阻抗和导纳
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阻抗与导纳
19.2427.9 7.21156.3 原式 180.2 j126.2 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5
225.536
9.2 复数
1、将原来问题变换为一个较容易处理的问题 2、在变换域中求解问题
3、把变换域中求得的解答反变换为原来的问题
9.2 复数
1.复数的表示形式
Im b 代数式(+/-) |F| F
F a jb
(j 1 虚数单位)
o a Re
F | F | e
j
指数式(证明）
F | F | e j | F |
is1 (t ) 6 2sin(314t 75 ) V us1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V us 2 (t ) 4 2sin(314t 60o ) V
需要通过和差化积计算正弦信号（麻烦）
9.1 变换方法的概念
科学与工程技术领域经常使用变换方法求解问题
变换方法求解问题的基本思路：
9.7 阻抗与导纳
1.复阻抗 Z (正弦稳态情况下) +
I
I
-
U
def
无源 线性 网络
+ U -
Z
U Z R jX | Z | φz I
阻抗模
Z Um Im
阻抗角
z u i
9.7 阻抗与导纳
2.复导纳 Y (正弦稳态情况下) + -
I
I
U
def
无源 线性 网络
试写出电流的瞬时值表达式
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5
225.536
9.2 复数
1、将原来问题变换为一个较容易处理的问题 2、在变换域中求解问题
3、把变换域中求得的解答反变换为原来的问题
9.2 复数
1.复数的表示形式
Im b 代数式(+/-) |F| F
F a jb
(j 1 虚数单位)
o a Re
F | F | e
j
指数式(证明）
F | F | e j | F |
is1 (t ) 6 2sin(314t 75 ) V us1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V us 2 (t ) 4 2sin(314t 60o ) V
需要通过和差化积计算正弦信号（麻烦）
9.1 变换方法的概念
科学与工程技术领域经常使用变换方法求解问题
变换方法求解问题的基本思路：
9.7 阻抗与导纳
1.复阻抗 Z (正弦稳态情况下) +
I
I
-
U
def
无源 线性 网络
+ U -
Z
U Z R jX | Z | φz I
阻抗模
Z Um Im
阻抗角
z u i
9.7 阻抗与导纳
2.复导纳 Y (正弦稳态情况下) + -
I
I
U
def
无源 线性 网络
试写出电流的瞬时值表达式
电路分析第8章 阻抗与导纳
t
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
第6章(2)导纳阻抗的一般性质
6Ω 30Ω
j15Ω
j12Ω
(c)等效电路一：串联等效
(d)等效电路二：并联等效
如果知道激励信号频率，则可计算出电感的自感系数L。
第六章 正弦电路的稳态分析
4. 阻抗和导纳的等效互换 用复阻抗Z和复导纳Y表示的两种最简等效电路 可以相互等效变换。变换公式可根据电路等效的概 念求得。 在正弦稳态电路中，两个电路模型欲实现等效，则 需端口处有相同的VCR，即 U = ZI 和 I = YU 完全相同， 显然要求Z与Y互为倒数，
G= R 14.04 14.04 = = S 2 2 2 2 R +X 14.04 + 4.56 217.9
如愿用电阻R’来表示这一元件，则
1 217.9 = 15.52Ω R' = = G 14.04
另一元件导纳为
B=− X 4.56 =− S 2 2 R +X 217.9
B＜0，电纳为电感性。如愿用电抗X’来表示，则
(6.3-11)
|Y|=I/U称为导纳模，导纳模等于电流 I 与电压U 的有效值之比；φY称为导纳角(admittance angle)， 是电流与电压之间的位相差。
