第04练 函数的基本性质-2021年高考数学(理)一轮复习小题必刷(解析版)

第04练 函数的基本性质刷基础1．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．2yx B ．1y x -=C ．2yxD ．13y x =【答案】A 【解析】由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数， C.2yx 在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A ．2．（2020·宁夏兴庆银川一中高二期末）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【答案】D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.3．（2020·浙江高一课时练习）若函数()22f x x ax =-+与()1ag x x =+在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围 （ ） A ．()()1,00,1- B ．()(]1,00,1- C ．()0,1D ．(]0,1【答案】D 【解析】对于，开口向下，对称轴为若函数在区间[]1,2上都是减函数，则区间[]1,2在对称轴的右侧，所以可得：；对于，其相当于将的图象向左平移个单位，得到如下函数图像：此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是4．（2020·河南高三其他）已知函数2,0,(),0,x x e e x f x x x -⎧->=⎨-⎩若0.013335,log 2,log 0.92a b c ===，则有（ ）A ．()()()f b f a f c >>B ．()()()f c f a f b >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f a f b f c >>【答案】D 【解析】因为2,0,(),0,x x e e x f x x x -⎧->=⎨-⎩，当0x >时，()x xf x e e -=-单调递增，且()00f =，当0x ≤时，()2f x x =-，在(],0-∞上单调递增，且()00f =，所以函数()f x 在R 上单调递增，又由0.01351,0log 221,0a b c =><=<<，所以a b c >>，所以()()()f a f b f c >>.故选：D5．（2019·福建高三其他（理））若函数()(1)(0x xf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减，故选A .6．（2020·黑龙江让胡路铁人中学高二期中）若函数()221f x x ax a =-+-在[]0,2上最小值为-1，则a =（ ） A ．1或2 B ．1 C ．1或65D ．-2【答案】B 【解析】函数2()21f x x ax a =-+-图象的对称轴为x a =，图象开口向上，（1）当0a 时，函数()f x 在[]0,2上单调递增．则()(0)1min f x f a ==-，由11a -=-，得2a =，不符合0a ；（2）当02a <<时．则222()()211min f x f a a a a a a ==-+-=--+，由211a a --+=-，得2a =-或1a =，02a <<，1a 符合；（3）当2a 时，函数2()21f x x ax a =-+-在[]0,2上单调递减，()()244155min f x f a a a ∴==-+-=-，由551a -=-，得65a =，2a ，∴65a =不符合， 综上可得1a =． 故选：B ．7．（2020·石嘴山市第三中学高二期中）设函数()2251x x f x x -+=-在区间[]2,9上的最大值和最小值分别为M ､m ,则m M +=( ). A ．272B ．13C ．252D ．12【答案】C 【解析】解：()()()22142541111f x x x x x x x x -+-+===-+---；因为[]2,9x ∈，所以[]11,8x -∈， 令1x t -=，则[]1,8t ∈； 因为()[]4,1,8t t ty f x ==+∈，根据对勾函数性质可知当2t =时，函数有最小值为4； 当8t =时，函数有最大值为172. 所以252m M +=. 故选：C.8．（2019·江苏南通高一月考）已知函数()221f x x ax =-+，[]1,x a ∈-，且()f x 最大值为()f a ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],4-∞- B ．(][),12,-∞-⋃+∞ C ．[)2,+∞ D ．[)4,-+∞【答案】C 【解析】当10a -<<时，对称轴4ax =，易得在[]1,x a ∈-时，()f x 单减，()f x 最大值为()1f -，不满足条件；当0a <时，()(1)f a f ≥-，即(1)44a aa -≥--，2a ≥故选：C9．（2020·江西高安中学高二期中）已知幂函数()af x x =的图象过点13,3⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()()()21g x x f x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．2-D ．32【答案】B 【解析】 由题设1313aa =⇒=-，故()()11212g x x x x -=-=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则当12x =时取最小值12202g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，应选答案B ． 10．（2020·江西高三其他（理））已知函数()2,041,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩（e 为自然对数的底数），若关于x 的不等式()f x a x <解集中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围为（ ）A．2,2ee⎛⎤⎥⎝⎦B．2,52e⎛⎤⎥⎝⎦C．(],4e D．(],5e【答案】A【解析】先求函数xy e=和241y x=+图象过原点的切线的斜率：对函数xy e=，e xy'=，设过原点的切线的切点为11(,)P x y，则111xxeex=，解得11x=，∴OPk e=，对函数241(0)y x x=+≤，8y x'=，设过原点的切线的切点为22(,)Q x y，则2222418xxx+=，解得212x=-（212x=舍去），∴4OQk=-，a≤时，0a x≤，显然不合题意．因此0a>作出函数()y f x=和y a x=的图象，如图，只有在a e>时，不等式()f x a x<才可能有解，此时1x=显然是其中一个解，又2(2)f e=，点2(2,)e与原点连线斜率为22ek=，而242e<，因此当22ee a<≤时，不等式()f x a x<只有一个整数解．