高二下学期期中数学试卷(理科)套真题
陕西省高二下学期期中联考数学(理)试题(解析版)
一、单选题1．已知是虚数单位，复数的虚部为（ ） i 51i +A ．-1 B ．0 C ．1 D ．i 【答案】C【分析】根据复数的运算法则直接计算得到答案.【详解】由，虚部为1，故选项C 正确. 54111i 1i 1i 1i ++=+=+=+故选：C.2．（ ）()1023d x x +=⎰A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】应用微积分基本定理求定积分即可.【详解】．()()112023d 34x x x x+=+=⎰故选：C3．如果函数在区间上的平均变化率为,则 ()f x ax b =+[1,2]3=a A ． B ． C ． D ．3-232-【答案】C【详解】根据平均变化率的定义，可知 ()()2321a b a b y a x +-+===-A A 故选C 4．函数的导数为（ ） ()sin cos f x x x =+A ． B ． C ．D ．0cos sin x x +cos sin x x -sin x -【答案】C【分析】利用基本初等函数及函数和的导数公式可求函数的导数. ()f x 【详解】∵ ，， (sin )cos x x '=(cos )sin x x '=-∴ ， ()cos sin f x x x '=-故选：C. 5．函数的单调递减区间为（ ） 21ln 2y x x =-A ．（-1，1） B ．（0，1） C ．[1，+∞） D ．[0，+∞]【答案】B【分析】利用导数求函数单调区间.【详解】函数的定义域为， 21ln 2y x x =-()0+∞，， 211x y x x x-'=-=令，解得，令，解得， 210x x->1x >210x x -<01x <<则的单调递减区间为，单调递增区间为，21ln 2y x x =-()0,1()1,+∞故选：.B 6．已知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋x ＋1没有极值，则实数a 的取值范围是（ ）13A ．[0，1]B ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C ．[0，2]D ．(－∞，0]∪[2，＋∞) 【答案】C【分析】求导得，再解不等式即得解. 2211()()f x x a x '=+-+22140[()]≤a --【详解】由得， 321113()()f x x a x x =+-++2211()()f x x a x '=+-+根据题意得，解得． 22140[()]≤a --02a ≤≤故选：C7．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭圆14的离心率为 ( ) A ．B ． 1312C ． D ．2334【答案】B【详解】试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到:1x yl c b +=0bx cy bc +-=⇒l 24b =，故选B. 12c e a ⇒==【解析】1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到，利用方程思想和:1x yl c b +=0bx cy bc +-=⇒l 2142b c e a =⇒==是本题的关键节点.24b=8．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭12e =24y x =-圆方程为A ．B ．C ．D ．22143x y +=22186x y +=2212x y +=2214x y +=【答案】A【详解】试题分析：抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所24y x =-以，又，所以，所以椭圆的标准方程为，故选22143x y +=A ．【解析】1．椭圆的标准方程与几何性质；2．抛物线的标准方程与几何性质．9．伦教奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺的双曲线C ：上支的2221(0)y x a a -=>一部分，点F 是C 的下焦点，若点P 为C 上支上的动点，则与P 到C 的一条渐近线的距离之PF 和的最小值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】C【分析】根据离心率求出双曲线方程，可得出焦点坐标及渐近线方程，再利用双曲线的定义转化为求，数形结合即可得出最小值．4||PF PQ PF PQ +=++'【详解】依题意，双曲线，2221y x a-=则，解得，21514a +=2a =所以双曲线方程为，2214y x -=则双曲线得下焦点为，上焦点，渐近线方程为，如图， (0,F (F '12x y =±根据图形的对称性，不妨取渐近线为，即， 1:2l x y =2y x =又点P 为双曲线上支上的动点，则， 24PF a PF PF '+=+'=过点P 作，垂足为Q ，过点作，垂足为M ， PQ l ⊥F 'F M l '⊥则，444415PF PQ PF PQ F M +=++≥+'+'==所以与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为． PF 5故选：C ．10．函数的极值点为（ ）()232ln 5f x x x =-+A ．8B ．C ．1D 6ln 3+【答案】D【分析】求出定义域为，然后求导数，从而根据二次函数的图象即可判断导数()f x ()0,∞+()f x '符号，进而可得出的极值点．()f x 【详解】依题意可得函数定义域为，()f x ()0,∞+则， ()()223126x f x x x x-'=-=令，解得()0f x '=x =x =则当时，，此时单调递减；x ⎛∈ ⎝()0f x '<()f x当时，，此时单调递增，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0f x ¢>()f x所以是的极值点，且为极小值点． x =()f x 故选：D ．11．已知函数，下列说法正确的是（ ） ln ()xf x x=A ．在处的切线方程为B ．的单调递减区间为 ()f x 1x =1y x =+()f x (e,)+∞C ．的极小值为D ．方程有两个不同的解()f x 1e()1f x =-【答案】B【分析】求出函数的定义域及导数，再逐项求解判断作答. ()f x 【详解】函数的定义域为，求导得，ln ()xf x x=(0,)+∞21ln ()x f x x -'=对于A ，，而，因此图象在处的切线方程为，A 错误； (1)1f '=(1)0f =()f x 1x =1y x =-对于B ，当时，，单调递增，当时，，单调递减，(0,e)x ∈()0f x '>()f x (e,)x ∈+∞()0f x '<()f x B 正确；对于C ，由选项B 知，当时，取得极大值，C 错误；e x =()f x 1e对于D ，因为函数在上单调递增，且，()f x (0,e)e 1,(1)1)e0(f f =-<-=即方程在上有唯一解，而当时，恒有成立，即该方程在上无()1f x =-(0,1)1x >()0f x >(1,)+∞解，所以方程只有一个解，D 错误. ()1f x =-故选：B12．过点作曲线切线有且只有两条，则b 的取值范围为（ ） ()0,b e x y =A ． B ． ()0,1(),1-∞C ． D ．(],1-∞(]0,1【答案】A【分析】设切点，进而求得切线方程，进而得到，构造函数()00,P x y ()00e 1xb x =-()()1exg x x =-分析的单调性与取值范围即可判断有且仅有两根时b 的取值范围．()()1e xg x x =-()00e 1x b x =-【详解】设切点为， ()00,P x y 由，则，e x y =e x y '=所以过的切线方程为，即，()00,P x y ()000e e x x y x x -=-()000e 1e xx y x x =+-故有且仅有两根，()00e 1xb x =-设，则，()()1e xg x x =-()e xx g x '=-当时，，此时单调递增； 0x <()0g x '>()g x 当，，此时单调递减，0x >()0g x '<()g x 又当时，，，，0x <()0g x >()001e g ==()10g =所以的图象如下：()g x故有且仅有两根，则b 的取值范围为．()00e 1xb x =-()0,1故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查利用过曲线外一点作曲线切线的条数求参数的取值范围，解题的关键在于写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，将切线与切点建立一一对应的关系，转化函数的零点个数，利用导数与数形结合思想求解．二、填空题13．抛物线的准线方程为______. 24y x =【答案】 116y =-【详解】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是【解析】抛物线方程14．已知函数，则函数在处的切线方程是____________．()e xf x -=()f x 1x =【答案】e 20x y +-=【分析】求导，利用导数值求解斜率，再利用点斜式求解即可．【详解】由，则，()e x f x -=()e xf x -'=-所以，，()11ef =()e 11f '=-所以函数在处的切线方程为，即()f x 1x =()1e1e 1y x -=--e 20x y +-=故答案为：．e 20x y +-=15．求过点且与圆相切的直线方程为______. 