1.2.3 等差数列的前n项和 课后作业(北师大版必修5)
必修5《等差数列的前n项和》习题精选含答案
第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:因为,所以.答案:C6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+d=200-90=110.答案:1107.在等差数列{a n}中,前n项和为S n,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.答案:39.若等差数列{a n}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{a n}的首项a1和公差d;(2)求数列{a n}的前10项和S10的值.解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=-2.(2)S10=10×a1+d=-10.10.导学号33194010已知数列{a n}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.求:(1)此等差数列的公差d;(2)设前n项和为S n,求S n的最大值;(3)当S n是正数时,求n的最大值.解(1)∵数列{a n}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得-<d<-,又d∈Z,∴d=-4.(2)∵d<0,∴{a n}是递减数列.又a6>0,a7<0,∴当n=6时,S n取得最大值,即S6=6×23+×(-4)=78.(3)S n=23n+×(-4)>0,整理得n(25-2n)>0,∴0<n<,又n∈N+,∴n的最大值为12.B组1.设数列{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24解析:因为S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(-2)=0,所以a1=20.答案:B2.(2017全国1高考)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.答案:C3.等差数列{a n}的前n项和记为S n,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.答案:C4.导学号33194011若等差数列{a n}的通项公式是a n=1-2n,其前n项和为S n,则数列的前11项和为() A.-45 B.-50 C.-55 D.-66解析:∵S n=,∴=-n,∴的前11项和为-(1+2+3+…+11)=-66.故选D.答案:D5.已知等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,a k+a4=0,则k=.解析:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=1+(n-1)d,∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.∴a7=0,∴1+6d=0,d=-.又a4=1+3×,a k=1+(k-1)d,由a k+a4=0,得+1+(k-1)d=0,将d=-代入,可得k=10.答案:106.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,且1+<0.若S n存在最大值,则满足S n>0的n的最大值为.解析:因为S n有最大值,所以数列{a n}单调递减,又<-1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,故满足S n>0的n的最大值为19.答案:197.导学号33194012在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解数列{a n}的公差d==3,∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0得3n-63<0,解得n<21.∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S n'分别表示数列{a n}和{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n;当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×n2-n+1260.∴数列{|a n|}的前n项和S n'=8.导学号33194013设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{b n}的通项公式为b n=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9,所以整理得解得所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,S n=n×1+×2=n2.(2)由(1)知b n=,所以b1=,b2=,b m=.若b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+b m,所以,即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t==1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列.。
高中数学北师大版必修5 1.2 培优练习 《等差数列的前n项和》(北师大版)
4.在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．
5.在等差数列{an}中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．
答案和解析
1.解B. 依题意，得
即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．
2.解选C. 由已知，第一个数列的通项为an＝3n－1；第二个数列的通项为bN=5N－3
若am＝bN，则有3n－1＝5N－3
若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．
又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以
∴共插入10个数．
5.
且Sm＝Sn，m≠n
∴Sm+n＝0
《等差数列的前n项和》培优练习
1.等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2.在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．
A．999 B．1196 C．1393 D．1590
3.实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为（ ）
N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66
∴两数列相同项的和为
2＋17＋32＋…＋197=1393
3.
又∵14＝5a＋3b，
∴a＝1，b＝3
∴首项为1，公差为2
∴a50=c=1＋(50－1)·2=99
∴a＝1，b＝3，c＝99
高中数学 1.2.2 等差数列的前n项和同步精练 北师大版
高中数学 1.2.2 等差数列的前n 项和同步精练 北师大版必修5基础巩固1等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于 …( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1) D.n n ＋122已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 101＝0，则有 ( ) A ．a 1＋a 101＞0 B ．a 1＋a 101＜0C ．a 1＋a 101＝0D ．a 1＋a 101的符号不确定3等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则数列{a n }的公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．74已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．185现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．206设数列{a n }的首项a 1＝－7，且满足a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N ＋)，则a 1＋a 2＋…＋a 17＝__________.7设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则a n ＝________. 8设数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－4n ＋1，求通项公式．9首项为正数的等差数列{a n }，它的前3项和与前11项的和相等，问此数列的前多少项的和最大？10甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1 min 走2 m ，以后每分钟比前1 min 多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1 min 多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？综合过关11已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．612已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＞0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N ＋恒成立，则正整数k 构成的集合为( )A ．{5}B ．{6}C ．{5,6}D ．{7}13已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．514设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝5a 3，则S 9S 5＝__________. 15在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2？这些数的和是多少？ 能力提升16数列{a n }的前n 项和为S n ＝nPa n (n ∈N ＋)，且a 1≠a 2. (1)求常数P 的值；(2)证明：数列{a n }是等差数列．17已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .参考答案1答案：D 2解析：∵S 101＝101a 1＋a 1012＝0，∴a 1＋a 101＝0.答案：C3解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，得d ＝3.答案：B4解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝105，a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝99，解得a 1＝39，d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n n －12d＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400，∴当n ＝20时，S n 取最大值． 答案：B5解析：设由上到第n 层的钢管数为a n ，则{a n }为等差数列，且公差d ＝1，a 1＝1，S n＝n n ＋12.要使剩余的钢管数最少，则用到的钢管数最多，又S 19＝190＜200，S 20＝210＞200，所以堆放19层时，所剩钢管数最少为200－190＝10.答案：B6解析：由题意得a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是一个首项a 1＝－7，公差d ＝2的等差数列．∴a 1＋a 2＋…＋a 17＝S 17＝17×(－7)＋17×162×2＝153.答案：1537解析：设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12，解得d ＝2，a 1＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .答案：2n8分析：a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，必须验证对n ＝1时是否也成立，否则通项公式只能用分段函数来表示．解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－4×1＋1＝－2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－4n ＋1)－[(n －1)2－4(n －1)＋1]＝2n －5. 又a 1≠2×1－5，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，n ＝1，2n －5，n ≥2，n ∈N ＋.9分析：确定首项的符号，转化为求二次函数的最值． 解：∵S 3＝S 11，∴3a 1＋12×3×(3－1)d ＝11a 1＋12×11×(11－1)d .∴d ＝－213a 1＜0.∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝－113a 1n 2＋1413a 1n ＝－113a 1(n －7)2＋4913a 1.∴当n ＝7时，S n 有最大值，即前7项和最大． 10解：(1)设n min 后第一次相遇，依题意，有 2n ＋n n －12＋5n ＝70.整理得n 2＋13n －140＝0，解得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第一次相遇是在开始运动后7 min. (2)设m min 后第二次相遇，依题意有2m ＋m m －12＋5m ＝3×70，整理得m 2＋13m －6×70＝0.解得m ＝15，m ＝－28(舍去)． ∴第二次相遇是在开始运动后15 min.11解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－9＝－8；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10. 又a 1＝－8＝2×1－10，则a n ＝2n －10.所以5＜2k －10＜8，且k ∈N ＋，解得k ＝8. 答案：B 12解析：S 10＝10a 1＋a 102＞0，则a 1＋a 10＞0，则a 5＋a 6＝a 1＋a 10＞0，又S 11＝10a 1＋a 112＝0，则a 1＋a 11＝2a 6＝0，则a 6＝0，所以a 5＞0，公差d ＝a 6－a 5＝－a 5＜0，所以S n 的最大值是S 5或S 6，所以若S n ≤S k 对n ∈N ＋恒成立，则正整数k ＝5,6.答案：C13解析：a nb n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝2n －1a 1＋a 2n －122n －1b 1＋b 2n －12＝A 2n －1B 2n －1＝72n －1＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1.当a n b n 为整数时，12n ＋1为整数，则正整数n ＝1,2,3,5,11. 答案：D14解析：∵{a n }为等差数列，∴S 9S 5＝9a 1＋a 92×25a 1＋a 5＝9a 5＋a 55a 3＋a 3＝9a 55a 3＝9.答案：915分析：这些数按大小排列后组成等差数列，转化为求等差数列的前n 项和． 解：将这些数按从小到大排列，设第n 个数为a n ，则{a n }是等差数列，a 1＝2，d ＝3， 则a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1， 令3n －1＜100， 解得n ＜1013，又n ∈N ＋，∴n 的最大值为33，即有33个被3除余2的数，这些数的和是S 33＝33×2＋33×322×3＝1 650. 16(1)解：当n ＝1时，a 1＝Pa 1；若P ＝1时，a 1＋a 2＝2Pa 2＝2a 2.∴a 1＝a 2与已知矛盾，故P ≠1，则a 1＝0. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝2Pa 2， ∴(2P －1)a 2＝0. ∵a 1≠a 2，∴P ＝12.(2)证明：由已知S n ＝12na n ，a 1＝0.n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12na n －12(n －1)a n －1，∴a n a n －1＝n －1n －2，a n －1a n －2＝n －2n －3…a 3a 2＝21. ∴a n a 2＝n －1，∴a n ＝(n －1)a 2. ∴a n －a n －1＝a 2.∴{a n }是以a 2为公差，以a 1为首项的等差数列．17分析：由S n ＝－32n 2＋2052n 知S n 是n 的缺常数项的二次式，所以数列{a n }为等差数列，可求出通项a n ，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出T n .解：a 1＝S 1＝101， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－32n 2＋2052n )－[－32(n －1)2＋2052(n －1)]＝－3n ＋104. 又∵n ＝1也适合上式，∴数列通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N ＋)． 由a n ＝－3n ＋104≥0， 得n ≤34.7，即当n ≤34时，a n ＞0；当n ≥35时，a n ＜0. (1)当n ≤34时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n . (2)当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 34－(a 35＋a 36＋…＋a n ) ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2S 34－S n ＝32n 2－2052n ＋3 502.故T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋2052n n ≤34，32n 2－2052n ＋3 502n ≥35.。
