z ∆→∆∆-∂∂+'==.故 0000200()11(()())(()22())()ff f z zxyz iz f z i f z f z ∂∂∂∂∂∂'-=''=-=,000200()1(()())21(()())02f f f z zx y z i z f z i f z ∂∂∂∂∂∂=+''=+=.再由000()()()()f zf z z f z z z o z ∂∂+∆-=∆+∆(0)z ∆→,便知f 在0z 处实可微.最后,由2()()()()f u v u v u v v uii ii zxxyyxyxy ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=-++∂∂∂∂∂∂∂∂∂,便知0fz∂=∂等价于,uv v u x y x y ∂∂∂∂==-∂∂∂∂.#重要的数学符号设D ⊂是域.用()H D 表示D 上全纯函数的全体, ()C D 表示D 上连续函数的全体,*()()k C D k ∈ 表示D 上一切k 阶偏导函数都连续的函数的全体,()C D ∞表示D 上任意阶偏导函数都连续的函数的全体,则有如下包含关系(以后再证()()H D C D ∞⊂)11()()()()()()k k H D C D C D C D C D C D ∞+⊂⊂⊂⊂⊂.例 2.2.5()()n f z z n =∈ 是上的全纯函数. 证：因为1(),z n f z nz -'=∀∈.#例 2.2.62()zf z e-=仅在0z=处可导.证：因为2()zf z e-=实可微,且2()()zz zf e z zez z --∂∂==-∂∂之故.#定义2.2.7和命题2.2.8 设D ⊂ 是域,u2()C D ∈是实值函数.如果z D ∀∈,总成立22222()()()4()0u u uu z z z z x y z z ∂∂∂∆=+==∂∂∂∂,则称u 是D 上的调和函数.称222224xyz z ∂∂∂+=∂∂∂∂∆=为Laplace 算子.证： 24()()u u ui i z zx y x y ∂∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂∂ 222222u u u ui i x x y y x y ∂∂∂∂=+-+∂∂∂∂∂∂ 2222u u x y ∂∂=+∂∂.#定理2.2.9和定义2.2.10 设D ⊂是域.若f u iv =+()H D ∈,则,u v 都是D 上的调和函数.通常称v是u 的共轭调和函数.证：240f u i v f z z ∂∆+∆=∆==∂∂,故0,0u v ∆=∆=.#定理2.2.11 设u 是单连通域D⊂ 上的调和函数,则必存在D 上的全纯函数f,使得Ref u =.证：因为2222()()0u u u u dx dy yx xyd dx dy ∂∂∂∂-++∂∂∂∂=∧=,即u u dx dyyx∂∂-+∂∂是单连通域D 上的1次d -闭微分形式,故它也是D上的1次恰当微分形式,从而存在D上的实值函数v,使得u u dv dx dyyx∂∂=-+∂∂,即,vu v uxy y x ∂∂∂∂-∂∂∂∂==,这说明f u iv =+()H D ∈.#§2.3 导数的几何意义复变函数导数的几何意义设函数f在0z 处可导,并且0()0f z '≠.从000()()()()(0)f z w f z f z w o w w '+=++→可以看出,f将0z 的邻域“同向相似地”映到0()f z 的邻域,伸缩率为0()f z ',转动角为0arg ()f z '.这说明f在0z 处是“保角的”.例2.3.1(50P,第3题) 设函数f在(0,1){1}B 上全纯,并且(1)1f =,((0,1))(0,1)f B B ⊂.证明：(1)f '是实数,并且(1)0f '≥.证: 由所给条件,可得到()1(1)(1)(1)(1)f z f z o z z '=+-+-→.注意到当(0,1)z B ∈且位于1的充分小邻域内时,有()1f z ≤,故21(1)(1)(1)1f z o z '+-+-≤, 21(1)(1)(1)1f z o z '-+-+-≤,12Re (1)(1)(1)1f z o z '--+-≤,(1)1Re (1)011o z z f z z --'+≥--.令1z→,便得到22Re (1)0,[],i f e θππθ'≥∀∈-.分别令022,,ππθ=-,便得到 Im (1)0,f '≥Im (1)0,f '-≥Re (1)0f '≥.于是,(1)f '是实数,并且(1)0f '≥.#§2.4 初等全纯函数本节主要研究常见初等全纯函数的性质. 术语 2.4.1 设D ⊂是域.若:f D →既是全纯函数又是单射(单射意思是12,z z D ∀∈,总有12()()f z f z ≠),则称f在D 上双全纯,或称f在D 上单叶；称D 为f的单叶性区域.术语2.4.2 设D ⊂ 是域.