2020高三理科数学一轮复习讲义五《解析几何热点问题》
2020高三理科数学一轮复习讲义五《解析几何热点问题》核心热点 真题印证核心素养 直线方程、定值问题2018·Ⅰ，19；2018·北京，19数学运算、逻辑推理 椭圆方程、定点问题2017·Ⅰ，20；2017·Ⅱ，20数学运算、逻辑推理直线与椭圆的位置关系2016·Ⅰ，20；2016·Ⅱ，20；2018·Ⅲ，20数学运算、 逻辑推理 直线与抛物线的位置关系2018·Ⅱ，19；2017·Ⅲ，20；2016·Ⅱ，20数学运算、 逻辑推理教材链接高考——求曲线方程及直线与圆锥曲线[教材探究](选修2－1P49习题A5(1)(2))求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点P (－22，0)，Q (0，5)；(2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点P (3，0).[试题评析] 1.问题涉及解析几何中最重要的一类题目：求曲线的方程，解决的方法都是利用椭圆的几何性质.2.对于(1)给出的两点并不是普通的两点，而是长轴和短轴的端点，这就告诉我们要仔细观察、借助图形求解问题，(2)中条件给出a ，b 的值，但要讨论焦点的位置才能写出椭圆方程.【教材拓展】 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设C ⎝⎛⎭⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E ，若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________.解析 易知抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p2，0，又|CF |＝2|AF |且|CF |＝⎪⎪⎪⎪72p －p2＝3p ，∴|AB |＝|AF |＝32p ， 可得A (p ，2p ).易知△AEB ∽△FEC ，∴|AE ||FE |＝|AB ||FC |＝12，故S △ACE ＝13S △ACF ＝13×3p ×2p ×12＝22p 2＝32， ∴p 2＝6，∵p >0，∴p ＝ 6. 答案6探究提高 1.解答本题的关键有两个：(1)利用抛物线的定义求出点A 的坐标，(2)根据△AEB ∽△FEC 求出线段比，进而得到面积比并利用条件“S △ACE ＝32”求解.2.对于解析几何问题，除了利用曲线的定义、方程进行运算外，还应恰当地利用平面几何的知识，能起到简化运算的作用.【链接高考】 (2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且|FB |·|AB |＝6 2. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值.解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b . 由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ， 由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2. 所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2).由已知有y 1>y 2>0， 故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2. 又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB，而∠OAB ＝π4，故|AQ |＝2y 2. 由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y 24＝1，消去x ，可得y 1＝6k 9k 2＋4. 易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2kk ＋1.代入5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4， 将等式两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0， 解得k ＝12或k ＝1128. 所以，k 的值为12或1128.教你如何审题——圆锥曲线中的证明问题【例题】 (2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0).(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . [审题路线][自主解答](1)解 由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1.把x ＝1代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22，又M (2，0)，所以直线AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明 当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线， 所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2. 由y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k （x 1－2）（x 2－2）.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以，x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补. 所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .探究提高 (1)解决本题的关键是分析图形，把图形中“角相等”关系转化为相关直线的斜率之和为零，类似的还有圆过定点问题，转化为在该点的圆周角为直角，进而转化为斜率之积为－1；线段长度的比问题转化为线段端点的纵坐标或横坐标之比；(2)解决此类问题，一般方法是“设而不求”，通过“设参、用参、消参”的推理及运算，借助几何直观，达到证明的目的.【尝试训练】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，F 为其右焦点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (4，0)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直线l 使△AMF与△MFN 的面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)因为c a ＝12，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 设椭圆方程x 24c 2＋y 23c 2＝1，又点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，所以14c 2＋34c 2＝1，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)易知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0， 由题意知Δ＝(32k 2)2－4(3＋4k 2)(64k 2－12)>0， 解得－12<k <12.