故选：A．11．（2020·全国高三课时练习（理））已知函数()2()ln,x xf x e e x-=++则使得(2)(3)f x f x>+成立的x 的取值范围是（）A ．（-1，3）B ．()()1,33,-+∞C ．()3,3-D ．()(),13,-∞-+∞【答案】D 【解析】∵函数f （x ）＝ln （e x +e ﹣x ）+x 2，∴()'x x x xe ef x e e---=++2x ， 当x ＝0时，f ′（x ）＝0，f （x ）取最小值， 当x ＞0时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ＜0时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，∵f （x ）＝ln （e x +e ﹣x ）+x 2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增， ∴f （2x ）＞f （x +3）等价于|2x |＞|x +3|， 整理，得x 2﹣2x ﹣3＞0， 解得x ＞3或x ＜﹣1，∴使得f （2x ）＞f （x +3）成立的x 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）． 故选：D ．12．（2017·浙江高三其他）若函数(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足()()x f x g x e -=，其中2.718e ≈，则有（ ）A ．(2)(1)(0)g g f -<-<B ．(2)(0)(1)g f g -<<-C ．(0)(1)(2)f g g <-<-D ．(1)(0)(2)g f g -<<-【答案】C 【解析】因为()()xf xg x e -=①，所以()()xf xg x e ----=，因为函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-，所以()()xf xg x e -+=②，联立①、②，解得：()()12x x f x e e -=+，()()12x x g x e e -=-，所以()()001012f e e =+=，()()1112g e e --=-，()()22122g e e --=-，因为 2.718e ≈，所以()()211g g ->->，即()()()012f g g <-<-，故选C ． 13．（2020·四川省泸县第四中学高三月考）已知函数()()21x f x a a R e =-∈+是奇函数，则函数()f x 的值域为（ ） A ．()1,1- B ．()2,2-C ．()3,3-D ．()4,4-【答案】A 【解析】因为函数()()21x f x a a R e =-∈+是奇函数， 所以()222()111x x x xe f x a a f x a e e e --=-=-=-=-++++ 即22a =，解得1a =，所以()211x f x e =-+， 由11x e +>可知2021xe <<+，所以21111x e -<-<+， 故()f x 的值域为()1,1-.14．（2018·安徽裕安六安二中高一月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()22f x x x =-,则当()y f x =在R 上的解析式为( )A ．()()2f x x x =+B ．()()2f x x x =+C ．()()2f x x x =-D ．()()2f x x x =-【答案】C 【解析】设0x <，则0x ->，()()()()2222f x x x x x f x -=--⨯-=+=-， 则()()220f x x x x =--<，即()()222,022,0x x x f x x x x x x ⎧--<==-⎨-≥⎩. 本题选择C 选项.15．（2020·南岗黑龙江实验中学高三其他）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】D 【解析】对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立, 故()()2f x f x -=+，又()f x 为偶函数， 所以()()2f x f x =+，2T =，且当10x -≤≤时，()()()221122f x x x x =-+=-，设()293log log h x x x ==，则()h x 为偶函数，求方程()29log f x x =根的个数转化为求()f x 与()g x 的交点个数，画出当0x >时()y f x =与()y g x =的图像，如图：可知两图像有8个交点，又()f x 与()g x 都为偶函数， 所以()f x 与()g x 有16个交点， 即方程()29log f x x =根的个数为16.故选：D.16．（2020·辽宁沈阳高一期末）已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()f x x =，则函数()()()21g x x f x =--在区间[]3,6-上的所有零点之和为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D 【解析】由于函数()y f x =为R 上的奇函数，则()()()2f x f x f x +=-=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=， 所以，函数()y f x =是周期为4的周期函数，且该函数的图象关于直线1x =对称， 令()0g x =，可得()12f x x =-，则函数()y g x =在区间[]3,6-上的零点之和为函数()y f x =与函数12y x =-在区间[)(]3,22,6-上图象交点横坐标之和，如下图所示：由图象可知，两个函数的四个交点有两对关于点()2,0对称， 因此，函数()y g x =在区间[]3,6-上的所有零点之和为428⨯=. 故选：D.17．（2020·四川青羊石室中学高三一模）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+,若(1)2f =，则()()()()1232020f f f f ++++=( )A ．2020-B ．2C ．0D ．2020【答案】C 【解析】由函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x =--，且()00f =， 又由(1)(1)f x f x -=+，即()(2)()f x f x f x +=-=-，进而可得()(4)f x f x =+，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又由(1)2f =，可得()3(1)(1)2f f f =-=-=-，()()()2(0)0,400f f f f ====， 则()()()()12340f f f f +++=， 所以()()()()()()()()1232020505[1234]0f f f f f f f f ++++=⨯+++=．