3-稳恒电流的磁场解读
大学物理稳恒磁场解读
2018/9/27
24
r the displacement from
I dl
I
Idl toward P.
dB
the contribution of Idl to the magnetic induction at point P.
r
P
B
the magnetic field of I at point P.
I
S
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I
Magnetic field lines surrounding a long and straight wires
2018/9/27
6
I
Magnetic field lines for a tightly wound solenoid of finite length carrying a steady current.
Gauss’ theorem
B dS 0
Ampere’s circulation theorem (Ampere’s Law) L B d l 0 Ii
i
11
2018/9/27
Affect of magnetic field force on currents
right hand rule
26
Superposition Principle of Magnetic Induction
B d B
L
B Bi
u Idl r B d B＝ 4 r
L
0
L
3
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27
DISCUSSION
第三章 静电场和稳恒磁场1
y
r′
q′
r
q x
( x, y , z ) x = 0 = 0
(1)
ε
z
q
2
O v n 1 2 ε
q
4πε ( x a ) + y 2 + z 2 4πε r 由对称性：a, 0, 0 ) , q ( a, 0, 0 ) , q′ = q : (
r = 3ε 0 E 0 c o s θ
r=a
由真空中电偶极矩 v 在真空中产生的电势
P
v v P r = 4π ε 0 r 3
P P cos θ = 4π ε 0 r 2
v P = 4π ε 0 E 0 a 3
例2.
P75
解：电势是球对称，则 b1 1 = a1 + (R > R3 ) R b2 2 = a2 + ( R 2 > R > R1 ) R 条件：
v δ (x) = 0
v
∫ δ ( x )dV = 1
v x≠0 v x = 0 ∈V
v v x δ x x′ 表示 ( ) v 与 x = 0 的 δ 函数定义相较，则有
v v δ ( x x′) = 0
v v
v 处于 x′点上的单位点电荷密度用函数
∫ δ ( x x′)dV = 1
v v x ≠ x′ v x′ ∈V
1） 2 3） σ ∴
R = R1
R3
2
R2 R1 1
= 1
R→ ∞
= 0， 2 ） 2 ,σ
R = R3 2
R = R2
= 1
R = R3
1
= ε0
1 R
= ε0
2 R
稳恒电流的磁场
§10-3 磁场的高斯定理
一、磁感应线（B线）
为形象描述磁场分布情况，用一些假想的有方向 的闭合曲线—磁感应线代表磁场的强弱和方向。 磁感应线的特点：
是连续的，不会相交； 是围绕电流的一组闭合曲线，没有起点，没有 终点； 方向与电流方向成右手螺旋关系。
【规定】：
B
（1）磁感应线上任意一点的切向代
过圆面来计算： m BS cos B r 2 cos
第十章 稳恒电流的磁场
§10-4 安培环路定理
安培环路定理的表述：
在真空的稳恒磁场中，磁感应强度B沿任一闭合
路径L的线积分，等于μ0乘以该闭合路径所包围的 各电流的代数和，而与路径的形状和大小无关。
数学表达式 符号规定：
rr