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，①x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2.②因为△AMF 与△MFN 的面积相等， 所以|AM |＝|MN |，所以2x 1＝x 2＋4.③ 由①③消去x 2得x 1＝4＋16k 23＋4k 2，④将x 2＝2x 1－4代入②，得x 1(2x 1－4)＝64k 2－123＋4k 2⑤将④代入到⑤式，整理化简得36k 2＝5. ∴k ＝±56，经检验满足题设，故直线l 的方程为y ＝56(x －4)或y ＝－56(x －4). 满分答题示范——圆锥曲线中的定点、定值问题【例题】 (12分)(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值. [规范解答][高考状元满分心得]❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分. 如第(1)问中联立直线方程和抛物线方程，对直线斜率取值的讨论.❷得关键分：解题过程中不可忽视关键点，有则给分，无则没分.如第(1)问中求抛物线的方程，第(2)问中求点M 和N 的纵坐标. ❸得计算分：解题过程中计算准确是满分的根本保证.如第(2)中用y M ，y N 表示λ，μ，计算1λ＋1μ的值.[构建模板]【规范训练】 (2019·昆明质检)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .已知以F 为圆心、4为半径的圆与l 交于A ，B 两点，E 是该圆与抛物线C 的一个交点，∠EAB ＝90°. (1)求p 的值；(2)已知点P 的纵坐标为－1且在抛物线C 上，Q ，R 是抛物线C 上异于点P 的另外两点，且直线PQ 和直线PR 的斜率之和为－1，试问直线QR 是否经过一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.解 (1)由题意及抛物线的定义，有|AF |＝|EF |＝|AE |＝4， 所以△AEF 是边长为4的正三角形. 设准线l 与x 轴交于点D ，则|DF |＝p ＝12|AE |＝12×4＝2.所以p ＝2.(2)设直线QR 的方程为x ＝my ＋t ，点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2).由⎩⎨⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x得y 2－4my －4t ＝0， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，Δ＝16m 2＋16t >0. 又因为点P 在抛物线C 上，则 k PQ ＝y P －y 1x P －x 1＝y P －y 1y 2P 4－y 214＝4y P ＋y 1＝4y 1－1. 同理可得k PR ＝4y 2－1.因为k PQ ＋k PR ＝－1，所以4y 1－1＋4y 2－1＝4（y 1＋y 2）－8y 1y 2－（y 1＋y 2）＋1＝16m －8－4t －4m ＋1＝－1，解得t ＝3m －74.由⎩⎨⎧Δ＝16m 2＋16t >0，t ＝3m －74，14≠m ×（－1）＋t ，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－72∪⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞).所以直线QR 的方程为x ＝m (y ＋3)－74， 故直线QR 过定点⎝⎛⎭⎫－74，－3.1.已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A (0，23)，离心率为12. (1)求椭圆P 的方程；(2)是否存在过点E (0，－4)的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OR →·OT →＝167？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)设椭圆P 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由题意得b ＝23，e ＝c a ＝12， ∴a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2， ∴c ＝2，a ＝4，∴椭圆P 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在满足题意的直线l ，易知当直线l 的斜率不存在时，OR →·OT →<0，不满足题意. 故可设直线l 的方程为y ＝kx －4，R (x 1，y 1)，T (x 2，y 2). ∵OR →·OT →＝167，∴x 1x 2＋y 1y 2＝167.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 216＋y 212＝1得(3＋4k 2)x 2－32kx ＋16＝0， 由Δ>0得(－32k )2－64(3＋4k 2)>0，解得k 2>14.① ∴x 1＋x 2＝32k 3＋4k 2，x 1x 2＝163＋4k 2， ∴y 1y 2＝(kx 1－4)(kx 2－4)＝k 2x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16， 故x 1x 2＋y 1y 2＝163＋4k 2＋16k 23＋4k 2－128k 23＋4k 2＋16＝167， 解得k 2＝1.② 由①②解得k ＝±1， ∴直线l 的方程为y ＝±x －4.故存在直线l ：x ＋y ＋4＝0或x －y －4＝0满足题意.2.(2019·郑州质检)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点F (1，0)，P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)M ，N 是曲线C 上的动点，且直线MN 经过定点⎝⎛⎭⎫0，12.问：在y 轴上是否存在定点Q ，使得∠MQO＝∠NQO ？若存在，请求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)设PF 的中点为S ，切点为T ，连接OS ，ST ，则|OS |＋|SF |＝|OT |＝2. 取F ′(－1，0)，连接F ′P ， 则|F ′P |＋|FP |＝2(|OS |＋|SF |)＝4.所以点P 的轨迹是以F ′，F 为焦点、长轴长为4的椭圆，其中，a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在满足题意的定点Q .设Q (0，m )，当直线的斜率存在时直线MN 的方程为y ＝kx ＋12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).