故选C ．18．（2020·遵义市南白中学高三其他（理））已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若ƒ(-a )+ƒ(a )≤2ƒ(1)，则实数a 的取值范围是 A ．[-1，0) B ．[0，1] C ．[-1,1] D ．[-2,2]【答案】C 【解析】若0x <，则0x ->，2()2()f x x x f x -=-=，若0x >，则0x -<，2()2()f x x x f x -=+=，故函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，函数()f x 单调递增.∴不等式()()2(1)f a f a f -+≤等价于2()2(1)f a f ≤，即()(1)f a f ≤ ∴1a ≤ ∴11a -≤≤ 故选C.19．（2020·山西迎泽太原五中高三月考）定义在R 上的奇函数()f x 满足：函数(1)f x +的图象关于y 轴对称，当[0,1]x ∈时，2()f x x =-，则下列选项正确的是（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．()f x 的最小正周期为2C ．当[2,3]x ∈时，2()(2)f x x =-D ．()f x 在[2,1]--上是减函数【答案】C 【解析】函数(1)f x +的图象关于y 轴对称，所以()f x 的图象关于1x =对称，故A 错误；(1)(1)f x f x ∴+=-，进而得(2)()f x f x +=-.又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-， (2)()f x f x ∴+=-，进而得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以周期为4，故B 错误；当[0,1]x ∈时，2()f x x =-，所以当[2,3]x ∈时，则2[0,1]x -∈，()2(2)2()f x x f x -=--=-，所以()2()2f x x =-，故C 正确；当[0,1]x ∈时，2()f x x =-，所以当[2,1]x ∈--时，则2[0,1]x +∈，()2(2)2()f x x f x +=-+=-，所以()2()2f x x =+在[2,1]--上是增函数，故D 错误. 故选：C20．（2020·安徽高一月考（理））已知函数(31)y f x =-为奇函数，()y f x =与()y g x =图像关于y x =-对称，若120x x +=，则()()12g x g x +=（ ） A ．2 B ．2-C ．1D ．1-【答案】A 【解析】解法一：函数(31)y f x =-为奇函数， 故(31)y f x =-的图象关于原点对称，而函数()y f x =的图象可由(31)y f x =-向左平移13个单位， 再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍， 故函数()y f x =的图象关于(1,0)-对称，()y f x =与()y g x =图像关于y x =-对称，故函数()y g x =图象关于(0,1)对称，所以()()2g x g x +-=， 而121212110,,()()()()2x x x x f x f x f x f x +==-+=+-=. 解法二：（特例法）设(31)f x x -=，令31t x =-，∴1(1)3x t =+， 1(t)(t 1)3f ∴=+，∴1()(1)3f x x =+.∵()y g x =与()y f x =关于y x =-对称 ，1(1)3x y ∴-=-+，∴()31g x x =+，∵120x x +=，所以()()122g x g x +=. 故选：A21．（2020·全国高三其他）定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()4f x f x =-，当[]0,2x ∈时，()2f x x x =+，则不等式()2f x >的解集为（ ）A ．()21,23k k ++，k Z ∈B ．()21,21k k -+，k Z ∈C ．()41,43k k ++，k Z ∈D ．()41,41k k -+，k Z ∈【答案】C 【解析】∵()()()()444f x f x f x f x +=--=-=， 所以()f x 的周期为4，且图象关于2x =对称， 所以[]0,2x ∈时，()2f x >的解集为(]1,2，又因为图象关于2x =对称，得[]0,4x ∈时，解()2f x >的解集为()1,3， 所以x ∈R 时，()2f x >的解集为()41,43k k ++，k Z ∈. 故选：C.22．（2020·沙坪坝重庆一中高三月考（理））设函数()1x xe f x e=-，下列说法中正确的是（ ） A ．()f x 的单调递增区间为(,0)(0,)-∞+∞B ．()f x 图象的对称中心为10,2⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()f x 图象的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()f x 的值域为(1,0)- 【答案】B 【解析】由题意，函数()1xxe f x e=-，可得函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， 又由22(1)(1))()0(1(1)x x x xx x x e f x e e e e e e '==----->'，所以函数()f x 的单调递增区间为(,0),(0,)-∞+∞，所以A 不正确；由1()111111x x x x xe ef x e e e-+===-+---， 因为0x e >，则0x e -<，则11x e -<，可得1(,1)(0,1)1xe ∈-∞-⋃--+∞+， 即函数()f x 的值域为(,1)(0,)-∞-+∞，所以D 不正确；又由()1xx e f x e =-，可得1()11x x xe f x e e----==--，则()()1f x f x +-=-， 所以函数()f x 关于10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 正确，C 不正确. 故选：B.23．（2020·全国高三其他（理））已知函数()()f x x R ∈满足()2(2)f x f x =--，若函数11x y x +=-与()y f x =的图象交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ，则()1mi i i x y =+=∑ （ ）A ．0B ．mC ．4mD ．