2016年秋季新版沪科版八年级数学上学期15.4、角的平分线课件2
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沪科版数学八年级上册-15.4《角的平分线》课件
BC E来自、证明：在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
∵ DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
D
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形对
应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
A
B C E
活动 3
根据角平分仪的制作原理怎样 作一个角的平分线？（不用角平分 仪或量角器）
N E
C
O
M
如何用尺规作角的平分线？
作法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ
Ｍ
点，交ＯＢ于Ｎ点．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心，大于 1 ＭＮ的长为
2
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ点．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
活 动 4 探究角平分线的性质
(1)实验：在角平分线OC上任取一点P，作
PD ⊥ OA ， PE ⊥ OB，则 PD和PE有什么关
系？
A
D
1
PC
2
O
EB
(2)猜想:角平分线上的点到角两边的距离相等.
活动 4
(3)验证猜想 探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC
A 上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
D
求证: PD=PE
1
P
C证明：∵O∴C∠平1=分∠∠2A（O角B （平已分知线）的定义）
AC＝3㎝，求BE的长。
动脑筋
2.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
AD=AB（已知）
∵ DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
D
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形对
应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
A
B C E
活动 3
根据角平分仪的制作原理怎样 作一个角的平分线？（不用角平分 仪或量角器）
N E
C
O
M
如何用尺规作角的平分线？
作法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ
Ｍ
点，交ＯＢ于Ｎ点．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心，大于 1 ＭＮ的长为
2
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ点．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
活 动 4 探究角平分线的性质
(1)实验：在角平分线OC上任取一点P，作
PD ⊥ OA ， PE ⊥ OB，则 PD和PE有什么关
系？
A
D
1
PC
2
O
EB
(2)猜想:角平分线上的点到角两边的距离相等.
活动 4
(3)验证猜想 探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC
A 上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
D
求证: PD=PE
1
P
C证明：∵O∴C∠平1=分∠∠2A（O角B （平已分知线）的定义）
AC＝3㎝，求BE的长。
动脑筋
2.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
2015-2016学年八年级数学沪科版上册课件【15.4 角的平分线的应用(2)
∠������������������ = ∠������������������, ������������ = ������������, 在△EDM 和△FDN 中, ∠������������������ = ∠������������������, ∴△EDM≌△FDN(ASA). ∴DE=DF.
解:∵AB=AC,BD=BC=AD, ∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角). 设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x, 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC 中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180° . 解得 x=36° . 在△ABC 中,∠A=36° ,∠ABC=∠C=72° .
3.如图所示,∠1=∠2,AE⊥OB 于 E,BD⊥OA 于 D,交点为 C,则图中全等 三角形共有( ).
A.2 对 C.4 对 答案:C
B.3 对 D.5 对
4.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=50° ,BD 为∠ABC 的平分线,则∠ BDC= ° .
答案:82.5
角的平分线的性质的应用
1.关于三角形的角平分线的说法错误的是( A.两内角平分线的交点一定在三角形内 B.两内角平分线的交点在第三个角的平分线上 C.两内角平分线的交点到三边距离相等 D.两内角平分线的交点到三个顶点距离相等 答案:D
).
2.如图,已知点 P 到 AE,AD,BC 的距离相等,则下列说法:①点 P 在∠BAC 的 平分线上;②点 P 在∠CBE 的平分线上;③点 P 在∠BCD 的平分线上;④点 P 是∠BAC,∠CBE,∠BCD 的平分线的交点,其中正确的是( ).
证明:如图,过 D 作 DM⊥AB 于 M,DN⊥AC 于 N. ∵AD 平分∠BAC, ∴DM=DN(角平分线上的点到角两边的距离相等). ∵∠AMD+∠MDN+∠AND+∠NAM=360° ,∠AMD+∠AND=180° , ∴∠MDN+∠NAM=180° . ∵∠EDF+∠FAE=180° , ∴∠MDN=∠EDF. ∴∠MDE=∠FDN.
沪科版数学八年级上册15.4.2角的平分线的判定课件(共26张PPT)
例题示范
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边）
QD＝QE （已知） ∴ Rt△QDO ≌ Rt△QEO（HL） ∴ ∠QOD＝∠QOE（全等三角形对应角相等） ∴点Q在∠AOB的平分线上（角平分线定义）
解:(1)
∵ EP = EQ ， EP⊥AM ，EQ⊥AN ，（已知）∴ 点 E 在∠NAM 的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
(2)
归纳小结
知识点1 角平分线的判定定理
定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
知识点2 三角形的三条内角平分线交点的性质
定理：三角形三条内角平分线相交于一点， 这点到三角形三边的距离相等.