3(4,)P -()()22139x y -+-=【答案】x ＝4或3x +4y ＝0【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y +3＝k （x －4），即kx －y －4k －3＝0，，解得k ＝，此时直线方程为3x +4y ＝0，34-当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4此时圆心 到直线x ＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意. (1,3)故答案为：x ＝4或3x +4y ＝0.16．已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且斜率为，直线与双()2222:10,0x y C a b a b-=>>l C a b -l 曲线的两条渐近线分别交于、两点（点在轴下方），且，则的离心率C M N N x 2ON OM =C 为____________.【分析】作出图形，可求得，利用角平分线的性质可求得，结合勾股定理可求得FM b =FN ，进一步可求得，利用勾股定理可得出的值，结合双曲线的离心率公式可求得双曲线OM ON 22b a 的离心率的值.C 【详解】如下图所示：因为直线的斜率为，由图可知，直线的斜率为，l ab -OM b a因为，所以，，1a bb a-⋅=-OM l ⊥易知直线的方程为，即， OM b y x a =0bx ay -=b =因为直线、关于轴对称，则， OM ON x MOF NOF ∠=∠由角平分线的性质可得，所以，， 12MOFNOF MFOM S S NF ON ===△△22FN FM b ==，所以，，a =22ON OM a ==由勾股定理可得，即，整理可得，222OMMN ON +=()()22232a b a +=2213b a =所以，双曲线的离心率为C c e a =====三、解答题17．已知直线与圆. 20x y m -+=225x y +=(1)若直线和圆无公共点，求m 的取值范围；(2)若直线和圆交于两点，且两个交点处的圆的半径互相垂直，求m 的值. 【答案】(1) (,5)(5,)-∞-⋃+∞(2) m =【分析】（1）由直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的关系可解出范围；（2）直线与圆相交，两交点与圆心构成等腰直角三角形，得出边长与圆心到直线距离的关系，列出等式出结果.【详解】（1）由已知，得圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离(0,0)O r =20x y m -+=d ==∵直线与圆无公共点，或， d r ∴>5m >5m <-故m 的取值范围为(,5)(5,)-∞-⋃+∞（2）若直线和圆交于两点，两点，如图所示，A B两条半径、互相垂直，几何关系可知为等腰直角三角形，设到直线的距离为，OA OB AOB A O dd ∴==m =18．求下列函数的极值：（1）；()3126f x x x =-++（2）． ()2221xf x x =-+【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）极小值为，极大值为． 10-223-1-【分析】（1）求出函数导数，再求出导函数零点，列表即可求解；（2）根据导数的求导法则求出函数导数，可得导函数零点，列出变化时，，的变化x ()f x '()f x 情况即可.【详解】（1）．令，解得，．()()()2312322f x x x x '=-+=-+-()0f x '=12x =-22x =当变化时，，的变化情况如下表： x ()f x '()f xx(),2-∞-2-()2,2- 2()2,∞+()f x '-0+0-()f x 单调递减 10-单调递增 22 单调递减由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为2x =-()f x ()210f -=-2x =()f x ．()222f =（2）．令，解得，．()()()()()()22222221421111x x x x f x xx+-+-'==++()0f x '=11x =-21x =当变化时，，的变化情况如下表： x ()f x '()f xx(),1-∞-1-()1,1- 1()1,+∞()f x '-0+0-()f x 单调递减 3-单调递增 1-单调递减由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为=1x -()f x ()13f -=-1x =()f x ．()11f =-19．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4.1111ABCD A B C D -(1)求证：；1BD AC ⊥(2)求直线与平面所成角的正弦值. 1BD 1ACD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明向量数量积等于零来证明；1AC BD ⊥（2）计算平面的法向量，根据与法向量的夹角与与平面所成角互余求解. 1ACD 1CC 1CC 1ACD 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z间直角坐标系，则，，()()2,0,0,0,2,0A C ()()10,0,4,2,2,0D B ，()()12,2,0,2,2,4AC BD =-=-- ，即.114400,AC BD AC BD ⋅=-+=∴⊥ 1AC BD⊥（2）由（1）得，()()12,2,0,2,0,4AC AD =-=- 设平面的一个法向量为，1ACD (),,n x y z =r 则取 则 1220240n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，2,x =()2,2,1n =()12,2,4BD =-- 设直线与平面所成角为 ，则： 1BD 1ACDθsin =cos ,n θ 所以直线与平面1BD 1ACD 20．已知椭圆倍，且右焦点为. 2222:1(0)x y C a b a b+=>>()1,0F (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线与椭圆C 交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线:l y kx m =+M N (2,0)Q MQ NQ 的斜率互为相反数，求证:直线过定点.l【答案】(1) 2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据长短轴关系得，再利用及关系即可得到椭圆方程；a =1c =,,abc （2）设，，联立直线与椭圆方程得， 得到韦达()11,M x y ()22,N x y ()222214220k x kmx m +++-=定理式，根据，化简得，将韦达定理式代入化简即可0MQ NQ k k +=()()12122240kx x m k x x m +-+-=得到，则可得到定点坐标.m k =-【详解】（1）由椭圆．Ca =所以．)222b c =+又，所以，解得．所以()1,0F )221b =+1b =a =所以椭圆的标准方程为． C 2212x y +=（2）联立，得， 2212y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222214220k x kmx m +++-=设，，可得，， ()11,M x y ()22,N x y 122421km x x k -+=+21222221m x x k -=+由题知，即， 0MQ NQ k k +=()()()()121212121212122240222222kx x m k x x m y y kx m kx m x x x x x x +-+-+++=+==------即，()()12122240kx x m k x x m +-+-=即， ()22222422402121m km k m k m k k --⋅+-⋅-=++化简得，解得， 244021k m k --=+m k =-∴直线的方程为，故直线恒过定点.l ()1y k x =-l ()1,0【点睛】关键点睛：设，，联立直线与椭圆方程得()11,M x y ()22,N x y ，则得到韦达定理式，根据，则，展()222214220k x kmx m +++-=0MQ NQ k k +=1212022y y x x +=--开化简得，再将韦达定理式代入，则可得到定点坐标. ()()12122240kx x m k x x m +-+-=m k =-21．已知函数在处有极值.2()ln f x ax b x =+1x =12（1）求a ，b 的值；（2）判断函数的单调性并求出单调区间.()y f x =【答案】（1）（2）单调减区间是，单调增区间是. 112a b ==-，()01，()1+∞，【分析】（1）根据函数解析式先求得导函数，根据极值及极值点即可得关于a ，b 的方程组，即可求得a ，b 的值.（2）将a ，b 的代入解析式并求得定义域，求得极值点，根据极值点左右两侧导函数的符号即可判断函数的单调性.【详解】（1）函数，2()ln f x ax b x =+. ()2b f x ax x'=+ 又在处有极值，()f x 1x =12∴，即， 1(1)2(1)0f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩'120a ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得. 112a b ==-，（2）由（1）可知，其定义域是， 21()ln 2f x x x =-()0+∞，且. 1(1)(1)()x x f x x x x+-'=-=令，解得，（舍），()0f x '=1x ==1x -由，得；()0f x '<01x <<由，得.()0f x '>1x >所以函数的单调减区间是，单调增区间是. ()y f x =()01，()1+∞，【点睛】本题考查了利用导函数的极值点与极值求参数，利用导函数判断函数的单调性，属于基础题.22．已知函数．