阻抗与导纳相量分析的一般方法
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第6章(2)导纳阻抗的一般性质
6Ω 30Ω
j15Ω
j12Ω
(c)等效电路一：串联等效
(d)等效电路二：并联等效
如果知道激励信号频率，则可计算出电感的自感系数L。
第六章 正弦电路的稳态分析
4. 阻抗和导纳的等效互换 用复阻抗Z和复导纳Y表示的两种最简等效电路 可以相互等效变换。变换公式可根据电路等效的概 念求得。 在正弦稳态电路中，两个电路模型欲实现等效，则 需端口处有相同的VCR，即 U = ZI 和 I = YU 完全相同， 显然要求Z与Y互为倒数，
G= R 14.04 14.04 = = S 2 2 2 2 R +X 14.04 + 4.56 217.9
如愿用电阻R’来表示这一元件，则
1 217.9 = 15.52Ω R' = = G 14.04
另一元件导纳为
B=− X 4.56 =− S 2 2 R +X 217.9
B＜0，电纳为电感性。如愿用电抗X’来表示，则
(6.3-11)
|Y|=I/U称为导纳模，导纳模等于电流 I 与电压U 的有效值之比；φY称为导纳角(admittance angle)， 是电流与电压之间的位相差。
第六章 正弦电路的稳态分析
③ 导纳也可以表示为代数形式 Y = G + jB
(6.3-12)
Y的实部G称为电导(conductance)，虚部B称为电纳 (susceptance)。 ④ |Y|、G、B之间的关系为：
第六章 正弦电路的稳态分析
例6.3-2 RL串联电路如6.3-6(a)所示。若要求在
ω=106rad/s时，把它等效成R′L′并联电路(b)，试 求R′和L′的大小。
50Ω
R'
0.06mH
阻抗和导纳
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳) 阻抗和导纳 基本要求：
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
伏安法、阻抗法、电位法
伏安法、阻抗法和电位法是三种常用的电化学分析方法。
1. 伏安法：伏安法是一种通过测量电流和电压之间的关系来分析物质的方法。
这种方法通常使用一个可调电压源和一个测量电流的仪器（如电流计或安培计）。
在伏安法中，电压被施加到样品上，然后测量通过样品的电流。
这种方法可以用于测量电导率、电极反应速率、电极过程的传质和电荷传递过程等。
2. 阻抗法：阻抗法是一种通过测量交流信号在样品中的衰减来分析物质的方法。
这种方法通常使用一个频率发生器和一个测量衰减的仪器（如阻抗分析仪）。
在阻抗法中，一个交流信号被施加到样品上，然后测量信号在通过样品后的衰减。
这种方法可以用于测量样品的介电常数、电导率、磁导率等。
3. 电位法：电位法是一种通过测量电极与溶液之间的电势差来分析物质的方法。
这种方法通常使用一个参考电极和一个工作电极。
在电位法中，测量电极和参考电极之间的电势差，然后将这个电势差与浓度或其他性质建立关系。
这种方法可以用于测量离子浓度、电极反应速率、电极过程的传质和电荷传递过程等。
第二章阻抗与导纳圆图及其应用
负载点
Z L = RL + jX L , Z 0
~ ~ ~ Z (0 ) = R L + jX L
在阻抗圆图上找到标值为归一化电阻的圆和 标值为归一化电抗圆的交点即负载点。 由负载点的位置可直接确定电压反射系数模 和辐角。
共轭阻抗匹配 信源的内阻和传输线的输入阻抗复 共轭是等效负载得到的功率最大，称 为共轭阻抗匹配。
l
Zg Eg
Z0
~
(a)
Zl
Zg＝Rg＋jX g Eg
Zin＝Z* ＝R g－jX g g
~
(b)
无耗传输线信源的共扼匹配
二 阻抗圆图
分析传输线的工作状态和实现传输线的匹 配，离不开电压反射系数和阻抗的计算。 阻抗圆图把反射系数和输入阻抗画在一个 图上并与传输线的位置对应，为传输线工 作状态分析和阻抗匹配提供了一种非常好 的图形工具。 在人类计算能力比较差的时候起到非常大 的作用。即使在今天其精巧的设计思路给 我们以启示。
Z in (d * ) = Z 0 + jX (d * )
3 传输线的三种匹配状态