高中数北师大必修五案：第一章 数列 2.2 等差数列的前n项和(一) Word含答案
2.2 等差数列的前n 项和(一)[学习目标] 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．知识点一 数列前n 项和的概念把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n . a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝S n －1(n ≥2)． 思考 由S n 与S n －1的表达式可以得出a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n －S n －1 (n ≥2)S 1 (n ＝1). 知识点二 等差数列前n 项和公式、推导和认识1．公式：若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝n (a 1＋a n )2. 2．若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝na 1＋12n (n －1)d . 3．推导：(方法：倒序相加法)过程：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a n ＋a 1，∴2S n ＝n (a 1＋a n )，∴S n ＝n (a 1＋a n )2. 4．从函数角度认识等差数列的前n 项和公式(1)公式的变形S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n . (2)从函数角度认识公式①当d ≠0时，S n 是项数n 的二次函数，且不含常数项；②当d ＝0时，S n ＝na 1，不是项数n 的二次函数．(3)结论及其应用已知数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ＋C ，若C ＝0，则数列{a n }为等差数列；若C ≠0，则数列{a n }不是等差数列．思考 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．－2B ．－13C ．1D ．3★答案★ A解析 S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝6，∴a 2＝2，又a 1＝4，∴d ＝－2.知识点三 等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. 2．若S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .3．设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1. 4．若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n. 5．若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1. 思考 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和是________． ★答案★ 210解析 设{a n }的前3m 项和是S ，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 分别为30,70，S －100.由性质知30,70，S －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S －100)，∴S ＝210.题型一 与等差数列S n 有关的基本量的计算例1 在等差数列{a n }中．(1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d .(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .解 (1)由题意得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝(56－32)2＝－5，解得n ＝15. 又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16. ∴n ＝15，d ＝－16. (2)由已知得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172， 解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.∴a 8＝39，d ＝5.反思与感悟 a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二，一般通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．跟踪训练1 在等差数列{a n }中；(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10；(2)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340. 题型二 等差数列前n 项和性质的应用例2 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．63(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23 C.7013 D.214(3)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则数列{S n n}的前10项的和为________．★答案★ (1)C (2)D (3)75解析 (1)S 7＝72(a 1＋a 7)＝72(a 2＋a 6)＝72(3＋11)＝49. (2)a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝S 9T 9＝7×99＋3＝214. (3)∵S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n (n ＋2)． ∴S n n ＝n ＋2，数列{S n n}是以首项为3，公差为1的等差数列， ∴{S n n }的前10项和为10×3＋10×92×1＝75. 反思与感悟 等差数列前n 项和运算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式S n ＝n (a 1＋a n )2，设法求出整体a 1＋a n ，再代入求解． (2)待定系数法：利用S n 是关于n 的二次函数，设S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，列出方程组求出A ，B即可，或利用S n n 是关于n 的一次函数，设S n n＝an ＋b (a ≠0)进行计算． (3)利用S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列进行求解．跟踪训练2 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27★答案★ B解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45.(2)已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n >1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9b 9的值． 解 方法一 a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝a 1＋a 172×17b 1＋b 172×17＝S 17T 17 ＝2×17＋13×17－2＝3549＝57. 方法二 ∵数列{a n }，{b n }均为等差数列，∴S n ＝A 1n 2＋B 1n ，T n ＝A 2n 2＋B 2n .又S n T n ＝2n ＋13n －2， ∴令S n ＝tn (2n ＋1)，T n ＝tn (3n －2)，t ≠0，且t ∈R .∴a n ＝S n －S n －1＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －2＋1)＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －1)＝t (4n －1)(n ≥2)，b n ＝T n －T n －1＝tn (3n －2)－t (n －1)(3n －5)＝t (6n －5)(n ≥2)．∴a n b n ＝t (4n －1)t (6n －5)＝4n －16n －5， ∴a 9b 9＝4×9－16×9－5＝3549＝57. 题型三 等差数列前n 项和公式在实际中的应用例3 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？解 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝9，d ＝9，n ＝9.由等差数列的通项公式，得第9圈有石板a 9＝a 1＋(9－1)d ＝9＋(9－1)×9＝81(块)．(2)由等差数列前n 项和公式，得前9圈一共有石板S 9＝9a 1＋9(9－1)2d ＝9×9＋9×82×9＝405(块)． 