2m【答案】D 【解析】因为()2(2)f x f x =--，所以()(2)2f x f x +-=， 可得()y f x =的图象关于()1,1对称，又因为12111x y x x +==+--， 所以11x y x +=-的图象可由函数2y x=的图象，向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，所以11x y x +=-的图象也关于()1,1对称， 函数11x y x +=-与()y f x =的图象交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y 关于()1,1对称，所以12132...2m m m x x x x x x --+=+=+==，12132...2m m m y y y y y y --+=+=+==，设12...m M x x x =+++，则11...m m M x x x -=+++，两式相加可得()()()12112...2m m m M x x x x x x m -=++++++=， 所以M m =，设12...m N y y y =+++，同理可得N m =，所以()12miii x y M N m =+=+=∑，故选D.24．（2020·鞍山市第八中学高一期中）关于函数图象的有下列说法：①若函数()y f x =满足()()13f x f x +=+，则()f x 的一个周期为2T =； ②若函数()y f x =满足()()13f x f x +=-，则()f x 的图象关于直线2x =对称； ③函数()1y f x =+与函数()3y f x =-的图象关于直线2x =对称； ④若函数11y x =+与函数()f x 的图象关于原点对称，则()11f x x =-， 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】在()()13f x f x +=+中，以1x -代换x ，得()(2)f x f x =+，所以①正确； 设1122(,),(,)P x y Q x y 是()y f x =上的两点，且12+1,3x x x x ==-，有1222x x +=，由12()()f x f x =，得12y y =，即,P Q 关于直线2x =对称，所以②正确；函数()1y f x =+的图象由()y f x =的图象向左平移1个单位得到，而()3y f x =-的图象由()y f x =的图象关于y 轴对称得()y f x =-，再向右平移3个单位得到，即((3))(3)y f x f x =--=-，于是函数()1y f x =+与函数()3y f x =-的图象关于直线1312x -+==对称，所以③错误； 设(,)P x y 是函数()f x 图象上的任意一点，点P 关于原点对称点,()P x y '--必在11y x =+的图象上，有11y x -=-+，即11y x =-，于是1()1f x x =-，所以④正确.故选：C25．（2020·广西兴宁南宁三中高一期中）函数11y x=-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D 【解析】 由于函数11y x=-与函数()2sin 24y x x π=-≤≤均关于点()1,0成中心对称，结合图形以点()1,0为中心两函数共有8个交点，则有18212x x +=⨯=，同理有2736452,2,2x x x x x x +=+=+=，所以所有交点的横坐标之和为8.故正确答案为D.26．（2020·陕西西安高三三模）定义域和值域均为[﹣a ，a ]（常数a ＞0）的函数y ＝f （x ）和y ＝g （x ）的图象如图所示，方程g [f （x ）]＝0解得个数不可能的是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】因为[,]x a a ∈-时，()0g x =有唯一解，不妨设唯一解为k ，由()g x 图象可知(0,)k a ∈， 则由g [f （x ）]＝0可得()f x k =，因为(0,)k a ∈，由()f x 图象可知，()f x k =可能有1根，2根，3个根，不可能又4个根， 故选：D27．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高三其他）函数()222sin xx y x e x=-在[]22-,的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】令()()222sin xx f x y x e x==-，因为sin 0x ≠，所以0x ≠，排除C ，因为()()()()()()()222222sin sin x xx x f x x e x e f x x x ---=--=--=--， 所以函数()222sin xx y x e x=-是奇函数，排除B ，因为()21sin1e f --=，21e ，2sin1sin 452，所以()2212f -<=，排除D ，故选： A.28．（2020·河南高三其他（理））函数()2sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】因为()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，且定义域R 关于原点对称，所以函数()y f x =为偶函数，故排除B 项；()()2sin sin f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x ='-≥恒成立，所以函数()y g x =单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=，任取120x x >>，则()()120g x g x >>，所以，()()1122x g x x g x >，()()12f x f x ∴>， 所以，函数()y f x =在()0,+∞上为增函数，故排除C 、D 选项. 故选：A.29．（2020·安徽相山淮北一中高三月考）函数31()tan f x x x=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】首先函数定义域是{,2x x k k Z ππ≠+∈且}0x ≠，关于原点对称，31()tan ()f x x f x x-=--=-，()f x 为奇函数，排除C ， 当(0,)2x π∈时，()0f x >，排除D ，当2x π>且接近2π时，tan 0x <，排除B ． 故选：A ．30．（2020·河北桃城衡水中学高三三模（理））如图，是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()|sin cos |f x x x =+B ．22()sin cos f x x x =+C ．()|sin ||cos |f x x x =+D ．()sin ||cos ||f x x x =+【答案】B 【解析】由图像可知，函数图像关于y 轴对称，所以()f x 应为偶函数，所以排除A ； 由图像可知函数值能取到小于0的值，所以排除C ； 对于当(0,1)x ∈时，()sin cos 2)4f x x x x π=+=+，而当 (0,)4x π∈时， ()(,)442x πππ+∈，而正弦的函数图像可知D 不正确，故选：B31．