阻抗匹配具有三种不同的含义, 分别是 负载阻抗匹配、源阻抗匹配和共轭阻抗匹 配, 它们反映了传输线上三种不同的状态。 负载阻抗匹配：负载阻抗匹配是负载阻抗 等于传输线的特性阻抗的情形, 此时传输 线上只有从信源到负载的入射波, 而无反 射波。匹配负载完全吸收了由信源入射来 的微波功率; 而不匹配负载则将一部分功 率反射回去, 在传输线上出现驻波。
R < 1, X = 0
节的集合。 1 S= R
阻抗圆图的两个半平面
实轴 上半面 特点
X >0
意义 电抗呈感性。
下半面
X <0
阻抗和导纳相量模型
(b) 这是一个电感和一个电阻串联电路，阻抗为
5/13
jy
Z = ZR + ZL = R + jL
= R2 + 2L2
arctg
L R
Z |Z|
= |Z|
0
x
显然， > 0，当R=0时， = 90，这种阻抗称为感性阻抗；
(c) 这是一个电容和一个电阻并联电路，导纳为
Y = YR + YC = G + jC =
由此可得
I• =
U• s Z
=
=
Us u
R + j(L –
1
)
C
= I i
U• L = (ZU•Rs+ ZL ZR + ZL + ZC
=
Us
R2 +(L
+ –
ZC ) =
R
1 C
I• = ZI• Us
+ jL
u )2
U• s = Us u
u
+
1 jC
(L–
–arctg R
1 C
)
i(t) = 2 I cos(t + i)
电路分析基础——第三部分：11-4
11/13
（c）根据相量写出相应的正弦波
i(t) =3.53 2 cos(2t – 45) A， uL(t) = 14.12 2 cos(2t + 45)V
uR(t) = 7.06 2 cos(2t – 45)V， uC(t) = 7.06 2 cos(2t – 135)V 显然，uR(t) 与 i(t) 同相，uL(t) 比 i(t) 超前 90，uC(t) 比 i(t) 滞 后90。与相量欧姆定律得出的结论一致。
5/13
jy
Z = ZR + ZL = R + jL
= R2 + 2L2
arctg
L R
Z |Z|
= |Z|
0
x
显然， > 0，当R=0时， = 90，这种阻抗称为感性阻抗；
(c) 这是一个电容和一个电阻并联电路，导纳为
Y = YR + YC = G + jC =
由此可得
I• =
U• s Z
=
=
Us u
R + j(L –
1
)
C
= I i
U• L = (ZU•Rs+ ZL ZR + ZL + ZC
=
Us
R2 +(L
+ –
ZC ) =
R
1 C
I• = ZI• Us
+ jL
u )2
U• s = Us u
u
+
1 jC
(L–
–arctg R
1 C
)
i(t) = 2 I cos(t + i)
电路分析基础——第三部分：11-4
11/13
（c）根据相量写出相应的正弦波
i(t) =3.53 2 cos(2t – 45) A， uL(t) = 14.12 2 cos(2t + 45)V
uR(t) = 7.06 2 cos(2t – 45)V， uC(t) = 7.06 2 cos(2t – 135)V 显然，uR(t) 与 i(t) 同相，uL(t) 比 i(t) 超前 90，uC(t) 比 i(t) 滞 后90。与相量欧姆定律得出的结论一致。
第13讲阻抗与导纳、相量分析的一般方法
G=|Y|cosϕy B=|Y|sinϕy |Y| B
反映i 幅度关系。 反映 ,u 幅度关系。 反映i 相位关系。 反映 ,u 相位关系。
ϕy
1 | Y |= |Z |
, ϕ y = −ϕ z
G 导纳三角形
Y=G+j（ωC-1/ωL）=|Y|∠ ϕy （ ） 当ω C > 1/ω L ，B>0， ϕy >0，电路为容性，i 领先 ； ， ，电路为容性， 领先u； 当ω C<1/ω L ，B<0， ϕy <0，电路为感性，i 落后 ； ， ，电路为感性， 落后u； 当ωC=1/ω L ，B=0， ϕy =0，电路为电阻性，i 与u同相。 ， ，电路为电阻性， 同相。 同相 画相量图：选电压为参考向量（设ωC < 1/ω L， ϕy <0 ） 画相量图：选电压为参考向量（ ， & U
U c = Z c I = − j 26.5 × 0.15∠ − 3.4o =3.98∠ − 93.4o (V)
故：
. .
.