答 第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板．反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．跟踪训练3 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．★答案★ 2 000解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S ＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2 000 米．1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．48★答案★ B解析 S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝120， ∴a 1＋a 10＝24.2．已知数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10等于( )A ．－1B ．－11C ．－13D ．－15★答案★ D解析 易知(a 3＋a 8)2＝9.∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3. ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝－15. 3．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8★答案★ B解析 由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，∴4(a 1＋a n )＝280，∴a 1＋a n ＝70.又S ＝n (a 1＋a n )2＝n 2×70＝210，∴n ＝6. 4．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． ★答案★ 20解析 设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.5．在等差数列{a n }中，a n ＝2n ＋3，则等差数列{a n }从第100项到第200项之和S 的值为________．★答案★ 30 603解析 ∵a 100＝203，∴S ＝203×101＋101×1002×2＝30 603.1.求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p 的应用．3．本节的思想方法：方程思想、函数思想、整体思想．。
北师大数学必修五课时分层作业5 等差数列的前n项和 含解析
课时分层作业(五)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝20，S 2＝4，则公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．7B [由⎩⎪⎨⎪⎧ S 2＝4，S 4＝20得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝3.]2．已知数列{a n }为等差数列，a 10＝10，数列前10项和S 10＝70，则公差d ＝( ) A ．－23 B ．－13 C ．13D ．23D [由S 10＝10(a 1＋a 10)2，得70＝5(a 1＋10)，解得a 1＝4，所以d ＝a 10－a 110－1＝10－49＝23，故选D.]3．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220B [(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝(－24)＋78＝54，又a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18，则3(a 1＋a 20)＝54，所以a 1＋a 20＝18.则S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10×18＝180.]4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19A [由题意S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列．∵S 3S 6＝13.不妨设S 3＝1，S 6＝3，则S 6－S 3＝2，所以S 9－S 6＝3，故S 9＝6，∴S 12－S 9＝4，故S 12＝10，∴S 6S 12＝310.] 5．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17A [∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2.∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225. ∴当n ＝15时，S n 取得最大值．] 二、填空题6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________. 13 [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由6S 5－5S 3＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13.]7．已知等差数列{a n }，S n 是其前n 项和，S 4＝8，S 12＝20，则S 8＝________. 443 [因为S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋S 12－S 8，即2(S 8－8)＝8＋20－S 8，解得S 8＝443.] 8．某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则前10年维修费总和为________万元．300 [由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费成等差数列．设从第二年起，每年的维修费构成的等差数列为{a n }， 则a n ＝12＋4(n －1)＝4n ＋8，S 10＝10×12＋12×10×9×4＝300(万元)．] 三、解答题9．在等差数列{a n }中．(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .[解] (1)d ＝a n －a 1n －1＝994－105n －1＝889n －1＝7，解得n ＝128.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝128×(105＋994)2＝70 336.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.10.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？[解] 设最下面一层放n 根，则最多可堆n 层，则1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2≥600，所以n 2＋n －1 200≥0， 记ƒ(n )＝n 2＋n －1 200，因为当n ∈N ＋时，ƒ(n )单调递增， 而ƒ(35)＝60>0，ƒ(34)＝－10<0，所以n ≥35，因此最下面一层最少放35根． 因为1＋2＋3＋…＋35＝630，所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28根，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层．[能力提升练]1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 5＝913，则S 13S 9等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．12A [S 13S 9＝132(a 1＋a 13)92(a 1＋a 9)＝132·2a 792·2a 5＝13a 79a 5＝139·a 7a 5＝1.]2．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8B [由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156， ∴4(a 1＋a n )＝280，∴a 1＋a n ＝70. 又S ＝n (a 1＋a n )2＝n 2×70＝210，∴n ＝6.]3．一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数的项的和与奇数的项的和之比为32∶27，则公差d ＝________.5 [∵S 12＝354， ∴S 奇＝354×2732＋27＝162，S 偶＝354×3232＋27＝192，∴S 偶－S 奇＝30＝6d ，∴d ＝5.]4．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.10 [法一：S 9＝S 4， 即9(a 1＋a 9)2＝4(a 1＋a 4)2，所以9a 5＝2(a 1＋a 4)， 即9(1＋4d )＝2(2＋3d )， 所以d ＝－16，由1－16(k －1)＋1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝0，得k ＝10. 法二：S 9＝S 4，所以a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0， 所以a 7＝0，从而a 4＋a 10＝2a 7＝0， 所以k ＝10.]5．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .[解] 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d . 由S 7＝7，S 15＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1.∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)．∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋12(n －1)＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为－2，公差为12的等差数列．根据题意得T n ＝－2n ＋12n (n －1)×12＝14n 2－94n . 即T n ＝14n 2－94n .。