第六章 正弦电路的稳态分析
③ 导纳也可以表示为代数形式 Y = G + jB
(6.3-12)
Y的实部G称为电导(conductance)，虚部B称为电纳 (susceptance)。 ④ |Y|、G、B之间的关系为：
第六章 正弦电路的稳态分析
例6.3-2 RL串联电路如6.3-6(a)所示。若要求在
ω=106rad/s时，把它等效成R′L′并联电路(b)，试 求R′和L′的大小。
50Ω
R'
0.06mH
阻抗和导纳
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳) 阻抗和导纳 基本要求：
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
《电路分析基础》第八章：阻抗和导纳
学 YR = 1 / R = G
YC = jω C
YL =
1 =−j 1
jω L
ωL
容纳: BC = ωC
感纳:
BL
=
−1
ωL
信息学院电子系
14
2 单口网络的阻抗和导纳
无源单口网络在正弦稳态时单口端钮的电压相量与电流相
中量之比为输入阻抗，阻抗的倒数为输入导纳
输入阻抗：Z
=
U I
(在关联参考方向下)
信息学院电子系
3
8.3 振幅相量
中1. 正弦稳态电路 国 ¾ 正弦波 u(t)= Umcos(ωt+θu) i(t)= Imcos(ωt+θi)
三特征: 振幅，角频率ω，初相角θ
海 + uR - + uL - iL 洋 iS
u
uS
uL
uR
o
ωt
大 ¾ 正弦稳态电路各电压电流响应与激励均为同频率正弦波。 学 ¾ 对于正弦稳态电路，只需确定初相位和振幅
Imcos(ωt+θi) =－CωUmsin(ωt+θu)
¾ 相量关系 =CωUmcos(ωt+θu+90º)
Re(Ime jωt ) = Re( jωCUme jωt )
Im = jωCUm
I = jωCU
Im∠θi =ωCUm∠(θu +90°)
电容 Im=ωCUm
I=ωCU
+ ... + + ... +
Z1n In Z2n In
= US11 = US22
⎪...
Zii：网孔i自阻抗
Zkj(k≠j)：网孔k与j的互阻抗
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的关系
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的关系
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵是电力系统分析中常用的两个矩阵。
它们之间存在一定的关系和转换。
节点导纳矩阵是描述电力系统中各个节点之间互联关系的矩阵，它通过节点的导纳（含有电阻和电抗的复数形式）表示各个节点之间的互连关系。
节点导纳矩阵常用于节点潮流计算和电力系统的稳态分析。
节点阻抗矩阵则是描述电力系统中各个节点之间互联关系的矩阵，它通过节点的阻抗（含有电阻和电抗的复数形式）表示各个节点之间的互连关系。
节点阻抗矩阵通常用于节点间的短路计算和电力系统的故障分析。
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵之间可以通过以下关系进行转换：
1.对于一个电力系统，其节点导纳矩阵可以通过节点阻抗矩
阵进行求逆得到。
即可以通过节点阻抗矩阵来推导得到节
点导纳矩阵。
2.反之，节点导纳矩阵可以通过节点阻抗矩阵进行求逆得到。
即可以通过节点导纳矩阵来推导得到节点阻抗矩阵。
这种转换关系可以通过复数阻抗矩阵和复数导纳矩阵之间的关系而得到。
复数阻抗的求逆结果得到的是复数导纳。
总之，节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵是描述电力系统中节点之间互联关系的两个矩阵，它们之间可以通过求逆操作相互转换。
最新高等院校电工学电子学课程第九章《阻抗和导纳》
U R 2
2 245
100
7.07
45 V
U L 2
U L
U
U C
U R
I
U
UX
UR
U
U
2 R
U
2 X
电压三角形
.
IR
+
.