若z D ∀∈,都对应着非空复数集()F z ⊂ ,则称F 是D 上的多值函数.例如,Argz 是\{0} 上的多值函数；2()1f z z =+的反函数1()f z -=上的多值函数.术语2.4.3 设F 是域Ω⊂ 上的多值函数,域D ⊂Ω.若存在D 上的全纯(或连续)函数f满足()(),f z F z z D ∈∀∈,则称f 是F 在D 上的一个单值全纯(或连续)分支；称D 为F 的单值性区域.例如,arg z 是Argz 在\(,0]-∞ 上的一个单值连续分支.研究初等全纯函数的意义和用途（ⅰ）计算某些积分；（ⅱ）寻找双全纯映射；（ⅲ）表述自然规律.初等全纯函数的要素定义域、单值性区域、单叶性区域、像域(实变量的情形为定义域、单调性区间、有界性、周期性、图像等等). 0、多项式函数和有理函数11011n n n n a z a z a z a --++++和 1101111011m m m mn n n n b z b z b z b c z c z c z c ----++++++++ 都是全纯函数,单值性区域就是其定义域.单叶性区域和像域很复杂. 1、指数函数e x p ()(c o s s i z x i yx w z e e e y i y +====+在上全纯,周期为2i π,满足121200,1,z z z z z e e ee e +≠==,()z ze e '=；其单值性区域就是定义域；单叶性区域之一为{:Im }(,,02)D z z αβαββαπ=∈<<∈<-≤ ；D 在映射z w e =下的像域是角状域{\{0}:}G z Argz αβ=∈<< .证:()1()()2zzze e e i zx y ∂∂∂=+∂∂∂⎫⎛ ⎪⎝⎭1(cos sin )(sin cos )02x xe y i y ie y i y ⎡⎤=++-+=⎣⎦.()()z z e e x∂'==∂(cos sin )xz e y i y e +=. 1212121212121212()()()z z x x i y y x x i y y x x iy iy z z e e e e e e e e e e ++++++====.指数函数zw e =将z 平面上的直线0{:Im }z z y ∈= (0y ∈是常数)一一地映成w 平面上从原点出发的射线0{\{0}:}z Argz y ∈= ；将z 平面上的开线段00(,2)z z i π+(0z ∈是常数)一一地映成w平面上以原点为中心的开圆周00(0,)\{}x z B e e ∂.1212,,z z D z z ∀∈≠,必有12x x ≠或12y y ≠.若12x x ≠,则12z z e e ≠；若12y y ≠,则1202y y βαπ<-<-≤,也有12z z ee ≠.故D 是z w e =的单叶性区域,其像域显然是角状域{\{0}:}z Argz αβ∈<< .#2、对数函数l o g w Lo g z z i A r g z ==+是\{0} 上的多值函数；其单值性区域之一为角状域{\{0}:}G z A r g z αβ=∈<< (,,02)αββαπ∈<-≤ ,每个G上的函数l o g 2(,)w z i A r g z i k k A rgzπαβ=++∈<< 都是指数函数zw e = (Im )z αβ<<的反函数,因而是G 上的全纯函数,log 2()1z iArgz i k z π++'=；其单叶性区域之一为角状域G ；G 在映射log ()w z iArgz Argz αβ=+<<下的像域为条形域{:Im }D z z αβ=∈<< .证: 因为(l o g 2)z i A r g z i k i A r g z ez e z π++==,故log 2w z iArgz i k π=++是zw e =的反函数,并且(l o g 2)1l o g 21()z iArgz i k z iArgz i k z eππ++++'==.#3、幂函数(0)i Argzw z z eμμμμ==>是\{0} 上的多值函数(*μ∈时是上的全纯函数)；其单值性区域之一为角状域{0}:{\Gz =∈}Arg z αβ<<(,,αβ∈ 02)βαπ<-≤,()i ArgzArgz w z z e μμμαβ<<==是对数函数log w z iArgz =+()Argz αβ<<乘以μ后再与指数函数(Im )z z w e μαμβ<<=的复合,因而是G 上的全纯函数,()Zz z μμμ'=；其单叶性区域之一为角状域1{\{0}:G z =∈ 1111(,,}Argz αβαβ<<∈1120min{2,})πμβαπ<-≤；1G 在映射i Argz w z z e μμμ==下的像域为角状域 2{\{0}:G z =∈ 11}Argz μαμβ<<.证: 因为i Argzw z z e μμμ==就是复合函数(log ),z iArgz eμ+故(log )()()z iArgz ez μμ+''=(log )z iArgz e zzzμμμμ+==.