证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC， ∴△ BDE 和△ CDF 是直角三角形． ∵ BD=DC， BE=CF， ∴ Rt △ BDE ≌ Rt △ CDF，(HL) ∴ DE ＝ DF. ∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE ＝ DF， ∴点 D 在∠BAC 的平分线上， 即AD 是△ABC 的角平分线．
Q
M
N
新知引入
知识点2 三角形的三条内角平分线交点的性质
定理：三角形三条内角平分线相交于一点， 这点到三角形三边的距离相等.
如图，在△ ABC 中，AD，BM，CN分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB 的平分线，AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边 BC，AB，AC 的距离 (OE，OG，OF 的长) 相等，即 OE = OG = OF.
第十五章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线15.4.2 角的平分线的判定
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边）
QD＝QE （已知） ∴ Rt△QDO ≌ Rt△QEO（HL） ∴ ∠QOD＝∠QOE（全等三角形对应角相等） ∴点Q在∠AOB的平分线上（角平分线定义）
解:(1)
∵ EP = EQ ， EP⊥AM ，EQ⊥AN ，（已知）∴ 点 E 在∠NAM 的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
(2)
归纳小结
知识点1 角平分线的判定定理
定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
知识点2 三角形的三条内角平分线交点的性质
定理：三角形三条内角平分线相交于一点， 这点到三角形三边的距离相等.
证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC， ∴△ BDE 和△ CDF 是直角三角形． ∵ BD=DC， BE=CF， ∴ Rt △ BDE ≌ Rt △ CDF，(HL) ∴ DE ＝ DF. ∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE ＝ DF， ∴点 D 在∠BAC 的平分线上， 即AD 是△ABC 的角平分线．
Q
M
N
新知引入
知识点2 三角形的三条内角平分线交点的性质
定理：三角形三条内角平分线相交于一点， 这点到三角形三边的距离相等.
如图，在△ ABC 中，AD，BM，CN分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB 的平分线，AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边 BC，AB，AC 的距离 (OE，OG，OF 的长) 相等，即 OE = OG = OF.
第十五章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线15.4.2 角的平分线的判定
沪科版八年级数学上册 15.4 角的平分线(2) 课件 (共20张PPT)
2、课本第146页“习题15.4”第2、 3、4题。
与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作
PE⊥AB于点E。若PE＝2，则两平行线AD
与BC间的距离为＿＿4 ＿。
A
D
A
E P
B
C
BD
C
2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，若BC
＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且
BD:CD＝3:2，则点D到线段AB间的距离为
＿＿4 ＿。
3、如图，AB、AC表示两条相交的公路，
【A 】
A、三角形三条角平分线的交点
B、三角形三条高线的交点
C、三角形三条垂直平分线的交点
D、三角形三条中线的交点
2、三角形内有一点，它到三角形三边的距
离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都
相等，则这个三角形一定是【 D 】
A、等腰三角形
B、等腰直角三角形
C、非等腰三角形 D、等边三角形
1、如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP
Q
F
E
PN
PQAB于Q。
∵ BE是B的平分线，点P在BEB上（已知）M C
PQ＝PM
（角平分线上的点到角两边的距离相等）
同理：PN＝PM
PN＝PQ（等量代换）
AP平分BAC
（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
三角形三条内角平分线 相交于一点，这点到三角形 三边的距离相等。
1、下列各点到三角形各边的距离相等的是
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月下午12时28分21.8.2912:28August 29, 2021
•
16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年8月29日星期日12时28分58秒12:28:5829 August 2021
与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作
PE⊥AB于点E。若PE＝2，则两平行线AD
与BC间的距离为＿＿4 ＿。
A
D
A
E P
B
C
BD
C
2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，若BC
＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且
BD:CD＝3:2，则点D到线段AB间的距离为
＿＿4 ＿。
3、如图，AB、AC表示两条相交的公路，
【A 】
A、三角形三条角平分线的交点
B、三角形三条高线的交点
C、三角形三条垂直平分线的交点
D、三角形三条中线的交点
2、三角形内有一点，它到三角形三边的距