()e ax f x x =-(1)讨论函数的单调性； ()f x (2)证明：． ()1ln 1+-≥x ax f x 【答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）求导，分、与讨论求解单调性即可；0a =0a >a<0（2）可转化为，令，即证明.设()1ln 1+-≥x ax f x ()1ln e 10eax ax x x -+≥e ax t x =()1ln 100t t t -+≥>，利用导数求的最小值即可证明. ()()1ln 10g t t t t=-+>()g t 【详解】（1），()()e e e 1ax ax ax f x ax ax '=--=-+①当时，，在上单调递减；0a =()f x x =-R ②当时，令，得， 0a >()0f x '=1x a=-当时，；当时，. 1x a <-()0f x ¢>1x a>-()0f x '<③当时，令，得， a<0()0f x '=1x a=-当时，；当时，. 1x a <-()0f x '<1x a>-()0f x ¢>综上所述，当时，在上单调递减；0a =()f x R 当时，在上单调递增，在上单调递减； 0a >()f x 1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当时，在上单调递减，在上单调递增. a<0()f x 1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）,即为，即， ()1ln 1+-≥x ax f x 1ln 1e ax x ax x +-≥-()1ln e 10e ax axx x -+≥令，可得，即证明. e ax t x =0t >()1ln 100t t t-+≥>设，则， ()()1ln 10g t t t t =-+>()22111t g t t t t-'=-=当时，，函数单调递减；()0,1t ∈()0g t '<()g t 当时，，函数单调递增.()1,t ∈+∞()0g t '>()g t 所以，即. ()()1ln1110g t g ≥=-+=()1ln 100t t t-+≥>所以. ()1ln 1+-≥x ax f x 【点睛】结论点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。
高二理科数学下册期中检测试卷及答案
～第二学期期中考试高二数学试题（理科）注意事项：1． 本试卷共4页，包含填空题（第1～14题，共14题）、解答题（第16～20题，共6题）二部分。
本次考试时间为120分钟，满分160分。
考试结束后，只需将答题纸交回。
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号、班级等信息用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。
3． 作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
参考公式：线性回归方程系数公式：,)())((211^∑∑==---=ni i ni i ix x y y x xb x b y a ^^-=.样本相关系数公式：,)()())((21211∑∑∑===----=ni i ni ini i iy y x xy y x xr卡方统计量：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直 接填写在答题纸指定位置. 1.化简=+-ii11 ▲ . 2．=-3545C A .3．已知,11ni im-=-其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m . 4.在回归分析中，对于y x ,随机取到的n 对数据),,2,1)(,(n i y x i i =样本相关系数r 具有下列哪些性质：①;1≤r ②r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越弱;③r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越强；④r 越接近于0，y x ,的线性相关程度越强，请写出所有正确性质的序号： .5.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 .①若2χ的观测值满足2χ≥6.635,我们有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100人吸烟的人中必有99患有肺病;②从独立性检验可知有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99％的可能患有肺病;③其从统计量中得知有95％的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5％的可能性使得推判出现错误.6.某地区的年财政收入x 与年支出y 满足线性回归模型ε++=bx a y （单位：亿元），其中.5.0,2,8.0≤==εa b 如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过 .7.把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有 种.8．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AC AB ,互相垂直，则三角形边长之间满足关系：.222BC AC AB =+若三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .9．已知推理：“因为△ABC 三边长依次为3，4，5，所以△ABC 是直角三角形”.若将其恢复成完整的三段论，则大前提是 . 10.观察下列等式：,),4321(16941,321941),21(41,11 +++-=-+-++=+-+-=-=由此推测第n 个等式为 .（不必化简结果） 11.已知,12121=-==z z z z 则21z z +等于 .12.在复平面内，Ｏ是原点，,,表示的复数分别为,51,23,2i i i +++-那么表示的复数为 .13.设正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),1(21nn n a a S +=推测出n a 的表达式为 . 14.将正奇数排列如右表所示，其中第i 行第j 个数表示为),,(**N j N i a ij ∈∈例如.932=a 若,2009=ij a 则=+j i .二、解答题：本大题共６小题，共90分.在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题14分）已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-=当实数m 取什么值时，复数z 是： （１） 零；（２）纯虚数； （３）.52i z +=16.（本小题１４分）先解答（１），再通过结构类比解答（２） （１） 求证：;tan 1tan 1)4tan(xxx -+=+π（２） 设R x ∈且,)(1)(1)1(x f x f x f -+=+试问：)(x f 是周期函数吗？证明你的结论.17.(本小题１４分)设有编号为１，２，３，４，５的五个球和编号为１，２，３，４，５的五个盒子，现将这五个球放入５个盒子内.（１） 只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（２） 没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？18.（本小题１６分）设,1,*>∈n N n 用数学归纳法证明：.131211n n>++++19.(本小题16分)某电脑公司有６名产品推销员，其中５名推销员的工作年限与年推销金额数据如下表：（１） 求年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数（精确到小数点后两位）； （２） 求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；（３） 若第６名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额. (参考数据：;02.104.1≈由检验水平0.01及,32=-n 查表得.59.001.0=r )20.（本小题16分０设Q P ,是复平面上的点集，{}{}.,2,05)(3P z iz Q z z i z z z P ∈===+-+⋅=ωω（１）Q P ,分别表示什么曲线？（２）设,,21Q z P z ∈∈求21z z -的最大值与最小值.2019－2019学年度第二学期期中考试高二数学答题纸一．填空题：（本题共14小题，每题5分，共70分）1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12.13. 14.二．解答题：（本题共6题，共90分,请写出必要的解答或证明过程）15题：（本题14分）16题：（本题14分）17题.（本题14分）…18题：（本题16分）…19题：（本题16分）20题：（本题16分）高二理科数学参考答案一、填空题1. i -；2. 110；3. i +2；4. ①③；5. ③；6. 10.5亿元；7. 81； 8. 2222ACD ABC ABD BCD S S S S ∆∆∆∆++=；9. 一条边的平方等于其它两条边平方和的三角形是直角三角形； 10. )321()1()1(4321121222n n n n ++++-=⋅-++-+--- ；11.12. i 44-；13. 1--=n n a n ；14. 60二、解答题15. 解：（1）由⎩⎨⎧=-+=-0320)1(2m m m m 可得m=1； …………4分（2）由⎩⎨⎧≠-+=-0320)1(2m m m m 可得m=0； …………8分（3）由⎩⎨⎧=-+=-5322)1(2m m m m 可得m=2； …………12分综上：当m=1时，复数z 是0；当m=1时，复数z 是纯虚数；当m=2，复数z 是i 52+． …………14分 16. 