（2020·黑龙江香坊哈尔滨市第六中学校高三三模（理））已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足102(){2 2x e x f x e x x-<≤=>，则下列叙述正确的为（ ）①存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根 ②当1211x x -<<<时，恒有()()12f x f x >③若当(]0,x a ∈时，()f x 的最小值为1，则[]1,2a e ∈ ④若关于x 的方程5()4f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则54m =- A ．①②③ B ．①③C ．②④D ．①②③④【答案】B 【解析】对于①，函数的图象如图所示，由于函数是奇函数，所以只要考查(0,)+∞的零点个数，由于(0)0f =，所以只要考虑(0,)+∞的零点有3个即可.由题得(2,)A e ，所以直线OA 的斜率为2e，此时直线OA 与函数的图象有5个交点，当02e k <<时，直线OA 与函数在第一象限有3个零点，关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根，所以①正确；对于②，当1211x x -<<<时，函数()f x 不是单调函数，所以()()12f x f x >不成立，所以②不正确； 对于③，令21,ex=所以2x e =，当(]0,x a ∈时，()f x 的最小值为1，则[]1,2a e ∈，所以③正确；对于④，由于函数()f x 是奇函数，关于x 的方程5()4f x =和()f x m =的所有实数根之和为零， 当0x >时，5()4f x =有三个实根，12302x x x <<<<， 则123123325882,,,2455e e e x x x x x x x +==∴=∴++=+， 所以()f x m =的所有实数根之和为825e--. 令8255(2),8554425e e e mf e e =--==≠-----所以D 错误.故选：B.32．（2020·浙江宁波高二期末）若函数()y f x =，()y g x =的定义域均为R ，且都不恒为零，则（ ） A ．若()()y f g x =为偶函数，则()y g x =为偶函数 B ．若()()y f g x =为周期函数，则()y g x =为周期函数C ．若()y f x =，()y g x =均为单调递减函数，则()()y f x g x =⋅为单调递减函数D ．若()y f x =，()y g x =均为奇函数，则()()y f g x =为奇函数 【答案】D 【解析】对选项A ，设()cos f x x =，()2g x x =，则()()()2cos2y f g x f x x ===为偶函数，而()2g x x =不是偶函数，故A 错误. 对选项B ，设()cos f x x =，()2g x x =，则()()()2cos2y f g x f x x ===为周期函数，而()2g x x =不是周期函数，故B 错误. 对选项C ，设()f x x =-，()2g x x =-，则()()22y f x g x x =⋅=-，在(),0-∞为增函数，()0,∞+为减函数，故C 错误.对选项D ，因为()y f x =，()y g x =均为奇函数，则()()()()()()f g x f g x f g x -=-=-，即()()y f g x =为奇函数，故D 正确. 故选：D33．（2020·河北桃城衡水中学高三其他（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +--=，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则下列结论正确的是（ ）①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 是周期函数，且2是其一个周期；③16132f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④关于x 的方程()0f x t -=（01t <<）在区间()2,7-上的所有实根之和是12. A ．①④ B ．①②④C ．③④D ．①②③【答案】A 【解析】由题意可知()f x 的图象关于直线1x =对称，①正确；因为()f x 是奇函数，所以()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2是()f x 的周期，故②错误； 由()f x 的周期性和对称性可得1644243333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，所以()f x 在[]0,1x ∈时单调递增，所以1223f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即16132f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，③错误；又[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则可画出()f x 在区间[]2,8-上对应的函数，如图易得()0f x t -=（01t <<）即()f x t =（01t <<）在区间()2,7-上的根分别关于1，5对称，故零点之和为()21512⨯+=，④正确. 故选：A.34．（2020·越城浙江邵外高二期中）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[1,2]-，则值域也为[1,2]-的函数是（ ） A ．2()1y f x =+ B ．(21)y f x =+ C ．()y f x =- D ．|()|y f x =【答案】B 【解析】()f x 的定义域为R ，值域为[1,2]-，即1()2f x -≤≤；∴A ．2()1[1,5]y f x =+∈-，即2()1y f x =+的值域为[1,5]-，∴该选项错误； B ．(21)[1,2]y f x =+∈-，即(21)y f x =+的值域为[1,2]-，∴该选项正确； C ．()[2,1]y f x =-∈-，即()y f x =-的值域为[2,1]-，∴该选项错误； D ．()[0,2]y f x =∈，即|()|y f x =的值域为[0,2]，∴该选项错误．故选B ．35．（2020·越秀广东实验中学高一期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数()1,0,R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,以下命题正确的个数是(....)