阻抗与导纳
电路分析第8章 阻抗与导纳
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
阻抗和导纳
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
第八章 阻抗和导纳
& Um = Um & =I Im m
θ → u(t) = Um cos(ωt + θ)
θ → i(t) = Im cos(ωt + θ)
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例1
写出下列正弦量对应的振幅相量 1) i1 = −3sin(ωt + 60o ) → 2) i2 = −3cos(ωt + 60 ) →
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8-6 +
& Um
& Im
阻抗与导纳 +
& Im
+
1 jωC
& Im
R _
& Um
& Um
jωL
_
& Um =R & Im
_
& Um = jωL & Im
& Um 1 = & Im jωC
概括
& Um =Z & Im
+ 阻抗
& Um
& Im
Z
_
上 页 下 页
一、阻 抗 定义： 二端元件(网络) 电压相量与电流相量之比。
第三篇 动态电路的相量分析法 和s域分析法
上 页
下 页
相量分析法：正弦稳态电路 在单一频率正弦电压、电流激励下， 线性非时变渐近稳定电路中各支路电流 和电压，均为与激励同频率的正弦波。 s域分析法：线性非时变动态电路 激励不仅只是正弦波，研究的对象 可以是稳态，也可以是暂态。
上 页
下 页
第八章 阻 抗 与 导 纳
上 页 下 页
例 已知A=6+j8=10∠53.1o ， B=-4.33+j2.5=5∠150o 计算A+B,A-B,A·B,A/B
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的关系
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的关系
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵是电力系统分析中常用的两个矩阵。
它们之间存在一定的关系和转换。
节点导纳矩阵是描述电力系统中各个节点之间互联关系的矩阵，它通过节点的导纳（含有电阻和电抗的复数形式）表示各个节点之间的互连关系。
节点导纳矩阵常用于节点潮流计算和电力系统的稳态分析。
节点阻抗矩阵则是描述电力系统中各个节点之间互联关系的矩阵，它通过节点的阻抗（含有电阻和电抗的复数形式）表示各个节点之间的互连关系。
节点阻抗矩阵通常用于节点间的短路计算和电力系统的故障分析。
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵之间可以通过以下关系进行转换：
1.对于一个电力系统，其节点导纳矩阵可以通过节点阻抗矩
阵进行求逆得到。
即可以通过节点阻抗矩阵来推导得到节
点导纳矩阵。
2.反之，节点导纳矩阵可以通过节点阻抗矩阵进行求逆得到。
即可以通过节点导纳矩阵来推导得到节点阻抗矩阵。
这种转换关系可以通过复数阻抗矩阵和复数导纳矩阵之间的关系而得到。
复数阻抗的求逆结果得到的是复数导纳。
总之，节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵是描述电力系统中节点之间互联关系的两个矩阵，它们之间可以通过求逆操作相互转换。
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的关系
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的关系节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵都是电力系统中常用的技术工具，在电力系统分析和计算中起着重要的作用。
节点导纳矩阵是描述电力系统节点之间互相连接的导纳关系的矩阵，而节点阻抗矩阵则是描述电力系统节点之间互相连接的阻抗关系的矩阵。
本文将分析节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的相关知识，并探讨它们之间的关系。
一、节点导纳矩阵的基本概念节点导纳矩阵是用来描述电力系统中各个节点之间的导纳关系的工具。
在电力系统中，节点是指电力系统中各个线路、变压器等元件的连接点，它们通过导线或者变压器等元件连接起来。
节点导纳矩阵可以用来描述电力系统中各个节点之间的导纳关系，从而可以用来分析和计算各个节点之间的电压、电流等电气参数。
节点导纳矩阵通常用Y矩阵来表示，它是一个N×N的方阵，其中N表示电力系统中节点的个数。
在节点导纳矩阵中，矩阵的每个元素Yij表示节点i和节点j之间的导纳关系，即节点i和节点j之间的导纳值。
节点导纳矩阵的元素Yij可以通过分析电力系统中各个节点之间的连接关系和元件的参数来确定。
节点导纳矩阵可以用来描述电力系统中各个节点之间的导纳关系，从而可以用来进行各种电力系统的分析和计算。
例如，可以利用节点导纳矩阵来进行节点电压的计算，或者进行节点电流的计算等。
因此，节点导纳矩阵是电力系统分析和计算中的重要工具。
二、节点阻抗矩阵的基本概念节点阻抗矩阵是用来描述电力系统中各个节点之间的阻抗关系的工具。
在电力系统中，各个节点之间连接着各种电气元件，例如导线、变压器等，这些电气元件都具有一定的阻抗。
节点阻抗矩阵可以用来描述电力系统中各个节点之间的阻抗关系，从而可以用来分析和计算各个节点之间的电压、电流等电气参数。
节点阻抗矩阵通常用Z矩阵来表示，它也是一个N×N的方阵，其中N表示电力系统中节点的个数。
在节点阻抗矩阵中，矩阵的每个元素Zij表示节点i和节点j之间的阻抗关系，即节点i和节点j之间的阻抗值。
最新高等院校电工学电子学课程第九章《阻抗和导纳》
U R 2
2 245
100
7.07
45 V
U L 2
U L
U
U C
U R
I
U
UX
UR
U
U
2 R
U
2 X
电压三角形
.