解：（Ⅰ）xx x x x tan 1tan 14tantan 14tantan )4tan(-+=-+=+πππ； …………4分 （Ⅱ）)(x f 是以4为其一个周期的周期函数． …………6分∵)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)1)1(()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++=++=+， …………10分 ∴)()2(1)2)2(()4(x f x f x f x f =+-=++=+， …………12分所以)(x f 是周期函数，其中一个周期为4． …………14分 17. 解：（1）只有一个盒子空着，则有且只有一个盒子中投放两个球，另外3只盒子中各投放一个球，先将球分成2，1，1，1的四组，共有25C 种分法， …………4分再投放到五个盒子的其中四个盒子中，共有45A 种放法，所以满足条件的投放方法共有4525A C =1200（种）； …………8分（2）五个球投放到五个盒子中，每个盒子中只有一个球，共有55A 种投放方法，而球的编号与盒子编号全相同的情况只有一种，所以球的编号与盒子编号不全相同的投放方法共有155-A =119（种）． …………14分18. 证明：记)(n f ＝+++31211…n1+（*N n ∈，n ＞1）， …………2分（1）当n ＝2时，211)2(+=f ＞2，不等式成立； …………6分（2）假设n ＝k （*N k ∈，k ≥2）时，不等式成立， …………8分 即)(k f ＝+++31211…k1+＞k ，则当n ＝k +1时，有)1(+k f ＝)(k f +11+k ＞k +11+k ＝11)1(+++k k k＞11++k k ＝1+k …………12分∴当n ＝k +1时，不等式也成立. …………14分 综合（1），（2）知，原不等式对任意的*N n ∈（n ＞1）都成立. …………16分 19. 解：(Ⅰ)由∑=--ni i iy y x x1))((=10，∑=-n i i x x 12)(=20，21)(∑=-ni i y y =5.2，可得98.02.52010≈⨯=r ， …………4分∴年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数约为0.98． …………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，98.0=r ＞01.0959.0r =,∴可以认为年推销金额y 与工作年限x 之间具有较强的线性相关关系. …………8分设所求的线性回归方程为a bx y+=ˆ，则4.0,5.0==a b . …………10分 ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为4.05.0ˆ+=x y. …………12分 (Ⅲ) 由(Ⅱ) 可知，当11x =时, 4.05.0ˆ+=x y= 0.5×11+ 0.4 = 5.9万元， ∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元． …………16分 20. 解：（1）设yi x z +=（R y x ∈,）， …………2分 则集合=P {),(y x ︱05622=+-+y y x }＝{),(y x ︱4)3(22=-+y x }，故P 表示以（0，3）为圆心，2为半径的圆； …………6分第11页 共11页 设yi x +=ω（R y x ∈,），P i y x z ∈+=00（R y x ∈00,）且iz 2=ω，…………8分 则⎩⎨⎧=-=0022x y y x …………10分 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x y y x 212100代入4)3(22=-+y x 得16)6(22=++y x ，故Q 表示以（－6，0）为圆心，4为半径的圆； …………12分（2）21z z -表示分别在圆Q P ,上的两个动点间的距离，又圆心距53=PQ ＞2+4， 故21z z -最大值为6+35，最小值为35－6． …………16分。
高二下学期期中数学试卷(理科)第25套真题
高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题1. 复数=（）A .B .C .D .2. 函数f（x）=（x+1）2（x﹣1）在x=2处的导数等于（）A . 1B . 4C . 9D . 153. 所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，属于哪种推理（）A . 归纳推理B . 类比推理C . 合情推理D . 演绎推理4. 下面是关于复数z= 的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A . p2，p3B . p1，p2C . p2，p4D . p3，p45. 下列结论中正确的是（）A . 导数为零的点一定是极值点B . 如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极大值C . 如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极小值D . 如果在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x0）是极大值6. 用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A . a、b至少有一个不为0B . a、b至少有一个为0C . a、b全不为0D . a、b中只有一个为07. 等于（）A . 1B . e﹣1C . e+1D . e8. 当＜m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限9. 用数学归纳法证明“1+ + +…+ ＜n （n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A . 2k﹣1B . 2k﹣1C . 2kD . 2k+110. 设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的部分图象如图所示，则y=f （x）的图象最有可能是图中的（）A .B .C .D .11. 在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中的●的个数是（）A . 12B . 13C . 14D . 1512. 已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f’（x）在R上恒有f’（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＞x+1的解集为（）A . （1，+∞）B . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C . （﹣1，1）D . （﹣∞，1）二、填空题13. z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i，m∈R．z2=3﹣2i．则m=1是z1=z2的________条件.14. 曲线y= 在点（﹣1，﹣1）处的切线方程________．15. 观察下列式子：1 ，1 ，1…，由此可归纳出的一般结论是________．16. 已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．三、解答题17. 若an+1=2an+1（n=1，2，3，…）．且a1=1．（1）求a2，a3，a4，a5；（2）归纳猜想通项公式an ．18. 实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？19. 如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（Ⅰ）直线EF∥平面ACD；（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD．20. 计算由直线y=6﹣x，曲线y= 以及x轴所围图形的面积．21. 已知函数f（x）= x3+ax2﹣bx（a，b∈R），若y=f（x）图象上的点（1，﹣）处的切线斜率为﹣4，（1）求f（x）的表达式．（2）求y=f（x）在区间[﹣3，6]上的最值．22. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+ c＜c2恒成立，求c的取值范围．。
高二下学期期中考试数学(理)试卷
两边求导得 n(1 x)n 1
n
kC
k n
xk
1
k1
令 x 1得到 n 2n 1
n
kCnk
k1
又
C
1 n
C
2 n
C
n n
2n 1
2
C
1 n
3C
2 n
4C
3 n
(n
1)C
n n
n 2 n 1 2 n 1 ……………………… 10 分
( 如采用组合恒等式证明相应给分 )
（ 2）（反证法）假设
则
．
而
．
， ①
②
由①②，得 于是
，即 ，这与非零实数
， 成公差不为零的等差数列矛盾，
故假设不成立，原命题结论成立，即
成立．………………… 14 分
17. 解：（ 1） 60 ……………………… 3 分 (2)480 ……………………… 6 分 (3)180 ……………………… 10 分
数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，且 Tn
1
1 bn
2
(1) 求数列 an 、 bn 的通项公式；
1 (2) 设数列 an 的前 n 项和为 Sn , 试比较 bn 与 Sn 1 的大小，并用数学归纳法给予证明．
20. （本小题满分 16 分）
已知 fn( x) (1 x)n,( x 0且 x
－1＝
2 3n.
2 所以 an＝ 2n－ 1， bn＝ n.
3
1 (2) 因为 Sn＝
2n－1 2
× n＝n2，
所以
Sn＋1＝( n＋ 1)
2，
1 bn＝
3n .
