2016-2017年四川省绵阳一中高二上学期数学期中试卷带答案(理科)

2016-2017学年四川省绵阳一中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．（4分）直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A．B． C．D．2．（4分）直线﹣=1的横、纵截距分别是（）A．4，3 B．4，﹣3 C．D．3．（4分）抛物线y=x2的焦点到准线的距离是（）A．B．C．2 D．44．（4分）直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=（）A．﹣7或﹣1 B．﹣7 C．7或1 D．﹣15．（4分）方程x+|y﹣1|=0表示的曲线是（）A．B．C．D．6．（4分）直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a，b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能7．（4分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=8．（4分）动圆M与圆O：x2+y2=1外切，与圆C：（x﹣3）2+y2=1内切，那么动圆的圆心M的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．椭圆D．抛物线9．（4分）过点（1，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．2 C．2 D．10．（4分）点M（x，y）与定点F（3，0）的距离和它到直线l：x=的距离之比是，则M的轨迹方程是（）A．B．C．D．11．（4分）过点P（﹣，﹣1）的直线与曲线y=有公共点，则直线的斜率范围是（）A．B．C．D．12．（4分）过椭圆+=1内一点（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在直线的斜率是（）A．2 B．﹣2 C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）空间直角坐标系中，z轴上到点（1，0，2）和（1，﹣3，1）距离相等的点的坐标是．14．（3分）以坐标轴为对称轴的等轴双曲线过点（2，），则该双曲线的方程是．15．（3分）如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是．16．（3分）经过点（3，1）和圆C1：x2+y2﹣4y=0相切与点（1，1）的圆的标准方程是．三．解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分．解答应写出相应的步骤）17．（10分）在△ABC中，顶点A（5，1）、B（﹣1，﹣3）、C（4，3），AB边上的中线CM和AC边上的高线BN的交点坐标．18．（10分）圆C的圆心在直线y=3x上，且圆C与x轴相切，若圆C截直线y=x 得弦长为2，求圆C的标准方程．19．（10分）顶点在原点，焦点在x轴正半轴的抛物线，经过点（3，6），（1）求抛物线截直线y=2x﹣6所得的弦长．（2）讨论直线y=kx+1与抛物线的位置关系，并求出相应的k的取值范围．20．（10分）椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点且离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．2016-2017学年四川省绵阳一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．（4分）直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A．B． C．D．【解答】解：将已知直线化为y=x+，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故选：A．2．（4分）直线﹣=1的横、纵截距分别是（）A．4，3 B．4，﹣3 C．D．【解答】解：直线﹣=1的横、纵截距分别4，﹣3，故选：B．3．（4分）抛物线y=x2的焦点到准线的距离是（）A．B．C．2 D．4【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，故p=2，即它的焦点到准线的距离为2，故选：C．4．（4分）直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=（）A．﹣7或﹣1 B．﹣7 C．7或1 D．﹣1【解答】解：∵直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，∴，解得a=﹣7．故选：B．5．（4分）方程x+|y﹣1|=0表示的曲线是（）A．B．C．D．【解答】解：由方程x+|y﹣1|=0，得．∴方程x+|y﹣1|=0表示的曲线是：故选：A．6．（4分）直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a，b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能【解答】解：由圆x2+y2=1得到圆心坐标为（0，0），半径为1，因为直线与圆相交，所以圆心到该直线的距离d=＜1，即a2+b2＞1即P点到原点的距离大于半径，所以P在圆外．故选：B．7．（4分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．8．（4分）动圆M与圆O：x2+y2=1外切，与圆C：（x﹣3）2+y2=1内切，那么动圆的圆心M的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．椭圆D．抛物线【解答】解：设动圆的圆心为M，动圆的半径等于r，圆C：x2+y2﹣6x+8=0即（x﹣3）2+y2=1，表示以（3，0）为圆心，以1为半径的圆，则由题意得MO=r+1，MC=r﹣1，∴MO﹣MC=2＜3=|OC|，故动圆的圆心M的轨迹是以O、C 为焦点的双曲线的右支，故选：B．9．（4分）过点（1，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．2 C．2 D．【解答】解：圆x2+y2=4表示以O（0，0）为圆心、半径等于2的圆，要使弦长最小，只有弦心距最大．而弦心距d的最大值为，∴|AB|的最小值为2=2，故选：A．10．（4分）点M（x，y）与定点F（3，0）的距离和它到直线l：x=的距离之比是，则M的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：设d是点M到直线l：x=的距离，根据题意得，点M的轨迹就是集合P={M|=}，由此得=．将上式两边平方，并化简，得16x2+25y2=400．即．所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、8的椭圆．故选：A．11．