第二章 概率统计基础

三、 抽样分布
统计量的分布称为抽样分布。数理统 计中常用到如下三个分布： 2—分布、
t —分布
F—分布。
（一） 2—分布
1. 构造 设 X 1 ,, X n ~ N (0,1), 则 X ~ (n).
2 i 1 2 i 2 iid n
称为自由度为 的 2 分布. n
2.2—分布的密度函数曲线
ξ P
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6

连续型随机变量要用分布函数和概率密度函数
（三）分布函数

连续型随机变量可能的取值无穷多，每个取值 （每个事件）的概率无穷小，无法用罗列概率方 法表达研究。 只能用反映随机变量的取值在某个特定范围内的 概率“分布函数”来描述。 分布函数——随机变量取值不大于给定水平的概 率构成的函数：




事件在一次观察（试验）中是否发 生是不确定的，但在大量重复观察 （试验）中，它的发生具有统计规 律性。 当试验的次数很大时，事件A发生的 频率具有一定的稳定性，当事件A发 生的频率稳定地在某一常数p附近摆 动，则称常数p为事件A的概率。
概率的频率定义
概率定义：
P( A) lim FN ( A)


例如： (1)射击击中目标记为1分，未中目标记0分。用ξ表示 射击的得分，它是随机变量，可取0和1两个值。 (2)抛一枚硬币， ξ表示正面出现的次数，它是随机变 量，可取0和1两个值。 (3)某段时间内候车室旅客数目记为ξ ，它可取0及一切 不大于最大容量M的自然数。 (4)一块土地上农作物的产量ξ是随机变量，它可以取区 间[0，T]的一切值。
其中
90 100 p P{ X 90} ( ) (0.67 ) 0.2514 15
P{Y 0} (1 p)3 0.4195
故
判断正态分布


根据密度函数的形态进行判断：用频数直方 图的上方边缘作为密度函数的近似，判断随 机变量是否服从正态分布。 根据偏度、峰度特征检验：利用观测样本计 算三阶矩和四阶矩的近似值（与后面讲的抽 样分布有关），偏度和峰度近似值，如果接 近0和3，则认为随机变量服从正态分布，也 称“通过了正态性检验”。
(2) 若X～N(, 2)，则
F ( x ) P{ X x} (
x

).
例：一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分 布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件 损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无 一元件损坏的概率.
解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数, 则Y~B(3,p)
人数
40
1
60
6
70
9
80
15
90
7
100
2
则学生的平均成绩是总分÷总人数。即
1 40 6 60 9 70 15 80 7 90 2 100 76.5(分) 40
1 40 6 60 9 70 15 80 7 90 2 100 76.5(分) 40
t(n)称为自由度为n的t—分布。
t(n) 的概率密度为
2.基本性质:
(1) f(t)关于t=0(纵轴)对称。 (2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即
limf ( t ) ( t ) 1 e n 2
n
条件概率和统计独立性

条件概率 已知事件B发生的条件下，事件A发生的 概率，称为A以B为条件的“条件概率” 。
P( AB) P( A B) P( B)

事件独立性 若果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的
影响
P( A B) P( A)
则称它们是“统计独立的”。
随机变量和概率分布
X ~ f ( x)
, x .
其中 为实数， >0 ，则称X服从参数为 ,2的正态
分布,记为N(, 2)，可表为X～N(, 2).
正态分布有两个特性：
(1) 单峰对称
密度曲线关于直线x=对称；
f()＝maxf(x)＝
1 . 2

(2) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻，。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布
密度函数的几何意义为
P(a X b)＝ f ( u)du
a
b
三、随机变量的数字特征 （一）期望 （二）方差 （三）期望和方差的性质
（四）协方差和相关系数
（一）数学期望的定义
数学期望——描述随机变量取值的平均特征（集中趋势）
例1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分 人数如下表所示：
分数
1 7 E( X ) k 6 2 i 1
定义 3 若X~f(x), -<x<, 则称
E( X ) xf ( x )dx.