.
i ( t ) = 0.15 2 cos(ω t − 3.4o )(A) uR ( t ) = 2.25 2 cos(ω t − 3.4o )(V)
uL ( t ) = 8.48 2 cos(ω t + 86.6o )(V)
为感性， 一般情况 G≠1/R B≠1/X。若Z为感性，X>0，则B<0， ≠ ≠ 为感性 ， ， 即仍为感性。 即仍为感性。
同样，若由 变为 变为Z，则有： 同样，若由Y变为 ，则有： Y G Z jB R jX
Y = G + jB =| Y | ∠φ' , Z = R + jX =| Z | ∠φ G − jB Z= 1 = 1 = = R + jX Y G + jB G 2 + B 2
正弦稳态电路的分析-阻抗和导纳、相量图
5 3
25 53.1
(3 j6
)Ω (5.5 j4.75)Ω
8 j4
电路对外呈现容性。
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例1-5 图为RC选频网络，求u1和u2同相位的条件及
解 设：Z1=R+jXC, Z2=R//jXC
U 2
U1Z2 Z1 Z2
＋
u1
R jXC
U1 U 2
?
U1 U 2
Z1 Z2 Z2
返回 上页 下页
分析 R、L、C 并联电路得出：
（1）Y=G+j(C-1/L)=|Y| Y 为复数，称复导纳。 （2）C >1/L，B>0，Y >0，电路为容性，
电流超前电压。
相量图：选电压为参考向量， u 0
..
I
Y
IL IC
I
I2 G
I2 B
I2 G
(IC
IL )2
IBU
.
注意
IG
RLC并联电路会出现分电流大于总电流的现象。
1
j L
j BL
Y
I U
j C
jBC
表明 Y 可以是实数，也可以是虚数。
返回 上页 下页
4. RLC并联电路
i
+
iR iL iC
u R LC
-
I
+
IR IL IC
U R jL 1
-
jC
由KCL：I
IR
IL
IC
GU
j 1 U
L
jCU
(G
j1
L
jC)U [G
j( BL
BC )U
(G
jB)U
阻抗与导纳
Z12 Z 23 Z2 Z12 Z 23 Z 31
Z 23 Z 31 Z3 Z12 Z 23 Z 31
使用以上公式时注意以下几点：
熟记基本元件的阻抗和导纳。 同一元件或同一端口的阻抗和导纳互为倒数。
一般来讲，以上各公式中的阻抗和导纳用各 自的模表示时，各等式不成立。 例： Z Z1 Z 2 Z 3 Z n 和电阻电路中的分压、分流公式相同，在使 用时，要注意符号与参考方向的关系。
o
C
注意： U U U U R L C
例2 如图所示电路。已知R1=3、 R2=8， o u 220 2 sin( 314 t 10 )V XC=6 、XL=4 ， 求：各支路电流及总电流的瞬时值表达式。 I i 解: U 22010 o V
Z1 R1 jX L 3 j4 Z 2 R2 jX c 8 j6
3
Z R j( X L X C ) 30 j(79.8 - 39.8)
(30 j40) 5053.1o
22020o U o I 4.4 33 . 1 A o Z 5053
u R – + u u L – + u – C –
R L C
+ i1 u
。
2 1 I I
R1
XL
i2
R2
Xc
+
U
R1
R2
22010o 22010o U – – 1 I Z1 3 j4 553o 44 43 o A 相量模型 o o U 220 10 220 10 o 2 I 22 47 A o Z2 8 j6 10 37 o i 44 2 sin( 314 t 43 )A 1 o o I 1 I 2 44 43 2247 A I o
电路分析基础 15相量VCR阻抗与导纳
YL＝
1
j
L
( 感纳〕
电容：
ZC＝jX C
j
1
C
(容抗)
YC＝j C ( 容纳）
基本元件相量伏安关系 U ZI
I
即相量形式的欧姆定律 I YU U Z
7-5 交流电路的一般分析方法
一、 简单串并联电路
串联：
I＋U1－＋U2－
Z1 Z2
＋ U －
Z
U1 U2 I
Z1
Z2
并联： I
I1 I2
Z1 Z2
例1：已知交流电路中，一同学用万用表测得
Uab=100v，UR＝60v,测UL确不为40v，为
什么？UL应为多少？
Ri
+
+
uR
－ +
uab
uL L
－
－
例2：求A的读数
10A A1
R A
C A2
10A
7.4.2 二端网络（除源）的阻抗与导纳
1. 阻抗: 二端网络端口上电压相量与电流相量之比。
•
＋I
* 1、建立电路的相量模型 * 2、由相量形式的欧姆定律、KCL、KVL列些相
•
UC －
•
IC 1
jC
归纳:
• U
R
＝R
•
IR
UR＝RIR 电压与电流同相
U• L
•
j L IL
jX L
•
IL
UL LIL 电压超前电流900
•
U
C
＝
1
•
IC
j C
jX C
•
IC
UC
IC
C
电流超前电压900
第九章-正弦稳态电路的分析
（举例略）
例：9-4-2如图，列出节点电压相量方程
33
-j5Ω
1
2
5Ω 10o A
j12Ω
j5Ω -j10Ω
10Ω -j0.5A
设节点与参考节 点如图
(1 5
1 j10
1 j12
1 )U j5 1
(
1 - j5
1 )U j12 2
00
A
I 2
3
.
