复变函数第一章
z
复数 z 为平面上的一点， 从几何上来看，复数又是 此平面上的一个矢量。
x
z e
模
i
(ei cos i sin )
x y | z |
2 2
幅角 主值
Argz
(0 Argz 2 )
共轭 z* x iy ei
几何运算
加
两个复数的加法运算与相应的向量加法运算一致
乘
y
i1 i2 z1 re , z r e 1 2 2
z1z2 re 1
i1
r2e
i2
r1r2e
i (1 2 )
z1 z2 z1 z 2 1
x
| z1 z2 || z1 || z2 | Arg ( z1 z2 ) Arg ( z1 ) Arg ( z2 )
共轭复数： z x - iy
复数不能比较大小*
两个相等的复数
z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1
共轭复数的性质
z1 z1 1) z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2 , ( ) z2 z2 2) z z 3) z z [Re( z )]2 [Im( z )]2 4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z )
除
z2 z2 z1 z1
z2 | z2 || z || z1 | 1 Argz Arg ( z2 ) Arg ( z ) 2 1 z 1
z2 | z2 | | z | | z | 1 1 Arg ( z2 ) Argz Arg ( z ) 2 1 z 1
定理二： 两个复数商的模等于他们 模的商；两个复数商的辐 角等于他们辐角之差。
幂
n个相同复数z的乘机称为z的n次幂，记作
z zz
nzΒιβλιοθήκη 对于任何正整数n,有 z n r n ein
n
z n r n (cos n i sin n ) 注：若定义 1 z n z 则当n为负整数时上式也是成立的
zz zz 4) Re( z ) , Im( z ) 2 2i
z x yi
将函数f ( z ) x(1 1 1 ) iy (1 )写成关于z的解析表达式 2 2 2 2 x y x y
共轭法：
1 1 将x＝ （z+z), y （z-z), x 2 +y2 =zz代入，得 2 2i （z+z) 1 z-z 1 1 f(z)= (1 ) i (1 ) z+ 2 2i z zz zz
复数运算
代数运算：
有: z1 z2 （x1 x2）（ i y1 y2） z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2 z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 ( ) i 2 i 2 2 2 2 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
复球面：
取一张复平面，做一个 与复平面切于原点的球 面 通过原点O做垂直于复 平面的直线与球面相交 于另一点N，我们称N为 北极，与北极N对应的O 称为南极，也可以用S 表示 x
N P y Z
S
复球面
球的南极与复数平面的原点相切。 球面上的点，除去北极N外，与复平面上的点存在一一 对应的关系，我们可以用球面上的点来表示复数。 平面上任意点A与球的北极由一条直线相连，直线与球 相交于A‘，由此，每一有限的复数投影到球上一点。 这个投影被称为测地投影，该球称为复数球。 所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北 极N。故，无穷远点被看做一个点，其模无穷大（ ∞ ）， 其实部、虚部、幅角均无意义。 球面上除N外的点 N 复平面上的点 无穷远点 扩充复平面=复平面+无穷远点
1.复数及其运算
2.曲线的复数表示
3.区域（单、复连通） 4.复变函数（概念、极限、连续）
复数的基本概念
复数的基本概念 数的扩展： 正数 负数 实数 在实数范围内：方程ax 2 bx c 0 当 =b 2 4ac 0时，没有实根 扩大数域，引进复数
复数的概念
定义：形如z x iy的数称为复数，其中 x,y分别称为 z的实部和虚部，记作： x Re( z ), y Im( z ) 纯虚数： 实数： x 0, y 0 y0
1/ n
r1/ n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。
思考
i ? i ? i i ?
