天津市十二区县重点学校2013届高三毕业班联考(二)--数学(理)
天津市十二区县重点学校2013届高三毕业班联考(二)物理.
天津市十二区县重点学校2013届高三毕业班联考（二）物 理 试 题本部分为物理试卷，本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共120分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上。
答卷时，考生务必将卷I 答案涂写在答题卡上，卷II 答在答题纸上，答在试卷上的无效。
第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
2．本卷共8题，每题6分，共48分。
一、选择题（每小题6分，共30分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1．钍核（23490Th ）具有放射性，发生β衰变变成镤核（Pa ），伴随该过程有γ光子放出，已知钍核、镤核和电子的质量分别为m 1、m 2和m 3，真空中光速为c 。
下列说法正确的是A ．给钍加热，钍的半衰期将变短B ．衰变方程为23490Th →0234189e Pa +C ．钍核23490Th 中含有234个核子D ．衰变过程中释放的核能为△E=（m 2 +m 3－m 1）C 2 2．关于地球的同步卫星，下列说法中正确的是A ．同步卫星离地面的高度是一个定值B ．同步卫星相对地面静止，处于平衡状态C ．同步卫星运行的速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度D ．同步卫星运行的向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等3．a 、b 两束单色光以相同的入射角从玻璃射入空气时，a 光的折射角大于b 光的折射角，关于这两束单色光，下列说法中正确的是A ．用同一装置进行双缝干涉实验，a 光的条纹间距较大B ．用a 、b 两束单色光照射某金属都能发生光电效应，a 光照射产生光电子的最大初动能较大C ．分别用a 、b 两束单色光照射同一单缝做衍射实验，a 光的中央亮纹较宽D ．若发出a 光的能级差为△E 1，发出b 光的能级差为△E 2．则△E 1小于△E 24．一列简谐横波沿x 轴正方向传播，t=0时波形图如图中实线所示，此时波刚好传到P 点，t= 0．6s 时波恰好传到Q点，波形如图中虚线所示，a 、b 、c 、d 、p 、Q 是介质中的质点，下列说法正确的是A ．当t=0．6s 时质点a 速度沿y 轴负方向B ．质点P 在这段时间内沿x 轴正方向移动了30mC ．质点c 在这段时间内通过的路程为30cmD ．当0．5s 时，质点b 、P 的位移相同5．如图甲所示，两个平行金属板a 、b 竖直放置，两板加如图乙所示的电压。
天津市十二区高三数学毕业班联考(一)试题 理
2013年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题 (共40分) 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.i 是虚数单位，复数31ii--= （ ） A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i - 2.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.阅读右面的程序框图，则输出的S = （ ） A ．14 B ．30 C ．20 D ．55 4.设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则函数()f x （ ） A ．在区间(0,1)(1,)+∞， 内均有零点 B ．在区间(0,1)(1,)+∞， 内均无零点 C ．在区间(0,1)内有零点，在区间(1,)+∞内无零点 D ．在区间(0,1)内无零点，在区间(1,)+∞内有零点5.在1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，4x 的系数为（ ） A ．-120 B ．120 C ．-15 D ．15 6.在钝角△ABC 中，已知AB=3， AC=1，∠B=30°，则△ABC 的面积是（ ）0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距A ．23 B ．43 C ．23 D ．43 7.己知抛物线方程为2=2y px （>0p ），焦点为F ，O 是坐标原点， A是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60°，若OAF ∆p 的值为（ ）A ．2B ．．2或．28．已知函数5(4)4(6),()2(6).x a x x f x a x -⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩()0,1a a >≠ 数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈，且{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）Ａ．[)7,8 Ｂ．()1,8 Ｃ．()4,8 Ｄ．()4,7第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .11. 已知圆C 的参数方程为2x y θθ⎧=⎨=+⎩cos ,sin ,(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线截圆C 所得的弦长是 .12．如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，PCAP 与CB 的延长线交于点P ，A 为切点．若10=PA ，5=PB ，则AB 的长为 .13.若不等式4+-2+1x m x≥对一切非零实数x 均成立,记实数m 的取值范围为M .已知集合{}=A x x M ∈，集合{}2=--6<0B x R x x ∈，则集合=AB .14.已知点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线L 过点M 交线段AB 于点P ，交线段AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 设函数22()(sin cos )2cos(0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间-63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域； （Ⅲ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到， 求()y g x =的单调增区间．16．（本小题满分13分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23． （Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率. 17．（本小题满分13分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且1=AB ，2=BC ，60=∠ABC ，E 为BC 的中点， ⊥1AA 平面ABCD ．（Ⅰ）证明：平面⊥AE A 1平面DE A 1； （Ⅱ）若E A DE 1=，试求异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值；ABCDE1A 1B 1C 1D（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角1--C A D E 的余弦值. 18．（本小题满分13分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122()n n a S n N *+=+∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，设数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T ，证明：1516n T <.19．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P ，且它的离心率1=e . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足λ=+，求实数λ的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数()()()R a ax x x ax x f ∈--++=2312ln 23（Ⅰ）若2=x 为()x f 的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若()x f y =在[)+∞,3上为增函数，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当21-=a 时，方程()()x b x x f +-=-3113有实根，求实数b 的最大值.2013年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一） 数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题: 每小题5分，共30分.9．25；10．π3108+ ； 11 12． 13．{}-1<3x x ≤； 14．22-9三、解答题15．（本小题满分13分）设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间-63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域； （Ⅲ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到， 求()y g x =的单调增区间．解： （Ⅰ）()()22=sin +cos +2cos f x x x x ωωω22=sin +cos +sin 2+1+cos 2x x x x ωωωω …………2分sin 2cos 22)24x x x πωωω=++=++ …………4分依题意得2223ππω=，故ω的值为32. …………5分 （Ⅱ）因为-,63x ππ≤≤所以5-3+444x πππ≤≤， …………6分-13+4x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭…………8分()1f x ≤≤()f x 的值域为⎡⎣ …………9分（Ⅲ）依题意得: 5()3()2)2244g x x x πππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦…11分 由5232()242k x k k Z πππππ--+∈≤≤ …………12分解得227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤ 故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312k k k Z ππππ++∈ …………13分 16．（本小题满分13分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23． （Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率； 解：（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知X ～B(6，23).6621()33kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k =)X 的分布列为：1(01112260316042405192664)729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=29164729=. 或因为X ～B(6，23)，所以2643EX =⨯=. 即X 的数学期望为4． ………9分 （Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则224156441212232()()()()().3333381P A C C =⨯⨯+⨯⨯+= …………12分（每个概率计算正确一分，共三分；列一个大式子，若计算错误则无分） 答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.81……………………………13分17．（本小题满分13分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且1=AB ，2=BC ，60=∠ABC ，E 为BC 的中点， ⊥1AA 平面ABCD ．（Ⅰ）证明：平面⊥AE A 1平面DE A 1； （Ⅱ）若E A DE 1=，试求异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角1--C A D E 的余弦值. 17.解（Ⅰ）依题意，CD AB BC EC BE ====21所以ABE ∆是正三角形，060=∠AEB ……1分又00030)120180(21=-⨯=∠CED ……2分 所以090=∠AED ，AE DE ⊥ ……3分因为⊥1AA 平面ABCD ，⊂DE 平面ABCD ，所以DE AA ⊥1 因为A AE AA = 1，所以⊥DE 平面AE A 1 ……4分 因为⊂DE 平面DE A 1，所以平面⊥AE A 1平面 DE A 1 ……5分ABCDE1A 1B 1C 1D（Ⅱ）取1BB 的中点F ，连接EF 、AF ，连接C B 1，则D A C B EF 11//// 所以AEF ∠是异面直线AE 与D A 1所成的角 ……7分 因为3=DE ，2211AE A A E A +=，所以21=A A ，22=BF ，26121=+==EF AF ……8分 所以662cos 222=⨯⨯-+=∠EF AE AF EF AE AEF ……9分（Ⅰ）（Ⅱ）解法2：以A 为原点，过A 且垂直于BC 的直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴、1AA 所在直线为z 建立右手系空间直角坐标系 ……1分 设a AA =1（0>a ），)0 , 0 , 0(A 则)0 , 2 , 0(D ) , 0 , 0(1a A )0 , 21, 23(E ……2分 （Ⅰ）设平面AE A 1的一个法向量为) , , (1p n m n =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002123111ap AA n n m n 0=p ，取1=m ，则3-=n ，从而)0 , 3 , 1(1-=n ， ……3分同理可得平面DE A 1的一个法向量为)2, 1 , 3(2an =， ……4分直接计算知021=⋅n n ，所以平面⊥AE A 1平面DE A 1 ……5分 （Ⅱ）由E A DE 1=即22222)21()23(0)212()23(a ++=+-+ 解得2=a)0 , 21, 23(=，)2 , 2 , 0(1-=A ……7分所以异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值66||||cos 11=⋅=D A AE θ ……9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知21=A A ，平面DE A 1的一个法向量为2( 3 , 1 , n =又31=-,02CD ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)2 , 2 , 0(1-=D A 设平面1CA D 的法向量()3=,,n x y z 则133=0=0A D n CD n ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩得(3=1,3,n ……11分设二面角1--C A D E 的平面角为ϕ，且ϕ为锐角 则232323cos =cos ,=n n n n n nϕ⋅所以二面角1--C A D E ……13分 18．（本小题满分13分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122()n n a S n N *+=+∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，设数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T ，证明：1516n T <.18．解（Ⅰ）由122(n n a S n +=+∈N *）得122(n n a S n -=+∈N *，2n ≥），两式相减得：12n n n a a a +-=， 即13(n n a a n +=∈N *，2n ≥）， ……2分∵{}n a 是等比数列，所以213a a =，又2122,a a =+ ……3分 则11223a a +=，∴12a =， ……4分 ∴123n n a -=. …………………………………5分 （Ⅱ）由（1）知123n n a +=，123n n a -=∵1(1)n n n a a n d +=++ ……7分， ∴1431n n d n -⨯=+， ………8分令123111n T d d d =+++…1nd +， 则012234434343n T =++⨯⨯⨯+ (11)43n n -++ ① …………9分+⋅+⋅=2134334231n T …114343n n n n -+++ ② ………10分①-②得01222113434343n T =+++ (111)4343n nn -++- 111(1)111525331244388313n n nn n --++=+⨯-=-- …………12分11525151616316n n n T -+∴=-<. ……………13分 19．