由于对数函数log w z iArgz =+11()Argz αβ<<在1G 上单叶,指数函数11(Im )z z w e μαμβ<<=在条形域11{:Im }D z z μαμβ=∈<< ,故1G 是i Argzw z z e μμμ==的单叶性区域.#Rokovsky 函数11()2()z z f z +=是\{0} 上的全纯函数；(0,1)\{0}B 、(,1)B ∞、上半平面上、下半平面下都是11()2()z z f z +=的单叶性区域；它们在f 下的像域分别是(0,1)\{0}f B （）=\[-1,1]；((,1))\[1,1]f B ∞=- ；()\((,1][1,))f =-∞-+∞ 上；()\((,1][1,))f =-∞-+∞ 下.证: 如果1212,\{0},z z z z ∃∈≠ ,使得12()()f z f z =,则有121211()()z z z z +=+,22122211z z z z z z +=+,121212)(z z z z z z =--,121z z =.故当121212,\{0},,1z z z z z z ∀∈≠≠ 时,一定成立12()()f z f z ≠.对于上述四个区域中的任意两个复数12,z z ,总是成立121z z ≠,从而它们都是11()2()z z f z +=的单叶性区域.当z 从1到-1逆时针画出上半单位圆周时,()f z 从1到-1严格递减地画出线段[1,1]-；当z 从-1到1逆时针画出下半单位圆周时,()f z从-1到1严格递增地画出线段[1,1]-.当z 从-∞到-1严格递增地画出区间(,1]-∞-时,()f z 从-∞到-1严格递增地画出区间(,1]-∞-；当z 从-1到0严格递增地画出区间[1,0)-时,()f z 从-1到-∞严格递减地画出区间(,1]-∞-；当z 从0到1严格递增地画出(0,1]时,()f z 从+∞到1严格递减地画出线段[1,)+∞；当z 从1到+∞严格递增地画出[1,)+∞时,()f z 从1到+∞严格递减地画出线段[1,)+∞.∀固定的\[1,1]w ∈- (或\((,1][1,))-∞-+∞ ),w 在f下的原像是1z w =+2z=w .由121z z =可知12,z z 分别在(0,1)\{0}B ,(,1)B ∞(或, 上下)中.这说明(0,1)\{0}f B （）=\[-1,1],((,1))\[1,1]f B ∞=- (或()\((,1][1,))f =-∞-+∞ 上,()f = 下\((,1][1,))-∞-+∞ ).#4、三角函数22cos sin ,iz iziz ize e e e iw z w z --+-====在上全纯,cos z 是偶函数,sin z 是奇函数,周期都为2π,都满足所有的三角恒等式和三角函数求导公式；其单值性区域就是定义域；cos z 的单叶性区域之一为半带状域{:0Re 2,Im 0}D z z z π=∈<<> ,cos \[1,)D =-+∞ ；此外,还有cos cos sin z xchy i xshy =-,sin sin cos z xchy i xshy =+,因而cos z 和sin z 都在上无界,cos z 的零点集是2}{:k k ππ∈+ ,sin z 的零点集是{}:k k π∈ . 证: 与实变量三角函数类似的那些性质由定义得到.cos w z =()z D ∈是指数函数izw e =(0Im()2,Re()0)iz iz π<<<与Rokovsky 函数11()2z z w +=((0,1)\[0,1))z B ∈的复合,故D 是cos z 的单叶性区域,[1,cos \)D -=+∞ .由 22cos()sin(),yyy ye e e e iiy iy chy ishy--+-====便得到cos cos sin z xchy i xshy =-,sin sin cos z xchy i xshy =+,cos z 和sin z 都在上无界.再由不等式2222cos sin ,z z sh y sh y≥≥可以看出cos z 和sin z 的零点一定是实数.#初等全纯函数由指数函数和常数函数经过有限次的四则运算、复合运算和求反函数运算所得到的全纯函数被称为初等全纯函数.例2.4.1 将如下图所示的域D 双全纯映射成上半平面上.解:11()z f z z a==-在D上双全纯；22211()z f z z ==在11()D f D =上双全纯；23322()z f z z h ==+在221()D f D =上双全纯；43()f z w =在332()D f D =上双全纯.故4321()()f z w f f f f z == 即为所求.#例2.4.2 将如下图所示的域D 双全纯映射成上半平面上.