概率统计第二章
概率论与数理统计第二章笔记
概率论与数理统计第二章笔记一、引言概率论与数理统计是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和统计规律性。
在第二章中，我们将深入探讨随机变量及其分布，以及随机变量的数字特征。
二、随机变量及其分布1. 随机变量的定义及分类在概率论与数理统计中，随机变量是描述随机现象数值特征的变量。
根据随机变量可取的值的性质，可以分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量只取有限个或无限可数个值，而连续随机变量则可以取在一定范围内的任意一个值。
2. 随机变量的分布及特征随机变量的分布是描述其取值的概率规律。
对于离散随机变量，常见的分布包括二项分布、泊松分布等；对于连续随机变量，则有均匀分布、正态分布等。
通过对随机变量的分布进行分析，可以推导出其数字特征，如均值、方差等。
三、随机变量数字特征1. 随机变量数字特征的意义随机变量的数字特征是对其分布的定量描述，包括均值、方差、标准差等。
这些数字特征可以帮助我们更直观地理解随机变量的分布规律，从而作出合理的推断和决策。
2. 随机变量数字特征的计算对于离散随机变量，其均值、方差的计算可通过对其分布进行加权平均；对于连续随机变量，则需要进行积分计算。
这些计算方法在实际问题中起着重要作用，例如在风险评估、市场预测等方面的应用。
四、总结和回顾概率论与数理统计第二章主要介绍了随机变量及其分布，以及随机变量的数字特征。
通过对离散和连续随机变量的分类和分布进行深入讨论，我们对随机现象的规律性有了更清晰的认识。
通过数字特征的计算，我们可以更准确地描述和解释随机现象的规律，为实际问题的分析和决策提供了有力工具。
个人观点和理解在学习概率论与数理统计第二章的过程中，我深刻认识到随机变量和其分布对于随机现象的定量分析至关重要。
通过对数字特征的计算，我们可以更准确地描述和解释随机现象的规律，这对于我在日常生活和工作中的决策和分析将有着实质性的帮助。
结论概率论与数理统计第二章所介绍的内容为我们提供了深入了解随机现象规律性的基础，并且为日后的学习和实践奠定了坚实的基础。
《概率论与数理统计》第二章考点手册
《概率论与数理统计》第二章随机变量及其概率分布考点10 随机变量的概念（★三级考点，选择、填空）设Ω={ω}是试验的样本空间，如果对每个ω∈Ω,总有一个实数X(ω)与之对应，则称Ω上的实值函数X(ω)为E的一个随机变量。
随机变量常用X、Y、Z等表示。
考点11 离散型分布变量及其分布律（★★二级考点，选择、填空、计算）1.若随机变量X取值x1,x2,…,x n,…且取这些值的概率依次为p1,p2,…,p n,…,则称X为离散型随机变量，而称P{X=x k}=p k,（k=1,2,…)为X的分布律或概率分布。
可表为X～P{X=x k}=p k,(k=1,2,…)，2.分布律的矩阵（表格）表示方法：3.分布律的性质1)p k ≥0,k＝1,2,…;2)∑≥11kkp＝考点12 0-1分布与二项分布（★★★一级考点，选择、填空）1.0-1分布设E是一个只有两种可能结果的随机试验,用Ω={ω1,ω2}表示其样本空间。
P({ω1})=p,P({ω2})=1-p记则称X服从参数p的（0－1）分布（或两点分布）,记成X～B(1,p)。
2.二项分布设试验E只有两个结果AA或，记p=P（A），将试验E独立重复进行n次，则称这n次试验为n重伯努利试验。
若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。
记作X～B（n,p)其分布律为：),...,1,0(,)1(}{nkppkXP k nkknC=-==-考点13 泊松分布（★★★一级考点，选择、填空）1.泊松分布：设随机变量X所有可能取的值为:0,1,2,…,概率分布为：其中λ>0为常数，则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P （λ）。
2.二项分布与泊松分布的关系（泊松定理）对二项分布B (n ,p ),当n 充分大,p 又很小时,对任意固定的非负整数k ，有近似公式 .,!)1(), ( n k np e k p p C p n k k k n k k n <=»-=--，其中；l l l B 理解：泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n 很大，p 很小时，二项分布就可近似地看成是参数λ=np 的泊松分布。
概率论与数理统计(经管类)第二章知识点总结
第二章 随机变量及其概率分布1． 离散型随机变量()01k K K KP X x p p ==≥⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 例1 设 ，则3.02.05.01=--=c------------------------------------------------------------------------------------------------ 8．知识点：离散型随机变量的分布律性质下列各表中可作为某随机变量分布律的是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C解：A 事件概率不可能为负值 B ，D1i iP ≠∑返回：第二章 随机变量及其概率分布------------------------------------------------------------------------------------------------2．常见离散型随机变量（1）0—1分布：设X ～),1(p B ，则应用背景：一次抽样中，某事件A 发生的次数X ～),1(p B ，其中EX X P A P p ====)1()(例2 设某射手的命中率为p ，X 为其一次射击中击中目标的次数，则X ～),1(p B（2）二项分布：设X ～),(p n B ，则()(1),0,1,2,,k k n kn P X k C p p k n -==-=应用背景：n 次独立重复抽样中某事件A 发生的次数X ～),(p n B ，其中()p P A =为事件A 在一次抽样中发生的概率。