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P ，且它的离心率21=e . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线kx y l +=：点C 满足OC ON OM λ=+，求实数λ20．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为(12222>=+b a by a x 由已知得：2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩解得 2286a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆的标准方程为： 22186x y += ……………5分 (Ⅱ) 因为直线l ：y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切2112(0)t k t t -=⇒=≠ ……………6分把t kx y +=代入22186x y +=并整理得： 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=┈7分 设),(,),(2211y x N y x M ，则有 221438k ktx x +-=+ 22121214362)(k tt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ ……………8分因为，),(2121y y x x OC ++=λ， 所以，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC … 9分 又因为点C 在椭圆上， 所以，222222222861(34)(34)k t t k k λλ+=++ …………… 10分 222222221134()(1t kt tλ⇒==+++ …………… 12分因为 02>t 所以 11)1()1(222>++t t …………… 13分所以 202λ<<，所以 λ的取值范围为 (0)(0,2) …………… 14分20．（本小题满分14分）已知函数()()()R a ax x x ax x f ∈--++=2312ln 23（Ⅰ）若2=x 为()x f 的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若()x f y =在[)+∞,3上为增函数，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当21-=a 时，方程()()x b x x f +-=-3113有实根，求实数b 的最大值. 20．解：（I ）()()()[]122441222122222++--+=--++='ax a x a ax x a x x ax a x f ………2分 因为2=x 为()x f 的极值点，所以()02='f ，即02142=-+a a a，解得0=a ……4分 （II ）因为函数()x f 在[)+∞,3上为增函数，所以()()()[]0122441222≥++--+='ax a x a ax x x f 在[)+∞,3上恒成立 ………6 分①当0=a 时，()()02≥-='x x x f 在[)+∞,3上恒成立，所以()x f 在[)+∞,3上为增函数，故0=a 符合题意 ………7分②当0≠a 时，由函数()x f 的定义域可知，必须有012>+ax 对3≥x 恒成立，故只能0>a ，所以()()02441222≥+--+a x a ax 在[)+∞,3上恒成立 ………8分令函数()()()2441222+--+=a x a ax x g ，其对称轴为ax 411-=，因为0>a ，所以1411<-a，要使()0≥x g 在[)+∞,3上恒成立，只要()03≥g 即可， ………9分 即()016432≥++-=a a g ，所以41334133+≤≤-a 因为0>a ，所以41330+≤<a .综上所述，a 的取值范围为⎡⎢⎣ ………10分（Ⅲ）当21-=a 时，方程()()x b x x f +-=-3113可化为()()xb x x x =-+--11ln 2问题转化为()()322ln 11ln x x x x x x x x x x b -+=-+--=在()+∞,0上有解，即求函数()32ln x x x x x g -+=的值域 ………11分 因为函数()32ln x x x x x g -+=，令函数()()0ln 2>-+=x x x x x h ， ………12分 则()()()x x x x x x h -+=-+='112211，所以当10<<x 时，()0>'x h ，从而函数()x h 在()1,0上为增函数，当1>x 时，()0<'x h ，从而函数()x h 在()+∞,1上为减函数，因此()()01=≤h x h………13分 而0>x ，所以()0≤⋅=x h x b ，因此当1=x 时，b 取得最大值0.………14分 （第三问如用数形结合求解，相应给分）。
2013年高考数学天津理(word版含答案)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. 2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+ ·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [－2,1]2.设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 23.阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 4.已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③ (D) ②③5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 36.在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D)7.函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 48.已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学 第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.9.已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .10.6x⎛⎝的二项展开式中的常数项为 .11.已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = .12.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 .13.如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .14.设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(1) 求f (x )的最小正周期;(2) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16.(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(2) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(1) 证明B 1C 1⊥CE ;(2) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(3) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.18.(本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直(1) 求椭圆的方程;(2) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.19.(本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.20.(本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x =.