联立得方程组⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋12.消去y 并整理，得(3＋4k 2)x 2＋4kx －11＝0. 由题意知Δ>0，∴x 1＋x 2＝－4k 3＋4k 2，x 1x 2＝－113＋4k 2. 由∠MQO ＝∠NQO ，得直线MQ 与直线NQ 的斜率之和为0， ∴y 1－m x 1＋y 2－m x 2＝kx 1＋12－m x 1＋kx 2＋12－mx2＝2kx 1x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m （x 1＋x 2）x 1x2＝0， ∴2kx 1x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m (x 1＋x 2)＝2k ·－113＋4k 2＋⎝⎛⎭⎫12－m ·－4k 3＋4k 2＝4k （m －6）3＋4k 2＝0，当k ≠0时，m ＝6，所以存在定点(0，6)，使得∠MQO ＝∠NQO ；当k ＝0时，定点(0，6)也符合题意. 易知直线MN 的斜率不存在时，定点Q (0，6)也符合题意. ∴存在符合题意的定点Q ，且定点Q 的坐标为(0，6). 综上，存在定点(0，6)使得∠MQO ＝∠NQO .3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1， 因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)椭圆C 上不存在这样的点Q ，理由如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1，消去x 得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， 所以y 1＋y 2＝2t9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0， 故y 0＝y 1＋y 22＝t9，且－3<t <3.由PM →＝NQ →得⎝⎛⎭⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)，所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53. 又－3<t <3，所以－73<y 4<－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾. 因此椭圆C 上不存在这样的点Q .4.(2019·合肥质检)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2，以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设经过点(－2，0)的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，求△F 2MN 的面积的最大值. 解 (1)由题意，得椭圆E 的焦点在x 轴上.设椭圆E 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，∴椭圆E 的标准方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.∵椭圆E 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，∴12b 2＋12b 2＝1，解得b 2＝1.∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵点(－2，0)在椭圆E 外，∴直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k ，则直线l ：y ＝k (x ＋2).设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 22＋y 2＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0. ∴x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2， Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)>0，解得0≤k 2<12. ∴|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝21＋k 22－4k 2（1＋2k 2）2. ∵点F 2(1，0)到直线l 的距离d ＝3|k |1＋k 2， ∴△F 2MN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝3k 2（2－4k 2）（1＋2k 2）2. 令1＋2k 2＝t ，t ∈[1，2)，得k 2＝t －12.∴S ＝3（t －1）（2－t ）t 2＝3－t 2＋3t －2t 2＝3－1＋3t －2t 2＝3－2⎝⎛⎭⎫1t －342＋18. 当1t ＝34，即t ＝43⎝⎛⎭⎫43∈[1，2）时，S 有最大值，S max ＝324，此时k ＝±66. ∴△F 2MN 的面积的最大值是324.5.(2018·重庆二诊)椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为椭圆E 上的动点(不与A 1，A 2重合)，且直线P A 1与P A 2的斜率的乘积为－34.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 2作两条互相垂直的直线l 1与l 2(均不与x 轴重合)分别与椭圆E 相交于A ，B ，C ，D 四点，线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 过定点，并求出该定点的坐标.(1)解 设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.整理，得x 20－a 2＝－a 2y 20b2.由题意，得y 0x 0－a ·y 0x 0＋a＝－34. 整理，得x 20－a 2＝－43y 20. ∴－a 2y 20b 2＝－43y 20，又y 0≠0，即a 2＝43b 2. ∵c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝4，b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设直线AB ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），3x 2＋4y 2＝12，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3. ∴x M ＝x 1＋x 22＝12·8k 24k 2＋3＝4k 24k 2＋3， ∴y M ＝k (x M －1)＝－3k 4k 2＋3. 用－1k 替换点M 坐标中的k ，可得x N ＝43k 2＋4，y N ＝3k 3k 2＋4. 若直线AB 关于x 轴对称后得到直线A ′B ′，直线CD 关于x 轴对称后得到直线C ′D ′，线段A ′B ′，C ′D ′的中点分别为M ′，N ′，则直线M ′N ′与直线MN 关于x 轴对称.