例３ 某射手的命中率为0.8，X 为其5次射击中命中目标的次数，则X 取的可能值为5,,1,0 ，52()0.80.2k k k P X k C -==，即X ～)8.0,5(B记住：若X ～),(p n B ，则np EX =,)1(p np DX -=------------------------------------------------------------------------------------------------ 9．知识点：事件的关系及二项分布设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ） A ．3)1(1p -- B ．2)1(p p - C ．213)1(p p C -D ．32pp p ++答案：A解： 利用对立事件求解。
概率论与数理统计图文课件最新版-第2章-随机变量及其分布
函数 f ( x)，使得对于任意实数 x 有:
x
F ( x) f (t)dt ( P( X x))
则称 X 为连续型变量，f ( x)为 X 的概率密度函数 注 ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别
离散型： P( X xk ) 0 连续型：P( X xk ) 0
机
多，而且还不能一 一列
变 连续型随机变量 量
举，而是充满一个区间
例如，“电视机的寿命”，实际中
常 遇到的“测量误差”等等.
概率统计
第二章知识结构图
随机变量
离散型随 机变量
连续型随 机变量
分布律
分布 函数
函数的 分布
概率 密度
分布 函数
函数的 分布
定义 常用分布
概率统计
定义 常用分布
第四节 连续型随机变量及其概率密度
0 x 0
则称 X 为服从参数 的指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数
定义: 若定义在 (, )上的可积函数 f ( x)
满足： (1). f ( x) 0
(2). f ( x)dx 1
f (x)确定了 分布函数F(x)，
则称 F ( x)
x
f ( x)dx
f (x)是F(x)的 导函数， F(x)是f (x)的一
(2) 某段时间内候车室的旅客数目为 X , 则它也是一个随机变量，它可以取 0 及一切 自然数。X 是定义在样本空间，则：
S e {人数 人数 0}
X X (e)的值域RX [0, )
概率统计
二. 随机变量的分类 离散型随机变量
工程数学_概率统计简明教程_第二章_随机事件
成一件事情有n 个步骤，第 i 个
步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m
i 1
i
种不同的方法
选排列 从 n 个不同的元素中，任取 m 个
(不放回地）按一定次序排成一列，不同的 排法共有
Pnm n(n 1)( n 2) (n m 1)
等可能性
每次试验中，每一种可能结果发生的可能性相同， 即
1 P( A1 ) P( A2 ) P( An ) n Ai i , i 1,2,, n 其中
古典概型的计算公式
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个,即基本事件ω1，ω2，...， ωn ，而且这些事件的发生具有相同的可能性
例
已知P(A)=0.3， P(B)=0.6,试在下列两
种情形下分别求出P(A-B)与P(B-A)
(1) 事件A,B互不相容 (2) 事件A,B有包含关系
解
(1) 由于 AB ,因此 A B A, B A B
P( A B) P( A) 0.3 P( B A) P( B) 0.6
次试验，事件Ａ发 生的频率 m/n，随着试验次
数n的增大而稳定地在某个常数 p附近摆动,那么
称p为事件Ａ的概率
P( A) p
当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频 率近似的代替事件A的概率
排列组合有关知识复习
加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类
方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m
当人数为 50 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.03
古典概率的计算：抽签
10个学生抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取 10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求 A={第 五个学生抽到入场券}的概率。
概率统计 第二章 离散型随机变量.