(1) 求函数f (x )的单调区间;(2) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(3) 设(2)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分40分.1.D2.A3.B4.C5.C6.C7.B8.A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分30分.9.12i + 10.15 11. 12.12 13.8314.2-三、解答题15.本小题主要考察两角和与差的正弦公式/二倍角的正弦与余弦公式,三角函数的最小正周期/单调性等基础知识,考察基本运算能力.满分13分（）解：(x)f cos4π=⋅-sin+3sin 2x cos2x 4π⋅-=2s i n 2x 2c o s -=s i n 2x 4π⎛⎫-⎪⎝⎭ 所以(x)f 的最小正周期2T==2ππ （2）解：因为(x)f 在区间308π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，在区间382ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，又f ( 0)=-2，f ( 38π)=f ( 2π)=2，故函数()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为-2.16. 本小题主要考察古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及解析
2013年天津市高考数学试卷（理科）及解析 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]解析：本题主要考察不等式的解法，和集合的简单应用，属于简单题。
(2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z =y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2解析：本题主要考查不等式中的线性规划，属于简单题。
(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585解析：本题主要考察程序框图，属于简单题。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S 的值为(A) 64(B) 73 (C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③ (5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2(D) 3 (6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = (A) 10 (B) 10 (C) 310 (D) 5(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是 (A) 15,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,0130,⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D) 5,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x x ⎛- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC .过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分) 已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2,E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为2, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.2013 National English Contest for College Students.- 11 -。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B = ·球的体积公式34.3VR π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2)设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为 (A) －7 (B) －4(C) 1(D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18;②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y+=相切.其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①②(C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A ,B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB, 则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4A B B C A B C π∠===则sin B A C ∠ =(A)10(B)5(C)10(D)5(7) 函数0.5()2|log |1xf x x =-的零点个数为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A)02⎫⎪⎪⎝⎭(B)02⎫⎪⎪⎝⎭(C)022⎛⋃⎛ ⎝⎫ ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D)2⎛- ⎝⎭∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . (10)6x⎛- ⎝的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭,则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1,60B A D ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1A D B E = ,则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin co s 2co s 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R.(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期; (Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 16, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左焦点为F , 3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截3.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8A C DB A DC B += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 +a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1nn nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x=.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()sg t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t<<.- 11 -2013高考真题。
2013年天津市十二区县联考数学理科试卷(二)含答案