∴若直线MN 经过定点，则该定点一定是直线M ′N ′与MN 的交点，该交点必在x 轴上.设该交点为T (s ，0)，则MT →＝(s －x M ，－y M )，NM →＝(x M －x N ，y M －y N ).由MT →∥NM →，得s ＝x N y M －x M y N y M －y N. 代入点M ，N 的坐标并化简，得s ＝47.∴经过的定点为⎝⎛⎭⎫47，0. 6.如图所示，已知圆G ：(x －2)2＋y 2＝49是椭圆T ：x 216＋y 2b 2＝1(0<b <4)的内接△ABC 的内切圆，其中A 为椭圆T 的左顶点，且GA ⊥BC .(1)求椭圆T 的标准方程；(2)过点M (0，1)分别作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，试判断直线EF 与圆G 的位置关系，并说明理由.解 (1)设B ⎝⎛⎭⎫83，y 0，y 0>0，AB 与圆G 切于点D ，BC 交x 轴于点H ，连接DG ，如图.由题意得△ADG ∽△AHB ，即GD AG ＝HB AB ，得236＝y 04009＋y 20.解得y 20＝59.∵点B ⎝⎛⎭⎫83，y 0在椭圆T 上， ∴64916＋y 20b 2＝49＋59b 2＝1，解得b 2＝1.故椭圆T 的标准方程为x 216＋y 2＝1.(2)直线EF 与圆G 相切.理由如下：设过点M (0，1)与圆G ：(x －2)2＋y 2＝49相切的直线的方程为kx －y ＋1＝0，则23＝|2k ＋1|1＋k 2，即32k 2＋36k ＋5＝0.(*)设MF ，ME 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2为方程(*)的根， 则k 1＋k 2＝－98，k 1k 2＝532.将kx －y ＋1＝0代入x 216＋y 2＝1， 消去y 并整理，得(16k 2＋1)x 2＋32kx ＝0，解得x ＝－32k16k 2＋1或x ＝0.设F (x 1，k 1x 1＋1)，E (x 2，k 2x 2＋1)，则x 1＝－32k 116k 21＋1，x2＝－32k 216k 22＋1. ∴直线EF 的斜率k EF ＝k 2x 2－k 1x 1x 2－x 1＝k 1＋k 21－16k 1k 2＝34.从而直线EF 的方程为y ＋32k 2116k 21＋1－1＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32k 116k 21＋1.将32k 21＝－36k 1－5代入上式并化简，得y ＝34x －73.则圆心(2，0)到直线EF的距离d＝⎪⎪⎪⎪32－731＋916＝23. 故直线EF与圆G相切.。
2020版新高考复习理科数学教学案：解析几何含答案 (2)
A1(－a,0).A2(a,0)
A1(0.－a).A2(0.a)
轴
实轴：线段A1A2.虚轴：B1B2
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ .e∈(1.＋∞)
a.b.c的关系
c2＝a2＋b2
渐近线
y＝± x
y＝± x
三、离心率e的作用
(1)椭圆：e越大.图形越扁．
(2)双曲线：e越大.开口越小．
四、常见结论
答案：B
7．[20xx·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中.P是曲线y＝x＋ (x>0)上的一个动点.则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
解析：通解：设P .x>0.则点P到直线x＋y＝0的距离d＝ ＝ ≥ ＝4.当且仅当2x＝ .即x＝ 时取等号.故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.
(2)符号语言：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)当|MF1|－|MF2|＝2a时.曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时.曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支；当2a＝|F1F2|时.轨迹为分别以F1.F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时.动点轨迹不存在．
(2)弦长公式：l＝2a＝2 .
3．切线长公式
圆的方程为f(x.y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.或f(x.y)＝(x－a)2＋(y－b)2－R2＝0.圆外有一点P(x0.y0).由点P向圆引的切线的长为l＝ .
■自测自评——————————————
1．设a.b.c分别是△ABC中角A.B.C所对的边.则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是( )
2020年高考数学热点复习：解析几何热点问题
y
l
P3A
P2
P1
P4
F2
O
F1
x
B
故不满足． ………………………6 分 (得分点 4)
从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1)． 将 y＝kx＋m 代入x42＋y2＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
…7 分 (得分点 5)
由题设可知 Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点 3)，(得 分点 5)，(得分点 7)．
解答圆锥曲线中的定点问题的一般步骤 第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所 要探求的定点． 第二步：探究一般情况．探究一般情形下的目标结论． 第三步：下结论，综合上面两种情况定结论．
(1)解 ∵椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 22， ∴e2＝ac22＝a2－a2b2＝12，得 a2＝2b2，① 又点 Qb，ba在椭圆 C 上，∴ba22＋ab24＝1，②
联立①、②得 a2＝8，且 b2＝4. ∴椭圆 C 的方程为x82＋y42＝1.
(2)证明 当直线 PN 的斜率 k 不存在时，
2020年高考数学热点复习
解析几何热点问题
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1.圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是高考必考知识，主 要以一个小题一个大题的形式呈现，难度中等偏上； 2.高考中的选择题或填空题主要考查圆锥曲线的基本性质，高考 中的解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、 最值、范围、探索性问题为主.这些试题的命制有一个共同的特 点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂 的运算，对考生解决问题的能力要求较高.