北师大版数学高一-北师大版必修5 作业05等差数列的前n项和
课时作业(五) 等差数列的前n 项和(限时：10分钟)1．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．23解析：∵a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，∴(a 5－a 4)＋(a 3－a 2)＝2d ＝6.∴d ＝3.又a 2＋a 4＝2a 1＋4d ＝4，∴a 1＝－4.∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2d ＝－40＋45×3＝95. 答案：C2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8等于( )A ．18B ．36C ．54D ．72解析：∵a 4＝18－a 5，∴a 4＋a 5＝18.∴S 8＝8(a 1＋a 8)2＝4(a 1＋a 8)＝4(a 4＋a 5)＝72. 答案：D3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 13＝S 13＝13，则a 1＝( )A ．－14B ．－13C ．－12D ．－11解析：在等差数列中，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13， 所以a 1＋a 13＝2，即a 1＝2－a 13＝2－13＝－11.答案：D4．有一个凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差是10°，最小角为100°，则边数n ＝________.解析：n ×100°＋n (n －1)2×10°＝(n －2)×180°，解得n ＝8或n ＝9.又a n ＝100°＋(n －1)×10°<180°，∴n ＝8.答案：85．设正数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝14(a n ＋1)2.求数列{a n }的通项公式． 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝14(a 1＋1)2，解得a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14[(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2]． 整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，∵a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1＝2.∴{a n }是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列．∴a n ＝2n －1.(限时：30分钟)1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64解析：由S n ＝n 2可得：a n ＝2n －1，∴a 8＝15，∴选A.答案：A2．在各项均为非零实数的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)．则S 2n －1－4n ＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：∵a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝2a n －a 2n ＝0且a n ≠0，∴a n ＝2，∴S 2n －1－4n ＝(2n －1)·2－4n ＝－2.故选A.答案：A3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53C ．－2D ．3解析：由S 3＝3×4＋3×22d ＝6，解得：d ＝－2， ∴选C.答案：C4．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：由a 3＋a 5＝a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝2＋6d ＝14得：d ＝2.∴S n ＝n ＋n (n －1)2·2＝n 2＝100.∴n ＝10，故选B. 答案：B5．若{a n }是等差数列，满足a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 100<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 55＝51解析：∵S 101＝101(a 1＋a 101)2＝0， ∴a 1＋a 101＝0.∴a 3＋a 99＝a 1＋a 101＝0.∴选C.答案：C6．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．20。
高中数北师大必修五案：第1章 §2 2.2 等差数列的前n项和 Word含答案
2.2 等差数列的前n 项和学习目标：1.理解并掌握等差数列的前n 项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系．(重点、难点)2.熟练掌握等差数列的五个基本量a 1，d ，n ，a n ，S n 之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)3.能够应用等差数列的前n 项和公式解决有关等差数列的实际问题．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]等差数列的前n 项和公式阅读教材P 15～P 16“例7”以上部分，完成下列问题： (1)等差数列的前n 项和公式(2)将等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 整理成关于n 的函数可得S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . 思考：(1)等差数列的前n 项和一定是n 的二次函数吗？[提示] 不一定，当公差d ≠0时，前n 项和是n 的二次函数，当公差d ＝0时，前n 项和是n 的一次函数，它们的常数项都为0.(2)求等差数列的前n 项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n 项和公式？[提示] 求等差数列的前n 项和时，若已知首项、末项和项数，则选用第一个公式；若已知首项、公差和项数，则选用第二个公式．[基础自测]1．判断正误(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n 项和公式求和．( ) (2)数列{n 2}可以用等差数列的前n 项和公式求其前n 项和．( ) (3)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n ＋1，则数列{a n }一定不是等差数列．( )[解析] (1)不正确，不管公差是不是零，都可应用公式求和；(2)不正确，因为数列{n 2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n 项和公式求和；(3)正确．[★答案★] (1)× (2)× (3)√2．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝－2，则前n 项和S 10＝( )【导学号：91022049】A ．－20B ．－40C ．－60D ．－80D [由等差数列前n 项和公式，S 10＝10×1＋12×10×9×(－2)＝－80.] 3．已知等差数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝8，则S 17＝________. [解析] S 17＝12×17×(2＋8)＝85. [★答案★] 854．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，S 8＝64，则d ＝________.【导学号：91022050】[解析] S 8＝8×1＋12×8×7×d ＝64，解得d ＝2.