新人教版高二(下)期中数学试卷(理科)含解析
新人教版高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项只有一项符合题目要求的）1．（5分）已知复数z =11+i ，则z ﹣i 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（ ） A ．7B ．64C ．12D ．813．（5分）用反证法证明“已知x ，y ∈R ，x 2+y 2＝0，求证：x ＝y ＝0．”时，应假设（ ） A ．x ≠y ≠0B ．x ＝y ≠0C ．x ≠0且y ≠0D ．x ≠0或 y ≠04．（5分）f （x ）＝e x lnx ，f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（1）的值为（ ） A ．1B ．eC ．2eD ．05．（5分）设函数f （x ）可导，则lim △x→0f(1)−f(1+△x)3△x 等于（ ）A ．﹣f '（1）B ．3f '（1）C ．−13f ′(1)D ．13f ′(1)6．（5分）曲线y ＝e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A ．e 2B ．2e 2C ．4e 2D ．e 227．（5分）已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f （x ）＝2xf ′（1）+lnx ，则f ′（2）＝（ ） A ．32B ．1C ．﹣1D ．−328．（5分）设函数f(x)=x 3−12x 2−2x +5，若对于任意x ∈[﹣1，2]都有f （x ）＜m 成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（7，+∞）B ．（8，+∞）C ．[7，+∞）D ．（9，+∞）9．（5分）中华文化博大精深．我国古代对年龄的表述可谓是名目繁多，比如“二八年华”指女子16岁．乾隆曾出上联“花甲重逢，外加三七岁月”，纪晓岚对下联“古稀双庆，更多一度春秋”，暗指一位老人的年龄．根据类比思想和文化常识，这位老人的年龄为（ ）A ．71岁B ．81岁C ．131岁D ．141岁10．（5分）函数f(x)=12x −sinx 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（5分）在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8的展开式中，含x 3的项的系数是（ ） A ．74B ．121C ．﹣74D ．﹣12112．（5分）对于定义域为R 的函数f （x ），若满足①f （0）＝0；②当x ∈R ，且x ≠0时，都有xf ′（x ）＞0；③当x 1＜0＜x 2，且|x 1|＝|x 2|时，都有f （x 1）＜f （x 2），则称f （x ）为“偏对称函数”．现给出四个函数：f 1（x ）＝﹣x 3+32x 2；f 2（x ）＝e x ﹣x ﹣1；f 3（x ）={ln(−x +1)，x ≤02x ，x ＞0，f 4（x ）={x(12x −1+12)，x ≠00，x =0，则其中是“偏对称函数”的函数个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）曲线y ＝（ax +1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a ＝ ． 14．（5分）函数f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ．15．（5分）（√2−x ）10＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10，则（a 0+a 2+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+…+a 9）2的值为 ．16．（5分）设f （x ）是定义在R 上的可导函数，且满足f （x ）+xf ′（x ）＞0．则不等式f （√x +1）＞√x −1f （√x 2−1）的解集为 ．三、解答题：（本题共6小题，共70分，各题解答过程应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（10分）已知复数z 满足|z |＝3+3i ﹣z ，求(1+3i)⋅(3+4i)z的值．18．（12分）有3名男生4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（用数字作答）．（1）全体排成一行，其中男生甲不在最左边； （2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起； （3）全体排成一行，3名男生两两不相邻． 19．（12分）已知a ＞0，用分析法证明：√a 2+1a 2−√2≥a +1a −2． 20．（12分）若函数f （x ）＝ax 3﹣bx +4，当x ＝2时，函数f （x ）有极值−43． （1）求函数的解析式； （2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程f （x ）＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1=an 1+a n．（1）计算a 2，a 3，a 4；（2）猜测a n 的表达式，并用数学归纳法证明．22．（12分）设函数f （x ）＝lnx ﹣ax （a ∈R ）（e ＝2.71828…是自然对数的底数）． （1）判断f （x ）的单调性；（2）当f （x ）＜0在（0，+∞）上恒成立时，求a 的取值范围．答案一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项只有一项符合题目要求的） 1．解：∵z =11+i =1−i (1+i)(1−i)=12−12i ， ∴z ﹣i =12−32i ．∴z ﹣i 在复平面内对应的点为（12，−32），在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：D ．2．解：∵选定一件上衣时，有不同颜色的裤子3条， ∴有3种不同的穿衣方案，∴共有3×4＝12种不同的搭配方法， 故选：C ．3．解：用反证法证明“已知x ，y ∈R ，x 2+y 2＝0，求证：x ＝y ＝0．”时，应先假设x ≠0或 y ≠0． 故选：D ．4．解：∵f （x ）＝e x lnx ， ∴f ′(x)=e x lnx +e xx ， ∴f ′（1）＝e ． 故选：B ． 5．解：由lim △x→0f(1)−f(1+△x)3△x =−13lim △x→0f(1+△x)−f(1)△x =−13f ′（1）， ∴lim△x→0f(1)−f(1+△x)3△x =−13f ′（1）， 故选：C ．6．解：依题意得y ′＝e x ，因此曲线y ＝e x 在点A （2，e 2）处的切线的斜率等于e 2， 相应的切线方程是y ﹣e 2＝e 2（x ﹣2）， 当x ＝0时，y ＝﹣e 2，即y ＝0时，x ＝1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S =12×e 2×1=e 22． 故选：D ．7．解：∵函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f （x ）＝2xf ′（1）+lnx ，（x ＞0） ∴f ′（x ）＝2f ′（1）+1x，把x ＝1代入f ′（x ）可得f ′（1）＝2f ′（1）+1， 解得f ′（1）＝﹣1，∴f ′（2）＝2f ′（1）+12=−2+12=−32． 故选：D ．8．解：∵f （x ）＜m 恒成立，即f （x ）的最大值＜m 恒成立， ∴f ′（x ）＝3x 2﹣x ﹣2，当x ∈[﹣1，−23]时，f （x ）为增函数， 当x ∈[−23，1]时，f （x ）为减函数， 当x ∈[1，2]时，f （x ）为增函数， ∴f （x ）的极大值为f （−23）＝52227，又f （2）＝7，且f （2）＞f （−23）， 所以f （x ）的最大值为7． 所以m 的取值范围为（7，+∞）． 故选：A ．9．解：由花甲指60岁，外加三七岁月指60+21＝81岁， “古稀双庆，更多一度春秋”，“古稀”指70岁， 即这位老人的年龄为70×2+1＝141岁， 故选：D ．10．解：∵函数f(x)=12x −sinx ，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），为奇函数，图象关于原点对称，∴排除A ．f '（x ）=12−cosx ，由f '（x ）=12−cosx =0，得cos x =12，∴函数的极值点由无穷多个，排除B ，D ， 故选：C ．11．解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8的展开式中，含x 3的项的系数C 53(−1)3+C 63(−1)3+C 73(−1)3+C 83(−1)3＝﹣10+（﹣20）+（﹣35）+（﹣56） ＝﹣121 故选：D ．12．解：经验证，f 1（x ），f 2（x ），f 3（x ），f 4（x ）都满足条件①；xf ′（x ）＞0⇔{x ＞0f ′(x)＞0，或{x ＜0f ′(x)＜0，即条件②等价于函数f （x ）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．f 1′（x ）＝﹣3x 2+3x ，xf 1′（x ）＝﹣3x 3+3x 2＝﹣3x 2（x ﹣1），当x ＞1时，xf 1′（x ）＜0，故f 1（x ）不满足条件②，不是“偏对称函数”；f 2′（x ）＝e x ﹣1，xf 2′（x ）＝x （e x ﹣1），满足条件②．由f 2（x ）的单调性知当x 1≠x 2，设x 1＜0＜x 2．﹣x 2＜0，f 2（x 1）﹣f 2（x 2）＝f 2（﹣x 2）﹣f 2（x 2）＝﹣e x 2+e ﹣x 2+2x 2．令F （x ）＝﹣e x +e ﹣x +2x ，x ＞0，F ′（x ）＝﹣e x ﹣e ﹣x +2≤﹣2√e x ⋅e −x +2＝0， 当且仅当e x ＝e ﹣x 即x ＝0时，“＝”成立，所以F （x ）在[0，+∞）上是减函数，所以F （x 2）＜F （0）＝0，所以f 2（x ）是“偏对称函数”． 由函数f 3（x ）={ln(−x +1)，x ≤02x ，x ＞0，满足条件①②，当x 1＜0＜x 2，且|x 1|＝|x 2|时， 设F （x ）＝ln （x +1）﹣2x ，x ＞0．则F ′（x ）=1x+1−2＜0，F （x ）在（0，+∞）上是减函数， 可得F （x ）＜F （0）＝0，故f 3（x ）也满足条件③，所以f 3（x ）是“偏对称函数”； 而容易验证f 4（x ）是偶函数，可知f 4（x ）在区间（﹣∞，0）递减和（0，+∞）递增， 故f 4（x ）满足条件①②，但|x 1|＝|x 2|时，都有f 4（x 1）＝f 4（x 2），不满足条件③，则f 4（x ）不是“偏对称函数”． 故选：C ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．解：曲线y ＝（ax +1）e x ，可得y ′＝ae x +（ax +1）e x ， 曲线y ＝（ax +1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2， 可得：a +1＝﹣2，解得a ＝﹣3． 故答案为：﹣3．14．解：由题意，﹣1≤x ＜0时，图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12，0≤x ≤1时，f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫ 10e x dx =e x |01=e ﹣1，∴函数f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为12+e ﹣1＝e −12，故答案为：e −12．15．解：∵（a 0+a 2+a 4+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）2＝（a 0+a 2+a 4+…+a 10+a 1+a 3+a 5+…+a 9）[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]，∴令x ＝1，则a 0+a 1+a 2+…+a 10＝[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）+（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]＝（√2−1）10，令x ＝﹣1，则a 0﹣a 1+a 2﹣…+a 10＝[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]＝（√2+1）10，∴两式相乘得：[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）2]＝（√2+1）10•（√2−1）10＝[（√2）2﹣1]10＝110＝1．