1
4
-
300
A
I 3.14300 A
R jωL IU2S（略）
练习9-7
习题：9-1 （b）、（e）
23
9-3 （4）
9-7 9-11
说明：9-7 求R、L时，习题解答单纯根据相量电 路列方程求解较麻烦，借助相量图分析得 到电流电压相量，然后，由
Z
R
jωL
U I
部分答案参考：
9 （1 b)Zin 2 j, Yin 0.4 j0.2
=2A。求电流表 A 读数
1
I
解：利用KCL建立电路方程
+
U
-
A
R1
-j 1
A1 I1
I2 A2
R2
1、设I2 20O
I 1
R1
U
j1 ωC
U00
1 ωC
j1 ωC
I1 1A
I1 14 5O
I14 5O
ωC
2 、I I1 I2 0 . 7 0 7 j 0 . 7 0 7 2 I 2 . 7 0 72 0 . 7 0 72 2.8( A )
Yeq Y1 Y2 Yn — 端口等效导纳
两个阻抗并联，则等效导纳：
Y
Y 1
例：9-4-2如图，列出节点电压相量方程
33
-j5Ω
1
2
5Ω 10o A
j12Ω
j5Ω -j10Ω
10Ω -j0.5A
设节点与参考节 点如图
(1 5
1 j10
1 j12
1 )U j5 1
(
1 - j5
1 )U j12 2
00
A
I 2
3
.
1
4
-
300
A
I 3.14300 A
R jωL IU2S（略）
练习9-7
习题：9-1 （b）、（e）
23
9-3 （4）
9-7 9-11
说明：9-7 求R、L时，习题解答单纯根据相量电 路列方程求解较麻烦，借助相量图分析得 到电流电压相量，然后，由
Z
R
jωL
U I
部分答案参考：
9 （1 b)Zin 2 j, Yin 0.4 j0.2
=2A。求电流表 A 读数
1
I
解：利用KCL建立电路方程
+
U
-
A
R1
-j 1
A1 I1
I2 A2
R2
1、设I2 20O
I 1
R1
U
j1 ωC
U00
1 ωC
j1 ωC
I1 1A
I1 14 5O
I14 5O
ωC
2 、I I1 I2 0 . 7 0 7 j 0 . 7 0 7 2 I 2 . 7 0 72 0 . 7 0 72 2.8( A )
Yeq Y1 Y2 Yn — 端口等效导纳
两个阻抗并联，则等效导纳：
Y
Y 1
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画相量图：选电流为参考向量（设L > 1/ C ）
UL
U
UC
z
UX
UR
I
三角形UR 、UX 、U 称为电压三 角形，它和阻抗三角形相似。即
U
U
2 R
U
2 X
例. i + u -
R
L
+ uL -
C
已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,
+ u 5 2 cos( t 60o)V, f 3 104Hz .
注：分压UL大于总电压U
UC UL
法二：相量图解法
.
选电流为参考相量
.
UR | UR || 15 I | 15I
U
U&X
.
.
UL | UL || j56.5 I | 56.5I
.
.
UR
I
UC | UC || j26.5 I | 26.5I
.
U
.
与 I 的相位差
u
i
arctg
UL UC UR
arctg
B G
G=|Y|cosy B=|Y|siny
|Y|=I/U
反映i ,u 幅度关系。
y = i- u 反映i ,u 相位关系。
| Y | 1 |Z|
, y z
|Y| B
y
G 导纳三角形
Y=G+j（C-1/L）=|Y|∠ y 当 C > 1/ L ，B>0， y >0，电路为容性，i 领先u； 当 C<1/ L ，B<0， y <0，电路为感性，i 落后u； 当C=1/ L ，B=0， y =0，电路为电阻性，i 与u同相。
关系：
|Z|—复阻抗的模；z—阻抗角。
| Z | R2 X 2
z
arctg
X R
或
R=|Z|cosz X=|Z|sinz
|Z|=U/I ——反映u, i 有效值关系
z =u-i ——反映u, i 相位关系
|Z| X
z
R 阻抗三角形
阻抗Z与电路性质的关系：
Z=R+j（L-1/C）=|Z|∠ z L > 1/ C ，X>0， z >0，电路为感性，电压领先电流； L<1/ C ，X<0， z <0，电路为容性，电压落后电流； L=1/ C ，X=0， z =0，电路为电阻性，电压与电流同相。
.