2020高考数学名师预测 知识点05解析几何
高考猜题专题05 解析几何一.选择题（共6小题，每小题5分，共30分）1若圆)0(222>=+r r y x 上恰有相异两点到直线02534=+-y x 的距离等于1，则r 的取值范围是：A ．[4，6]B ．)6,4[C ．]6,4(D ．)6,4(2、直线0=+-b y ax 与圆02222=+-+by ax y x 的图象可能是：3．从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22221x y m n+=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是A ．43B ．72C ．86D ．904、 动点P （m,n ）到直线5:-=x l 的距离为λ22n m +，点P 的轨迹为双曲线（且原点O为准线l 对应的焦点），则λ的取值为A 、λ∈RB 、λ=1C 、λ＞1D 、0＜λ＜15．点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上．过点P 且方向为a =（2,-5）的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 （ ）A ．3B ．13C ．2D ．126．点P 到点A （21，0），B （a ，2）及到直线x ＝－21的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 A ．21B ．23C ．21或23D ．－21或21 7．已知对k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．（0，1）B ．（0，5）C ．［1，5］∪（5,+∞）D ．［1,5］8．在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，12,F F 分别是其左右焦点，若122PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦9．如图所示，下列三图中的多边形均为正多边形,M 、N 是所在边的中点，双曲线均以图中的F 1,F 2为焦点，设图中的双曲线的离心率分别为e 1,e 2,e 3，则 （ ）A ．e 1>e 2＞e 3B ．e 1<e 2<e 3C ．e 1＝e 3<e 2D ．e 1=e 3>e 210．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ABc PBC S S ∆∆， λ2＝ABC PCA S S ∆∆，λ3＝ABCPAB S S∆∆，定义f （P ）=（λ1, λ, λ3）,若G 是△ABC 的重心，f （Q ）＝（21，31，61），则 A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合11、 点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“正点”，那么下列结论中正确的是（ ）A ．直线l 上的所有点都是“正点”B ．直线l 上仅有有限个点是“正点”C ．直线l 上的所有点都不是“正点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“正点” 12 若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于( )A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64D ．74-或7二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13、椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是：14、若不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是：15．直线y x a =+与圆224x y +=交于点,A B ，若2OA OB =-u u u r u u u rg （O 为坐标原点），则实数a 的值为 。
2020届高考数学专题复习《解析几何典例剖析及备考策略》
2020届高考数学专题复习《解析几何典例剖析及备考策略》近几年解析几何的试题，小题难度有所增加，解答题在难度、计算的复杂程度等方面都有所下降（特别是2018年开始理科解析几何大题位置的前移导致难度下降更为明显），但突出对解析几何基本思想和基本方法的考查，重点要掌握解析几何的一些基本方法来解决问题，解析几何中解题的基本方法有解析法、待定系数法、变换法、参数法等方法。
在复习时应做到牢固掌握圆锥曲线定义；重视基础知识，基本题型的训练；注意课本典型例题、习题的延伸，教材中的例题、习题虽然大多比较容易，但其解法往往具有示范性，可延伸性，适当地编拟题组进行复习训练，有利于系统地掌握知识，融会贯通；注意转化条件，优化解题方法。
解析几何中有一些基本问题，如两直线垂直的证明、求弦的中点、弦长的计算等等，对这些问题的处理方法要做到熟知。
但有不少题目，所给的条件无法直接使用，或者使用起来比较困难，此时，可考虑对条件进行适当的转化，使解题过程纳入到学生所熟悉的轨道。
强化数学思想方法的训练和运用，譬如：函数与方程思想，解析几何的研究对象和方法决定了它与函数、方程的“不解之缘”，很多解析几何问题实际上就是建立方程后研究方程的解或建立函数后研究函数的性质。
又如：分类讨论思想 ，解析几何中，有些公式，性质是有适用条件的，解题时必须注意分类讨论、区别处理。
例如直线方程的点斜式、斜截式中斜率必须存在，截距式只适用在两轴上的截距存在且不为零的情况，两点式不适用于与坐标轴垂直的直线。
再如：数形结合思想 ，解析几何的本质就是将“数”与“形”有机地联系起来，曲线的几何特征必然在方程、函数或不等式中有所反映，而函数、方程或不等式的数字特征也一定体现出曲线的特性。
总之，解析几何题综合性强、应用面广，有些题目对运算求解能力要求高、有些题目对推理论证能力要求高，所以在高三复习中，要在狠抓落实上下功夫，既要注重基础，又要有所创新提高，既要注重通性通法，又要注意技巧锻炼，要做到灵活多变，培养学生养成良好的学习习惯，自觉地运用数学思想方法进行分析、推理、运算，指导同学的复习，提高效率。
解析几何问题中常见的技巧专题课件高三数学一轮复习
解：直线 AM 的斜率为1时，直线 AM 的方程为 y ＝ x ＋2，
代入椭圆方程并化简得5 x 2＋16 x ＋12＝0.
6
解得 x 1＝－2， x 2＝－ ，所以 M
5
6
4
− ，
5
5
.