Ñ B dl 0 Ii
保守场、有势场
rr
Ñ Bdl L
0 Ii
(穿过)
非保守场、无势场 （涡旋场）
安培环路定理的应用——求B
安培环路定理是普遍成立的，但用其求磁感应强度B时则 要求磁场分布具有对称性，才能把B从积分号中拿出来。
步骤：
①分析磁场的对称性，这是解决问题的关键；只有当电流 的分布具有对称性时，磁场分布也具有对称性，才能满足 用该定律求磁感应强度B的条件； ②适当选取积分闭合回路L（含方向）；使回路L上各点的 磁感应强度B的方向沿该点的切线方向，且大小相等（或 一部分上相等，其余部分为零），这样才能把B提到积分 号外，从而便于计算B ； ③求∑I内 （服从右手螺旋为正，反之为负）； ④由安培环路定理求解B，并说明方向。
l
i
I n 1
L
I1
穿过回路L的电流方向与L的环绕方向
服从右手关系的 I 为正，否则为负。
稳恒磁场的定义和作用机理
dF21
方向向下
k
I1I2dl1dl2 r221
律，实际中，不存在孤立的稳恒电 流元。沿回路积分，回路作用力总 与反作用力大小相等，方向相反。
电流强度单位：安培的定义的绝对测量
dFr12kI1I2dlr2r1(22dlr1rrˆ12)
r I 1 d l1
k 0 4
0 4107
r r1 2
r d F 21
r L 1对 I2dl2 的 作 用 力 :
Ñ dF r24 0 L1I1I2dlr2r1(2 2dlr1rrˆ12)
Ñ r
L 1对 I2dl2 的 作 用 力 :
dF r24 0 L1I1I2dlr2r1(2 2dlr1rrˆ12)
Ñ dF r240I2dlr2L 1I1dlrr 1 1 2 2 r rˆ12I2dlrB r
• 十一世纪：北宋：沈括《梦溪笔谈》明确 记载指南针：“方家以磁石磨针锋，则能 指南，然常微偏东，不会南也。”
• 十二世纪：以指南针航海 • 十三世纪：西方在北宋200年后才有类似记
载
• 近代：铁磁物质充磁（励磁），冰箱封条 • 磁铁两端引铁屑，中部不引 • 两端：磁极，中部：中性区
两端吸引，中部不吸
十九世纪 ：重要发现：认识到两开者不可分
奥斯特实验
无电流：沿南北取向 有电流：偏转 电流方向不同，偏转方向也不同 磁铁对电流有作用力？
磁铁对电流也有作用力！
电流对磁铁有作用力
电流与电流间是否有作用力？
有作用力！
同向相吸， 异向相斥
螺线管：
通电螺线管类似磁铁 右手定则：弯曲四指 沿电流环绕方向，拇 指指向为N极。
毕奥-萨伐尔定律
Ñ r
B
稳恒磁场知识点复习
稳恒电流的磁场的散度和旋度
从而得到
−
d dt
∫ ρdV
V
=
0
表示全空间的总电荷守恒。
毕奥-萨伐尔定律
∫ K
B
=
μ0
4π
V
′
K J(
x′) r3
×
rK
dV
′
K dB
K K r dB 垂直于JdV ′与
所形成的平面 rK
μ0是真空中的磁导率。
K JdV ′
μ0
=
4π
×107
N A2
磁场的矢势
( ) K
∇
×
⎛ ⎜
⎝
A g
⎞ ⎟ ⎠
),
求电荷分布为ρ(rK)=ρ0e−αr的电势和电场强度， 其中α为常数
=
g
KK
∇× A + A×(∇g )
g2
∇
×
K J(
xK′)
=
r(∇
×
K J(
xK′))
+
JK ( xK′)
×
(∇r
)
r
r2
K J(
xK′)
×
(∇r
)
=
r2
=
K J(
xK′)
×
K r
r3
磁场的矢势
∫ K
B
=
μ0
4π
V
′
K J (x′)
Kr 3
×
K r
dV
′
∫ = μ0 ∇ × J (x′) dV ′
∫V
∇⋅
G JdV
=
−∫V
∂ρ
dV ∂t
∇⋅
K J
+
∂ρ
稳恒电流的磁场
运动点电荷的磁场 r ) r µ 0 qv × r0 可证为： 可证为： B= 2 4πr
求运动点电荷的磁场公式。 例3 求运动点电荷的磁场公式。 r
r
r B
S
r θ qv