2013年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高. ∙锥体的体积公式ShV 31=. 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数ii 4332-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 执行右面的框图，若输出结果为12，则输入的实数x 的值是A ．32B ．14C ．2D 3.下列有关命题的说法正确的是 A ．命题“若,x y =则sin sin x y =”的逆否命题为真命题B ．函数()tan f x x =的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈C ．命题“,x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“,x R ∀∈均有210x x ++<”D ．“2a =”是“直线214a y ax y x =-+=-与垂直”的必要不充分条件4. 设nxx )15(-的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若240M N -=，则展开式中x 的系数为A.150-B.150C.300D.300-5. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0),(log,log )(212x x x x x f ，若0)(>-a af ,则实数a 的取值范围是A.）（）（1,00,1⋃- B.），（），（∞+⋃-∞-11 C.），（）（∞+⋃-10,1 D.）（），（1,01⋃-∞- 6. 的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是7. 己知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 是数列{}n a 前n 项的和，n N *∈，则2163n n S a ++的最小值为A ．4B ． 3 C．2-D ．928. 若关于x 的方程2||4x kx x =+有四个不同的实数解,则k 的取值范围为( )A. (0,1)B. 1(,1)4C.1(,)4+∞ D. (1,)+∞第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9. 某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 .10. 如图，,A B 是圆O 上的两点，且O A O B ⊥，2O A =，C 为O A 的中点，连接B C 并延长B C 交圆O 于点D ，则C D = ．11. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为 .12. 已知抛物线的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩，（t 为参数），焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线E F 的倾斜角为150︒，则||PF = ．13．已知集合{||1||1|3}A x x x =-++≤，集合}0)12(|{22<+++-=m m x m x x B 若A B ≠Φ ，则实数m 的取值范围为 .14. 如图，在直角梯形ABC D 中，,1,3AB AD AD DC AB ⊥===， 动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设(,)AP AD AB R αβαβ=+∈，则αβ+的取值范围是 .10题图DCOA B11题图三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数221()2(cos sin )122f x x x x =---（Ⅰ）求函数()f x 的最小值和取最小值时相应的x 值；（Ⅱ）设A B C ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且0)(,7==C f c ，若向量(1,sin )m A =与向量)sin ,3(B n =共线，求,a b 的值。
2013年高考理科数学天津卷(含详细答案)
)(A B P A=棱柱的体积公式S表示棱柱的底面面积A B=]2,2C.1D.2x的值为1,()B.73D.585()B.①②D.②③22(0)px py=>的准线分别2,AOB△则p=()C.2D.33,则sin BAC∠=C DC.3D.4的不等式()()f x a f x+<的解集为A.若11,22A⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,则实数a的取值范围是()A.B.C.13(0,+D.(-∞第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知a,b∈R,i是虚数单位.若(i)(1i)ia b++=,则ia b+=.10.6(x-的二项展开式中的常数项为.11.已知圆的极坐标方程为4cosρθ=,圆心为C,点P的极坐标为π(4,)3,||CP=.12.在平行四边形ABCD中,1AD=,60BAD︒∠=,E为CD的中点.若1AC BE=,则AB的长为.13.如图,ABC△为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD AC∥.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB AC=,6AE=,5BD=,则线段CF的长为.14.设2a b+=,0b>,则当a=时,1||2||aa b+取得最小值.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.,过点F 且与x 轴垂直的直（Ⅱ）设A 、B 分别为椭圆的左、k 的直线与椭圆交于C ,D 两若8AC DB AD CB +=,求k n 项和为(*)n S n ∈N ,且33S a +,.20.（本小题满分14分）已知函数2l ()n f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的0t >,存在唯一的s ,使()t f s =；（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =,证明：当2e t >时,有2ln ()15ln 2g t t <<.2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】由已知得{22}A x x =∈-≤≤R ，于是{21}AB x x =∈-≤≤R【提示】先化简集合A ，解绝对值不等式可求出集合A ，然后根据交集的定义求出A B 即可.【考点】集合的基本运算 2.【答案】A【解析】作出可行域，平移直线2y x =，当直线过可行域内的点(5,3)A 时，Z 有最小值，min 3257Z =-⨯=-.【提示】先根据条件作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值. 【考点】二元线性规划求目标函数的最值 3.【答案】B【解析】10150295047350x S S S x S S x S ===<⇒==<⇒==>，，，，，，，跳出循环，输出73S =. 【提示】直接执行程序框图中的语句求值. 【考点】循环结构的程序框图 4.【答案】C【解析】命题①，设球的半径为R ，则33414ππ3283R R ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；数学试卷 第10页（共39页）对于命题③，圆2212x y +=的圆心(0,0)到直线10x y ++=的距离1222d ==，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确.【提示】对于①由球的体积公式可知命题正确；对于②通过举反例，如1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，故命题错误；对于③利用圆2212x y +=的圆心到直线10x y ++=的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可.【考点】球的体积，标准差，直线与圆的位置关系 5.【答案】C【解析】由已知得2c a =，所以2224a b a +=，解得3b a=，即渐近线方程为3y x =±.而抛物线的方程为2p x =-，于是3,22p p A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22p p B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，从而AOB △的面积为13=322pp，可得2p =. 【提示】求出双曲线的渐进方程和抛物线的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB △的面积为3，可求p 的值.【考点】三角形面积，双曲线与抛物线的简单几何性质 6.【答案】C【解析】由余弦定理可得2222cos 2922352AC BA BC BA BC ABC =+-∠=+-⨯⨯⨯=，于是由正弦定理可得sin sin BC AC BAC ABC=∠∠，于是233102sin 105BAC ⨯∠==. 【提示】由已知条件，利用余弦定理求出AC 的长，再由正弦定理即可求出sin BAC ∠的值. 【考点】正弦定理，余弦定理 7.