∴（a 0+a 2+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+…+a 9）2＝1． 故答案为：1．16．解：∵f （x ）+xf ′（x ）＞0，∴（ x •f （x ））′＞0，故函数y ＝x •f （x ）在R 上是增函数． ∴由不等式f （√x +1）＞√x −1f （√x 2−1），可得 √x +1•f （√x +1）＞√x +1•√x −1•f （√x 2−1 ），即 √x +1•f （√x +1）＞√x 2−1•f （√x 2−1 ），∴√x +1＞√x 2−1，即{x +1≥0x ≥1，或x ≤−1x +1＞x 2−1，解得 1≤x ＜2，故答案为：{x |1≤x ＜2}．三、解答题：（本题共6小题，共70分，各题解答过程应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．解：设z ＝x +yi ， ∵|z |＝3+3i ﹣z ，∴√x 2+y 2=3−x +(3−y)i ， ∴{√x 2+y 2=3−x3−y =0⇒{x =0y =3∴z =3i ，∴(1+3i)⋅(3+4i)z=(1+3i)⋅(3+4i)3i=133+3i ．18．解：（1）根据题意，先排最左边，除甲外有A 61种排法，剩下的6人全排列A 66，则符合条件的排法一共有A 61⋅A 66=4320种；（2）根据题意，将4名女生看成一个整体，有A 44种顺序， 再把4名女生作为一个整体和其他人全排列，有A 44种顺序，则有A 44⋅A 44=576种排法；（3）根据题意，先排好女生，有A 44种顺序，排好后，有5个空位，将3名男生安排在3个空位中，有A 53种排法，则有A 44⋅A 53=1440种排法．19．证明：要证√a 2+1a 2−√2≥a +1a −2． 只要证√a 2+1a2+2≥a +1a +√2 ∵a ＞0，∴两边均大于零，因此只需证（√a 2+12+2）2≥（a +1a +√2）2， 只需证√a 2+1a 2≥√22（a +1a ）， 只需证a 2+1a 2≥12（a 2+1a2+2） 即证a 2+12≥2，它显然成立． ∴原不等式成立．20．解：（1）f ′（x ）＝3ax 2﹣b由题意知{f ′(2)=12a −b =0f(2)=8a −2b +4=−43，解得{a =13b =4，∴所求的解析式为f （x ）=13x 3﹣4x +4；（2）由（1）可得f ′（x ）＝x 2﹣4＝（x ﹣2）（x +2） 令f ′（x ）＝0，得x ＝2或x ＝﹣2， ∴因此，当x ＝﹣2时，f （x ）有极大值283，当x ＝2时，f （x ）有极小值−43；（3）由（2）知，得到当x ＜﹣2或x ＞2时，f （x ）为增函数；当﹣2＜x ＜2时，f （x ）为减函数，∴函数f （x ）=13x 3﹣4x +4的图象大致如图． 由图可知：−43＜k ＜283．21．（1）解：由a n+1=a n1+a n 及a1＝1，得a2=a11+a1=12，进而a3=a21+a2=13，a4=a31+a3=14．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证明：猜想a n=1n，再用数学归纳法证明之．当n＝1时，a1=11=1，而已知a1＝1，所以n＝1时，猜想正确．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）假设当n＝k时，猜想正确，即a k=1k，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）则n＝k+1时，a k+1=a k1+a k =1k1+1k=1k+1．所以当n＝k+1时，猜想也成立．综上所述可知，对一切n∈N，猜想a n=1n都正确．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）22．解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′(x)=1x−a=1−axx，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，令f'（x）＝0，得到x=1a，当x∈(0，1a)时，f'（x）＞0，f（x）在(0，1a)上单调递增，当x∈(1a，+∞)时，f'（x）＜0，f（x）在(1a，+∞)上单调递减，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在(0，1a)上单调递增，在(1a，+∞)上单调递减．（2）由f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即lnx﹣ax＜0在（0，+∞）上恒成立，常规法分离参数得到a＞lnx x在（0，+∞）上恒成立，令g(x)=lnx x，则g′(x)=1−lnxx2，当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）在（0，e）上单调递增，当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）在（e，+∞）上单调递减，故x＝e时，g(x)max=g(e)=1e，故a＞1e。
高二下学期期中考试理科数学试卷含答案(共5套)
高二下学期理科数学期中考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}(){}2|560,|ln 1A x x x B x y x =--≤==-，则AB 等于（ ）A ．[]1,6-B ．(]1,6C ．[)1,-+∞D ．[]2,3 2．复数201811z i i=++在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（0a >且1a ≠）. 则下列命题为真命题的是( )A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨ 4．已知平面向量,a b 满足3a =， 23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π5．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：240ax y +-=与直线2l ：()120x a y +++=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，则y x z -=2的最大值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1D ．27．执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时，输出的s 为17，那么在判断框 中，应填入（ ） A ．?n k < B ．?n k > C ．?n k ≥ D ．?n k ≤8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．121B ．49C ．92D ．39．某城市关系要好的A ， B ， C ， D 四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）A. 48种B. 36种C. 24种D. 18种 10．已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ）A ． π16B ．π8 C. π4 D ．425π11．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点， 12,F F 分别为C 的左、右焦点， 212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则C 的离心率为（ ）A ．2或3B ．2或3C ．2D ．212．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则()1f =（ ）A. 12-B. 0C. 12D. 1第II 卷(非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2-=⎰**** .14．5(2)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 **** ．（用数字表示） 15．若sin 2cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α= **** ． 16．对任一实数序列),,,(321 a a a A =，定义新序列),,,(342312 a a a a a a A ---=∆，它的第n 项为n n a a -+1，假设序列)(A ∆∆的所有项都是1，且02212==a a ，则=2a **** ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()cos 2cos b C a c B =-. （1）求角B 的大小；（2）若b =，求ABC ∆面积的最大值．18．(本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按实现拟定的价格进行试销，得到一组检测数据),(i i y x （6,,2,1 =i ）如下表所示：已知变量,x y 具有线性负相关关系，且3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为：甲：544+=x y ；乙：1064+-=x y ；丙：1052.4+-=x y ，其中有且仅有一位同学的计算是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出,a b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个，求至少有一个检测数据为“理想数据”的概率．19．(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =， 121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =， 1n n n b b a n +=+-. （1）证明：{}n a n -是等比数列； （2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T ．20．(本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ． （1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==， PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点)22,1(P ，且离心率为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）设21,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点B A ,，如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围．22．（本小题满分12分）设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.（1）若0>a ，且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若320<<a ，判断函数)(x f 的零点个数并证明．高二下学期理科数学期中考试参考答案及评分标准13、2π； 14、10 ； 15、8； 16、100. 11、【解析】由于12PF F ∆为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于22b PF a =，所以212b PF a a =+，故外接圆半径为21122b PF a a=+.设内切圆半径为r ，根据三角形的面积公式，有2221122222b b b c c a r a a a ⎛⎫⋅⋅=+++⋅ ⎪⎝⎭，解得2b r ac =+，故两圆半径比为22:2.52b b a a a c ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，化简得()()()1230e e e +--=，解得2e =或3e =.12、【解析】曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，所以()'11f =- ，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，可得1x >时， ()()2'0,f x xf x +>01x <<时， ()()2'0f x xf x +<，令()()()2,0,,g x x f x x =∈+∞ ()()()()()2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤∴=+=+⎣⎦，可得1x >时，()'0,g x >01x <<时，()'0g x <，可得函数()g x 在1x =处取得极值， ()()()'121'10,g f f ∴=+=， ()()111'122f f ∴=-⨯=，故选C.17、【解析】 (1)由()cos 2cos b C a c B =-，得()sin cos 2sin sin cos B C A C B ⋅=-⋅sin()2sin cos sin B C A B A ∴+=⋅=，又sin 0A ≠, 1cos 2B ∴=， 又0B π<<, 3B π∴=. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2212a c ac =+-，∵222a c ac +≥，∴12ac ≤，当且仅当a c ==∴11sin 12222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=即ABC ∆面积的最大值为.……………………10分18、解：（1）∵变量y x ,具有线性负相关关系， ∴甲是错误的. 又∵3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，∴80,5.6==y x ，满足方程1064+-=x y ，故乙是正确的.由3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，得8=a ，90=b . ……………………6分（2）由计算得不是“理想数据”有3个，即(5,84),(7,80),(9,68)，从6个检测数据中随机抽取2个，共有2615C =种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有233C =中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为：341155P =-=.……………………12分19、【解析】（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列. …………………4分 （2）由（1）得()11122n n n a n a --=-⋅=，又1n n n b b a n +=+-12n n n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥12b =满足上式. 2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分20、【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥． ………………4分 （2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以，所以13,22AO PA PO PA ==， 因为3PA AB =，所以36BO PA =． 如图，分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立所示空间直角坐标系， 设6PA =，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,3,0,3,0,0O A B C -，()0,3,0,D -()3330,0,33,,0,22P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以()9330,23,0,,0,,22DB AH ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()3,3,0,3,0,33AB AP =-=-．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111230933022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令11x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223303330n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令23x =，则223,1y z ==，所以()23,3,1n =，记二面角P AM N --的大小为θ，θ为锐角 则1212122339cos cos ,13213n n n n n n θ⋅====⋅⋅ 所以二面角P AM N --的余弦值为3913．……………………12分21、解析：（1）由题意，知22111,22a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩考虑到222a b c =+，解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………3分 （2）设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2212x y +=， 整理得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=.由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->，得2221k m >-. ①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412kmx x k+=-+，21222(1)12m x x k -=+. 因为(1,0)F -，所以1111AF y k x =+，1221AF y k x =+. 因为1212211y yk x x =+++，且11y kx m =+，22y kx m =+， 所以12()(2)0m k x x -++=.因为直线AB ：y kx m =+不过焦点(1,0)F -，所以0m k -≠， 所以1220x x ++=，从而242014km k -+=+，即12m k k=+. ② 由①②得2212()12k k k>+-，化简得||2k > ③ 焦点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离211|2|2k d ++===.令t =||2k >t ∈.于是23132()2t d t t t+==+.考虑到函数13()()2f t t t=+在上单调递减，则(1)f d f <<2d <<.所以d的取值范围为2). ……………………12分22、解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+，0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1.…………………4分 (2)∵320<<a ，ax e x f x+-=1)('， 记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x， 知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，1'(1)01f e a=->+， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ， 即01)('000=+-=ax ex f x ， 于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减； 当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增.∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=，当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. …………12分高二（下）理科数学期中考试试卷一、单选题（共12题；共60分）1．()()121-1x +=⎰A. 212+π B. 214+πC. 12+πD. 21+π2．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（）A.12 B. 23 C. 35D. 34 3．设复数z 满足()11z i i +=-，则z =（） A. 2i -- B. 1i -- C. 2i -+ D. 1i -+4．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[42ππ，），则点P横坐标的取值范围为()A. 12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B. []10-，C. []01， D. 12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 5．已知函数，在区间（0，1）内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是A. （15，B. [15，C. （，6） D. （，66．若,则下列不等式恒成立的是 ( )A.B.C. D.7．函数f(x)＝x 3＋ax 2+bx ＋a 2在x=1处的极值为10，则数对（a,b ）为( )A. （-3,3）B. （-11,4）C. （4，-11）D.（-3,3）或（4，-11） 8.已知对于任意恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A. 0B. 1C.D.9.函数f（x）= 的大致图象是（）A. B.C. D.10.已知函数，其导函数的图象如图，则函数的极小值为（）A. cB. a+b+cC. 8a+4b+cD. 3a+2b11.设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.12.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共4题；共20分）13.若，则= ________14.球的直径为，当其内接正四棱柱的体积最大时的高为________.15.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是________.16.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为________.三、解答题（共6题；共70分）17.已知．(满分10分) （1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间．18.已知函数，．（满分10分）（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.19.已知三棱锥A BCD -如图所示，其中90BAD BDC ∠=∠=︒，ADB DBC ∠=∠，面ABD 垂直面CBD.（满分14分）（1）证明：AB DC ⊥；（2）若E 为线段BC 的中点，且1AD =，tan 6CAD ∠=，求二面角B AD E --的余弦值.20.已知椭圆C1的方程为+ =1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．（满分12分）（1）求双曲线C2的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2 ，求直线l的方程．21.已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．（满分12分）22.已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a为实数）．（满分12分）（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[ ，e]上的最大值和最小值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），g（x）=f（x）﹣2ax＜0恒成立，求实数a的取值范围．19、（满分14分）20. （满分12分）21、（满分12分）答案解析部分1,B 2,B 3,A 4,D 5,B 6,C 7,C8.【答案】C【解析】【解答】依题意得令，则,当时，，当时，，所以函数先增后减，最小值为，所以.故答案为:C.9.【答案】C【解析】【解答】解：∵f（x）= ，当x=0时，f（0）=﹣3，故排除AB当x= 时，f（）=0，故排除D，故选：C10.【答案】C【解析】【解答】由导函数的图象可知，在处取得极小值，.f(2)=8a+4b+c故答案为：C。
吉林省高二下学期期中数学试卷(理科)(I)卷