r I r µ 0 I d l × r0 r d 由： B = 2 qv 4π r d l = vd t ← dl → d Q nq ⋅ sv d t I= = = nqsv 线元中载流子数 : d N = ns d l dt dt
大学物理
第十五章稳恒电流的 稳恒电流的磁场 稳恒电流的
静磁场（或稳恒磁场） 静磁场（或稳恒磁场）——分布不随时间变化的磁场 分布不随时间变化的磁场 一 真空中的稳恒磁场及其规律 r 拉定律； 萨 拉定律 磁感应强度矢量 B 。 毕—萨—拉定律；磁场的高斯 定理；真空中的安培环路定理。 定理；真空中的安培环路定理。 已知稳恒电流分布 求稳恒磁场的分布的两种方法。 求稳恒磁场的分布的两种方法。 二 磁场对运动电荷及载流导体的作用 洛仑兹力公式； 安培定律。 洛仑兹力公式； 安培定律。 三 介质中的磁场及其规律 r 有介质存在时的安培环路定理。 磁场强度矢量 H 。 有介质存在时的安培环路定理。
r 的方向。 （1）磁感应线上任一点的切线方向∥该点的B 的方向。 ）磁感应线上任一点的切线方向∥ r 的大小。 （2）⊥通过单位面积的磁感应线数数值上等于该处B 的大小。 ）
作法（同电力线） 作法（同电力线） 磁感应线的性质（ 的反映） 磁感应线的性质（实为磁场性质 的反映） （1）磁感应线总是连续的。 ）磁感应线总是连续的。 （2）磁感应线为环绕电流的闭合曲线。 ）磁感应线为环绕电流的闭合曲线。
大小：当带电粒子的速 大小： Fm ,max 度垂直于该方位时， 度垂直于该方位时，受 B= 定义磁 力最大 Fm,max ，定义磁 q ⋅ V⊥ 感应强度的大小为 感应强度的大小为： r r 指向： 指向：定义 Fm ,max 与 q V ⊥ 的矢v r 量积方向（右手螺旋关系） 量积方向（右手螺旋关系）为 B q V⊥ 的指向 。
第十三章 稳恒电流的磁场
v Idl
L
r
ˆ r
v r v v µ Idl ×r B = ∫ dB= ∫ 3 L L4 π r
四、毕—萨定律应用 萨定律应用 r 1.载流直导线产生的B r r Idl 在P点产生dB,
X I
⊗ B 统一变量： x, α , r三个变量 统一变量： sinα = cos β
2 v Idl α v 方向：垂直版面向里 L r µ Idl sin α dB = 2 x Z 4π r β1 β µ Idxsinα B= ∫ o 2 a L 4 π r
I
θ
R
•
µ0I θ B= 2R 2 π
例：如图，电流I经过半无限长导线Ⅰ，半圆导线(半径为 R)Ⅱ，半无限长导线Ⅲ,求圆心O点的磁感应强度 B 。
微观本质： 微观本质：
1) 电流是电荷运动的结果；
2) 磁铁是环形电流的定向排列——安培分子 电流假说。
s
应用程序
N
v 二、磁感应强度 (B)
与描述电场类似， 与描述电场类似，运动电荷在磁场中受力的性质引入一 个磁感应强度。 个磁感应强度。
r r 运动电荷在磁场中受力最大： 运动电荷在磁场中受力最大：v ⊥ B
ZnCl2 NH3Cl
依靠某种与静电力完全不 同的力——非静电力。提 非静电力。 同的力 非静电力 供非静电力的装置称为电 源。
四、欧姆定律的微分形式
v j
n λ e γ 令： = v 2m v
2
v E
∆ s u∆ t
v u
γ 称为电导率
令：
v v j =γE
1
γ
= ρ称为电阻率
欧姆定律的微分形式
r n
dSn
v j
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第三次作业 恒定电流的磁场
一、选择题：1.A ； 2.B ； 3.D ； 4.B ； 5.B ； 6.B ； 7.A ； 8.C ； 9.D ； 10.C 二、填空题：
1. 10
104⨯。
2. )(210I I -μ； I 02μ-。
3.
R
I
πμ40； ✞。
4.