IR
+
.
+ U R-
U
-
U+X jX
-
Z R j X Z
|Z| X
R 阻抗三角形
U U R U X U
U
UX
UR
电压三角形
二、导纳
1、定义
Y
1 Z
I
U
I U
具体分析一下 R-L-C 串联电路
Z=R+j( L-1/ C)=|Z|∠ L > 1/ C ，X>0， >0，电压领先电流，电路呈感性； L<1/ C ，X<0， <0，电压落后电流，电路呈容性； L=1/ C ，X=0， =0，电压与电流同相，电路呈电阻性。
画相量图：选电流为参考向量( L > 1/ C )
jB
º
º
Z R jX Z φZ Y G jB Y φY
条件：Z ( jw)Y ( jw) 1 即 | Y ( jw) || Z ( jw) | 1 , φY φZ 0
Y
1 Z
1 R jX
R jX R2 X 2
G
jB
G
R R2X 2
,
B
阻抗矩阵和导纳矩阵的定义
阻抗矩阵和导纳矩阵的定义阻抗矩阵和导纳矩阵是电路分析中常用的工具，用于描述电路中各个元件之间的关系。
阻抗矩阵描述了电路中各个节点之间的阻抗关系，而导纳矩阵则描述了电路中各个节点之间的导纳关系。
本文将分别介绍阻抗矩阵和导纳矩阵的定义和应用。
一、阻抗矩阵的定义阻抗矩阵是描述电路中各个节点之间的阻抗关系的一种矩阵表示方法。
在电路分析中，将电路中的每个元件看作一个节点，节点之间的连接线看作一个支路。
根据欧姆定律和基尔霍夫定律，可以得到各个节点之间的电流和电压之间的关系。
通过整理这些关系，可以得到一个由节点电压和节点电流表示的方程组。
将这个方程组整理成矩阵形式，就得到了阻抗矩阵。
阻抗矩阵的元素由电路中各个元件的阻抗决定。
对于电路中的每个节点，阻抗矩阵的对角元素表示该节点的自阻抗，非对角元素表示节点之间的互阻抗。
阻抗矩阵是一个对称矩阵，因为互阻抗是相互关联的。
阻抗矩阵的应用非常广泛。
在电路分析中，可以通过求解阻抗矩阵来得到电路中各个节点的电压和电流。
此外，阻抗矩阵还可以用于电路的拓扑分析、电路的稳定性分析等方面。
二、导纳矩阵的定义导纳矩阵是描述电路中各个节点之间的导纳关系的一种矩阵表示方法。
导纳矩阵是阻抗矩阵的逆矩阵，用于描述电路中各个节点之间的导纳关系。
导纳矩阵的元素由电路中各个元件的导纳决定。
导纳矩阵的元素由电路中各个元件的导纳决定。
对于电路中的每个节点，导纳矩阵的对角元素表示该节点的自导纳，非对角元素表示节点之间的互导纳。
导纳矩阵是一个对称矩阵，因为互导纳是相互关联的。
导纳矩阵的应用也非常广泛。
在电路分析中，可以通过求解导纳矩阵来得到电路中各个节点的电压和电流。
此外，导纳矩阵还可以用于电路的拓扑分析、电路的稳定性分析等方面。
三、阻抗矩阵和导纳矩阵的关系阻抗矩阵和导纳矩阵是电路分析中常用的工具，它们之间存在着密切的关系。
阻抗矩阵是导纳矩阵的逆矩阵。
也就是说，如果我们已知一个电路的阻抗矩阵，那么我们可以通过求逆来得到该电路的导纳矩阵。
4.9.4 阻抗和导纳关系
Z
Y 1=则L R ωj 1+=222222j j R L G B L R L R ωωω=-=+++R L R R G 1222≠+=ω2221L B L R L
ωωω=-≠+j Z R L ω=+若说明：Y 与 Z 等效是在某一频率下求出的，故等效的 Z 或 Y 与频率有关。
阻抗与导纳之间的关系
Y
Z 1=阻抗和导纳
解：GCL 并联电路的导纳为 j[1/()]Y G C L ωω=+-其等效阻抗
11j[1/()]Z Y G C L ωω==+-rad/s
π100π2==f ω361210S j[100π101/(100π1)]S Z --=⨯+⨯-⨯阻抗虚部为正，呈电感性质，等效电感
H 747.0s π)100(2351-≈Ω==ωL
X L (a)