+ U R-
U
-
U+X jX
-
Z R j X Z
|Z| X
R 阻抗三角形
U U R U X U
U
UX
UR
电压三角形
二、导纳
1、定义
Y
1 Z
I
U
I U
具体分析一下 R-L-C 串联电路
Z=R+j( L-1/ C)=|Z|∠ L > 1/ C ，X>0， >0，电压领先电流，电路呈感性； L<1/ C ，X<0， <0，电压落后电流，电路呈容性； L=1/ C ，X=0， =0，电压与电流同相，电路呈电阻性。
画相量图：选电流为参考向量( L > 1/ C )
jB
º
º
Z R jX Z φZ Y G jB Y φY
条件：Z ( jw)Y ( jw) 1 即 | Y ( jw) || Z ( jw) | 1 , φY φZ 0
Y
1 Z
1 R jX
R jX R2 X 2
G
jB
G
R R2X 2
,
B
导纳和阻抗
导纳和阻抗
导纳和阻抗是电信领域中两个非常重要的概念。
它们分别可以描
述电路元件和传输线的电学特性，帮助工程师们更好地设计和分析电路。
导纳是一个电路元件或系统对电流和电压之间相互作用程度的描述。
通俗来说，它是电路的响应能力指数，越大表示电路的响应能力
越好，越小表示电路的响应速度越慢。
导纳可以分为实部和虚部两个部分。
实部描述电路对电流的能力，而虚部则描述电路对电压的能力。
因此，导纳的单位是西门子（S），
其中1西门子等于1安培/伏特。
阻抗则是用来描述电路对电流和电压之间产生阻力的特性。
它由
实部和虚部组成，在电路中扮演着非常重要的角色。
当我们需要利用
电路传输信号时，阻抗的匹配非常重要。
例如，如果我们需要将信号
从一个电路传输到另一个电路，必须确保两个电路的阻抗匹配，否则
将会产生反射并降低传输效率。
阻抗的单位是欧姆（Ω），表示电路对电流的阻力。
阻抗也可以
被看作导纳的倒数，即Z=1/Y。
因此，当导纳较大时，阻抗较小，反之亦然。
总而言之，导纳和阻抗是电路和传输线中非常关键的概念。
它们
可以帮助我们更好地设计和分析电路，在电信领域中有着广泛的应用。
因此，当我们需要进行电路分析时，需要重视导纳和阻抗的作用，并确保它们在电路中的匹配性。
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分压公式
& = Zi U & Ui Z
② 导纳的并联
& I
& I
+ & U －
Y1
Y2
Yn
+ & U -
Y
& & & & & & I = I1 + I2 +L+ In = U (Y1 + Y2 +L+ Yn ) = UY
Y = ∑Yk = ∑(Gk + jBk )
k =1 k =1 n n
分流公式
X L = ω L = 106 × 0.06 ×10−3 = 60Ω
Z = R + jX L = 50 + j60 = 78.1∠50.20 Ω 1 1 Y= = = 0.0128∠ − 50.20 Ω Z 78.1∠50.20 = 0.0082 − j0.0098 S 1 1 ' R= '= = 122Ω G 0.0082 1 ' L= = 0.102mH 0.0098ω
& I
+ & U R + & U -
& I
C
& U Z= =R & I
& I
+ & U L
& U 1 Z = =−j = jXC & I ωC
& U Z = = jω L = jX L & I
Z可以是实数，也可以是虚数 可以是实数，
② RLC串联电路 串联电路
.
L + + uR - + uL u C -
例
图示电路对外呈现感性还是容性？ 图示电路对外呈现感性还是容性？ 。 －j6Ω Ω 3Ω Ω 5Ω Ω
解1
等效阻抗为： 等效阻抗为：
j4Ω Ω 3Ω Ω
5(3 + j4) Z = 3 − j6 + 5 + (3 + j4) 25∠53.1 = 3 − j6 + = 5.5 − j4.75Ω 8 + j4
& U 5∠60o & I= = = 0.149∠ − 3.4o A Z 33.54∠63.4o & & U R = R I = 15 × 0.149∠ − 3.4o = 2.235∠ − 3.4o V & & U L = jωLI = 56.5∠90o × 0.149∠ − 3.4o = 8.42∠86.4o V & C = j 1 I = 26.5∠ − 90o × 0.149∠ − 3.4o = 3.95∠ − 93.4o V & U ωC & i = 0.149 2 sin(ω − 3.4o ) A t UL 则 &
转换关系： 转换关系：
或
| Y |= G2 + B2 B φy = arctg G Y = I G=|Y|cosϕ y U B=|Y|sinϕ y ϕ y =ψ i −ψ u
|Y| B G
导纳三角形
ϕy