高中总复习·数学（提升版）
（2）当直线 AM 的斜率变化时，直线 MN 是否过 x 轴上的一定
解析：
2
由双曲线方程 x 2－ ＝1知 a ＝1， b ＝3，则其渐近线方程
9
为 y ＝±3 x .观察选项知，四个点均在双曲线外，∴点 A ， B 分别在双
曲线的两支上，∴－3＜ kAB ＜3.设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），则
12 −
22 −
12
9
22
9
= 1，
4
点， A ， B 分别是 C 1， C 2在第二、四象限的公共点.若四边形 AF 1 BF 2
为矩形，则 C 2的离心率是（
A. 2
3
C.
2
B. 3
D.
6
2
）
高中总复习·数学（提升版）
解析：
由已知，得 F 1（－ 3 ，0）， F 2（ 3 ，0），设双曲线 C 2
的实半轴长为 a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得
，
2
−
，
2
3
2
，＝
− ，
3 2
1 2
3 2
1
3 2
2
2
2
2
＝ c － a ＋ b ＝ c － a ＋ （ a － c ）＝ c －
高2020届理科数学一轮复习课件金太阳新考案第十四单元解答题题型突破五——解析几何
高考第一轮复习
解答题题型突破五——解析几何
纵观近几年的高考试题,不难看出,解析几何在高考中的解答题大题.一般有两问.第 一问以考查求方程和离心率居多,主要考比较基础的知识,此问一般考生都能做出来, 属于送分题.第二问往往考查直线与曲线的相交问题,一般涉及定点、定值、最值、 范围、证明或存在性问题.解决这类问题的关键是根据题意画出图形,常用数形结合 的方法解决.这里,联立方程组会成为做题的常用方法.
解析
题型二 定点、定值问题
解析
解析
题型三 证明问题
解析
题型四 存在性问题
解析
解析
谢 谢观 赏
热点题型 题型一 最值、范围问题
圆锥曲线的最值、范围问题,常用的解决方法有两种:(1)代数法,联立方程组,建立函数或 不等式模型,利用函数的方法和基本不等式或导数的方法求最值;(2)几何法,根据圆锥曲线 的几何意义求最值或范围.
【例1】(2016年全国Ⅰ卷)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重 合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点, 求四边形MPNQ面积的取值范围.
解析
பைடு நூலகம்
【针对训练1】已知曲线C1:y=-x2+1(y≤0)与x轴交于A,B两点,且点A在点B左侧,点P 为x轴上方的一个动点,D是线段PB的中点,直线DO(O为坐标原点)的斜率与直线 PB的斜率之积为-4. (1)求动点P的轨迹C2的方程; (2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点M,Q(均异于点A,B)两点,在△AMQ中,∠MAQ 为锐角,求直线l的斜率的范围.
2020年高考人教A版理科数学一轮复习(全册PPT课件 1520张)
2020版高考 全册精品 PPT课件
第1章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第2章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 第二节 函数的单调性与最值 第三节 函数的奇偶性与周期性 第四节 二次函数与幂函数 第五节 指数与指数函数 第六节 对数与对数函数 第七节 函数的图象
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
23 答案
2 ． ( 教 材 改 编 ) 若 集 合 A ＝ D [由题意知 A＝{0,1,2}，由 a＝ {x∈N|x≤2 2}，a＝ 2，则下列结 2，知 a∉A.] 论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
解2析4 答案
22
[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( ) (4)直线 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点组成的集合是{1,4}．( )
第8章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 第二节 两条直线的位置关系 第三节 圆的方程 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 第五节 椭 圆
第1课时 椭圆的定义、标准方程及其性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系
第六节 双曲线 第七节 抛物线 第八节 曲线与方程 第九节 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题 高考大题增分课(五) 平面解析几何中的高考热点问题
第9章 算法初步、统计与统计案例 第一节 算法与程序框图 第二节 随机抽样 第三节 用样本估计总体 第四节 变量间的相关关系与统计案例
高三数学第一轮复习讲义
高三数学第一轮复习讲义一、函数与方程1. 函数的定义与性质函数是数学中非常重要的概念之一。
在高中数学中，我们常常遇到各种各样的函数问题，理解函数的定义与性质对于解决这些问题至关重要。
1.1 函数的定义函数是一个集合与集合之间的映射关系，它可以将一个自变量的值映射到一个唯一的因变量的值上。
通常表示为：f(x)，其中f表示函数名，x表示自变量，f(x)表示函数的值。
1.2 函数的性质•定义域：函数的自变量所能取到的值的集合。
•值域：函数的因变量所能取到的值的集合。
•单调性：函数在整个定义域内的增减关系。
•奇偶性：函数的对称性质。
2. 一元二次方程一元二次方程是高中数学中常见的一种方程类型，它的一般形式为ax2+bx+c=0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、求根公式等。
2.1 因式分解法当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过解两个一次方程来求解原方程。
例如：x2−5x+6=0可以分解为(x−2)(x−3)=0，解方程得x=2或x=3。
2.2 配方法当一元二次方程的一次项系数为 2 或 -2 时，可以采用配方法来求解方程。
例如：2x2−7x−3=0。
我们可以通过将2x2−7x−3=0看作(ax+b)x+ c=0的形式，其中a、b、c分别表示方程的系数。
然后，我们将x的系数−7分解为两个数，使得这两个数相乘等于ac，即2∗(−3)=−6，并且这两个数的和等于b，即−7。
在这个例子中，可以写成−3和2。
然后将方程改写为(2x−3)(x+ 1)=0，解得 $x=\\frac{3}{2}$ 或x=−1。
2.3 求根公式当一元二次方程无法通过因式分解或配方法来求解时，我们可以使用求根公式来求解方程。
一元二次方程的求根公式为：$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
通过代入方程的系数a、b、c到公式中，就可以得到方程的解。
3. 三角函数三角函数是解决与角相关问题的数学工具，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