[★答案★] 2[合 作 探 究·攻 重 难]与S n 有关的基本量的运算已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 和a 12； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (3)a 1＝6，a 3＋a 5＝0，求S 6.[解] (1)因为S n ＝n ·32＋n (n －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15， 整理得n 2－7n －60＝0. 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)． 所以a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022， 解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.(3)由a 3＋a 5＝2a 4＝0，得a 4＝0，a 4－a 1＝3d ＝－6，d ＝－2. 故S 6＝6a 1＋15d ＝6×6＋15×(－2)＝6.[规律方法] 等差数列中基本量计算的两个技巧：(1)利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.(2)利用等差数列的性质解题.等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝na 1＋a n2结合使用. [跟踪训练] 1．等差数列中：(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)a n ＝8n ＋2，d ＝5，求S 20； (3)d ＝13，n ＝37，S n ＝629，求a 1及a n .[解] (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 且a 1＝105，d ＝7， 得994＝105＋(n －1)×7，解得n ＝128， ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝128×(105＋994)2＝70 336.(2)∵a n ＝8n ＋2，∴a 1＝10，又d ＝5，∴S 20＝20a 1＋20×(20－1)2×5＝20×10＋10×19×5＝1 150.(3)将d ＝13，n ＝37，S n ＝629代入a n ＝a 1＋(n －1)d ， S n ＝n (a 1＋a n )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋12，37·(a 1＋a n )2＝629，解得⎩⎨⎧a 1＝11，a n ＝23.等差数列前n 项和公式在实际中的应用某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？[解] 设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则 a 1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， …a 10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2×20＝1 105(元)，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)． [规律方法] 应用等差数列解决实际问题的一般思路[跟踪训练]2．有30根水泥电线杆，要运往1 000 m 远的地方开始安装，在1 000 m 处放一根，以后每50 m 放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少千米？[解] 汽车第一次运完3根后回到原地走过路程是： a 1＝(1 000＋50＋50)×2＝2 200(m)； 运完第二次3根后回到原地走过路程是： a 2＝2 200＋(3×50)×2＝2 500(m)； 运完第三次共走：a 3＝2 500＋(3×50)×2＝2 800(m)；即每次比前一次多走300米，30根电线杆运完共需走10次， 这10次路程构成等差数列，d ＝300，n ＝10， S 10＝2 200×10＋10×92×300＝35 500(m)＝35.5 km.等差数列前n 项和的性质n 【导学号：91022051】(1)a 4＝2，求S 7；(2)S 5＝3，S 10＝7，求S 15； (3)S 10＝100，S 100＝10，求S 110.[思路探究] (1)利用a 1＋a 7＝2a 4；(2)根据S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列求S 15；(3)根据所给条件列出关于a 1和d 的方程组，求出a 1和d 可得S 110，也可利用S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 110－S 100成等差数列求解．[解] (1)S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝12×7×2a 4＝7a 4＝7×2＝14.(2)数列S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即3,7－3，S 15－7成等差数列，所以2×(7－3)＝3＋S 15－7，解得S 15＝12.(3)法一：设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则 S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10， ②①×10－②，整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110.法二：数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列，设其公差为D ，前10项和10S 10＋10×92×D ＝S 100＝10⇒D ＝－22，所以S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22) ＝－120.所以S 110＝－120＋S 100＝－110.法三：因为数列{a n }是等差数列，故其前n 项和S n 可设为S n ＝An 2＋Bn .由S 10＝100，S 100＝10，得⎩⎨⎧100A ＋10B ＝100，10 000A ＋100B ＝10，解得A ＝－11100，B ＝11110，故S n ＝－11100n 2＋11110n ， 故S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. [规律方法] 巧妙应用等差数列前n 项和的性质 (1)“片段和”性质.若{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成公差为n 2d 的等差数列.(2)项数(下标)的“等和”性质. S n ＝n a 1＋a n 2＝na m ＋a n －m ＋12.(3)项的个数的“奇偶”性质. {a n }为等差数列，公差为d .①若共有2n 项，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 偶S 奇＝a n ＋1a n. ②若共有2n ＋1项，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；S 偶－S 奇＝－a n ＋1；S 偶S 奇＝nn ＋1.(4)等差数列{a n }中，若S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )， 则S m ＋n ＝－(m ＋n ).(5)等差数列{a n }中，若S n ＝S m (m ≠n )，则S m ＋n ＝0. [跟踪训练]3．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．[解] a 5b 5＝2a 52b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝7×9＋29＋3＝6512.等差数列前n 项和的最值[1．(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ，求S n 的最小值； (2)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－3n ，求S n 的最小值．[提示] (1)S n ＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，所以当n ＝2时，S n 的最小值为－4. (2)S n ＝n 2－3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －322－94，因为n ∈N ＋，所以当n ＝2或n ＝1时，S n 的最小值为S 2＝S 1＝－2.2．(1)在等差数列{a n }中，若a 5＞0，a 6＜0，则其前多少项的和最大？ (2)在等差数列{a n }中，若a 5＜0，a 6＝0，其前n 项和有最大值还是有最小值？并表示出这个最大值或最小值．[提示] (1)前5项的和S 5最大．(2)因为a 5＜0，a 6＝0，故其公差d ＞0，所以前n 项和有最小值，其最小值为S 5＝S 6.3．在等差数列{a n }中，若d ＜0，S 10＝0，则其前多少项的和最大？ [提示] S 10＝12×10×(a 1＋a 10)＝5(a 1＋a 10)＝0，故a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝0，因为d ＜0，所以a 5＞0，a 6＜0，所以S 5最大．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值．[思路探究] (1)直接根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列关于首项a 1和公差d 的方程，求得a 1和d ，进而得解；(2)可先求出前n 项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋5×42×d ＝－15，得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12. (2)法一：S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478， ∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18.法二：设S n 最小，则⎩⎨⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0，即⎩⎨⎧3n －12≤0，3(n ＋1)－12≥0，解得3≤n ≤4，又n ∈N ＋，∴当n ＝3或4时，前n 项和的最小值S 3＝S 4＝－18.母题探究：1.(变条件)把例4中的条件“S 15＝－15”改为“S 5＝125”，其余不变，则数列{a n }的前n 项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．[解] S 5＝12×5×(a 1＋a 5)＝12×5×2a 3＝5a 3＝125，故a 3＝25，a 10－a 3＝7d ，即d ＝－1＜0，故S n 有最大值，a n ＝a 3＋(n －3)d ＝28－n .设S n 最大，则⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，解得27≤n ≤28，即S 27和S 28最大，又a 1＝27，故S 27＝S 28＝378.母题探究：2.(变结论)在例4中，根据第(2)题的结果，若S n ＝0，求n . [解] 法一：因为S 3＝S 4＝－18为S n 的最小值，由二次函数的图像可知，其对称轴为x ＝72，所以当x ＝0或x ＝7时，图像与x 轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n ∈N＋，所以S 7＝0，所以n ＝7.法二：因为S 3＝S 4，所以a 4＝S 4－S 3＝0，故S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝7a 4＝0，所以n ＝7.[规律方法] 等差数列前n 项和的最值问题的三种解法(1)利用a n ：当a 1＞0，d ＜0时，前n 项和有最大值，可由a n ≥0且a n ＋1≤0，求得n 的值；当a 1＜0，d ＞0，前n 项和有最小值，可由a n ≤0且a n ＋1≥0，求得n 的值.(2)利用S n ：由S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n (d ≠0)，利用二次函数配方法求取得最值时n 的值.(3)利用二次函数的图像的对称性.[当 堂 达 标·固 双 基]1．在等差数列{a n }中，若S 10＝120，则a 1＋a 10的值是( )【导学号：91022052】A ．12B ．24C ．36D ．48B [S 10＝12×10×(a 1＋a 10)＝5(a 1＋a 10)＝120，故a 1＋a 10＝24.]2．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．7B [S 2＝a 1＋a 2＝4，S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4，故a 3＋a 4＝16.∴(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)＝4d ＝12，∴d ＝3.]3．等差数列{a n }中，a n ＝2n －1，则前n 项和S n ＝________.【导学号：91022053】[解析] 由已知得a 1＝1，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1＋2n －1)2＝n 2.[★答案★] n 24．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝21－2n ，则当其前n 项和S n 取最大值时n 的值为________．[解析] 由⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0得⎩⎨⎧21－2n ≥0，21－2(n ＋1)≤0，解得192≤n ≤212， 又n ∈N ＋，故n ＝10. [★答案★] 105．在各项均为正数的等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .【导学号：91022054】[解] 由题意得⎩⎨⎧a n ＝a 1＋2(n －1)＝11，S n ＝na 1＋n (n －1)＝35，解得⎩⎨⎧ a 1＝3，n ＝5或⎩⎨⎧ a 1＝－1，n ＝7(舍去)．故⎩⎨⎧a 1＝3，n ＝5.。
高中数学必修五北师大版 等差数列的前n项和 作业(含答案)
课时作业5 等差数列的前n 项和时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4<S 5B ．S 4＝S 5C ．S 6<S 5D ．S 6＝S 5【答案】 B【解析】 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6a 1＋7d ＝6，所以a 1＝－8，d ＝2.所以a n ＝2n －10，所以a 5＝0，所以S 4＝S 5. 求a 5是解答本题的关键．2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】 A【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－11d ＝2.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n . ＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．3．若数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝3，a 10＝30，则S 10等于( )A．330 B．165 C．310 D．155 【答案】 B【解析】∵a n＋1－a n＝3，∴数列{a n}是等差数列且公差d＝3，又a10＝a1＋9d＝a1＋27＝30，∴a1＝3.S10＝10(a1＋a10)2＝10(3＋30)2＝165.4．在等差数列{a n}中，已知S2＝2，S4＝4，则S6等于()A．0 B．4C．6 D．12【答案】 C【解析】∵S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，即2,4－2，S6－4成等差数列，∴2＋S6－4＝2×2，∴S6＝6.5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A．5 B．4C．3 D．2【答案】 C【解析】由题意知S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.6．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管根数为()A．9 B．10C．19 D．20【答案】 B【解析】设从上面开始，第n层的钢管数为a n，则{a n}为等差数列，且公差d ＝1，a 1＝1，S n ＝n (n ＋1)2.要使剩余的钢管数最少，则用到的钢管数最多，又S 19＝190<200，S 20＝210>200，所以堆放19层时，所剩钢管数最少，即剩余钢管根数为200－190＝10.7．已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，且有S 9<S 8＝S 7，则下列说法不正确的是( )A ．S 9<S 10B ．d <0C ．S 7与S 8均为S n 的最大值D ．a 8＝0 【答案】 A【解析】 由于等差数列的前n 项和S n 是关于非零自然数n 的一元二次函数，即S n ＝d 2n 2＋(a 1－12d )n .由于S 9<S 8＝S 7，可得该二次函数的图像开口向下，即d <0，其前n 项和中最大值为S 8与S 7，且其前7项均为正数项，第8项为0.由该函数的单调性可得S 9>S 10，故应选A.二、填空题(每小题5分，共15分)8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝__________.【答案】 15【解析】 ∵S 3＝3，S 6＝24， ∴有a 1＋a 2＋a 3＝3， a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝24， ∴3a 2＝3，∴a 2＝1. 3(a 2＋a 5)＝24，。
