阻抗和导纳
电路分析第8章 阻抗与导纳
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
第八章 阻抗和导纳
& Um = Um & =I Im m
θ → u(t) = Um cos(ωt + θ)
θ → i(t) = Im cos(ωt + θ)
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例1
写出下列正弦量对应的振幅相量 1) i1 = −3sin(ωt + 60o ) → 2) i2 = −3cos(ωt + 60 ) →
上 页
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8-6 +
& Um
& Im
阻抗与导纳 +
& Im
+
1 jωC
& Im
R _
& Um
& Um
jωL
_
& Um =R & Im
_
& Um = jωL & Im
& Um 1 = & Im jωC
概括
& Um =Z & Im
+ 阻抗
& Um
& Im
Z
_
上 页 下 页
一、阻 抗 定义： 二端元件(网络) 电压相量与电流相量之比。
第三篇 动态电路的相量分析法 和s域分析法
上 页
下 页
相量分析法：正弦稳态电路 在单一频率正弦电压、电流激励下， 线性非时变渐近稳定电路中各支路电流 和电压，均为与激励同频率的正弦波。 s域分析法：线性非时变动态电路 激励不仅只是正弦波，研究的对象 可以是稳态，也可以是暂态。
上 页
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第八章 阻 抗 与 导 纳
上 页 下 页
例 已知A=6+j8=10∠53.1o ， B=-4.33+j2.5=5∠150o 计算A+B,A-B,A·B,A/B
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的关系
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的关系
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵是电力系统分析中常用的两个矩阵。
它们之间存在一定的关系和转换。
节点导纳矩阵是描述电力系统中各个节点之间互联关系的矩阵，它通过节点的导纳（含有电阻和电抗的复数形式）表示各个节点之间的互连关系。
节点导纳矩阵常用于节点潮流计算和电力系统的稳态分析。
节点阻抗矩阵则是描述电力系统中各个节点之间互联关系的矩阵，它通过节点的阻抗（含有电阻和电抗的复数形式）表示各个节点之间的互连关系。
节点阻抗矩阵通常用于节点间的短路计算和电力系统的故障分析。
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵之间可以通过以下关系进行转换：
1.对于一个电力系统，其节点导纳矩阵可以通过节点阻抗矩
阵进行求逆得到。
即可以通过节点阻抗矩阵来推导得到节
点导纳矩阵。
2.反之，节点导纳矩阵可以通过节点阻抗矩阵进行求逆得到。
即可以通过节点导纳矩阵来推导得到节点阻抗矩阵。
这种转换关系可以通过复数阻抗矩阵和复数导纳矩阵之间的关系而得到。
复数阻抗的求逆结果得到的是复数导纳。
总之，节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵是描述电力系统中节点之间互联关系的两个矩阵，它们之间可以通过求逆操作相互转换。
电路分析基础_09阻抗与导纳
9.4 相量的线性性质和微分性质
正弦量的微分、积分运算
y(t) Y
微分运算
dy(t) dt
d dt
Re Yej
t
Re Y j ej t
积分运算
y(t)dt
Re Yej t dt
Re
Y
j
e
j
t
dy(t) jY
dt
idt
Y
j
9.4 相量的线性性质和微分性质
9.1 变换方法的概念 ①
问题的提出
(1 R2
1 R3
)un1
iS1
uS 2 R2
uS 3 R3
R1 is1
R2
+ us2
–
R3
+ us3
–
un1
R2 R3 R2 R3
iS1
R3 R2 R3
uS 2
R2 R2 R3
uS 3
is1(t) 6 2sin(314t 75 ) V us1(t) 6 2sin(314t 30 ) V us2 (t) 4 2sin(314t 60o ) V
Re(U 1
e jt
•
U
2
ejt )
•
•
Re[(U 1 U
2 )ejt ]
u(t)
u1
(t
)
u2
(t
)
•
Re[(U
1
•
U
2
)e
jt
]
相量关系为： U U1 U2
9.4 相量的线性性质和微分性质
u1(t) 6cos(314t 30 ) V u2 (t) 4cos(314t 60o ) V
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的关系
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的关系节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵都是电力系统中常用的技术工具，在电力系统分析和计算中起着重要的作用。
节点导纳矩阵是描述电力系统节点之间互相连接的导纳关系的矩阵，而节点阻抗矩阵则是描述电力系统节点之间互相连接的阻抗关系的矩阵。
本文将分析节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的相关知识，并探讨它们之间的关系。