离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都
相等，则这个三角形一定是【 D 】
A、等腰三角形
B、等腰直角三角形
C、非等腰三角形 D、等边三角形
1、如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP
Q
F
E
PN
PQAB于Q。
∵ BE是B的平分线，点P在BEB上（已知）M C
PQ＝PM
（角平分线上的点到角两边的距离相等）
同理：PN＝PM
PN＝PQ（等量代换）
AP平分BAC
（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
三角形三条内角平分线 相交于一点，这点到三角形 三边的距离相等。
1、下列各点到三角形各边的距离相等的是
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月下午12时28分21.8.2912:28August 29, 2021
•
16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年8月29日星期日12时28分58秒12:28:5829 August 2021
沪科版数学八年级上册《15.4 角的平分线(二)》课件
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
15.4 角的平分线（二）
教学目标：
• 1、知识与技能 • 掌握角平分线性质定理和它的逆定理，学会几何
推理，以及表达能力。 • 2、过程与方法 • 经历反思角平分线内容的过程，体会定理及逆定
理所起着简化证明的作用，发展空间意识。 • 3、情感、态度与价值观 • 培养操作、比较思想，体会获得数学结论的思想
方法，形成逻辑思维。
预学检测
• 1、本节课主要学习那些内容？ • 2、你认为本节课的重点内容是什
么？ • 3、你对哪些内容有疑问？
合作探究（一）
• 如图所示，△ABC中，AD是角平分线， BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，E、 F是垂足，求证：EB=FC。
A
E
F
B
C
D
合作探究（二）
• 如图，求作一点C ，使点C到∠AOB的 两边的距离相等，且CM=CN。
D E
A
C F
B
总结提升
• 本节课学习了哪些内容？你有何收 获？
作业布置
• 课堂作业：习题15.4第3.4题.
• 家庭作业：1、基础训练15.4（2）
•
2、完成小结与评价，
•
复习题内容。
教师反思
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
You made my day!
我们，还在路上……
15.4 角的平分线（二）
教学目标：
• 1、知识与技能 • 掌握角平分线性质定理和它的逆定理，学会几何
推理，以及表达能力。 • 2、过程与方法 • 经历反思角平分线内容的过程，体会定理及逆定
理所起着简化证明的作用，发展空间意识。 • 3、情感、态度与价值观 • 培养操作、比较思想，体会获得数学结论的思想
方法，形成逻辑思维。
预学检测
• 1、本节课主要学习那些内容？ • 2、你认为本节课的重点内容是什
么？ • 3、你对哪些内容有疑问？
合作探究（一）
• 如图所示，△ABC中，AD是角平分线， BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，E、 F是垂足，求证：EB=FC。
A
E
F
B
C
D
合作探究（二）
• 如图，求作一点C ，使点C到∠AOB的 两边的距离相等，且CM=CN。
D E
A
C F
B
总结提升
• 本节课学习了哪些内容？你有何收 获？
作业布置
• 课堂作业：习题15.4第3.4题.
• 家庭作业：1、基础训练15.4（2）
•
2、完成小结与评价，
•
复习题内容。
教师反思
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
沪科版八年级数学上册：15.4.2角平分线的性质及判定课件
的点 )
A D
距离相等
C
P
O
E B
灿若寒星
复习提问
4、角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的
平分线上。
用符号语言表示为：
A D
∵
PD OA
PE OB
O
P
PD=PE
\ OP是的平A分O线B
E B
（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分
线上）
灿若寒星
定理1角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
（1）DE=DF （2）AE=AF （3）AD⊥EF
A E
GF
B
D
C
灿若寒星
练一练
8、三角形三条______________的交点，到三 边距离相等。
9、三角形三条______________的交点，到三 个顶点的距离相等。
10、如图，P是△ABC的∠A和∠B的平
A
分线的交点，过P做AB、AC、BC的垂 M
A
F
E
灿若寒星
CD B
4、已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA， 垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
A
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理PE=PF.
线垂足分别是M、N、H，则：
N
（1）PH与PN的数量关系是
___________
B
P
H
C
（2）CP________∠ACB(填平分或不
平分）
15.4角的平分线第2课时角的平分线的性质课件(共13张PPT)八年级上册沪科版数学
使用定理时这样书写：
∵ OC 平分∠AOB，
PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD = PE.
推理的条件有三个，必须 写全，不能少.
例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.
证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，
思考
如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作 PC⊥OA,PD ⊥ OB,点C,D是垂足.你能猜想PC，PD长度间有什么关系 吗？证明你的猜想.