以随机变量X表示n次试验中A发生的次数，X可能取值 为0,1,2,3,…,n。设每次试验中A发生的概率为p， 发生的概率为1-p=q。 (X=k)表示事件“n重贝努里试验中A出现k次”，即
A
AA A A A A A A A A A A AA A A A A
因此X的分布律为
P ( X k ) C 0 .6 0 .4
k 7 k
7k
, k 0 ,1, 2 ,..., 7
所求概率为 P ( X 4 ) P7( X 4 ) P ( X 5 ) P ( x 6 ) P ( X 7 )
C
k 4
k 7
( 0 .6 ) ( 0 .4 )
k
( p q) 1
n
k 0
正好是二项式(p+q)n展开式的一般项，故称二 项分布。特别地，当n=1时P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即为 0-1分布。
例2.6 某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见 的概率为0.6，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见 相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见， 并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概 率。 解 设X=k表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人 数”， 则X可能取值为0，1，2，…，7。 （视作7重贝努里实验中恰有k次发生，k个顾问贡献出 正确意见）,X~B(7,0.6)。
1 X 0 当 e1 发生时 当 e 2 发生时
即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同 的问题参数p的值不同而已。
3、超几何分布（参见第一章）
4、二项分布
(1)贝努里(Bernoulli)试验模型。 设随机试验满足： 1°在相同条件下进行n次重复试验； 2°每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； 3°在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p； 4°各次试验是相互独立的， 则称这种试验为贝努里概型或n重贝努里试验。 在n重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A发 生的次数。
概率统计 第二章 随机变量及其分布
引入适当的随机变量描述下列事件： 例1：引入适当的随机变量描述下列事件： 个球随机地放入三个格子中， ①将3个球随机地放入三个格子中，事件 A={有 个空格} B={有 个空格} A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球 全有球} C={全有球}。 进行5次试验， D={试验成功一次 试验成功一次} ②进行5次试验，事件 D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次 试验至少成功一次} G={至多成功 至多成功3 F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}
例2
xi ∈( a ,b )
∑
P( X = xi )
设随机变量X的分布律为 设随机变量X
0 1 2 3 4 5 6 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
试求: 试求:
P( X ≤ 4), P (2 ≤ X ≤ 5), P ( X ≠ 3)
0.72 0.7
F ( x) = P{ X ≤ x} =
k : xk ≤ x
∑p
k
离散型随机变量的分布函数是阶梯函数, 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数 分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的 可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应 可能取值点 跳跃高度对应随机变量取对应 值的概率;反之 反之,如果某随机变量的分布函数 值的概率 反之 如果某随机变量的分布函数 是阶梯函数,则该随机变量必为离散型 则该随机变量必为离散型. 是阶梯函数 则该随机变量必为离散型
X
x
易知，对任意实数a, 易知，对任意实数 b (a<b), P {a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝ F(b)－F(a) ≤ ＝ ≤ － ≤ ＝ －
P( X > a) = 1 − F (a)
概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析
第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。
A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。
A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。
C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。
A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。
A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。
A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。
为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。