一、节点导纳矩阵的基本概念节点导纳矩阵是用来描述电力系统中各个节点之间的导纳关系的工具。
在电力系统中，节点是指电力系统中各个线路、变压器等元件的连接点，它们通过导线或者变压器等元件连接起来。
节点导纳矩阵可以用来描述电力系统中各个节点之间的导纳关系，从而可以用来分析和计算各个节点之间的电压、电流等电气参数。
节点导纳矩阵通常用Y矩阵来表示，它是一个N×N的方阵，其中N表示电力系统中节点的个数。
在节点导纳矩阵中，矩阵的每个元素Yij表示节点i和节点j之间的导纳关系，即节点i和节点j之间的导纳值。
节点导纳矩阵的元素Yij可以通过分析电力系统中各个节点之间的连接关系和元件的参数来确定。
节点导纳矩阵可以用来描述电力系统中各个节点之间的导纳关系，从而可以用来进行各种电力系统的分析和计算。
例如，可以利用节点导纳矩阵来进行节点电压的计算，或者进行节点电流的计算等。
因此，节点导纳矩阵是电力系统分析和计算中的重要工具。
二、节点阻抗矩阵的基本概念节点阻抗矩阵是用来描述电力系统中各个节点之间的阻抗关系的工具。
在电力系统中，各个节点之间连接着各种电气元件，例如导线、变压器等，这些电气元件都具有一定的阻抗。
节点阻抗矩阵可以用来描述电力系统中各个节点之间的阻抗关系，从而可以用来分析和计算各个节点之间的电压、电流等电气参数。
节点阻抗矩阵通常用Z矩阵来表示，它也是一个N×N的方阵，其中N表示电力系统中节点的个数。
在节点阻抗矩阵中，矩阵的每个元素Zij表示节点i和节点j之间的阻抗关系，即节点i和节点j之间的阻抗值。
最新高等院校电工学电子学课程第九章《阻抗和导纳》
U R 2
2 245
100
7.07
45 V
U L 2
U L
U
U C
U R
I
U
UX
UR
U
U
2 R
U
2 X
电压三角形
.
IR
+
.
+ U R-
U
-
U+X jX
-
Z R j X Z
|Z| X
R 阻抗三角形
U U R U X U
U
UX
UR
电压三角形
二、导纳
1、定义
Y
1 Z
I
U
I U
具体分析一下 R-L-C 串联电路
Z=R+j( L-1/ C)=|Z|∠ L > 1/ C ，X>0， >0，电压领先电流，电路呈感性； L<1/ C ，X<0， <0，电压落后电流，电路呈容性； L=1/ C ，X=0， =0，电压与电流同相，电路呈电阻性。
画相量图：选电流为参考向量( L > 1/ C )
jB
º
º
Z R jX Z φZ Y G jB Y φY
条件：Z ( jw)Y ( jw) 1 即 | Y ( jw) || Z ( jw) | 1 , φY φZ 0
Y
1 Z
1 R jX
R jX R2 X 2
G
jB
G
R R2X 2
,
B
阻抗和导纳
哈尔滨理工大学 王竹萍
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哈尔滨理工大学 王竹萍
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Ì
ª Z1 Z2 I + + -+ U1 U 2 U (a)
Zn n+U
+ U -
ª I Z (b)
串联各阻抗上的电压相量为：
Zk U k = Zk I = U，k=1,2,…n ——电压分配公式 Z
2 2
Z =R+jX
一端口内仅含单一元件R、L或 C, 其对应阻抗为： 1 Z R = R, Z L = jωL, Z C = − j ωC
哈尔滨理工大学 王竹萍
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阻抗和导纳
二、一端口内为 R 、 、 C 串联 二、一端口内为 R 、L L 、 C 串联 1 U Iª = R + jω L + = Z + jω C I j ω L R 1 1 U = R + j ωL − jω C ωC = R + j ( X L + X C ) = R + jX 1 XC = − 其中 X=XL+XC ， XL= ωL—感抗， —容抗 ωC Z = Z ∠ϕ Z 1 ωL − X 2 2 ωC Z = R + X ,ϕ Z = arctan = arctan R R 1 1 , Z呈感性， X < 0, ω L < , Z呈容性 当 X > 0, ω L > ωC ωC
4.9.4 阻抗和导纳关系
Z
Y 1=则L R ωj 1+=222222j j R L G B L R L R ωωω=-=+++R L R R G 1222≠+=ω2221L B L R L
ωωω=-≠+j Z R L ω=+若说明：Y 与 Z 等效是在某一频率下求出的，故等效的 Z 或 Y 与频率有关。
阻抗与导纳之间的关系
Y
Z 1=阻抗和导纳
解：GCL 并联电路的导纳为 j[1/()]Y G C L ωω=+-其等效阻抗
11j[1/()]Z Y G C L ωω==+-rad/s
π100π2==f ω361210S j[100π101/(100π1)]S Z --=⨯+⨯-⨯阻抗虚部为正，呈电感性质，等效电感
H 747.0s π)100(2351-≈Ω==ωL
X L (a)
Ω164H 747.0例 3 GCL 并联电路中G =2mS , L =1H , C =1μF 。
试在频率为50Hz 和 400Hz 两种情况下求其串联等效电路的参数。
(164j235)≈+Ω f =50Hz 时 阻抗和导纳 例题
f =400Hz 时 =ωrad/s
π800⨯+⨯-⨯=≈-Ω--Z 1)]
π101/(800π210S j[800(236j250)136阻抗虚部为负，呈电容性质，等效电容为