解:11()z f z zπ==在D上双全纯；1221()z z f z e ==在11()D f D =上双全纯；3322()z f z z e π-==+在221()D f D =上双全纯；43()f z w =在332()D f D =上双全纯.故4321()()f z w f f f f z == 即为所求.#例2.4.3多值函数w 2(1)Log z w -=都能在\((,1][1,))-∞-+∞上选出单值全纯分支；w =能在\[1,1]- 上选出单值全纯分支；2(1)Log z w -=不能在\[1,1]-上选出单值全纯分支.证: 记12\((,1][1,)),\[1,1]D D -∞-+∞-== .容易看出,若γ是1D (或2D )中的一条简单闭曲线,则当z 沿γ逆时针绕行一周时,21z-的幅角连续变化所产生的增量是0(或0和4π).于是,121222(1)1Arg z i z w e-=-和221(1)z Arg log z w i --=+都能在1D 上选出单值全纯分支；212122(1)1iArg z w z e-=-能在2D 上选出单值全纯分支；221(1)z Arg log z w i --=+不能在2D 上选出单值全纯分支.#§2.5 分式线性变换分式线性变换称从∞到∞ 的一一映射()()az bw T z ad cd cz d +==≠+为分式线性变换或M obius 变换,分式线性变换的全体用()Aut ∞表示.如果用复合来定义()Aut ∞ 的乘法,则易知()Aut ∞是一个非交换群.分式线性变换与二阶方阵的关系设1122121122(),()a z b a z b T z T z c z d c z d ++==++,()az bT z cz d +=+都是分式线性变换,记332211332211,,,,,,a b a b a b c d c d c d ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=⎪⎪⎪ ⎝⎝⎝⎭⎭⎭,,,αβγδ⎫⎛⎪ ⎝⎭ 1,,a b c d -⎫⎛=⎪ ⎝⎭,则332133()()a z b T T z c z d +=+ ,1()z T z z αβγδ-+=+.∞ 中的圆周称普通圆周或直线为∞ 中的圆周.两点关于∞中圆周对称当L 是直线时,称12,z z 关于L 对称,按习惯定义；当(,)L B a r =∂是普通圆周时,称12,z z 关于L 对称,如果1z a -与2z a -方向相同,并且212z a z a r --=；为方便起见,有时也称,a ∞关于(,)L B a r =∂对称.显然,a ∞只能关于以a 为圆心的圆周对称.∞ 中四点的交比设1234,,,z z z z ∞∈ ,至少有三点彼此不同,则称132312341424(,,,)/z z z z z z z z z z z z --=--为这四点的交比. 预备命题设L 是∞ 中的任意圆周,12,z z ∈关于L 对称,则0λ∃>使得L 能表示为Apollonius 圆周12z z z z λ--=；反过来,对于∞中的任意Apollonius 圆周12(0)z z z z λλ--=>,12,z z 一定关于该圆周对称.证: L 是直线时取1λ=.对于普通圆周(,)L B a r =∂,令12z az arrλ--==,则圆周12z z z z λ--=的圆心,半径分别为(例1.2.2')22212121122211()()111z az az a z az z z a z a a λλλλλλ---+---+-===---,22112222111r r z a z az z r λλλλλλ-----===---.这说明Apollonius 圆周12z z z z λ--=就是L .另一方面,212121z z z λλ--=-2221122122(1)()()11z z z z z λλλλλ----=--,22212212221222(1)()111z z z z z z z z λλλλλλ-------==--,2222121212122222111z z z z z z z z λλλλλλ-----=---,这说明12,z z 关于圆周12z z z z λ--=对称.#定理2.5.1和定理2.5.14 若L 是∞中的圆周,12,z z 关于L 对称,()az bw T z cz d +==+是分式线性变换,则()T L 也是∞ 中的圆周,并且12(),()T z T z 关于圆周()T L 对称.证: 不妨设12z z ≠，L 由12(0)z z z z λλ--=>表示.因为1()d w b z T w cw a--==-+,故T 将圆周L 映成12dw bcw adw bcw a z z λ--+--+-=-,即2211(((())))w w c a c a d b d b z z z z λ--=++++.整理后便得到1221))((w T z w T z cz cz d d λ--+=+.