课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。
A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。
课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。
A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。
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一、教学目的与要求1、掌握随机变量的概念，离散型随机变量的分布列，会用Ch1求事件概率的方法，求随机变量的分布列；2、熟悉随机变量的数学期望，方差的概念，会应用分布列求数学期望、方差；掌握数学期望，方差的性质；3、掌握二维随机变量的分布，边际分布的概念，会应用联合分布列求边际分布，会计算二维随机变量的数字特征，会判定随机变量的独立性与相关性。
4、掌握随机变量函数分布的求法，会求随机变量函数的数字特征。
二、教学重点与难点重点是分布列的求法，期望与方差的计算。
难点是二维随机变量联合分布列的求法，期望与方差性质的应用。
§2.1一维随机变量及分布列一．随机变量及其分类1．概念在Ch1里，我们研究了随机事件及其概率，细心的同学可能会注意到在某些例子中，随机事件与实数之间存在某种客观的联系。
例如袋中有五个球（三白两黑）从中任取三球，则取到的黑球数可能为0，1，2本身就是数量且随着随机试验结果的变化而变化的。
又如在“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件的概率，若记ξ=n重贝努里试验中A出现的次数，则上述“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件可以简记为（ξ=k）,从而有P(ξ=k)= C p q q=1-p并且ξ的所有可能取值就是事件A可能出现的次数0，1，2，……n，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。
例如抛掷一枚均匀的硬币可能出现正面，也可能出现反面，约定若试验结果出现正面, 令η=1, 从而{试验结果出现正面}=（η=1）；若试验结果出现反面, 令η=0, 从而{试验结果出现反面}=（η=0）。
为了计算n次投掷中出现正面数就只需计算其中“1”出现的次数了。
一般地，若A为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系在上面的例子中，我们遇到了两个随机变量ξ，η，这两个变量取什么值，在每次试验之前是不确定的，因为它的取值依赖于试验的结果，也就是说它的取值是随机的，通常称这种量为随机变量。
从上面例子可以发现，有了随机变量，至少使随机事件的表达在形式上简洁得多了。
在上述前两个例子中，对每一个随机试验的结果自然地对应着一个实数，而在后两个例子中，这种对应关系是人为地建立起来，由此可见，无论哪一种性质，所谓随机变量，不过是随机试验的结果（即样本点）和实数之间的一一对应关系。
这与数学分析中函数的概念本质上是一致的。
只不过在函数概念中，f(x)的自变量x为实数，而随机变量的概念中，随机变量ξ（ω）的自变量为样本点ω，因为对每个试验结果ω都有函数ξ（ω）与之对应，所以ξ（ω）的定义域是样本空间，值域是实数域。
定义1：设随机试验的每一个可能的结果（样本点）ω唯一地对应一个实数，则称实变量为随机变量，通常用希腊字母或大写字母X,Y,Z等表示随机变量，例1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数为随机变量，的可能取值为0，1，2……例2：某一公交车站每隔5分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时间为随机变量,的可能取值为。
例3：考察某一地区全年的温度的变化情况，则某一地区的温度为随机变量，的可能取值为。
例4：大炮对某一目标射击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可以用一个二维坐标（）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。
2．随机变量的分类从随机变量的取值情况来看，若随机变量的可能取值只要有限个或可列个则该随机变量为离散型随机变量，不是离散型随机变量统称为非离散型随机变量，若随机变量的取值是连续的，称为连续型随机变量，它是非离散型随机变量的特殊情形。
从随机变量的个数来分，随机变量可分为一维随机变量和多维随机变量，二、一维随机变量及分布列1．定义定义2：定义在样本空间上，取值于实数域R，且只取有限个或可列个值的变量称为一维（实值）离散型随机变量，简称离散型随机变量。
讨论离散型随机变量主要要搞清楚两个方面：一是随机变量的所有可能取值；更主要的的是搞清楚随机变量取这些可能值的概率。
例5：设袋中有五个球（3个白球2个黑球）从中任取两球，则取到的黑球数为随机变量,的可能取值为0，1，2。
===习惯上，把它们写成或0122、分布律如果离散型随机变可能取值为()相应的取值的概率称为随机变量的分布列，也称为分布律，简称分布。
也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量的分布律：例6：在n=5的贝努里试验中，设随机事件A在一次试验中出现的概率p，令=5次试验中事件A出现的次数。
则k=0,1,2,3,4,5于是的分布列为0123453、分布列的性质由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述性质：非负性：1）….规范性：2）反过来，任意一个具有以上性质的数列都可以看成某一个随机变量的分布列。
分布列不仅明确地给出了（）的概率，而且对于任意的实数a<b,事件（）发生的概率均可由分布列算出，因为（）=于是由概率的可列可加性有P()=，其中由此可知，取各种值的概率都可以由它的分布列，通过计算而得到，这种事实常常说成是，分布列全面地描述离散型随机变量。