吉林省高二下学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二下·宜春期中) 已知Cn+17﹣Cn7=Cn8 ，那么n的值是（）A . 12B . 13C . 14D . 152. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 对相关系数，下列说法正确的是（）A . 越大，线性相关程度越大B . 越小，线性相关程度越大C . 越大，线性相关程度越小，越接近0，线性相关程度越大D . 且越接近1，线性相关程度越大，越接近0，线性相关程度越小3. （2分） (2017高二下·咸阳期末) 已知随机变量ξ服从正态分布N（2017，σ2），则P（ξ＜2017）等于（）A .B .C .D .4. （2分）有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线∥平面，则∥ ”的结论显然是错误的，这是因为（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 非以上错误5. （2分）设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝，k＝0，1，2，…，n，且E（ξ）＝24，则D（ξ）的值为（）A . 8B . 12C .D . 166. （2分） (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（）A . 1.23B . 1.24C . 1.33D . 1.347. （2分）(2017·衡阳模拟) 将一条均匀木棍随机折成两段，则其中一段大于另一段三倍的概率为（）A .B .D .9. （2分）设三位数n=（即n=100a+10b+c，其中a，b，c∈N*），若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（）A . 45个B . 81个C . 165个D . 216个10. （2分）(2017·嘉兴模拟) 随机变量X的分布列如下表，且E（X）=2，则D（2X﹣3）=（）X02aP pA . 2B . 3C . 4D . 511. （2分）若某公司从四位大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，这四人被录用的机会均等，则甲被录用的概率为（）A .B .C .12. （2分） (2016高二下·福建期末) 设a∈Z，且0≤a＜13，若512016+a能被13整除，则a=（）A . 0B . 1C . 11D . 12二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·咸阳期末) 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么P（B|A）等于________．14. （1分）甲乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一辆车等待．已知甲、乙两车装货物需要的时间都为20分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场（在此期间货场没有其他车辆），则至少有一辆车需要等待装货物的概率是________．15. （1分）(2018·呼和浩特模拟) 展开式中，项的系数为________．16. （1分）勾股定理：在直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形中，有a2+b2=c2 ．类比勾股定理可得，在长、宽、高分别为p、q、r，体对角线长为d 的长方体中，有________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）综合题。
北师大版高二下期中考试数学试卷及答案(理科)
高二下学期期中考试数学（理）一、 选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212x y +=上的一点P 到焦点1F 的距离等于1，则点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）A ．1B ．3C 1D ．12. 若方程22125x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞- B ．(2,5)- C ．[)(,2)5,-∞-+∞ D ．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．54 4. 设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ） A.2211216x y += B.2211612x y += C.2214864x y += D.2216448x y += 5. x y =与2x y =围成的封闭图形的面积为（ ） A. 31 B. 41 C. 61 D. 21 6．函数32()32f x ax x =++，若4)1(=-'f ，则a 的值等于（ ）A ．193B ．163C ．133D ．1037. 曲线123+-=x x y 在点（1,0）处的切线方程为（ ） A.1-=x y B.1+-=x y C. 22-=x y D. 22+-=x y8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 6D.8 9. dx x ⎰421等于（ ）A.2ln 2-B. 2ln 2C. 2ln -D. 2ln 10. 设)(x f '是函数f (x )的导函数，=y )(x f '的图象如左下图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是（ )（=y)(xf'的图象） A B C D 11. 方程0333=--xx的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A．9 B. 6 C. 4 D. 3二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线xxy43-=在点(1,3)-处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=xxxy的单调递增区间是_________________________ 15．设点P是双曲线x2－23y=1上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使|PA|+21|PF|有最小值时，则点P的坐标是．16. 已知)2,4(P是直线l被椭圆193622=+yx所截得的线段的中点，则直线l的方程为______________________ .三、解答题（共70分）17. 已知函数23)(bxaxxf+=，当1x=时，有极大值3；（1）求,a b的值；（2）求函数)(xf的极小值18. 若双曲线与椭圆1162522=+yx有相同的焦点，与双曲线1222=-yx有相同渐近线，求双曲线方程.19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆，过它的左焦点1F作倾斜角为4π的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．20. 已知a为实数，()()2()4f x x x a=--。
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高二下学期期中数学试卷（理科）
一、选择题
1. 设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，M∩N=（）
A . {0}
B . {0，1}
C . {﹣1，1}
D . {﹣1，0}
2. 已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）
A . 1﹣I
B . ﹣1+I
C . 1+I
D . ﹣1﹣i
3. 给出下列四个结论，其中正确的是（）
A . 若，则a＜b
B . “a=3“是“直线l1：a2x+3y﹣1=0与直线l2：x﹣3y+2=0垂直”的充要条件
C . 在区间[0，1]上随机取一个数x，sin 的值介于0到之间的概率是
D . 对于命题P：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则¬P：∀x∈R均有x2+x+1＞0
4. 在△ABC中，若•（﹣2 ）=0，则△ABC 的形状为（）
A . 直角三角形
B . 等腰三角形
C . 等边三角形
D . 等腰直角三角形
5. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内填入的条件
可以是（）
A . k≥7
B . k＞7
C . k≤8
D . k＜8
6. 设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+ 的最小值为（）
A . 4
B .
C . 1
D . 2
7. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（2x+ ）的图象，则只需将f（x）的图象（）
A . 向右平移个单位长度
B . 向右平移个单位长度
C . 向左平移个单位长度
D . 向左平移个单位长度
8. 现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）
A . 135
B . 172
C . 189
D . 216
9. 已知θ为锐角，且sin（θ﹣）= ，则tan2θ=（）
A .
B .
C . ﹣
D .
10. 一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）
A .
B .
C .
D .
11. 设函数f（x）=ex+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）
A . 0＜g（a）＜f（b）
B . f（b）＜g（a）＜0
C . f（b）＜0＜g（a）
D . g（a）＜0＜f（b）
12. 若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）
A . 1
B . 3
C . 5
D . 7
二、填空题
13. 二项式的展开式中的常数项为________．
14. 圆心坐标为（1，2），且与直线2x+y+1=0相切的圆的方程为________．
15. 若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是________．
16. 已知从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m＜n，n，m∈N），共有Cn+1m种取法．在这Cn+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出一个黑球和（m﹣1）个白球，共有C10Cnm+C11Cnm﹣1种取法，即有等式Cnm+Cnm﹣1=Cn+1m成立．试根据上述思想，化简下列式子：Cnm+Ck1Cnm﹣1+Ck2Cnm﹣2+…+CkkCnm﹣k=________．（1≤k＜m≤n，k，m，n∈N）
三、解答题
17. 数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2，数列{bn}是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足cn= ，前n项和为Pn，对于∀n∈N*不等式Pn＜t恒成立，求实数t的取值范围．
18. 在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．
（1）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；
（2）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．
19. 已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O﹣PM﹣D的正切值为2 ，求a：b的值．
20. 设椭圆E：（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2 ．（1）求椭圆E的方程；
（2）设过右焦点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆E于P，Q两点，在线段OF2（O为坐标原点）上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
21. 已知函数f（x）=alnx+（x﹣c）|x﹣c|，a＜0，c＞0．
（1）当a=﹣，c= 时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当c= +1时，若f（x）≥ 对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设函数f（x）的图象在点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））两处的切线分别为l1、l2 ．若x1= ，x2=c，且l1⊥l2，求实数c的最小值．
22. 已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m
（1）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；
（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围。