⨯Ω==≈ωX C C s 250π800F μ1.5911-1F μ1.59236Ω)b (一个实际电路在不同频率下的等效，不仅其电路参数不同，甚至连元件类型也可能发生改变。
这说明经过等效变换求得的等效电路只是在一定频率下才与变换前的电路等效。
阻抗和导纳 例题
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阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
R2
R X2
j R2
X X2
G
jB
•
在串联情况下
n
Z Zk
10
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
例 右示电路，求u0。已知R1=3K，
R2=1K，C=30F，
iS
iS 2(sint sin10t sin1000t)
C
i1
i2
R1
R2 u0
解：频率为的电流源 IS 激励下的符号电路如下
I2
R1
R1 R2
1 jC
IS
①当=1rad/s时， IS 10 mA
在并联情况下
n
Y Yk
k 1
k 1
• 测量方法：从电压表和电流表上可读得电压电流的有
效值，用相位计可测得阻抗角Z和导纳角Y
8
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
• 相量分析法
基本要求：
运用相量法计算正弦稳态电路 耦合电感电路及其去耦方法 正弦稳态电路的相量图解法
9
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
• 频率一经确定，即激励正弦信号频率一经确定，单口网络的阻
抗也就被确定，且仅由元件参数和网络拓扑所决定，并不随端 口电压或电流的变化而变化。当电路参数变化时，阻抗也随之 而变，那么
当激励是电流 IS ，根据 将随阻抗Z的变化而变化；
当激励是电压 US ，根据 也将随阻抗Z的变化而变化
U ZIS ，响应 U I US ，响应 I
XL
<
XC
L
<
1
C
ZΒιβλιοθήκη <0 u
< i
电压滞后电流，阻抗是容性的
XL
=
XC
L =
1
C
Z
=
0 u
= i
电压电流同相，阻抗是电阻性的
• 因此，在分析和计算交流电路时，必须时刻具有交流
的概念，其中首先要有相位概念，而相位关系又反映 在阻抗角上。它和阻抗的模一起被称为阻抗，阻抗反 映了电路本身的固有特性。
Um Im
u
i
Z
Z
I
Z cosZ j Z sinZ R j X
R
其中 Z 阻抗的模
U jX
Z 阻抗角，约定 90 剟Z 90 R 电阻，X 电抗
2
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电流相量与口电压相量之比称 策动点导纳或驱动点导纳（简称导纳）。
相量分析法也称符号法，主要步骤为： • 将时域电路变换为相量模型即符号电路（有时可省略
相量电路模型图）
• 根据相量形式的基尔霍夫定律和支路关系，建立电路
方程，用复数运算法则求解方程。
• 将所得响应变量的相量，表示成时域中的实函数形式
在前面几章中提供的各种结论和方法，如节点法、网 孔法、电路定理等都可应用到相量分析法中。
根据基尔霍夫定律的相量形式
US
UR
UL
UC
RI
jLI
1
jC
I
[R j(L 1 )]I ZI C
I R jL
UR
UL
US
1/ jC UC
相量模型（符号电路）
欧姆定律的相量形式，称复数欧姆定律
输入阻抗
Z
US I
R
j(L
1)
C
R
j( X L
XC )
Z
5
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
这种变化，不仅有大小的变化（模的变化）
Um Z Im
或
Im
Um Z
也有相位的变化，u= Z-i 或 i = u-Z
• 阻抗角
L 1
Z u i tan1
C
R
大反小映是了由端电口路电参压数与和电网流络的拓相扑位所关决系定，，从在关同系一式频中率清楚下可，见电路Z的参
Z
R2 (L
1
L 1
)2 tan1
C
C
R
R2
(XL
XC )2 tan1
XL
XC R
Z
Z
Z
UmS Im
u
i
4
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
Z
R
j(L
1)
C
R
j( X L
XC
)
从关系式中可以看到，阻抗 Z(j)是一个复数，且是频率的函 数，即同一单口网络，对不同的频率有不同频率的阻抗。
12
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
例题的两个重要结论
• 线性电路中电源若包含多种频率的正弦信号，则可应
数不同，电压和电流之间的相位差也就不同。
• 从阻抗角的关系式中也可看出，在频率一定时，不仅相位差的
大小决定于电路参数和电路拓扑，而且电流是滞后电压还是超 前电压也与电路参数和电路拓扑有关。
6
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
XL
>
XC
L
>
1
C
Z
>
0
u
> i
电压超前电流，阻抗是感性的
u02
③当=1000rad/s时
2[576sin(10t 89.8 )]
U 03
R2 I2
R1
R1R2
R2
1 j1000C
IS
7500
u03
根据叠加定理，总输出电压
2[750sin1000t]
u0 u01 u02 u03 2[90sin(t 83.16 ) 576sin(10t 39.8 ) 750sin1000t]