.
U c Zc I ......
故：
.
I i(t) ......
.
U R uR (t) ......
.
U L uL(t) ......
.
U C uC (t) ......
二、导纳（admittance）
.
1.
导纳定义：
Y
1 Z
I .
U
基本元件的导纳：
单位: 西门子(S)
YR
1 ZR
= arctg 56.5I 26.5I 15 I
63.4o
UR U cos 63.4o 2.25 I UR / R 2.25 / 15 0.15
i u 63.4o 3.4o
.
故： I 0.15 3.4o (A)
.
.
则：
U R R I ......
.
.
U L ZL I ......
1
.
.
U jC U
L
(G j
1
.
jC )U
L
.
[G j(BC BL )]U
.
(G jB)U
.
令
Y
I
. U
Ii Uu
I U
i
u
G
jB
| Y
| y
Y— 复导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；
|Y|—复导纳的模； y—导纳角。
关系：
| Y | G2 B2
或
y
| y
G
jB
U
+
U
-
I
+ U G -
串 R联
jX
等 效
并
jB
联 等
效
2. 无源单口网络的复阻抗Z
I
+
U
-
无源 线性
I
+
U
Z
-
正弦激励下，对于无独立源线性网络，可定义入端等效复阻抗
Z
def
UI|
Z
|
R
jX
( u i )
纯电阻 Z=R
画相量图：选电压为参考向量（设C
U
<
1/
L，
y
<0
）
y
. IG
I . IC . IL
I
I
2 G
I
2 B
I
2 G
(IL
IC
)2
电流三角形
三、 无源单口网络的复阻抗、复导纳及其等效变换
1. 无源单口网络的串并联等效
正弦激励下 I
I
I +
U
-
无源 线性
+
U
-
I
+
U
-
•
Z
U
•
|
Z
|
z
R
jX
I
•
Y
I
•
| Y
1 R
=G
11
1
YL ZL j L j L jBL
YC
1 ZC
1 1
j C
jC
jBC
G ——电导 BL ——感纳 BC ——容纳
2. GCL并联电路的正弦稳态特性
i
.
I
+
iG
iL
iC
uG L C
-
+
.
UG -
.
.
IG
IL
1
j L
.
IC
j C
由KCL：
.. . .
.
I IG IL IC GU j
U
-
+
.
UL
-
+
1
.
jω C
UC -
由KVL：
.. . . U UR UL UC
.
.
R I j L I j
1
. I
C
(R j L j
1
. )I
C
.
[R j(X L XC )]I
.
(R jX )I
.
令
Z
U .
R
jX
| Z
| Z
I
Z— 复阻抗；R—电阻（阻抗的实部）；
X—电抗（阻抗的虚部）；
uC -
求 i, uR , uL , uC 及u,i 的相位差.
解：其相量模型为
.
I R j L
•
+
.
+
.
UL
-
1
U 560 V
+
.
jωL j2π 3 104 0.3 103 j56.5Ω
U -
jω C
UC -
1
1
j ωC
j 2π
3 104 0.2 106
j26.5Ω
Z R jωL j 1 15 j56.5 j26.5 33.5463.4o Ω ωC
5. 3 阻抗与导纳
一、阻抗（impedance）
1.
阻抗定义：
Z
U& I&
单位: 欧姆()
（复）阻抗反映了对正弦电流的阻碍能力。
基本元件的阻抗：
ZR R
ZL j L jX L
1
ZC
j
C
jX C
2. RLC串联电路的正弦稳态特性
.
iR
L
I R j L
+ u -
+ uL - + C uC
-
& 2 cos( t 3.4o )(A)
且：
uR (t ) 2.25 2 cos( t 3.4o )(V) uL (t ) 8.48 2 cos( t 86.6o )(V) uL (t ) 3.98 2 cos( t 93.4o )(V) u i z 63.4o (A) （感性）
.
.
I
U Z
560o 33.5463.4o
0.15 3.4o
(A)
.
.
U R R I 15 0.15 3.4o =2.25 3.4o(V)
.
.
U L ZL I j56.5 0.15 3.4o =8.4886.6o (V)
.
.
U c Zc I j26.5 0.15 3.4o =3.98 93.4o (V)