（4分）过点P（﹣，﹣1）的直线与曲线y=有公共点，则直线的斜率范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=，得x2+y2=1（﹣1≤x≤1，y≥0），设过点P（﹣，﹣1）且与半圆x2+y2=1（﹣1≤x≤1，y≥0）相切的直线的斜率为k（k＞0），则直线方程为y+1=k（x+），即kx﹣y+k﹣1=0．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，即3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，过点P（﹣，﹣1）的直线过（1，0）时，k==，∴≤k≤，故选：D．12．（4分）过椭圆+=1内一点（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在直线的斜率是（）A．2 B．﹣2 C．D．【解答】解：设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），则有①，②，①﹣②式可得，又点A为弦EF的中点，且A（2，1），∴x1+x2=4，y1+y2=2，即得k EF==﹣，该弦所在直线的斜率﹣，故选：C．二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）空间直角坐标系中，z轴上到点（1，0，2）和（1，﹣3，1）距离相等的点的坐标是（0，0，﹣1）．【解答】解：设z轴上到点（0，0，z），由点到点（1，0，2）和（1，﹣3，1）的距离相等，得12+02+（z﹣2）2=（1﹣0）2+（﹣3﹣0）2+（z+1）2解得z=﹣1，所求的点为：（0，0，﹣1）故答案为：（0，0，﹣1）．14．（3分）以坐标轴为对称轴的等轴双曲线过点（2，），则该双曲线的方程是x2﹣y2=2．【解答】解：设等轴双曲线的方程为x2﹣y2=λ≠0．把点（2，），代入可得：4﹣2=λ，解得λ=2．∴要求的等轴双曲线的方程为x2﹣y2=2．故答案为：x2﹣y2=2．15．（3分）如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是．【解答】解：∵△POF2是面积为的正三角形，∴S=|PF2|2=，|PF2|=2．∴c=2，∵△PF1F2为直角三角形，∴a=，故答案为．16．（3分）经过点（3，1）和圆C1：x2+y2﹣4y=0相切与点（1，1）的圆的标准方程是（x﹣2）2+y2=2．【解答】解：设所求圆方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2已知圆的圆心：（0，2），半径=2，由题意可得：（3﹣a）2+（1﹣b）2=r2，（1﹣a）2+（1﹣b）2=r2，（0﹣a）2+（2﹣b）2=（2+r）2，解得a=2，b=0，r2=2∴所求圆：（x﹣2）2+y2=2．故答案为：（x﹣2）2+y2=2．三．解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分．解答应写出相应的步骤）17．（10分）在△ABC中，顶点A（5，1）、B（﹣1，﹣3）、C（4，3），AB边上的中线CM和AC边上的高线BN的交点坐标．【解答】解：∵A（5，1）、B（﹣1，﹣3），∴AB的中点M（2，﹣1），故直线CM的斜率为：k=2，直线CM为：y﹣3=2（x﹣4），即2x﹣y﹣5=0；而直线AC的斜率是：k=﹣2，故BN的斜率是，故直线BN的方程是：y+3=（x+1），即：x﹣2y﹣5=0；由，解得：．18．（10分）圆C的圆心在直线y=3x上，且圆C与x轴相切，若圆C截直线y=x 得弦长为2，求圆C的标准方程．【解答】解：设所求的圆的方程是（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则圆心（a，b）到直线x﹣y=0的距离为，∴即2r2=（a﹣b）2+14①（2分）由于所求的圆与x轴相切，∴r2=b2②（4分）又圆心在直线3x﹣y=0上，∴3a﹣b=0③（6分）联立①②③，解得a=1，b=3，r2=9或a=﹣1，b=3，r2=9（10分）故所求的圆的方程是：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9或（x+1）2+（y+3）2=9（12分）19．（10分）顶点在原点，焦点在x轴正半轴的抛物线，经过点（3，6），（1）求抛物线截直线y=2x﹣6所得的弦长．（2）讨论直线y=kx+1与抛物线的位置关系，并求出相应的k的取值范围．【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：y2=2px，（p＞0），由抛物线经过点（3，6），∴36=2×p×3，解得：p=6，∴抛物线方程为：y2=12x，设直线y=2x﹣6与抛物线两交点A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：x2﹣9x+9=0，由韦达定理可知：x1+x2=9，x1x2=9，∴|AB|=•=•=15，抛物线截直线y=2x﹣6所得的弦长15，（2）当k=0时，y=1，直线与抛物线有一个交点，当k≠0时，由，整理得：k2x2+2（k﹣6）x+1=0，当△=4（k﹣6）2﹣4k2＞0，解得：k＜3，∴直线与抛物线有两个交点，△=4（k﹣6）2﹣4k2＜0，解得：k＞3，直线与抛物线无交点，当△=4（k﹣6）2﹣4k2=0，即k=3时，直线与抛物线有一个交点，综上可知：当k＞3时，直线y=kx+1与抛物线相离，即直线与抛物线无交点，当k=3时，直线y=kx+1与抛物线相切，直线与抛物线有一个交点，当k＜3且k≠0，直线与抛物线相交，有两个交点，当k=0时，直线与抛物线相交，有一个交点．20．（10分）椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点且离心率为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y=kx +m 与椭圆C 相交A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 【解答】解：（1）椭圆的标准方程为（4分）（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），得：（3+4k 2）x2+8kmx +4（m 2﹣3）=0，∵△＞0，∴3+4k 2﹣m 2＞0，∴（6分）∵以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，∴k AD •k BD =﹣1， ∴y 1y 2+x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4=0，∴7m 2+16mk +4k 2=0， ∴m 1=﹣2k ，k ，且均满足3+4k 2﹣m 2＞0，（9分）当m 1=﹣2k 时，l 的方程为y=k （x ﹣2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾 当时，l 的方程为，则直线过定点∴直线l 过定点，定点坐标为（12分）赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.A变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。