例7：设随机变量的分布列为：P(=i)=c求c的值。
解：的分布列为P(=i)=c由分布列的性质=1 即c例8：一个口袋中有n只球，其中m只白球，无放回地连续地取球，每次取一球，直到取到黑球时为止，设此时取出了个白球，求的分布列。
解：的可能取值为0，1，2，3……mP(=i)=注意：（=i）表示第i次取出白球，第i+1 次取出黑球，例9：抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0<p<1)，设为一直掷到正、反都出现时所需要的次数，求的分布列。
解：的所有可能取值为2，3……则P(=k)=+k=2，3……三、几种常用分布1、退化分布设的分布列为P()=1 (a为常数)，则称服从退化分布；2、两点分布设的分布列为10p q称服从两点分布或0—1分布或贝努里分布。
3.二项分布设随机变量的分布列为P（）=k=0.1.2…n显然1）k=0.1.2….n2)称随机变量服从二项分布认为～b(k;n，p)大家可以发现二点分布是二项分布在n=1的情形。
4.几何分布在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，设试验进行到第次才出现成功。
的分布列为P k=1.2…（k=1.2…）是几何级数的一般项。
因此称它为几何分布记为～g(k;p)。
5.普哇松（Poisson）分布观察电信局在单位时间内收到的呼唤次数，某公共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数等。
可用相应的变量表示，实践表明的统计规律近似地为P（）k=0.1.2…其中>0是某个常数，易验证1）P（）>0k=0.1.2…2）==1也就是说，若的分布列为P（）k=0.1.2…（）称服从参数为的普哇松（Poisson）分布，记为～p(k;)在很多实践问题中的随机变量都可以用Poisson 分布来描述。
从而使得Poisson分布对于概率论来说，有着重要的作用，而概率论理论的研究又表明Poisson分布在理论上也具有特殊重要的地位。
下面介绍Poisson分布与二项分布之间的关系Th2.1（Poisson定理）在n 重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为（与试验总数n有关）。
若当时（>0常数）。
则有k=0.1.2…证明：自己阅读P66。
这个定理在近似计算方面有较大的作用，在二项分布中，要计算b(k;n,p)= ，当n和k都比较大时。
计算量比较大，若此时np不太大（即p较小）那么由Poisson定理就有b(k;n,p)其中而要计算有专用的Poisson分布表可查。
例10.已知某中疾病的发病率为1/1000，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5的概率为多大？解：设该单位患这种疾病的人数为.则～其中b(k;5000,1/1000)=这时如果直接计算p()计算量较大。
由于n很大。
P较小。
而np=5不很大。
可以利用Poisson定理p()=1-p()查Poisson分布表得于是p()。
例11．由该商店过去的销售记录知道，某中商品每月销售数可以用参数的Poisson分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解：设该商店每月销售某种商品件，月底的进货为a件则当（）时就不会脱销。
因而按题意要求为又查Poisson分布表得于是这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上月没有存货）就可以以95%的把握保证这种商品在下个月不会脱销。
§2.2 多维随机变量联合分布列和边际分布列一、多维随机变量及其联合分布列1、定义定义1.设是样本空间上的n个离散型随机变量，则称n维向量（）是上的一个n维离散型随机变量或n维随机向量。
对于n维随机变量而言，固然可以对它的每一个分量分别研究，但我们可以将它看成一个向量，则不仅能研究各个分量的性质，而且更重要的是要考虑它们之间的联系。
下面主要讨论二维离散型随机变量。
设（）是二维离散型随机变量，它们的一切可能取值为（）i,j=1,2…i,j=1，2…,注意=。
称= i,j=1,2…为二维随机变量（）的联合分布列。
与一维时的情形相似，人们也常常习惯于把二维离散型随机变量的联合分布用下面表格形式表示2.联合分布的性质容易证明二维离散型随机变量的联合分布具有下面的性质：1）非负性：i,j=1,2…2）规范性：3)二．边际分布（边缘分布）设（）为二维离散型随机变量，它们的每一个分量的分布称为（）关于的边际分布，记为与。
若（）的联合分布为i,j…则==由此可以发现，由联合分布列可以唯一确定边际分布，反之，由边际分布不能唯一确定联合分布（反例在下面举）。
大家可以发现，边际分布列的求法只须在联合分布列{}的右方加了一列，它将每一行中的相加而得出，这就是的分布列;相应地在()下面增加一行,它把每一列中的对i 相加而得到恰好就是边际分布列,这也是边际分布列名称的来历。
即例1.设把三个相同的球等可能地放入编号为1.2.3的三个盒子中，记落入第1号中球的个数为，落入第2号盒子中球的个数为，求（）的联合分布列及的边际分布列。
解：的可能取值为0.1.2.3（首先确定（）的所有可能取值（i,j））然后利用ch1知识计算概率。
当i+j>3时=所以（）的联合分布列123例2.把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1.2.3的三个盒子中，记落入第1号的盒子中的白球个数为，落入第2号盒子中的红球的个数为，求（）的联合分布列和边际分布列。
解：（）的可能取值为（i,j=0.1.2.3）显然有,i=0.1.2.30123123比较例1和例2可以发现两者有完全相同的边际分布列，而联合分布列却不同，由此可知边际分布列不能唯一确定联合分布列，也就是说二维随机变量的性质并不能由它的两的分量的个别性质来确定，这时还必须考虑它们之间的联系，由此也就说明了研究多维随机变量的作用。