当10z c d +=或20z c d +=时结论也成立.#定理2.5.5和定理2.5.6 交比是4∞ 上的()Aut ∞ 不变函数,即123412341234(,,,)((),(),(),()),,,,,()z z z z T z T z T z T z z z z z T Aut ∞∞=∀∈∈ ；反之,若f是4∞ 上的()Aut ∞ 不变函数,即123412341234()(,,,)((),(),(),()),,,,,Aut f z z z z f T z T z T z T z z z z z T ∞∞=∀∈∈ ,则f是单变量函数与交比的复合.证: 设()az bT z cz d +=+, 则 ()()()()()()az b aw b ad bc z w T z T w cz d cw d cz d cw d ++---=-=++++,故12341234((),(),(),())(,,,)T z T z T z T z z z z z =.令()(,1,0,)g w f w =∞,取234()(,,,)T z z z z z =,则2()1T z =,3()0T z =,4()T z =∞,故123412341(,,,)((),(),(),())((),1,0,)f z z z z f T z T z T z T z f T z ==∞=1234[(,,,)]g z z z z .#定理2.5.4和定理2,5,10 设123,,z z z 和123,,w w w 分别是∞ 中圆周1L 和2L 上三个彼此不同的点,其顺序用来确定1L 和2L 的方向.那么,存在唯一的分式线性变换()w T z =将123,,z z z 分别映成123,,w w w ,将1L 所围成的区域映成2L 所围成的区域,并且这个分式线性变换()w T z =可利用等式123123((),,,)(,,,)T z w w w z z z z =求出.证: 存在性.如果记11232123()(,,,),()(,,,)T z z z z z T w w w w w ==,则12,T T()Aut ∞∈ .等式1231((),,,)(,,,)T zw w w z z z z =即21(())()T T z T z =,故121T T T -= ()Aut ∞∈ .不妨设123,,z z z 和123,,w w w 都是普通复数.由等式212212313313()()//T z w w w z z z z T z w w w z z z z ----=----容易看出112233(),(),()T z w T z w T z w ===.再由分式线性变换的保角性质,便知()w T z =将1L 所围成的区域映成2L 所围成的区域.唯一性.若1111()a z b T z c z d +=+和2222()a z b z c z d ϕ+=+都将123,,z z z分别映成123,,w w w ,则方程11222211()()()()a z b c z d a z b c z d ++=++有三个彼此不同的根12,,z z3z ,这只有在T ϕ=的情况下才有可能.#命题2.5.7 ∞中彼此不同的四点1234,,,z z z z 共圆当且仅当1234Im(,,,)0z z z z =.证: 取分式线性变换()w T z =将123,,z z z 分别映成1,2,3,则1234,,,z z z z 共圆441234()(1,2,3())(,,,),T z T z z z z z ∈∈∈⇔⇔⇔.#命题2.5.13 设L 是∞中由彼此不同的三点123,,z z z 所确定的圆周.那么,12,w w 关于L 对称当且仅当21231123(,,,)(,,,)w z z z w z z z =.证: 取分式线性变换()w T z =将123,,z z z 分别映成1,2,3,则12,w w 关于L 对称21()()T w T w =⇔21((),1,2,3)((),1,2,3)T w T w =⇔⇔2((),1,2,3)T w 1((),1,2,3)T w =,即21231123(,,,)(,,,)w z z z w z z z =.#例 2.5.11 将由圆周(0,1)B ∂和(1,2)B ∂所围成的月牙形域D双全纯映成条形域{:0R e 1G z z =∈<< . 解: 选取分式线性变换将1-映成∞,1映成0,实轴映成实轴,则它将(0,1)B ∂映成y 轴,(1,2)B ∂映成与y 轴平行的直线.只要再乘以一个适当的常数来调节这两条平行线的距离,就能将月牙形域D 双全纯映成条形域G .例如112z z w -+=就满足这些要求.#例2.5.15 将上半平面上双全纯映成单位圆盘(0,1)B ,并且将给定的一点a ∈ 上映到原点.解: 分式线性变换()i z aw e z a θθ-=∈- 即为所求.#例2.5.16 将单位圆盘(0,1)B 双全纯映成单位圆盘(0,1)B ,并且将给定的一点(0,1)a B ∈映到原点.