Ω164H 747.0例 3 GCL 并联电路中G =2mS , L =1H , C =1μF 。
试在频率为50Hz 和 400Hz 两种情况下求其串联等效电路的参数。
(164j235)≈+Ω f =50Hz 时 阻抗和导纳 例题
f =400Hz 时 =ωrad/s
π800⨯+⨯-⨯=≈-Ω--Z 1)]
π101/(800π210S j[800(236j250)136阻抗虚部为负，呈电容性质，等效电容为
⨯Ω==≈ωX C C s 250π800F μ1.5911-1F μ1.59236Ω)b (一个实际电路在不同频率下的等效，不仅其电路参数不同，甚至连元件类型也可能发生改变。
这说明经过等效变换求得的等效电路只是在一定频率下才与变换前的电路等效。
阻抗和导纳 例题
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阻抗与导纳
Z12 Z 23 Z2 Z12 Z 23 Z 31
Z 23 Z 31 Z3 Z12 Z 23 Z 31
使用以上公式时注意以下几点：
熟记基本元件的阻抗和导纳。 同一元件或同一端口的阻抗和导纳互为倒数。
一般来讲，以上各公式中的阻抗和导纳用各 自的模表示时，各等式不成立。 例： Z Z1 Z 2 Z 3 Z n 和电阻电路中的分压、分流公式相同，在使 用时，要注意符号与参考方向的关系。
o
C
注意： U U U U R L C
例2 如图所示电路。已知R1=3、 R2=8， o u 220 2 sin( 314 t 10 )V XC=6 、XL=4 ， 求：各支路电流及总电流的瞬时值表达式。 I i 解: U 22010 o V
Z1 R1 jX L 3 j4 Z 2 R2 jX c 8 j6
3
Z R j( X L X C ) 30 j(79.8 - 39.8)
(30 j40) 5053.1o
22020o U o I 4.4 33 . 1 A o Z 5053
u R – + u u L – + u – C –
R L C
+ i1 u
。
2 1 I I
R1
XL
i2
R2
Xc
+
U
R1
R2
22010o 22010o U – – 1 I Z1 3 j4 553o 44 43 o A 相量模型 o o U 220 10 220 10 o 2 I 22 47 A o Z2 8 j6 10 37 o i 44 2 sin( 314 t 43 )A 1 o o I 1 I 2 44 43 2247 A I o
5.4阻抗与导纳及其等效变换
5．4 阻抗与导纳及其等效变换一、阻抗1．阻抗的定义及表示形式如下图(a)所示的单口无源线性两端网络N 0，设端口电压为2sin()u u U t ωϕ=+，对应的相量.u U U ϕ=∠，端口电流为2sin()i i I t ωϕ=+，对应的相量.i I I ϕ=∠。
则其端口电压相量与电流相量之比定义为该网络的阻抗Z ，即..()u i U UZ Z I Iϕϕϕ==∠-=∠ 由上式可得 u i U Z Iϕϕϕ⎫=⎪⎬⎪=-⎭说明：（1）Z 是一个复数，所以又称为复阻抗，Z 是阻抗的模，ϕ为阻抗角，它是电压与电流的相位差。
复阻抗的图形符号与电阻的图形符号相似，如上图(b)所示。
复阻抗的单位为Ω。
（2）阻抗Z 用代数形式表示时，可写为：j Z R X =+R ：Z 的实部，称为阻抗的电阻分量，单位：Ω，R 一般为正值；X ：Z 的虚部，称为阻抗的电抗分量，单位：Ω，X 的值可能为正，亦可能为负。
阻抗的代数形式与极坐标形式之间的互换公式：22arctan Z R X X R ϕ⎫=+⎪⎬=⎪⎭cos sin R Z X Z ϕϕ=⎫⎪⎬=⎪⎭由阻抗Z 的代数形式可知，由于R 一般为正值，所以有π2ϕ≤，且R 、X 和Z 三者之间的关系可用一个直角三角形表示，如上图（c ）所示。