【答案】B【解析】令0.5()2|log |10xf x x =-=，可得0.51|log |2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设0.5()|log |g x x =，1()2xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一坐标系下分别画出函数()g x ，()h x 的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数()f x 有2个零点.【提示】函数的零点转化为两个函数图像的交点个数，作出函数的图象即可判断. 【考点】函数的图象，函数零点的判断 8.【答案】A 【解析】11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，()(0)f a f ∴<，(1||)0a a a ∴+<，解得10a -<<，可排除C ， 又1122f a f ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111112222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-++-+<-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，115224a a a a ⎛⎫∴-+-+<- ⎪⎝⎭10a -<<，115224a a ⎛⎫∴-+-+>- ⎪⎝⎭21524a ⎛⎫∴--+>- ⎪⎝⎭，21524a ⎛⎫∴-+< ⎪⎝⎭，1502a -∴<<.排除B ，D ，应选A .【提示】由题目可知11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，将0x =带入()()f x a f x +<可得()(0)f a f <，解得10a -<<；将12x =-代入()()f x a f x +<解得1502a -<<.【考点】解含参的一元二次不等式第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】12i +【解析】由(i)(1i)i a b ++=可得(1)(1)i i a a b -++=，因此10a -=，1a b +=，解得1a =，2b =， 故i 12i a b +=+【提示】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a ，b 的值即可得到结果. 【考点】复数代数形式的四则运算 10.【答案】15【解析】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开通项为36621661(1)(1)rr r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令3602r -=，解得4r =，故数学试卷 第16页（共39页）常数项为446(1)15C -=. 【提示】利用二项式展开式的通项公式36216(1)r rr r T C x-+=-中x 的幂指数为0即可求得答案.【考点】二项式定理 11.【答案】23【解析】由4cos ρθ=可得224x y x +=，即22(2)4x y -+=，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)，又点P 的直角坐标为(2,23)，因此||23CP =.【提示】求出圆的直角坐标方程，求出圆心坐标，化P 的极坐标为直角坐标，利用两点间的距离公式求出距离即可.【考点】坐标系与参数方程，两点间的距离公式12.【答案】12【解析】用AB ，AD 表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算. 由已知得AC AD AB =+，12BE BC CE AD AB =+=-， ∴221122AC BE AD AB AD AB AD AB =-+-2211111||1||||cos60||12222AB AD AB AB AD AB ︒=+-=+-=，∴12AB =.【提示】已知平行四边形及部分条件，用向量表示，利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积的运算即可得出.【考点】向量的线性运算，平面向量的数量积运算13.【答案】83【解析】因为AB AC =，所以ABC C ∠=∠，因为AE 与圆相切，所以EAB C ∠=∠，所以ABC EAB ∠=∠，所以AE BC ∥.又因为AC DE ∥，所以四边形AEBC 是平行四边形，由切割线定理可得2AE EB ED =，于是26(5)EB EB =+，所以4EB =（负值舍去），因此4AC =，6BC =.又因为AFC DFB △∽△，所以456CF CF =-，解得83CF =. 【提示】证明四边形AEBC 是平行四边形，利用圆的切割线定理求出EB ，通过三角形相似求出CF 即可. 【考点】圆的切割线定理，三角形相似 14.【答案】2-【解析】由于2a b +=，所以1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b++=+=++，由于0b >，||0a >，所以||||214||4||b a b a a b a b +≥=，因此当0a >时，1||2||a a b +的最小值是15144+=；当0a <时1||2||a a b +的最小值是13144-+=，故1||2||a a b +的最小值为34，此时||4||0ba ab a ⎧=⎪⎨⎪<⎩，即2a =-. 【提示】由于2a b +=，从而1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b++=+=++，由于0b >，||0a >，所以||||214||4||b a b a a b a b+≥=，由1||2||a a b +的最小值求a 的值. 【考点】基本不等式求最值 三、解答题 15.【答案】（Ⅰ）2ππ2T == （Ⅱ）()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为2-【解析】（Ⅰ）ππ()2sin 2cos2cos2sin 3sin 2cos244f x x x x x =--+-， π2sin 22cos222sin 24x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期2ππ2T ==；（Ⅱ）因为()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，并且(0)2f =-，3π228f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为2-.数学试卷 第22页（共39页）【提示】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式将πsin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得()2sin 22cos2f x x x =-，再利用辅助角公式化简得π()22sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后利用正弦函数的周期公式即可算出()f x 的最小正周期；（Ⅱ）由()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【考点】三角函数的周期性和最值 16.【答案】（Ⅰ）67（Ⅱ）175EX =【解析】（Ⅰ）记“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则13222525476()7C C C C P A C +==，故所求概率为67； （Ⅱ）X 的所有可能取值为1，2，3，4.33471(1)35C P X C ===，34474(2)35C P X C ===，35472(3)7C P X C ===，36474(4)7C P X C ===，故X 的分布列如下表是： X 1 2 3 4 P1354352747其期望14241712343535775EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 【提示】（Ⅰ）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有47C ，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解；（Ⅱ）先判断随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列和期望值.【考点】古典概型，离散型随机变量的分布列和期望17.【答案】如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，由题意得(0,0,0)A ，(0,0,2)B ，(1,0,1)C ，1(0,2,2)B ，1(1,2,1)C，(0,1,0)E.