解: 分式线性变换能将单位圆盘双全纯映成单位圆盘.因为1,a a 关于单位圆周(0,1)B ∂对称,0,∞只能关于以为圆心的圆周对称,故分式线性变换1a z aw z -=-将(0,1)B 映成以0为圆心的圆盘.只要再乘以一个适当的常数来调节像圆盘的半径即可.例如,1i a zaz w e θ--=()θ∈ 即为所求.#例2.5.17 将偏心圆环(,)\(,)()B A R B a r a A r R -+<双全纯映成同心圆环.解: 在通过,a A 的直线上找到12,z z ,使其关于圆周(,),(,)B A R B a r ∂∂都对称,则分式线性变换12()z z z z w T z --==便满足要求.#例2.5.17' Apollonius 圆周12z z z z λ--=与通过12,z z 的任意圆周正交.证: 首先,12()z z z z w T z --==将圆周12z z z z λ--=映成圆周,12,z z 的像0,∞关于像圆周对称,故像圆周的圆心就是原点.其次,12()z z z z w T z --==将通过12,z z 的任意圆周映成通过原点的直线,它显然与像圆周正交,故圆周12z z z z λ--=与通过12,z z 的任意圆周正交.#第三章复变函数的积分本章要求1．正确理解复积分的概念，掌握复积分的性质及一般计算法。

复变函数第1章

于是
z1z2 r1 r2 z1 z2 ,
Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2. 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
应该注意的是 Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2 中的加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的
元素相加构成的集合
(3 4) (4 3)i 7 1 i.
2
22
z1 7 1 i. z2 2 2
例 1.2 i1 i, i2 1, i3 i i2 i, i4 i 2 i 2 1, ……
i 4n 1, i4n1 i, i4n2 1, i4n3 i, i4n4 1.
例1.3 设z1, z2是两个复数, 证明
z1 z1 , z2 z2
Arg
z1 z2
Argz1
Argz2
.
两个复数商的模等于它们模的商差.
对给定的复数z, 方程wn=z的解w称为z的n次
方根, 记做
n
z
或
1
zn.
如果
z r(cosq i sinq ), w (cos i sin ),
y .
x
利用直角坐标与极坐标之间的关系
x r cosq , y r sinq ,
复数z=x+yi 可表示为 z r(cosq i sinq ), 称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiq cosq i sinq ,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
z1 z2 z1z2 2 Re z1 z2 .
证明因为
z1 z2 z1 z2 z1z2 , 所以由运算规律7，有

复变函数第三版课件第一章

3
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1

复变函数第一章

2 y2
z1 x1 iy1 x1 x2 y1 y 2 x 1 y x2 i y22y x121 2 (* 2 0) 1 1 2 z 2 2 z 2 B x2 iy 2 x2 y 2 x2 y 2 B
1
2）复数的方幂运算
为了讨论复数的乘幂和方根，先考虑复数三角形式的积和商。设有两个非零的复数 z r1 (cos 1 i sin 1 ), z 2 r 2 (cos 2 i sin 2 )
z x iy
z1 x1 iy1
z 2 x2 iy 2
x x1 y y 1
y1 x2 x1 A y x1 y 2 1
2 x2
y1 z Az2 x1 z Bz
• 例4 求 Arg(2 2i) 和 Arg(3. 4i)
Arg(2 2i) arg(2 2i) 2k
2 arctan 2k 2 2k (k 0, 1, 2, ) 4
4 Arg(3 4i) arg(3 4i) 2k arctan 2k 3
复数z与其共轭复数 z的几何表示
共轭复数具有下列运性质算
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
zz
z1 z 2 z1 z 2
x
O

z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2 z1 z ( z 2 0) 2
z
z与其共轭复数 z的模相等，幅角值相反 .