2．阻抗的性质由于阻抗Z Z ϕ=∠而arctan XRϕ=，电路结构、参数或频率不同时，阻抗角ϕ可能会出现三种情况：（1）0ϕ>（即0X >）时，称阻抗的性质为感性，电路为感性电路； （2）0ϕ=（即0X =）时，称阻抗性质为电阻性，电路为阻性电路； （3）0ϕ<（即0X <）时，称阻抗性质为容性，电路为容性电路。
3．单口无源网络的串联等效电路由.......R X (j )j U Z I R X I R I XI U U ==+=+=+，可知.R U 与.I 同相位，.X U 与.I 相差π2。
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180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5
225.536
9.2 复数
1、将原来问题变换为一个较容易处理的问题 2、在变换域中求解问题
3、把变换域中求得的解答反变换为原来的问题
9.2 复数
1.复数的表示形式
Im b 代数式(+/-) |F| F
F a jb
(j 1 虚数单位)
o a Re
F | F | e
j
指数式(证明）
F | F | e j | F |
is1 (t ) 6 2sin(314t 75 ) V us1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V us 2 (t ) 4 2sin(314t 60o ) V
需要通过和差化积计算正弦信号（麻烦）
9.1 变换方法的概念
科学与工程技术领域经常使用变换方法求解问题
变换方法求解问题的基本思路：
9.7 阻抗与导纳
1.复阻抗 Z (正弦稳态情况下) +
I
I
-
U
def
无源 线性 网络
+ U -
Z
U Z R jX | Z | φz I
阻抗模
Z Um Im
阻抗角
z u i
9.7 阻抗与导纳
2.复导纳 Y (正弦稳态情况下) + -
I
I
U
def
无源 线性 网络
试写出电流的瞬时值表达式
i 50cos(314t 15 ) A
9.3 振幅相量
正弦信号 u(t)= um cos(t )
造 构 数 复
一一对应
相量 U m um e j um
e
以 除 复 数
j
t
复函数 F ( ) um e j(t + )
正弦信号、相量和复数间的关系
I
I
R
U
IC
+
U
+ -
j L
-
+ U -
1 j ωC
U Z R I
U 1 Z I j C
U Z j L I
9.7 相量分析法
相量图 在复平面上用矢量表示相量的图
振幅余弦相量 cos (t ) 10o
C
相量形式
du (t ) i (t ) C dt
1 Um Im jC
u(t)与i(t)相位关系？
9.6 电路元件VCR的相量形式
u Ri 元件时 域VAR
& RI & U
& j L I & U & U 1 j C & I 元件相 量VAR
u L
di dt
1 u idt C
U m中包含正弦信号u(t)的振幅和初相位信息—振幅相量
j
j t
9.3 振幅相量 已知
i 100cos(314t 30o )A u 220cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u
I 10030 A,
o
U 220 60o V
已知 I 5015 A, f 50Hz .
2. 复数运算 ① 加减运算 —— 采用代数式 若 则 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
实部相加减、虚部相加减
547 10 25 ?