（Ⅰ）易得11(1,0,1)B C=-，(1,1,1)CE=--，故11B C CE=，因此11B C CE⊥；（Ⅱ）1(1,2,1)B C=--，设(,,)n x y z=是平面1B CE的法向量，则1n B Cn CE⎧=⎪⎨=⎪⎩，得20x y zx y z--=⎧⎨-+-=⎩，取1z=可得平面1B CE的一个法向量()3,2,1n=--；由（Ⅰ）11B C CE⊥，又111B C CC⊥，故11B C⊥平面1CEC，知11(1,0,1)B C=-为平面1CEC的一个法向量.故111111427cos,7142|n B Cn B Cn B C-<>===-⨯|，知1121sin,7n B C<>=，所以所求二面角的正弦值为217；（Ⅲ）(0,1,0)AE=，1(1,1,1)EC=，设1(,,)(01)EM ECλλλλλ==≤≤，则(,1,)AM AE EMλλλ=+=+.取(0,0,2)AB=为平面11ADD A的一个法向量，设θ为AM与平面11ADD A所成的角，则2||sin|cos,|||||321AM ABAM ABAM ABλθλλ=<>==++.于是226321λλλ=++，解得13λ=（负值舍去），所以2AM=.【提示】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出11B C和CE，由11B C CE=得到11B C CE⊥；（Ⅱ）求出平面1B CE和平面1CEC的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基数学试卷 第28页（共39页）本关系求出其正弦值，则二面角的正弦值可求；（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M 的坐标用E 和C 1的坐标及待求系数表示，求出平面11ADD A 的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM 与平面11ADD A 所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM 的长可求.【考点】两条直线的位置关系，二面角，线面角，空间向量的应用18.【答案】（Ⅰ）22=132x y + （Ⅱ）2k =±【解析】（Ⅰ）设(,0)F c -，用33c a =，知3a c =. 过点F 且与x 轴垂直的直线为x c =-，代入椭圆的方程有2222()1c y a b-+=，解得63y b =±，于是264333b =，解得2b =. 又222a cb -=，从而3a =，1c =，所以椭圆的方程为22=132x y +. （Ⅱ）设点11(,)C x y ，22(,)D x y ，由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1)y k x =+，由方程组221132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得2222(23)6360k x k x k +++-=，求解可得12x x +22623k k =-+，12x x =223623k k-+. 因为(3,0)A -，(3,0)B ， 所以AC DB AD CB +11222211(3,)(3,)(3,)(3,)x y x y x y x y =+--++--1212622x x y y =--21212622(1)(1)x x k x x =--++22212126(22)2()2k x x k x x k =-+-+- 22212623k k +=++.11 / 13由已知得222126823k k ++=+，解得2k =±. 【提示】（Ⅰ）由离心率为33，可求出a ，b ，c 的关系，根据椭圆的一般方程，令x c =-代入求出弦长等于433，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设点11(,)C x y ，22(,)D x y ，直线CD 的方程为(1)y k x =+，由221132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 2222(23)6360k x k x k +++-=，再由韦达定理进行求解，求得AC DB AD CB +，利用8AC DB AD CB +=，即可求得k 的值.【考点】椭圆的定义与简单几何性质，直线与椭圆的位置关系19.【答案】（Ⅰ）13(1)2n n n a -=- （Ⅱ）{}n T 的最大项为56，最小项为712- 【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为33S a +，55S a +，44S a +成等差数列.所以55334455S a S a S a S a +--=+--，即534a a =，故25314a q a ==. 又{}n a 不是递减数列，且132a =，故12q =-， 故等比数列{n a }的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭， （Ⅱ）由（Ⅰ）得12()11212()n n n n n S n --⎧+⎪⎛⎫=--=⎨ ⎪-⎝⎭⎪⎩为奇数为偶数， 当n 为奇数时，n S 随n 的增大而减小，故1312n S S <≤=，故1111506n n S S S S <-≤-=； 当n 为偶数时，n S 随n 的增大而增大，故2314n S S =≤<，故22117012n n S S S S >-≥-=-. 综上，{}n T 的最大项为56，最小项为712-. 【提示】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由33S a +，55S a +，44S a +成等差数列，可构造关于q 的方程，结合首项为32等比数列{n a }不是递减数列，求出q 值；数学试卷 第34页（共39页）数学试卷 第35页（共39页） 数学试卷 第36页（共39页） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得n S 的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出1n nS S -在n 为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案.【考点】等比数列的通项及性质，前n 项和 20.【答案】（Ⅰ）由题得()2ln (2ln 1)(0)f x x x x x x x '=+=+>，令()0f x '=得1ex =， 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表所示. x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1e1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ()f x ' - 0+ ()f x极小值 因此，函数的单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （Ⅱ）证明：当01x <≤时，()0f x ≤，设0t >，令()()(1)h x f x t x =-≥，由（Ⅰ）知，()h x 在区间(1,)+∞单调递增，(1)0h t =-<，22(e )e lne (e 1)0t t t t h t t =-=->，故存在唯一的(1,)s ∈+∞，使得()t f s =成立；（Ⅲ）证明：因为()s g t =，由（Ⅱ）知()t f s =，且1s >，从而2ln ()ln ln ln ln ln ()ln(ln )2ln ln(ln )2ln g t s s s u t f s s s s s u u====++，其中ln u s =， 要使2ln ()15ln 2g t t <<成立，只需0ln 2u u <<. 当2e t >时，若()e s g t =≤，则由()f s 的单调性，有2()(e)e t f s f =≤=，矛盾.故e s >，即1u >，从而ln 0u >成立.另一方面，令()ln (1)2u F u u u =->，则11()2F u u '=-，令()0F u '=，得2u =， 当12u <<时，()0F u '>；当2u >时，()0F u '<，故对1u >，()(2)0F u F ≤<，因此ln 2u u <成立.13 / 13综上，当2e t >时，有2ln ()15ln 2g t t <<. 【提示】（Ⅰ）求导可得()2ln (2ln 1)(0)f x x x x x x x '=+=+>，令()0f x '=得1e x =，由导数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭的正负可得单调性； （Ⅱ）当01x <≤时，()0f x ≤，设0t >，令()()(1)h x f x t x =-≥，由（Ⅰ）知，()h x 的单调性，可得结论；（Ⅲ）令ln u s =，原题转化为0ln 2u u <<，一方面由()f s 的单调性可得1u >，从而ln 0u >成立；另一方面，令()ln (1)2u F u u u =->，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证. 【考点】利用导数求函数的单调区间，函数的零点的应用，不等式的证明。