下面给出关于狄利克雷函数f (x )的五个结论: ①对于任意的x ∈R ,都有f (f (x ))=1; ②函数f (x )偶函数; ③函数f (x )的值域是{0,1};④若T ≠0且T 为有理数,则f (x +T )=f (x )对任意的x ∈R 恒成立; ⑤在f (x )图象上存在不同的三个点A ,B ,C ,使得△ABC 为等边角形. A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【详解】①当x Q ∈时，()1f x =，则()()()11ff x f ==；当Rx C Q ∈时，()0f x =，则()()()01f f x f ==，所以对于任意的x ∈R ，都有f (f (x ))=1;故正确.②当x Q ∈时，x Q -∈，()()1f x f x -==；当R x C Q ∈时，R x C Q -∈，()()0f x f x -==，所以函数f (x )偶函数;故正确.③当x Q ∈时，()1f x =；当R x C Q ∈时，()0f x =，所以函数f (x )的值域是{0，1};故正确.④当x Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈T x Q ，则f (x +T )=1=f (x )；当.R x C Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈R T x C Q ，则f (x +T )=0=f (x )，所以对任意的x ∈R 恒成立;故正确.⑤取1230,x x x ===.，(),0,0,1,,033A B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.为边长的等边三角形，故正确.. 故选：D刷能力1．（2019·浙江高一期中）已知函数()2019)20191x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+>的解集为(...)A ．1(,)4-∞ B ．1(,)2-∞C ．1(,)4+∞.D ．1(,)2+∞【答案】C 【解析】因为()2019)20191x x f x x -=+-+，所以()2019)20191--=+-+x x f x x ， 因此22()()ln(1)22+-=+-+=f x f x x x ，因此关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+>，可化为(21)2(2)(2)f x f x f x ->-=-；又20192019-=-xxy 单调递增，)=y x 单调递增，所以()2019)20191x x f x x -=+-+在R 上递增； 所以有212x x ->-，解得：14x >. 故选C2．（2020·四川资阳高三其他（理））已知函数()1f x +是定义在R 上的奇函数，当1x ≤时，函数()f x 单调递增，则（....）A ．()()222342log 4log 33(log f f f >>B ．()()222243log log 3log 43()f f f >>C ．()()222324log 4log o (3l g 3f f f >>D ．()()222432log 3log 43(log f f f >> 【答案】A 【解析】 因为函数()1f x +是定义在R 上的奇函数，所以函数()f x 关于点()1,0对称，又当1x ≤时，()f x 单调递增，所以()f x 在R 上单调递增， 所以()2fx 的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()2f x 单调递增.因为334log 41log 3-=，44434log 31log =log 43-=，244147log 1log 1log 336-=-=，且34444487log log log log 3366>=>，所以222342log 4log 3lo ()(3)(g f f f >>. 故选：A3．（2020·安徽相山淮北一中高三其他）已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时，()2f x x =，则函数()12f x =-在区间[3,5]-内的零点个数为（....） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】A 【解析】 ∵函数()1f x +是奇函数∴函数()1f x +的图象关于点()0,0对称∴把函数()1f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称，即满足()()2f x f x -=-又∵1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()1f x f x -=，从而()()21f x f x -=-- ∴()()1f x f x +=-，即()()()21f x f x f x +=-+=∴函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称. 画出函数()f x 的图象如图所示：结合图象可得()12f x =-区间[]3,5-内有8个零点. 故选：A.4．（2020·陕西高三其他）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对12,(0,)x x ∀∈+∞（12x x ≠）都有()()()222112120x f x x f x x x ⎡⎤--<⎣⎦.记(1)a f =，(2)4f b =，(3)9f c -=，则（....） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】D 【解析】当210x x <<时，120x x ->， 由题意可得()()2221120x f x x f x -<，即()()122212f x f x x x <； 当120x x <<时，120x x -<，可得()()2221120x f x x f x ->，即()()122212f x f x x x >.令函数2()()f x g x x=，则函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，且函数()g x 是偶函数. 又2(1)(1)1f a g ==，2(2)(2)2f bg ==，2(3)(3)(3)(3)f c g g -==-=-， 且函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以a b c >>. 故选：D.5．（2020·福建高三二模（理））已知函数()sin[cos ]cos[sin ]f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论：①()f x 的一个周期是2π；....②()f x 是非奇非偶函数；③()f x 在(0,)π单调递减；....④()f x ． 其中所有正确结论的编号是（....） A ．①②④ B ．②④C ．①③D ．