6
| x | f ( x)dx

为X的数学期望。
（二） 方差
方差是衡量随机变量取值波动 程度 的一个数字特征。
如何定义？
1. 定义 若E(X),E(X2)存在，则称 E[X-E(X)]2 为r.v. X的方差，记为D(X),或Var(X).
1 6 9 15 7 2 40 60 70 80 90 100 76.5(分) 40 40 40 40 40 40
E ( X ) xk pk
k 1
n
为X的数学期望，简称期望或均值。
例：掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求 X的数学期望。
第三节 参数估计和假设检验

随机变量取值往往无穷多，不可能通过全面调 查了解总体分布，只能根据从总体抽取的部分 样本推断总体情况。这称为“统计推断”，包 括参数估计和假设检验等。 计量经济分析的观测数据相当于随机变量总体 抽取的样本，计量经济的回归分析就是根据样 本推断总体情况，因此计量经济分析与统计推 断有非常密切的联系。
3.总体、样本、样本观察值的关系 总体
理论分布
样本
样本观察值
统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断 总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁 。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样 本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值 去推断总体
二、统计量
定义：称样本X1， … ，Xn 的函数
第二章
概率统计基础
提要


介绍计量经济分析的概率统计基础知识 包括随机性和概率、随机变量和概率分布、 参数估计和假设检验 在相同的概率统计知识平台上学习计量 对于学习和理解计量经济分析方法有启发 有较好概率统计基础的读者阅也会有所收 获。
随机现象 事件 事件概率

随机现象： 事前不可预言的现象，即在相同条件下重复 对一个现象进行观察，每次观察的结果具有多种 可能性，而且在每次观察之前都无法预言会出现 哪一个结果，这种现象称为随机现象。 事件：对现象观察（试验）的结果。 对某种自然现象作一次观察称为一个试验。

4.标准正态分布 参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分 布，记作X~N(0, 1)。
其密度函数表示为
( x)
1 2
x2 e 2
, x .
分布函数表示为
( x) P{ X x}
1 2

x

e
t2 2
dt, x
一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表 供读者查阅(x)的值。如，若 Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915, P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32) =0.9925-0.9066 注：(1) (x)＝1－ (－x)；


F ( x) P( x)
x
分布函数反应的是随机变量取值落在 （-∞，x）这个区间的概率大小。 已知随机变量的分布函数就知道了随机变 量在任何区间上取值的概率， 分布函数完整地描述了随机变量的情况， 掌握分布函数就等于掌握了随机变量的 随机性规律。
（四）密度函数 连续型随机变量概率分布另一个概念， “密度函数”（Density function）或 称“概率密度函数”。 密度函数 f (x ) 密度与分布函数关系
当COV(X,Y)=0时，称X与Y不相关。
“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？
2. 定义 若X，Y的方差和协方差均存在, 且 DX>0,DY>0，则
XY cov(X , Y ) DX DY
称为X与Y的相关系数. 3.相关系数的性质 (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常数a, b 使P{Y= aX+b}=1； (3) X与Y不相关 XY=0;

一、总体与样本
1. 总体：研究对象的全体。 通常指研究对象的某项数量指标。 组成总体的元素称为个体。 从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或 随机变量的分布。
2. 样本：来自总体的部分个体X1， 如果满足：
…
，Xn
（1）同分布性： Xi，i=1,…,n与总体同分布. （2）独立性： X1，… ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 的简单随机样本，简称样本。 而称X1，… ，Xn 的一次取值为样本观察值，记 为x1，… ，xn
四、常见分布
（一）正态分布 2分布 （二） （三）t分布 （四）F分布
（一）正态分布
正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上
研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。 B
A
A，B间真实距离为，测量值为X。 X的概率密度应该是什么形态？
若随机变量

1 e 2 ( x )2 2 2