PC=PD， 猜想：角平分线的点到角两边的距离相等
下面我们给出上面“思考”中猜想结论的证明. 证明：∵OP平分∠AOB，（已知）
∴∠AOP=∠BOP.(角平分线定义）
2. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC ＝ 7，
DE ＝ 2，AB ＝ 4，则 AC 的长是 ( D )
A. 6 B. 5
C. 4
D. 3
分析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F，
C
F
D
∵ AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB. ∴ DF ＝ DE ＝ 2.
15.4.2 角的平分线的性质
八年级上
沪科版
1 学习目标
目
2 新课引入
录
3 新知学习
4 课堂小结
学习目标
2. 探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相
等.
难点
3. 会用角平分线的性质解决实际问题.
难点
新课引入
利用尺规我们可以作一个角的平分线， 那么角的平分线有什么性质呢？
新知学习
∵ OC 平分∠AOB，
PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD = PE.
推理的条件有三个，必须 写全，不能少.
例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.
证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，
思考
如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作 PC⊥OA,PD ⊥ OB,点C,D是垂足.你能猜想PC，PD长度间有什么关系 吗？证明你的猜想.
PC=PD， 猜想：角平分线的点到角两边的距离相等
下面我们给出上面“思考”中猜想结论的证明. 证明：∵OP平分∠AOB，（已知）
∴∠AOP=∠BOP.(角平分线定义）
2. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC ＝ 7，
DE ＝ 2，AB ＝ 4，则 AC 的长是 ( D )
A. 6 B. 5
C. 4
D. 3
分析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F，
C
F
D
∵ AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB. ∴ DF ＝ DE ＝ 2.
15.4.2 角的平分线的性质
八年级上
沪科版
1 学习目标
目
2 新课引入
录
3 新知学习
4 课堂小结
学习目标
2. 探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相
等.
难点
3. 会用角平分线的性质解决实际问题.
难点
新课引入
利用尺规我们可以作一个角的平分线， 那么角的平分线有什么性质呢？
新知学习
新泸教版数学八年级上册课件：15.4 第2课时 角的平分线的判定
14.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,点E,F分别在AB和AC上,∠AED+∠AFD=180°.求
证:DE=DF.
证明:过点 D 作 DM⊥AB 于点 M,DN⊥AC 于点 N,
∵AD 平分∠BAC,∴DM=DN. ∵∠AED+∠AFD=180°,∠AFD+∠DFN=180°, ∴∠DFN=∠AED.
∠������������������ = ∠������������������, 在△DME 与△DNF 中, ∠������������������ = ∠������������������,
������������ = ������������,
∴△DME≌△DNF( AAS ),∴DE=DF.
A.线段CD的中点 B.CD与过点O作CD的垂线的交点 C.CD与∠AOB的平分线的交点 D.以上均不对
知识点2 三角形三条内角平分线的交点的性质 3.如图,三条公路把A,B,C三个村庄连成一个三角形区域,政府决定在这个三角形区域内修建一 个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在( D ) A.AC,BC两边中线的交点处 B.AC,BC两边高线的交点处 C.AC,BC两边垂直平分线的交点处 D.∠A,∠B两内角平分线的交点处
证明:∵点O在∠ABC的平分线上,OD⊥AB,OE⊥BC, ∴OD=OE.同理,OE=OF,∴OD=OF, ∴点O在∠BAC的平分线上.
13.如图,△ABC的角平分线AP和外角平分线BP相交于点P,求证:点P也在∠BCD的平分线上.
证明:作PF⊥AB于点F,PG⊥BC于点G,PH⊥AC于点H,
∵BP是∠EBC的平分线,PF⊥AB,PG⊥BC, ∴PF=PG. ∵AP是∠BAC的平分线,PH⊥AC,PF⊥AB, ∴PH=PF,∴PG=PH, 又∵PG⊥BC,PH⊥AC, ∴点P在∠BCD的平分线上.
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15 (2)若 BD∶DC＝3∶2，点 D 到 AB 的距离为 6，则 BC＝____
,第 13 题图)
,第 14 题图)
14．如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，则 S△ABD∶S△ACD＝ 3∶4 ．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠C＝50°，且 DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，且DE＝DF， 则∠ADC＝ 115° ．
8．(4分)如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等， 则∠P＝ 90°.