①②【答案】A 【解析】因为(2)sin[cos(2)]cos[sin(2)]sin[cos ]cos[sin ]()f x x x x x f x πππ+=+++=+=， 所以()f x 的一个周期是2π，①正确；又(0)sin[cos0]cos[sin 0]sin1cos0sin1112f =+=+=+>+>又sin cos cos sin sin cos sin 0cos(1)cos144422f πππ⎡⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+-=+-=⎢⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，sin cos cos sin sin cos sin 0cos01444f πππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以44f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，44f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 是非奇非偶函数，所以②正确； 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin 1x <<，0cos 1x <<，所以[sin ][cos ]0x x ==，所以()sin[cos ]cos[sin ]sin0cos01f x x x =+=+=，所以③错误；综上所以正确的结论的序号是①②④， 故选：A ．6．（2020·山东泰安高三其他）已知函数4(),[,)af x x b x b x =++∈+∞，其中0,b a R >∈，记M 为()f x 的最小值，则当2M =时，a 的取值范围为（....） A ．13a >B ．13a <C ．14a > D ．14a <【答案】D 【解析】①当0a ≤时，()f x 在[,)+∞b上单调递增，所以min 4()()220af x f b b b b b ==+=>∴0a ≤满足题意；②当0a >时，()f x在)+∞上单调递增，在上单调递减因此⑴当b ≤时，()f x 在[,)+∞b上单调递增，所以2min 4()()2220180,a f x f b b b b a a b b==+=-+=∴∆=-≥=≥. 222121182()042432b b aa ba b b b b b+-≤∴≤∴-≤>∴≥∴=11811016a +-≥≥⇒<≤或11618161a a a⎧>⎪⇒⎨⎪-≥-⎩1016a <≤或11169a <<109a ∴<≤⑵当b >时，()f x在)+∞上单调递增，在[,b 上单调递减 ，所以min 11()202094f x f b b a ===<<>-∴<<；综上，a 的取值范围为14a <， 故选：D7．（2020·吉林宁江松原市实验高级中学高三其他（理））定义在R 上函数q 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.则使得()116f x ≤在[),m +∞上恒成立的m 的最小值是（....） A ．72B ．92C ．134D ．154【答案】D 【解析】根据题设可知，当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，故()()()11112322f x f x x =-=--， 同理可得：在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦， 所以当4n ≥时，()116f x ≤. 作函数()y f x =的图象，如图所示. 在7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭上，由()11127816f x x =⎡--⎤=⎣⎦，得154x =. 由图象可知当154x ≥时，()116f x ≤. 故选：D .8．（2020·鸡西市第一中学校高一期末）已知函数()()f x x R ∈是以4为周期的奇函数，当(0,2)x ∈时，()2()ln f x x x b =-+，若数()f x 在区间[2,2]-上有5个零点，则实数b 的取值范围是（....）A ．11b -<≤B ．1544b ≤≤ C ．11b -<≤或54b =D ．114b <≤或54b = 【答案】D 【解析】由题意知，()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以(0)0f =，即0是函数()f x 的零点， 因为()f x 是定义在R 上且以4为周期的周期函数，所以(2)(2)f f -=，且(2)(2)f f -=-，则(2)(2)0f f -==，即2±也是函数()f x 的零点，因为函数()f x 在区间[2,2]-上的零点个数为5， 且当(0,2)x ∈时，()2()ln f x x x b =-+，所以当(0,2)x ∈时，20x x b -+>恒成立，且21x x b -+=在(0,2)有一解，即214(1)=011122b b ∆=--⎧⎪⎨⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎩或2214(1)000102210b b b ∆=-->⎧⎪-+-≤⎨⎪-+->⎩， 解得114b <≤或54b =.故选：D.9．（2020·全国高三其他）已知函数21()cos 2f x x x =-，记()(0.3221log ,2,2log 5a f b f c f -⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则（....）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】因为()f x 的定义域为,()()f x f x -=R ，所以()f x 是偶函数． 因为()sin ,()cos 10f x x x f x x '''=--=--，所以()f x '是减函数． 因为(0)0f '=，所以当0x 时，()0f x '，所以()f x 在[0,)+∞上单调递减．因为0.322221log log 52,021,12log log 325--=><<<=<， 所以()()(0.30.3221log (2),22(1),(2)2log (1)5f f f f f f f f --⎛⎫-<-=><< ⎪⎝⎭，所以(()0.3221log 2log 25f f f -⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭，即a c b <<．故选：C10．（2020·全国高三其他）已知函数()()()22241x x f x x x ee x --=--++在区间[]1,5-的值域为[],m M ，则m M +=（...） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】()()24x x y x e e x -=--+.在[]3,3-上为奇函数，图象关于原点对称，()()()()()222222412423x x x x f x x x e e x x e e x ----⎡⎤=--++=---+-+⎣⎦是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以()f x 图象关于()2,3对称，则6m M +=，故选C .11．