专项训练：直线与圆的位置关系解答题练习题

(1)求圆 的方程；
(2)若圆 与直线 交于 、 两点，且 ，求 的值．
21．（本小题满分12分）
已知点 是圆 上任意一点，点 与点 关于原点对称．线段 的中垂线 分别与 交于 两点．
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）斜率为1的直线 与曲线 交于 两点,若 （ 为坐标原点），求直线 的方程．
22．圆 内有一点 ， 为过点 且倾斜角为 的弦，
(1)判断直线 与圆C的位置关系。
（2）若直线 与圆C交于不同两点A、B,且 =3 ,求直线 的方程。
35．（本小题满分12分）已知圆 的圆心为原点，且与直线 相切。
（1）求圆 的方程；
（2）点 在直线 上，过 点引圆 的两条切线 ，切点为 ，求证：直线 恒过定点。
36．（本小题满分12分）已知圆C： ，
点评：研究直线和圆的位置关系的相关问题时通常采用“几何法”即抓住圆心到直线的的距离与半径的关系
2．（1） (2)
【解析】
试题分析：（1）圆方程可整理为： ，
所以，圆心坐标为 ，半径 ，
易知弦 的垂直平分线过圆心，且与直线 垂直，
而 ，所以，由点斜式方程可得： ，
整理得： 。即 的垂直平分线的方程为 。
(1)当 = 时,求 的长；
(2)当弦 被点 平分时，写出直线 的方程.
5．已知圆C： 内有一点P（2，2），过点P作直线 交圆C于A、B两点。
（1）当 经过圆心C时，求直线 的方程；
（2）当弦AB的长为 时，写出直线 的方程。
6．已知直线 经过点 ，且和圆 相交，截得的弦长为4 ，求直线 的方程。
8．
（1）相离
（2）直线方程是 ， ．
【解析】
试题分析：解：（1）直线 到圆心的距离为 ，故相离. （4分）
（2）①若直线 的斜率不存在，即直线是 ，符合题意．（7分）
②若直线 斜率存在，设直线 为 ，即 ．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线 的距离等于半径2，
即 解之得 ．
所求直线方程是 ， ．（12分）
24．求过点 向圆 所引的切线方程
25．如图，圆 内有一点P(－1,2)，弦AB为过点P．
(1) 当弦AB被点P平分时，求出直线AB的方程；
(2) 设过P点的弦的中点为 ，求点 的坐标所满足的关系式．
26．直线 经过点P（5,5），且和圆C： 相交截得的弦长为 .求 的方程.
27．求经过点A（4，-1），并且与圆 相切于点M（1,2）的圆的方程.
41．．已知圆 ，直线 过定点A(1，0)．
（1）若 与圆C相切，求 的方程；
（2）若 的倾斜角为 ， 与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
（3）若 与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ面积的最大值
42．（（本小题满分12分）
已知点 及圆 ： .
（1）若直线 过点 且与圆心 的距离为1，求直线 的方程；
专项训练：直线与圆的位置关系解答题练习题
1．已知已知圆 经过 、 两点，且圆心C在直线 上.
（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线 与圆 总有公共点，求实数 的取值范围.
2．设直线 和圆 相交于点 。
（1）求弦 的垂直平分线方程；(2)求弦 的长。
3．求经过两圆 与 的交点，且圆心在直线 上的圆的方程．
4．圆 内有一点 ， 为过点 且倾斜角为 的弦，
28．动圆C的方程为 。
（1）若 ，且直线 与圆C交于A，B两点，求弦长 ；
（2）求动圆圆心C的轨迹方程；
（3）若直线 与动圆圆心C的轨迹有公共点，求 的取值范围。
29．（本小题满分14分）
已知方程 ，
（1）若此方程表示圆，求 的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线 相交于 、 两点，且 （ 为坐标原点），求 的值；
解法二：同上求得 ，
则圆心在线段 的中垂线 上，又在 上，得圆心坐标 .
∴所求圆的方程为 ．
考点：本题考查了圆的方程求法
点评：此类问题常常利用圆系方程或直接求出公共弦所在的方程，避免了繁琐的计算，属基础题
4．（1） .（2） .
【解析】
试题分析：（1）依题意直线 的斜率为-1，直线 的方程为： ,
圆心 到直线 的距离为 = ,则 = = ,
已知关于 的方程 : .