2004r ev ⋅πμ； 0
2r ev π；
02
1evr 。
5. R q
πωμ20。
6. IBR -，IBR ； 0，0；
I R 241π，✞； IB R 24
1
π，↓。
7. 0.022J ； 8. 200v με； 10
104-⨯。
9. 磁化，磁化；磁滞回线，矫顽力；软磁材料、硬磁材料、矩磁材料。
10. 8。
11. r NI r πμμ20； R
a
R N I b r +ln 20πμμ 。
三、问答题：
1. 答： 磁流体发电机所依据的基本原理就是霍耳效应。
当处于高温高速的等离子气体（用导电流体，例如空气或液体）通过导电管时，如果在垂直于气流的方向上加有磁场，则气体中的正负离子，由于受到洛伦兹力的作用，将沿着既垂直于磁场方向又垂直于流速方向，分别朝着两侧反相偏移，结果在导电管两侧的电极上建立起电势差，从而可由电极上获得连续输出的电能。
四、计算证明：
1. 解： 将无限长载流半圆柱片看成由平行于轴线的无数多个无限长直导线组成。
每个直导线的电流为：dl dI δ=，电流密度R
I
πδ=
，而θRd dl =
则该直导线在圆心O 点处产生的磁场为：
θπμπμd 22d 200R
I
R I dB ==
，方向如图 由对称性分析有： 磁场的x 分量会相互抵消，结果只有y 分量。
则 θθπμθd s i n 2s i n
2
0R
I
dB dB y == 故 R
I
R I B B B y 2020d s i n 2s i n
d πμθθπμθ====⎰⎰
，方向y 轴正向 ②反向电流之间存在排斥力，该力为安培力：
i R
I dl B l Id dl F d
220πμ=⨯= 2. 解：电流I 1的磁场为 r
I B πμ21
0=
，方向⊗ ① ab 段：)
(2302
102l r I lI ab B I F ab +=
=πμ，方向如图
bc 段： r
r
I I l B I F bc d 2d d 2102πμ==
0210210ln
2d 2d 00
r l
r I I r r I I F F l
r r bc +===⎰
⎰+πμπμ，方向如图 ca 段： r
l
I I F ca d 2d 210πμ=
， 而dr dl 2=
0210210ln
00
r l
r I I r dr I I F l
r r ca +==
⎰
+πμπ
μ，方向如图 ②取如图窄条作为面积元dS ： dr r r dS 0
060tan )(-=
dr r
r I dr r r r I dr r r B S d B d o
m )1(23)(2360tan )(0100100-=-=
-=⋅=Φπμπμ )ln (23)(230
001001000
00r l
r r l I r dr r dr I l r r l r r m +-=-=Φ⎰⎰++πμπμ
d
3. 解：采用补偿法。
电流密度为 )
(2
221R R I
-=
πδ ① 导体棒轴线：大圆柱本身引起的010=B
利用环路定理，可以得出小圆柱在该处所激发的磁场B 20： δππ22
202R
a H =⨯， )
(2222
2
12
202
2020020R R a I
R a
R H B -=
=
=πμδ
μμ
则 )
(222
212202010R R a I
R B B B -=
+=πμ
② 同理，在小圆柱轴线，小圆柱本身激发的磁场020
='B 利用环路定理，可以得出大圆柱在该处所激发的磁场10
B '： δππ210
2a a H =⨯'， )
(22
'2
2210010010R R aI
a H B -=
='=πμδ
μμ
则 )
(2''22
2
1
010R R aI
B B -=
=πμ
五、附加题
1. 解：①在圆盘上取一个宽度dr 的小环，盘转动时的等效电流： πω2/d /d d q T q I ==， 其中r r R q
q d 2πd 2
π=
4
d d 2
3
2
qR r r R q
I S P R
m ωω=
=
=⎰
⎰
, 方向垂直纸面向里。
②磁力矩：B P M m ⨯=，B P m ⊥，B qR M 4
2
ω=，方向平行纸面向上。
2. 答：太阳抛射的带电微粒流，在进入由地磁场所形成的范阿伦辐射带时，受到洛伦兹力的作用，改变方向，在辐射带中做螺旋（圆周）运动，不会到达地球表面。
在洛伦兹力另外还提供一个
横向力作用，使得带电粒子流在两极之间的范阿伦辐射带中振荡。