原式 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569
I Y j C U
9.7 阻抗与导纳
感抗和感纳
I
U
+ -
j L
感抗 XL = L , 单位为 感纳 BL = -1/ L ，单位为S 感抗与频率成正比
9.7 阻抗与导纳
容抗和容纳
IC
+ U -
1 j ωC
容抗 XC = -1/C , 单位为 容纳 BC = C ， 单位为S 容抗与频率成反比
9.6 电路元件VCR的相量形式
时域电路 i + u 相量模型
& I
相量图 R
& U
阻抗 R 电阻
R i(t )
& U
+ -
& I
& I
+ u (t) i (t) + u(t) -
L
& U
+
& U
& I
j L
& I
& I
XL= L 感抗
U 1 I C 容抗
C
& U
+ -
1 j C
& U
极坐标式（×/÷）
9.2 复数
几种表示法的关系：
Im
F a jb
F | F | e j | F |
| F | a 2 b 2 b 或 θ arctan a
b |F|
F
o a Re
a | F | cos b |F |sin
9.2 复数
9.1 变换方法的概念
问题的提出
①
R1 R2 + – us2 R3 + us3 –
uS 2 uS 3 1 1 ( )un1 iS 1 R2 R3 R2 R3
is1
R2 R3 R3 R2 un1 iS 1 uS 2 uS 3 R2 R3 R2 R3 R2 R3
t
反映正弦量变化幅度的大小 (2)角频率ω 相位变化的速度，反映正弦量变化快慢
(3)初相位y
2π f 2π T
单位： rad/s ，弧度/秒
反映正弦量的计时起点，常用角度表示
9.3 振幅相量
复数与正弦信号的关系
e cos j sin e
j t
j
cos t j sin t
+ U -
Y
I Y G jB | Y | φy S U
导纳模
导纳角
Im Y Um
y i u
9.7 阻抗与导纳
当无源网络内为单个元件时
I
I
I
+
U
R
+
U
C
+
U Z R I I 1 Y U R
U 1 Z I j C
U
-
L
U Z j L I
I 1 Y U j L
j t
j t
cos t Re(e )
sin t Im(e )
9.3 振幅相量
u (t ) U m cos(t + ) Re[U me
j( t+ )
]
Re[U m e e ] Re[U m e e ]
j j t
j t j
Re[U m e ]
u (t ) U m U me U m
9.3 振幅相量
2. 正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以 分解为按正弦规律变化的分量
f (t ) a0 (ak cos kt bk sin kt )
k 1
结论 对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际
意义
9.3 振幅相量
正弦量的三要素 u(t)=Umsin( t+y) (1) 幅值(振幅、最大值)Um 0 u T
③旋转因子
e j cos j sin 1
F e
j
旋转 因子
注意：+j,-j,-1等均可看做是 旋转因子
9.3 振幅相量
正弦交流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路称为正弦 电路或交流电路 研究正弦电路的意义 1. 正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分 重要的地位 ① 正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算 后仍是同频率的正弦函数 ② 正弦信号容易产生、传送和使用
①把时域问题变为复数域问题 ②把微积分方程变为复数代数方程 ③可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路
9.5 基尔霍夫定律的相量形式
基尔霍夫定律的相量形式 KCL和KVL可用相应的相量形式表示：
i(t ) Re I m1 I m 2 u(t ) Re U m1 U m 2
9.7 阻抗与导纳
图示电路对外呈现感性还是容性？ 等效阻抗 －j6 3 5 j4 3
5(3 j4) Z 3 j6 5 (3 j4) 2553.10 3 j6 8 j4 5.5 j4.75
电路对外呈现容性
9.7 阻抗与导纳
复阻抗和复导纳的等效互换 +
j t e 0 j t e 0
I
m
0
U
m
0
流入某一结点所有正弦电流用相量表示时满足KCL 任一回路所有支路正弦电压用相量表示时满足KVL
9.6 电路元件VCR的相量形式
1.电阻元件VCR
i( t) + u (t) 时域形式
R
相量形式
u (t ) R i(t )
Um R I m
1 1 0 Y 0.0128 50.2 0 Z 78.150.2 0.0082 j0.0098 S
0.06mH
1 1 R 122 G 0.0082 1 L 0.102mH 0.0098