令 i x yi x2 y 2 0 1 x y 2 2 xy 1 1 1 i i 2 2 1 1 i i 2 2 i i 2
工程数学
任课老师： 黄 悦 助教： 张君 黄冬冬 厦门大学信息科学与技术学院 通信工程系
参考书 1.《数学物理方法》 梁昆淼编，高等教育出版 社，第二版或者第三版； 2.《数学物理方程》，谷超豪 李大潜等编，高 等教育出版社，2002；
考核方式 课程平时成绩占 20％ 期中考试成绩占 40％（方式：闭卷考 ） 期末考试成绩占 40％（方式：闭卷考 ）
r ,
n
n
2 k
n
n
w z r (cos
2 k
n
i sin
2 k
n
)
当k 0,1, 2,..., n 1时，得到n个相异的根：
w0 r1/ n cos i sin n n 2 k 2 k w1 r1/ n cos i sin n n ...... 2(n 1) 2(n 1) wn 1 r cos i sin n n 注：在几何上，可以看出这n个值就是以原点为中心，
z1 z1 z1 5 5i, z2 3 4i, 求 与 z2 z2
_ 1 3i z , 求 Re( z ), Im( z )与z z i 1 i
——
复数表示方式：
代数表示式 复球面
复平面的点
复数
指数表示式
向量
三角表示式
代数表示式
z x iy
n
棣莫弗公式： (cos i sin )n cos n i sin n
证明？
根
方程wn z有n个不同的根w，记作w n z
z r (cos i sin ); w (cos i sin )
w n z n r (cos
2 k
关于∞的若干规定 ∞的实部，虚部及幅角都无意义| ∞ |= +∞
b b 0 b b , 0 a a , , 0, a a ; a 0 , 0 , , 无意义 0
复数的几何表示
y
几何性质
辐角：Argz= arg z 2k 其中： arg z为辐角主值(- < arg z ) z 0 : argz不确定 y arctg ,当x 0, y任意； x ，当x 0, y 0； z 0 : arg z 2 y arctg ,当x 0, y 0； x ，当x 0, y 0。
向量、三角、指数表示式
y P z=x+iy
| = z| r
y
向量表示：z=op 模： |z|=r= x 2 y 2 辐角：Argz=
r sin
0
r cos
x
x
三角表示式：z r (cos i sin )
由欧拉公式：ei (cos i sin ) 指数表示式：z rei
3
i
1 3 1 3 1 3 ( i)(1 i) ( ） ( ）i 2 2 2 2 2 2 3 3 1 3 z3 i 2 2
同理：z z2 e
‘ 3 i 3
0
z1
z
' 3
x
( z2 z1 ) z3’
3 3 1 3 i 2 2
教材 1.复变函数 高等数学：实数-导数-积分-级数 复变函数：复数-导数-积分-级数－留数 2.积分变换 Fourier（傅立叶）变换、Laplace（拉普 拉斯）变换 3.数学物理方程与特殊函数 物理过程－数学问题－求解 ‘场论’
复变函数
复数与复变函数 解析函数
复变函数的积分
级数
留数
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
复平面的点
由于复数z x iy ( x, y), 所以复数全体与xoy平面的点的全体一一对应。
y
y
x轴为实轴，y轴为虚轴
P
z x iy 两轴所在的平面称为复平面或者z
r θ
平面 点z与复数z同义，也可用向量
OP
x
x
来表示。向量的长度称为z的模或 者绝对值，记为 | z | r x 2 y 2
2
0
2
定理一： 两个复数乘积的模等于他们 模的乘积；两个复数乘积的 辐角等于他们辐角的和。
例：已知正三角形的两个顶点，求第三个顶点
z1 1, z2 2 i, 求z3
| e | 1， arg(e )
3 3
i
i
3
y
z3 z2
z3 z2 e ( z2 z1 )
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第一章复变函数
z z 0 r0
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x
o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示 利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x
o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示 利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
复变函数第一章1
2 − 2i = 22 + (−2)2 = 2 2
Arg(2 − 2i) = arctan
； ，（ k ∈ Z ）；
π
− i 4
2 − 2i = 2 2(cos( − ) +i sin( − )) = 2 2e 4 4
π
−2 π + 2kπ = − + 2kπ 2 4
π
.
引进了复数的三角形式或指数形式，我们可得如 下结果：
z 1 ± z 2 = (x 1 ± x 2 ) + i ( y 1 ± y 2 ) ，
复数 z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2 相加（减）的法则是： 结果仍是复数 . 这表明复数与复数相加（减）所得的复数可按实 部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）得 到． 复数的加法满足交换律和结合律，而且减法是 加法的逆运算．
y 显然复数 z 的辐角满足 tan θ = ，且任一非零 x
复数 z 有无穷多个辐角，以 arg z 表示其中的一 个特定值，并称满足条件：
− π < arg z ≤ π （1.3） 的一个为 Argz 的主值(或复数 z 的主辐角)，习惯 上仍记为 argz ．于是 θ = arg z + 2kπ（k ∈ Z ） （1.4）
n
(cosθ + i sinθ ) = cos nθ + i sin nθ （棣莫弗公式）
设 z ≠0，通常，我们把满足方程 w n = z ( n ≥ 2为整数) 的复数 w 称为复数 z 的 n 次方根，记为 w = n z
n iθ iϕ w w = Re z = re 记 ， ，将它们代入方程 = z 得
Arg(2 − 2i) = arctan
； ，（ k ∈ Z ）；
π
− i 4
2 − 2i = 2 2(cos( − ) +i sin( − )) = 2 2e 4 4
π
−2 π + 2kπ = − + 2kπ 2 4
π
.