2020高考数学专题复习-解析几何专题
1． 福建）已知 F 1、F 2 是椭圆的两个焦点，过 F 1 且与椭圆长轴垂直《曲线的方程和性质》专题一、《考试大纲》要求⒈直线和圆的方程（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域．（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．⒉圆锥曲线方程（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）了解圆锥曲线的初步应用．二、高考试题回放（的直线交椭圆于 A 、B 两点，若 ABF △2 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A ． 3B ． 2C ． 2D ． 333 22（3 C ． 12 B ． - 2- = 1上一点线的距离 2．(福建)直线 x +2y=0 被曲线 x 2+y 2－6x －2y －15=0 所截得的弦长等于 .3． 福建）如图，P 是抛物线 C ：y= 1 x 2 上一点， 2直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q .（Ⅰ） 若直线 l 与过点 P 的切线垂直，求线段 PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S ，与 y 轴交于点 T ，试求 | ST | + | ST | 的取值范围.| SP | | SQ |4．（湖北）已知点 M （6，2）和 M 2（1，7）.直线 y=mx —7 与线 段 M 1M 2 的交点 M 分有向线段 M 1M 2 的比为 3：2，则 m 的值为（ ）A ． - 34D ．4 5.（湖北）两个圆 C : x 2 + y 2 + 2 x + 2 y - 2 = 0与C : x 2 + y 2 - 4 x - 2 y + 1 = 0 的1 2公切线有且仅有（）A ．1 条B ．2 条C ．3 条D ．4 条6．（湖北）直线 l : y = kx + 1与双曲线 C : 2 x 2 - y 2 = 1的右支交于不同的两点 A 、B.（Ⅰ）求实数 k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数 k ，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C的右焦点 F ？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由.7．（湖南）如果双曲线 x 2y 2P 到右焦点的距离为13 , 那13 12 么点 P到右 准是（）（ k A ． 135B ．13C ．5D ． 5138．（湖南）F 1，F 2 是椭圆 C ： x 2 + x 2 = 1 的焦点，在 C 上满足 PF 1⊥8 4PF 2 的点 P 的个数为__________.9． 湖南）如图，过抛物线 x 2=4y 的对称轴上任一点 P （0,m ）(m>0) 作直线与抛物线交于 A,B 两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点。
【创新方案】2020年高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 专题五 高考解析几何命题动向教案 理 新人教版
专题五 高考解析几何命题动向高考命题分析解析几何是高中数学的又一重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此可以以坐标为桥梁，使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系．用向量方法研究解析几何问题，主要是利用向量的平行(共线)、垂直关系及所成角研究解析几何中直线的平行、垂直关系及所成角．平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材，这类问题涉及面广、综合性强、背景新颖、灵活多样，求解此类问题对能力要求较高．在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下，每年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例，且常考常新．高考命题特点(1)直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素．高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是求圆锥曲线的标准方程；有的是直接考查圆锥曲线的离心率，有的是对直线与圆锥曲线的位置关系进行考查等．(2)试题在考查相应基础知识的同时，着重考查基本数学思想和方法，如分类讨论思想、数形结合思想．除此之外，许多试卷都非常重视对考生思维能力和思维品质的考查．(3)解析几何是高中数学的重点内容，它的特点是用代数的方法研究解决几何问题，重点是用“数形结合”的思想把几何问题转化为代数问题，这类试题涉及面广、综合性强、题目新颖、灵活多样，解题对能力要求较高．高考动向透视直线与圆的方程对于直线方程，要理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握点到直线的距离公式等，特别是求直线方程的三种形式．而对于圆的方程，要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法．如求解圆的方程的待定系数法、求圆的圆心与半径的配方法、求圆的弦心距的构造直角三角形法、判断直线与圆、圆与圆的位置关系的代数法与几何法、求圆的切线的基本方法等．这些方法是解决与圆有关问题的常用方法，必须认真领会，熟练运用．【示例1】►(2020·杭州模拟)设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P ，Q满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，又满足OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值；(2)求直线PQ 的方程．解 (1)曲线方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆．∵点P ，Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称，∴圆心(－1,3)在直线x ＋my ＋4＝0上，代入得m ＝－1.(2)∵直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直．∴可设直线PQ 的方程为y ＝－x ＋b .将直线y ＝－x ＋b 代入圆的方程，得2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0.由Δ＝4(4－b )2－4×2×(b 2－6b ＋1)＞0，得2－32＜b ＜2＋3 2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－(4－b )， x 1x 2＝b 2－6b ＋12. ∴y 1y 2＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝b 2－6b ＋12＋4b .