zz [Re z]2 [Im z]2
2、复数的几何表示及向量表示
由复数的定义可知，复数是由一对有序实数惟一确定的,

第1篇复变函数论-第1章复变函数

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1637年，法国数学家笛卡儿，在《几何学》一书中第一次出现了虚数的名称。「imaginaires」代表虚的，及「reelles」代表实的。后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界之外。由此给虚数披上了一层神秘的外衣。
十八世纪，瑞士数学家欧拉(Euler，1707-1783)试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之为“幻想中的数”或“不可能的数”。他在《对代数的完整性介绍》(1768－1769年在俄国出版， 1770年在德国出版)一书中说：因为所有可以想象的数或者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数。所以很清楚，负数的平方根不能包括在可能的有序数中，就其概念而言它应该是一种新的数，而就其本性来说它是不可能的数. 因为它们只存在于想象之中。因而通常叫做虚数或幻想中的数。1777年，欧拉在一篇递交给彼得堡科学院的论文《微分公式》中首次以i来表示: 但很少人注意到。
复数商的几何意义
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（5）复数的开方：
w n z
1 n
n
z e
j
argz 2 k n
argz 2k argz 2k r cos j sin n n (k 0,1, , n 1)
几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。
i
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三. 复数的运算规则（1）复数的和：
z z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
复数和的几何意义
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（2）复数的差：
z z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )

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x y 0
2 2
z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z ) Im( z ) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算
定义
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 z i 2 z2 | z2 | | z2 |2 ( z2 0)
•运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即， z1+z2=z2+z1；
4 x 3x
2
x(10 x) 40
还是无解。到18世纪末，欧拉、末塞尔、高斯先后提出了虚数单位、复数等概念。19世纪中叶后，对复数的研究逐渐发展成为一个庞大的分支—复变函数论。
由于解方程的需要，人们引进了一个新数，叫做虚数单位，并规定:
（1） i 1
2
（2）实数可以与它进行四则运算，进行运算时，原有的一切算律仍然成立。
1. 复数的概念
定义对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi 为复数。其中 i 2 1 , i称为虚单位。 •复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) • 复数的模 | z | • 判断复数相等
第一章复数与复变函数
自变量为复数的函数就是复变函数，它是本门课程的研究对象。本章先对中学中学习的复数知识进行复习和补充，然后给出复平面上区域的概念及复变函数的极限和连续性等概念。为后续内容的学习打下基础。
§1 复数及其代数运算
随着生产和科学的发展，数的概念也得到了发展，数的范围也不断扩大。但是，数的范围扩大到实数集后，诸如方程，
z1 5 5i 7i 解: z2 3 4i 5
1 i 例2 : 求 1 i
4
1 i i 1 i
例3.证明若 z是实系数方程 a n x n a n -1 x n 1 a1 x a 0 0 的根, 则 z也是其根 . (实多项式的零点成对现出)
例4.证明: z1 z2 z1 z2 2 z1 z2
2 2 2

2

(conjugate)
( 2) z z
(4) z z 2 Re (z ) z z 2i Im (z )
1 z ( 3) z z Re(z ) Im( z ) x y 2 z |z|
2 2 2 2
z1 z1 ( ) z2 z2
例1 : 设z1 5 5i , z2 3 4i , z1 z1 求 , ( )及它们的实部, 虚部 . z2 z2
z1z2=z2z1；
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；
z1(z2z3)=(z1z2)z3；
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
3.共轭复数
定义若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数. •共轭复数的性质
(1) ( z1 z2 ) z1 z2
( z1 z2 ) z1 z2