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天津市十二区县重点学校 2013届高三毕业班联考（二）
数学（理）试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟。
第I 卷 选择题（共40分）
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的
位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上．
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P （A UB ）=PA ）+P （B ）
柱体的体积公式V= Sh ．其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高． 锥体的体积公式v=
1
3
Sh ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高。
一、选择题（本大墨共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的） 1．在复平面内，复数2334i
i
-+-（i 是虚数单位，所对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．执行右面的框图，若输出结果为1
2
，则输入的实数x 的值是
A ．
32
B ．
14
C 2
D 23．下列有关命题的说法正确的是
A ．命题“若x=y ，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．
B ．函数f （x ）= tanx 的定义域为{x|x≠k π, k ∈z}．
C ．命题‘‘∃x ∈R ，使得x 2+x+l<0”的否定是：“∀x ∈R 均有x 2+x+l<0"
D ．“a =2”是“直线y=一ax+2与y=
4
a
x-l 垂直”的必要不充分条件 4．设（5x x
）”的展开式的各项系致和为M ，二项式系数和为Ⅳ，若M －N=240，则展开式中x 的系数为
A ．-150
B ．150
C ．300
D ．-300
5．已知函数f（x）=
2
1
2 1
,0
1(),0
og x x
og x x
>
⎧⎪
⎨-<
⎪⎩
，若()0
af a
->，则实数a的取值范围是
A．（－1．0）⋃（0'1）B．（－∞，－1）⋃（1，+∞）
C．（－l，0）⋃（1，+∞）D．（－∞，－1）⋃（0，1）
6．已知函数f（x）= sin（
4
x
π
ω+），（x∈R，ω>0）的最小正周期为π，将y=f（x）的图像向左平移ϕ个单位长度，所得图像关于y轴对称，则ϕ的一个值是
A．
2
π
B．
3
8
π
C．
4
π
D．
8
π
7．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a l，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则
*
216
()
3
n
n
S
n N
a
+
∈
+
的最小值为
A．4 B．3 C．232
-D．
9
2
8．若关于x的方程2
4
x
kx
x
=
+
有四个不同的实数解，则实数k的取值范围为
A．（0，1）B．（
1
4
，1）C．（
1
4
，+∞）D．（1，+∞）
第II卷非选择题（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷中相应的横线上．9．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是____ ．
10．如图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA =2，C为OA的中点，连接BC并延长BC交圆O于点D，则CD= 。
11．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为________ 。
12．已知抛物线的参数方程为2
44x t y t
⎧=⎨=⎩，（t 为参数），焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点P 作PE ⊥l
于E ，若直线EF 的倾斜角为150o ，则|PF|= 。
13．已知集合A={x||x －l|+|x+l |≤3），集合B={x|x 2－（2m+l ）x+m 2+m<0}|若A
B ≠Φ，则实数m 的
取值范围为 。
14．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD =DC =1，AB =3，
动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设
(,)AP AD AB R αβαβ=+∈，则αβ+的取值范围
是 。
三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 己知函数f （x ）31
2
-（cos 2x －sin 2x ）－1。
（I ）求函数f （x ）的最小值及取最小值时相应的x 值；
（II ）设△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且7f （C ）=0，若向量m =（1，sin A ）与向量n =（3，sin B ）共线，求a ，b 的值。
16．（本小题满分13分）
某企业招聘工作人员，设置A 、B 、C 三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人
参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加A 组测试，丙、丁两人各自独立参加B 组测试．已知
甲、乙两人各自通过测试的概率均为
13，丙、丁两人各自通过测试的概率均为1
2
，戊参加C 组测试，C 组共有6道试题，戊会其中4题．戊只能且必须选择4题作答，答对3题则竞聘成功。
（I ）求戊竞聘成功的概率；
（II ）求参加A 组测试通过的人数多于参加B 组测试通过的人数的概率； （m ）记A 、B 组测试通过的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望。
17．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，△DC=90o ，平面PAD ⊥底
面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA= PD=2，BC =
1
2
AD =1，3 （I ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
（II ）若M 为棱PC 的中点，求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值； （Ⅲ）若二面角M －BQ －C 大小为30o ，求QM 的长．
18．（本小题满分13分） 已知函数f （x ）=
23
3x x
+，数列{a n }满足a 1=l, a n+1=f （1n a ），n ∈N *。
（I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）令b n =
11n n
a a -（n ≥2），
b 1=3，S n =b 1+b 2+…+b n ，若S n <
2004
2
m -对一切n ∈N *成立，求最小正整数m ． 19．（本小题满分14分）
已知椭圆C ：2222x y a b +=1（a>b>0）的离心率为1
2
，椭圆的短轴端点与双曲线
22y -x 2=l 的焦点重合，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）已知O 是坐标原点，求OA ·
OB 的取值范围； （Ⅲ）若点B 关于x 轴的对称点是点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点。
20．（本小题满分14分）
已知函数f （x ）=（2－a ）（x －1）－21nx ，g （x ）=xe 1－
x （a ∈R, e =2.71828…） （I ）当a=l 时，求f （x ）的单调区间；
（II ）若函数f （x ）在区间1
(0,)2
无零点，求a 的最小值；
（Ⅲ）若对任意给定的(]0,o x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =使得1()()
o f x g x =成立，求a 的取值范围。