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第3课时 等差数列的前n 项和课后强化作业一、选择题1.已知等差数列{a n }满足a 2+a 4=4,a 3+a 5=10,则它的前10项和S 10=（ ）A.138B.135C.95D.23［答案］ C［解析］ 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d . a 2+a 4=4 ①则a 3+a 5=10 ②②-①得2d =6,∴d =3.a 2+a 4=a 1+d+a 1+3d =2a 1+4d =2a 1+4×3=4,∴a 1=-4,S 10=10×(-4)+ 2910⨯×3=-40+135=95. 故选C.2.在等差数列{a n }中，a 2+4a 7+a 12=100,则2a 3+a 15等于（ ）A.20B.100C.25D.50［答案］ D［解析］ ∵a 2+a 12=2a 7,∴6a 7=100,∴3a 7=50.又2a 3+a 15=2(a 7-4d )+a 7+8d=3a 7=50,故选D.3.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为 （ ）A.24B.26C.25D.28［答案］ B［解析］ 设该等差数列为｛a n ｝,由题意，得a 1+a 2+a 3+a 4=21,a n +a n-1+a n-2+a n-3=67,又∵a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=a 4+a n-3,∴4(a 1+a n )=21+67=88,∴a 1+a n =22.∴S n =2)(1n a a n +=11n =286, ∴n =26.4.(2011·江西文，5)设{a n }为等差数列，公差d =-2,S n 为其前n 项和，若S 10=S 11，则a 1=（ ）A ．18B ．20C ．22D ．24［答案］ B［解析］ 本题主要考查等差数列的基本性质以及等差数列通项公式.S 11-S 10=a 11=0,a 11=a 1+10d=a 1+10×（-2）=0，所以a 1=20.5.已知等差数列{a n }中，a 4=9,a 7=3,则数列{a n }前n 项和的最大值为（ ）A.8B.24C.45D.64［答案］ D［解析］ 设等差数列的公差为d ,则a 7-a 4=3d ,∴3d =-6,d =-2.∴a 1=a 4-3d =9+6=15,∴S n =15n +2)1(-n n ×(-2) =-n 2+16n=-(n -8) 2+64,∴当n =8时，S n 取最大值64.6.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）A.2B.3C.4D.5［答案］ B［解析］ ∵S 奇=a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=15，S 偶=a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=30，∴S 偶-S 奇=5d =15,∴d =3.7.等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2+a 8+a 11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（ ）A.S 7B.S 8C.S 13D.S 15［答案］ C［解析］ 由已知a 2+a 8+a 11=3a 1+18d =3(a 1+6d )=3a 7为定值，则S 13=2)(13131a a + =13a 7也为定值，故选C.8.等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知a m-1+a m+1-a m 2=0,S 2m -1=38,则m =（ ）A.38B.20C.10D.9［答案］ C［解析］ 由等差数列的性质，得a m-1+a m+1＝2a m ，∴2a m =a m 2,由题意，得a m ≠0,∴a m =2.又S 2m -1=2))(12(121-+-m a a m =2)12(2-m a m =2(2m -1)=38, ∴m =10.二、填空题9.在等差数列{a n }中，a 1＞0,d =21,a n =3,S n =512,则a 1= ,n = .［答案］ 2 3 3＝a 1+(n -1)×21 ［解析］ 由题意，得 512＝na 1+21n ×（n -1）×21 a 1=2解得 .n =310.(2011·广东理，11)等差数列｛a n ｝前9项的和等于前4项的和.若a 1=1,a k +a 4=0,则k = .［答案］ 10［解析］ 本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式以及基本运算能力.设等差数列公差为d ，则a n =1+(n -1)d ,∵S 4=S 9,∴a 5+a 6+a 7+a 8+a 9=0，∴a 7=0,∴1+6d =0,d =-61. 又a 4=1+3×(-61)=21,a k =1+(k -1)d , ∴21+1+(k -1)d =0，d =-61代入，得k =10. 11.数列{a n }的前n 项和S n =3n -2n 2（n ∈N +），则a n = ,此时S n 与na n 的大小关系是 .［答案］ -4n +5 S n ≥na n［解析］ n =1时，S 1=a 1=1;n ≥2时，a n =S n -S n-1=-4n +5n =1时，也适合上式，故a n =-4n +5.S n -na n =3n -2n 2-n (-4n +5)=2n 2-2n =2n (n -1)≥0,故S n ≥na n .12.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4=1,S 5=10,当S n 取最大值时，n 的值为 .［答案］ 4或5［解析］ 由a 4=a 1+3d =1,S 5=5a 1+10d =10,得a 1=4,d =-1, S n =4n -2)1(-n n =292n n +- =-21. （n -29）2+881, 又∵n ∈N +,∴当n =4或n =5时，S n 最大.三、解答题13.设{a n }是等差数列，前n 项和记为S n ，已知a 10=30，a 20=50.（1）求通项a n ;（2)若S n =242，求n .［解析］ （1）由a n =a 1+(n -1)d,a 10=30,a 20=50,得方程组a 1+9d =30 ，解得a 1=12,d =2,a 1+19d =50∴a n =2n +10.（2）由S n =na 1+2)1(-n n d,S n =242,得方程12n +2)1(-⋅n n ×2=242, 解得n =11或n =-22（舍去）.∴n =11.14.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知S 6=36，S n =324,若S n-6=144(n >6),求数列的项数n . ［解析］ 由题意可知a1+a 2+…+a 6=36, ①a n +a n-1+…+a n-5=324-144, ②由①+②，得（a 1+a n ）+(a 2+a n-1)+…+(a 6+a n-5)=216,∴6(a 1+a n )=216,∴a 1+a n =36.∴S n =2)(1n a a n +=18n =324,∴n =18. 15.甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动.甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m.（1）甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动后几分钟第二次相遇？［解析］ （1）设n 分钟后第一次相遇，依题意得2n +2)1(-n n +5n ＝70, 整理得n 2+13n -140=0,解得n =7,n =-20(舍去).甲、乙第一次相遇是在开始运动后7分钟.(2)设n 分钟后第二次相遇，依题意，得2n +2)1(-n n +5n =3×70， 整理得n 2+13n -6×70＝0，解得n =15,n =-28(舍去).甲、乙第二次相遇是在开始运动后15分钟.16.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=12,S 12>0,S 13<0.(1)求公差d 的取值范围;(2)指出S 1,S 2,…,S 12中哪一个值最大，并说明理由.［解析］ (1)设{a n }的首项为a ，由已知有a +2d =1212a +21112⨯d >0 ， 13a +21213⨯d <0 24+7d >0将a =12-2d 代入两个不等式，消去a 得 ⇔-724<d <-3. 12+4d <0S 12>0 12a +21112⨯d >0(2)解法一：由 ⇔ ⇔S 13<0 13a +21213⨯d <0 a +211d >0 a +211d >0 ⇔ .a +6d <0 a 7<0因为d <0，a 6=a +5d >a +211d >0，可知a 1>a 2>…>a 6>0>a 7>…，所以S 1,S 2,…,S 12中最大的是S 6. ［另法：S 12=6(a 6+a 7)>0，S 13=13a 7<0，得a 6+a 7>0，a 7<0.所以a 6>-a 7>0.所以S 6最大.］解法二：S n =na +2)1(-n n d=n (12-2d )+ 21n (n -1)d =2d n 2+2524d -n ，二次函数y =2d x 2+2524d -x 的对称轴方程为x =-22524d d ⋅-=25-d 12，由于-724<d <-3，有6<25-d 12<6.5，所以当n =6时，S 6最大.。