引进了复数的三角形式或指数形式，我们可得如 下结果：
z 1 ± z 2 = (x 1 ± x 2 ) + i ( y 1 ± y 2 ) ，
复数 z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2 相加（减）的法则是： 结果仍是复数 . 这表明复数与复数相加（减）所得的复数可按实 部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）得 到． 复数的加法满足交换律和结合律，而且减法是 加法的逆运算．
y 显然复数 z 的辐角满足 tan θ = ，且任一非零 x
复数 z 有无穷多个辐角，以 arg z 表示其中的一 个特定值，并称满足条件：
− π < arg z ≤ π （1.3） 的一个为 Argz 的主值(或复数 z 的主辐角)，习惯 上仍记为 argz ．于是 θ = arg z + 2kπ（k ∈ Z ） （1.4）
n
(cosθ + i sinθ ) = cos nθ + i sin nθ （棣莫弗公式）
设 z ≠0，通常，我们把满足方程 w n = z ( n ≥ 2为整数) 的复数 w 称为复数 z 的 n 次方根，记为 w = n z
n iθ iϕ w w = Re z = re 记 ， ，将它们代入方程 = z 得
复变函数第一章
内点: N (z0 ) E
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
复变函数第一章
6
例5 满足下列条件的点组成何种图形?是不是区 域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.
(1) I m ( z ) 0;
I m ( z ) 0 是实数轴,不是区域.
解
( 2) I m ( z ) ;
y
解 Im ( z )
是以 y , y 为界的带形单连通区 域.
第一章 复数与复变函数
1
一、重点与难点
重点：1. 复数运算和各种表示法
2. 复变函数以及映射的概念
难点：1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域
2. 映射的概念
2
二、内容提要
复 球 面
扩复 平 充面
曲线 与区域
极限 的计算 极限 连续性 判别定理
复数
代 数 运 算
乘 幂 与 方 根 复 数 表 示 法
于是 z 2i 9i
π π 2 kπ 2 kπ , k 0,1 3 cos 2 i sin 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 故 z1 2 2 i , z2 i . 2 2 2 2
2
3
x
o
2
3
x
8
例6 函数 w 1 z 将 z 平面上的下列曲线变成 w平 面上的什么曲线？ (1) x 2 y 2 9, (2) x 2.
解
(1)
因为 x y z 9
2 2 2
1 1 x iy 1 2 又 w 2 ( x iy ), z x iy x y 9
复变函数
几何表示法 向量表示法
三角及指数表示法
3
三、典型例题
例5 满足下列条件的点组成何种图形?是不是区 域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.
(1) I m ( z ) 0;
I m ( z ) 0 是实数轴,不是区域.
解
( 2) I m ( z ) ;
y
解 Im ( z )
是以 y , y 为界的带形单连通区 域.
第一章 复数与复变函数
1
一、重点与难点
重点：1. 复数运算和各种表示法
2. 复变函数以及映射的概念
难点：1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域
2. 映射的概念
2
二、内容提要
复 球 面
扩复 平 充面
曲线 与区域
极限 的计算 极限 连续性 判别定理
复数
代 数 运 算
乘 幂 与 方 根 复 数 表 示 法
于是 z 2i 9i
π π 2 kπ 2 kπ , k 0,1 3 cos 2 i sin 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 故 z1 2 2 i , z2 i . 2 2 2 2
2
3
x
o
2
3
x
8
例6 函数 w 1 z 将 z 平面上的下列曲线变成 w平 面上的什么曲线？ (1) x 2 y 2 9, (2) x 2.
解
(1)
因为 x y z 9
2 2 2
1 1 x iy 1 2 又 w 2 ( x iy ), z x iy x y 9
复变函数
几何表示法 向量表示法
三角及指数表示法
3
三、典型例题
复变函数基础
（）, （0 )
当
0
z z0
时, 有
f (z) A ,
则称A为
f
( z )当z
z0时的极限，记作
lim
z z0
f (z) A
或当z z0时，f (z) A
几何意义:
y
(z)
当变点z一旦进
v
(w)
入z0 的充分小去
w f (z)
z0
o
xo
心邻域时,它的象
点f (z)就落入A的
A
一个预先给定的
z1 (z 1)(z 1)
z2 3 lim
z1 z 1 2
zi
例5.
lim
zi
z(z2
1)
例6. lim z Re(z)
z0
z
例7. 设函数 f (z) 在 z0连续且 f (z0 ) 0 , 则必可找到 z0的小邻域, 在这邻域内 f (z) 0 .
例8. 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 证明 (1) f (z) arg z在原点没有定义，故不连续。
z z0
4)
设
lim
z z0
h(
z
)＝h0
,
lim
h h0
f (h)＝A,则
lim f [h(z)] A lim f (h)
z z0
h h0
以上定理可用定理1证,也可用极限定义证!
其他性质
1) 若f (z)在 z0处有极限,其极限是唯一的.