分析 R、L、C 并联电路得出： 、 、 并联电路得出： 故称复导纳； （1）Y=G+j(ωC-1/ωL)=|Y|∠ϕy 数，故称复导纳； ） （2）ωC > 1/ωL ，B>0， ϕy>0，电路为容性，电流超前电压 ， ，电路为容性， 相量图：选电压为参考向量， 相量图：选电压为参考向量，
UC
uR = 2.235 2 sin(ω − 3.4o ) V t uL = 8.42 2 sin(ω + 86.6o ) V t
uC = 3.95 2 sin(ω − 93.4o ) V t
注 UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。 ，分电压大于总电压。
& U
ϕ
-3.4° °
& UR
& I
相量图
0
解2
用相量图求解，取电流 为参考相量 为参考相量： 用相量图求解，取电流2为参考相量： Ω Ω & 3Ω －j6Ω I ＋ ＋ U －＋ &
1
& U2
j4Ω Ω 3Ω Ω
& U
5Ω Ω
& I & I2
& U1
& I1
& U2
& I2 －
－
& U
例
解
& U1 图示为RC选频网络 选频网络， 图示为 选频网络，试求u1和u0同相位的条件及 ? & = U0
& = Yi I & Ii Y
两个阻抗Z 的并联等效阻抗为： 两个阻抗 1、Z2的并联等效阻抗为：
Z1Z2 Z= Z1 + Z2
例
求图示电路的等效阻抗， 求图示电路的等效阻抗， ω＝105rad/s 。 R1 30Ω Ω 1mH R2 100Ω Ω 0.1µF µ
感抗和容抗为： 解 感抗和容抗为：
& I
+ & U -
R
& I 1 Y = = =G & U R
& I
+ & U -
& I Y= & U = jω C = jBC
& I Y = = 1/ jω L = jBL & L U
Y可以是实数，也可以是虚数 可以是实数，
④ RLC并联电路 并联电路
i + u R iL L iL C iC +
ϕz
& UR
& U
UX
& I
U =
U
2 R
+ U
.
2 X
& UC
& UL
I
R +
.
+ 等效电路
.
-
UR
U -
1 jωC'
+.
UX
-
ωL=1/ωC ，X=0， ϕ z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。 ，电路为电阻性，电压与电流同相。 ， .
& UL
等效电路
& UC
& & UR = U
& I
+. U -
③导纳
+ & U -
正弦稳态情况下
& I
无源 线性 + & U -
& I
Y
& I 定义导纳 Y = =| Y | ∠φy & U
I Y = U
导纳模 导纳角
ϕ y =ψ i −ψ u
单位： 单位：S
对同一二端网络: 对同一二端网络
1 1 Z = ,Y = Y Z
& I
+ & U C
当无源网络内为单个元件时有： 当无源网络内为单个元件时有：
U R .
.
I
IL IR 1 jω L jωC
.
.
.
IC
= (G − j
& − j 1 U + jωC U & & & & & = 由KCL： I = I R + I L + I C GU ： & ωL 1 & &
ωL
+ jωC)U = [G + j(BL + BC )U = (G + jB)U &
设：Z1=R－jXC, Z2=R//jXC
& U1 & Uo
& U1 Z2 & Uo = Z1 + Z2 Z1 + Z2 Z1 = = 1+ Z2 Z2
或
|Z|—复阻抗的模；ϕz —阻抗角。 复阻抗的模； 阻抗角。 复阻抗的模 阻抗角
R=|Z|cosϕz X=|Z|sinϕz
|Z|
U Z= I ϕz =ψ u −ψ i
阻抗三角形
ϕz
R
X
分析 R、L、C 串联电路得出： 、 、 串联电路得出： 为复数， （1）Z=R+j(ωL-1/ωC)=|Z|∠ϕz为复数，故称复阻抗 ） （2）ωL > 1/ωC ，X>0， ϕ z>0，电路为感性，电压领先电流； ， ，电路为感性，电压领先电流； 相量图：选电流为参考向量， 相量图：选电流为参考向导纳）的串联和并联 阻抗 ① 阻抗的串联
Z1
& I
Z2
Zn + & U －
& I
Z
+
& U
& & & & & & U = U1 +U2 +L+Un = I (Z1 + Z2 +L+ Zn ) = IZ
Z = ∑Zk = ∑(Rk + jXk )
k =1 k =1 n n
.
I
等效电路
+
U R .
.
IR
.
1 jωC'
IB
ωC<1/ωL ，B<0， ϕy<0，电路为感性，电流落后电压； ， ，电路为感性，电流落后电压；
. ϕy I.G
& U
& I
IC
. IL
I=
2 2 IG + I B =
2 IG + (I L − IC )2
.
I
+ 等效电路
U R .
.