（1）当 为何值时，方程C表示圆。
（2）若圆C与直线 相交于M,N两点，且｜MN｜= ,求 的值。
（3）在（2）条件下，是否存在直线 ，使得圆上有四点到直线 的距离为 ，若存在，求出 的范围，若不存在，说明理由。
15．（本题满分10分）
已知直线 过点 与圆 相切，
（1）求该圆的圆心坐标及半径长 （2）求直线 的方程
10．（本小题12分）已知：以点C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与 轴交于点O, A，
与y轴交于点O, B，其中O为原点．
(1）求证：△OAB的面积为定值；
(2）设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N，若 ，求圆C的方程．
11．已知圆C的半径为 ,圆心在直线 上,且被直线 截得的弦长为 ,求圆C的方程
专项训练：直线与圆的位置关系解答题练习题
参考答案
1．（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）由于AB的中点为 ， ，则线段AB的垂直平分线方程为 ， 而圆心C是直线 与直线 的交点，由 解得 ，即圆心 ，又半径为 ，故圆C的方程为 6分；
（2）圆心 到直线 的距离 得 ，解得 .12分
考点：本题考查了圆的方程及直线与圆的位置关系
16．（12分）已知一个圆与 轴相切，在直线 上截得弦长为2 ，且圆心在直线 上，求此圆的方程.
17．（本题满分14分）
已知圆 与直线 相交于 两点．
⑴求弦 的长；
⑵若圆 经过 ，且圆 与圆 的公共弦平行于直线 ，求圆 的方程．
18．（本小题满分12分）
已知圆C的方程为x2+y2=4.
（1）求过点P(1，2)且与圆C相切的直线l的方程；
的长为 .
（2）此时 的斜率为 ,根据点斜式方程直线 的方程为 .
考点：本题考查了直线与圆的位置关系
点评：解决此类问题常常利用圆心到直线的距离d与圆的半径及半弦长所构成的直角三角形求解，属基础题
5．（1） （2） 或
【解析】
试题分析：（1）圆心坐标为（1，0）， ， ，整理得 。
（2）圆的半径为3，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，整理得
（2）直线l过点P(1，2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2 ，求直线l的方程.
19．（本题满分10分）已知线段 的端点 的坐标为 ，端点 在
圆 : 上运动。
（1）求线段 的中点 的轨迹方程；
（2）过 点的直线 与圆 有两个交点 ，弦 的长为 ，求直线 的方程。
20．在平面直角坐标系 中，曲线 与坐标轴的交点都在圆 上．
求：(1) 圆C的半径；
(2) 若直线 与圆C有两个不同的交点，求 的取值范围．
37．（12分）已知过点 的动直线 与圆 ： 相交于 、 两点， 是 中点， 与直线 ： 相交于 .
（1）求证：当 与 垂直时， 必过圆心 ；
（2）当 时，求直线 的方程；
（3）探索 是否与直线 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.
（2）求 的最大值，并求取得最大值时 的值。
47．已知方程 ；
（1）若此方程表示圆，求 的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线 相交于 、 两点且
（ 为坐标原点），求 的值。
49．（理）已知圆 直线
（I）求证：对 ，直线 与 总有两个不同的交点；
（ ）设 与 交于 两点，若 ，求 的值.
50．10分）已知圆C的圆心在直线 上，并且经过A（2，1）B（1，2）两点，求圆C的标准方程．
12．（本小题满分13分）
已知⊙C经过点 、 两点，且圆心C在直线 上.
（1）求⊙C的方程；
（2）若直线 与⊙C总有公共点，求实数 的取值范围.
13．直线 ： ，圆 方程为
（1）求证：直线和圆相交
（2）当圆截直线所得弦最长时，求 的值
（3）直线将圆分成两个弓形，当弓形面积之差最大时，求直线方程
14．（本题满分12分）
，圆心到直线l的距离为
，
解得 ，代入整理得 。
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，经检验符合题意。
直线l的方程为 或 。
考点：直线方程及直线与圆的位置关系
点评：当直线与圆相交时，圆的半径，圆心到直线的距离以及弦长的一半构成直角三角形，此直角三角形的求解计算是经常用到的
6．
【解析】
试题分析：当 的斜率不存在时，方程为 ＝5，
38．（14分）已知圆 直线 ，
（1）求直线 恒过的定点；
（2）判断直线 被圆 截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求 的值以及最短长度。
39．(本小题满分12分）如图，设圆 ： ，过原点 作圆的任意弦 ，求所作弦 的中点 的轨迹方程.
40．已知定点A(－1，0)和B(1，0)，P是圆(x－3)2＋(y－4)2＝4上的一动点，求 的最大值和最小值.
（2）圆心 到直线 的距离 ，
故 。弦 的长为 。
考点：直线与圆相交的位置关系
点评：直线与圆相交时常用到的知识点：弦的垂直平分线过圆心，圆心到直线的距离，弦长的一半及圆的半径构成直角三角形
3． ．
【解析】
试题分析：解法一：由两圆方程联立求得交点 ，
设圆心 ，则由 及 在直线 上，求出
∴所求圆的方程为 ．
（3）在（2）的条件下，求以 为直径的圆的方程。
30．（本小题满分13分）
已知圆 经过两点 和 ，且圆心在直线 上。
（Ⅰ）求圆 的方程；