2) lim f (z) 0 lim f (z) 0;
若z、z0
C
,
且
lim
z z0
f (z)
f (z0 )， 则 称f (z)
《复变函数》第一章 复数与复变函数
( z ≠ 0)
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
复变函数 第1章 复数与复变函数
6
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2
1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .
1.3.2 单连通域与多（复）连通域
1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2
1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .
1.3.2 单连通域与多（复）连通域
1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s
第一章第二节复变函数
b0 b1z b2 z2 ... bm zm
根式： z a
可以证明：
cos(iy) = chy；i.shy = sh(iy)
❖ 几个初等函数的定义式
Sh or sinh: hyperbolic sine Ch or cosh: hyperbolic cosine
ez exiy ex cos y i sin y
sin z 1 eiz eiz 2i
cos z 1 eiz eiz 2
注意：
１、sinz 和cosz有实周期 2
２、sin z 和 cosz 完全可以大于１ (p8)
验 证
３、ez, shz, chz具有纯虚数周期 2i
４、lnz有无限多个值，因为Argz不能被唯一确定
５、负数的对数
5、区域：区域就是宗量z在复数平面上的取值范围，严 格地说，区域是指满足下列两个条件的点集：
(1) 全由内点组成;
(2) 具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折 线连接起来，且折线上的点全都属于该点集。
6、闭区域：
如静电场中的导体
单连通区域
单连通闭区域 复连通区域
区域常用不等式表示。例如，
z r 表示以原点为圆心，r为半径的圆内区域； 0 arg z 2 表示第一象限；
§1.2 复变函数
(一) 复变函数的定义 (二) 区域的概念 (三) 复变函数例 (四) 复变函数可以归结为一对二元实变函数。
(一) 复变函数的定义
若在复数平面(或球面)上存在一个点集E(复数的集合)， 对于E的每一个点(每一个z值)，按照一定的规律，有一 个或多个复数值w与之相对应，则称w为z的函数—复变 函数。z称为w的宗量，定义域为E，记作
sin z 1 eiz eiz , 2i
根式： z a
可以证明：
cos(iy) = chy；i.shy = sh(iy)
❖ 几个初等函数的定义式
Sh or sinh: hyperbolic sine Ch or cosh: hyperbolic cosine
ez exiy ex cos y i sin y
sin z 1 eiz eiz 2i
cos z 1 eiz eiz 2
注意：
１、sinz 和cosz有实周期 2
２、sin z 和 cosz 完全可以大于１ (p8)
验 证
３、ez, shz, chz具有纯虚数周期 2i
４、lnz有无限多个值，因为Argz不能被唯一确定
５、负数的对数
5、区域：区域就是宗量z在复数平面上的取值范围，严 格地说，区域是指满足下列两个条件的点集：
(1) 全由内点组成;
(2) 具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折 线连接起来，且折线上的点全都属于该点集。
6、闭区域：
如静电场中的导体
单连通区域
单连通闭区域 复连通区域
区域常用不等式表示。例如，
z r 表示以原点为圆心，r为半径的圆内区域； 0 arg z 2 表示第一象限；
§1.2 复变函数
(一) 复变函数的定义 (二) 区域的概念 (三) 复变函数例 (四) 复变函数可以归结为一对二元实变函数。
(一) 复变函数的定义
若在复数平面(或球面)上存在一个点集E(复数的集合)， 对于E的每一个点(每一个z值)，按照一定的规律，有一 个或多个复数值w与之相对应，则称w为z的函数—复变 函数。z称为w的宗量，定义域为E，记作
sin z 1 eiz eiz , 2i
复变函数-第一章-复数与复变函数
y
28
1 i
2
q
4
w0
r 2
q 2k
n i sin
w2
q 2k
n )
o
w3
x
wk n r (cos
16
例 2. 求
4
-1
解 : 1 cos i sin
4
1 cos
2k
4
i sin
2k
4
, (k 0,1,2,3).
z1
z2
z0 内点
P
D-区域
(6) 连通 D中任意两点可用一条全在D
中的曲线连接起来。
21
外点
z1
z2
z0 内点
P
(7) 区域
连通的开集.
D-区域
区域D与它的边界一起构成闭区域, 或闭域. D
22
(8) 有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z， z M, 有 则称 D为有界区域,否则称为无界区域。 例如
设 w e , 由w z , 有 ne in re iq ,
i n
则 n r , n q 2k
(k为整数 ).
即 w = n z = n re
r (cos
n
i
θ + 2 kπ n
，
q 2k
n )
q 2k
n
i sin
(k为整数).
14
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
z. 共轭 x iy为x iy的共轭复数，记为
注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数； (3)实部为0，虚部不为0，为纯虚数。