（2020·浙江高三其他）已知a R ∈，函数()2,02,0x e x f x x x a x ⎧>=⎨--+≤⎩，则下列说法正确的是(....)A ．若1a <-，则()()y f x x R =∈的图象上存在唯一一对关于原点O 对称的点B ．存在实数a 使得()()y f x x R =∈的图象上存在两对关于原点O 对称的点C ．不存在实数a 使得()()y f x x R =∈的图象上存在两对关于y 轴对称的点D ．若()()y f x x R =∈的图象上存在关于y 轴对称的点，则1a > 【答案】A 【解析】先求出()()220f x x x a x =--+≤关于原点O 对称的解析式，设0x >，则0x -<，()()()220g x f x x x a x =--=-->，令()()220xh x e x x a x =-++>，则()22xh x e x ='-+，()()'2x h x e =-'，函数()h x '在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， 所以()()'ln 242ln 20h x h ≥=->，因此()h x 是单调递增的，且()()2201xh x e x x a h a =-++>=+，故当1a <-，()h x 有唯一零点，故A 正确B 错误.再求()()220f x x x a x =--+≤关于y 轴对称的解析式，设0x >，则0x -<，()()()220k x f x x x a x =-=-++>，令()()220xm x e x x a x =+-->，()22xm x e x '=+-，()20xm x e ''=+>恒成立，故()22xm x e x '=+-单调递增，310370105m e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，1102m ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，故存在031,102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()00m x '=，即()000220x m x e x '=+-=，函数在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 故()()02000min 2xm x m x e x x a ==+--，当020020xe x x a +--<时，函数有零点，C 错误；取1a =， 则()()022200000min3321414101010x m x m x e x x x x ⎛⎫==+--=-+<-⨯+< ⎪⎝⎭，函数有零点，故D 错误.故选：A.12．（2020·重庆渝北礼嘉中学高三期中）已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为（....）A ．20B ．18C ．16D ．14【答案】C 【解析】21()8()6()10()2g x f x f x f x =-+=∴=或1()4f x = 根据函数解析式以及偶函数性质作()f x 图象， 当02x <≤时，()()21f x x =-.,是抛物线的一段， 当(]()()12,2,22,1,2,3,,22x x k k k f x f x >∈+=⋯=-时，,是由(]22,2,x k k ∈- 的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y 轴右侧的图象，再根据偶函数的图象性质得到R 上的函数()f x 的图象， 考察()y f x =的图象与直线12y =和14y =的交点个数，分别有6个和10个， ∴函数g(x)的零点个数为61016+=,故选：C13．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且[]0,2x ∈时2()log (1)f x x =+，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：(3)1f =；乙：函数()f x 在[]6,2--上是增函数； 丙：函数()f x 关于直线4x =对称；丁：若(0,1)m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为8-其中正确的是（....）． A ．甲，乙，丁 B ．乙，丙 C ．甲，乙，丙 D ．甲，丁【答案】D 【解析】取x ＝1，得f （1﹣4）＝﹣f （1）()112log +=-=-1，所以f （3）＝﹣f （﹣3）＝1，故甲的结论正确；定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ﹣4）＝﹣f （x ），则f （x ﹣4）＝f （﹣x ），∴f （x ﹣2）＝f （﹣x ﹣2），∴函数f （x ）关于直线x ＝﹣2对称，故丙不正确；奇函数f （x ），x ∈[0，2]时，f （x ）＝log 2（x +1），∴x ∈[﹣2，2]时，函数为单调增函数，∵函数f （x ）关于直线x ＝﹣2对称，∴函数f （x ）在[﹣6，﹣2]上是减函数，故乙不正确；若m ∈（0，1），则关于x 的方程f （x ）﹣m ＝0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2＝﹣12，另两根的和为2×2＝4，所以所有根之和为﹣8．故丁正确 故选：D ．14．（2020·上海高三专题练习）设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A ．当0a <时，12120,0x x y y +<+>B ．当0a <时，12120,0x x y y +>+<C ．当0a >时，12120,0x x y y +<+<D ．当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】B 【解析】令()()f x g x =,可得21ax b x =+． 设21(),F x y ax b x==+ 根据题意()F x 与直线y ax b =+只有两个交点， 不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，.y ax b =+与()F x 左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得12||x x >，即120x x ->>，此时120x x +<，21122111,0y y y y x x =>=-∴+>-， 同理可得，当0a <时如左图，120x x +>，120y y +< 故选：B ．.....15．（2020·舒兰市实验中学校高二期中）函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（....）． A ．(2,)+∞ B ．(1,)+∞C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D 【解析】。