∵OP →·OQ →＝0， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2－2b ＋1＝0，解得b ＝1∈(2－32，2＋32)．∴所求的直线方程为x ＋y －1＝0.本题考查了圆的方程和直线与圆的位置关系，对于直线与圆的位置关系，可联立方程，转化为交点坐标，结合条件，求出参数值．【训练】 (2020·福建)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0.解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2， 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.圆锥曲线的定义、标准方程(1)圆锥曲线的定义是高考考查的重点之一．对于圆锥曲线定义的考查，一般涉及焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系，属于基础知识、基本运算的考查，解题时要注意恒等变形，进行合理转化与化归．(2)圆锥曲线的标准方程在新课标高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小问的，这一问至关重要，因为只有求出了曲线方程，才能进行下一步的运算．求曲线方程的方法很多，其中“待定系数法”最为常见． 【示例2】►(2020·山东)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )．A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析 圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，根据已知得3b a 2＋b 2＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，则a 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 24＝1，故选A. 答案 A本小题考查双曲线的几何性质(渐近线方程、焦点坐标)以及对直线与圆位置关系的理解与应用，求解本题时应注意将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于圆的半径列式求解，本题难度适中．圆锥曲线的离心率离心率是高考对圆锥曲线考查的又一个重点．求离心率取值范围问题是解析几何中常见的问题，求解时，可根据题意列出关于a 、b 、c 的相应等式，并把等式中的a 、b 、c 转化为只含有a 、c 的齐次式，再转化为含e 的等式，最后求出e .该类题型较为基础、简单，一般以填空题、选择题或解答题的第一问的形式出现，是送分题，只要我们熟练掌握圆锥曲线的几何性质，就可以顺利解题．【示例3】►(2020·新课标全国)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与双曲线C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )． A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b2＝1可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a ，∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝c a ＝ 3. 答案 B本小题考查对双曲线的几何性质的理解与应用，考查运算求解能力及逻辑思维能力．直线与圆锥曲线的位置关系此类试题一般为高考的压轴题，主要考查圆锥曲线的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系．高考经常设计探究是否存在的问题，也经常考查与平面向量知识的综合运用．处理此类问题，主要是在“算”上下工夫．即利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数的关系解决问题．解题时，也要特别注意特殊情况(如斜率不存在的情况)的处理．【示例4】►(2020·湖南)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．解(1)如图，设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －12＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x ＜0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x ＜0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k . 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2 k 2·1k 2＝16. 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16.本题综合考查了直线与双曲线的位置关系、双曲线的离心率以及平面向量知识，考查了数形结合思想和化归转化思想．其中直线与圆锥曲线的相交问题一般联立方程，设而不求，并借助根的判别式及根与系数的关系进行转化．考查圆锥曲线的综合性问题高考对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合应用．【示例5】►(2020·北京)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．解 (1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝ca ＝32. (2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，此时|AB |＝ 3. 当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3. 当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k2. 又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1， 即m 2k 2＝k 2＋1.所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12 ＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m21＋4k 22－44k 2m 2－41＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，且当m ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2. 本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、两点间距离公式、基本不等式等基础知识，考查考生分析问题、解决问题的能力与运算能力．直线与圆锥曲线的问题，一般方法是联立方程，利用“设而不求”思想解题.。