9．(8 分)如图，已知△ABC 的∠ABC 与∠ACB 的外角平分线交于点 D.求证：点 D 在∠BAC 的平分线上．
证明：过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E， DF⊥BC于点F，DG⊥AC交AC的延长线于 点G，∵BD平分∠EBC，∴DE＝DF，同理 DF＝DG，∴DE＝DG，点D在∠BAC的平分 线上
12．如图，已知 AB∥CD，O 是∠ACD，∠CAB 的平分线的交点， 且 OE⊥AC 于 E 点，OE＝12，则 AB 与 CD 之间的距离为( C ) A．12 B．18 C．24 D．无法确定
13．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D. (1)若 BC＝8，BD＝5，则点 D 到 AB 的距离为____. 3
5．(8 分)如图，△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BE＝CF.求证：BD＝DF.
证明：AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE， 又∵CF＝BE，∴Rt△FCD≌Rt△BED，∴BD＝DF.
6．(4 分)如图，点 P 在∠AOB 内部，PC⊥OA 于点 C，PD⊥OB 于
16．(10分)如图所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE， CF相交于点D，若BD＝CD. 求证：AD平分∠BAC.
解：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED.又 ∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，∴△BDF≌△CDE，∴DF ＝DE，∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC
3 点 D，PC＝3 cm，当 PD＝____cm 时 P 点在∠AOB 的平分线上．
,第 6 题图)
,第 7 题图)
7．(4 分)如图，点 P 到 OA，OB，CD 的距离相等，则点 P 的位置： ①在∠O 的平分线上；②在∠ACD 的平分线上；③在∠ODC 的平分线上； ④恰是∠O，∠ACD，∠BDC 三个角平分线的交点．则上述结论中正确的 是 ①②④ ．(填序号)
,第 1 题图)
,第 2 题图)
2．(3 分)如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若
2 ． PC＝4，则 PD 的长为____
3．(3 分)在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是三角形的角平分线，DE ⊥AB 于点 E，下列结论错误的是( B ) A．BD＋DE＝BC B．DE 平分∠ADB C．AD 平分∠EDC D．AC＝AE 4．(3 分)如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为 A， B，下列结论中不一定成立的是( D ) A．PA＝PB B．PO 平分∠APB C．OA＝OB D．AB 垂直平分 OP
10．如图，在△ABC 中，∠B，∠C 的平分线交于点 O，OD⊥AB 于点 D，OE⊥AC 于点 E，则 OD 与 OE 的大小关系是( B ) A．OD＞OE B．OD＝OE C．OD＜OE D．不能确定 11．如图，在直线 MN 上找一点 P，使点 P 到∠AOB 两边的距离 相等，符合条件的点有( B ) A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个
15．4 角的平分线
第2课时 角平分线的性质与判定
1．角平分线的性质定理：角平分线上任意一点到角的两
边的距离 相等 ．
2．角的内部到角两边距离相等的点在 角平分线上
．
1．(3 分)如图，点 P 是∠BAC 的平分线 AD 上一点，PE⊥AC 于
3 ． 点 E，已知 PE＝3，则点 P 到 AB 的距离是____
EB＝EC 中， ， EF ＝ EG
∴Rt△EBF≌Rt△ECG(HL)，∴BF＝CG
【综合应用】 18．D 的中点，问：AD，BC 与 AB 之间有何关系？并证明你的结论．
证明：AD＋BC＝AB，过点 E 作 EF⊥AB 于点 F，连接 BE.∵AE 平分∠BAD， DC⊥AD， EF⊥AB， ∴EF＝ED， 在 Rt△AFE 和 Rt△ADE
≌Rt△BCE(HL)，∴BF＝BC，∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB
AE＝AE 中， ，∴Rt△AFE≌Rt△ADE(HL)，∴AF＝AD.∵E EF ＝ ED
是 DC 的
中点，∴EC＝DC，∴EC＝EF，∵AD∥BC，DC⊥AD，∴DC⊥BC， ∴∠DCB＝90°，在 Rt△BFE 和 Rt△BCE
BE＝BE 中， ，∴Rt△BFE EF ＝ EC
17．(12 分)如图所示，在△ABC 中，D 为 BC 的中点，DE⊥BC 交 ∠BAC 的平分线 AE 于点 E，EF⊥AB 于点 F，EG⊥AC 交 AC 的延长线 于点 G. 求证：BF＝CG.
证明：连接 BE 和 CE，∵EF⊥AB，EG⊥AC， ∴∠BFE＝∠G＝90°，∵BD＝CD，DE⊥BC， ∴BE＝CE.∵AE 平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC， ∴EF＝EG，在 Rt△EBF 和 Rt△ECG