物理竞赛常用方法专题(三)
初中物理竞赛解题方法大全
初中物理竞赛解题方法大全初中物理竞赛是探索物理奥秘、培养物理思考能力的好机会。
在竞赛中取得好成绩首先要掌握解题方法。
下面就为大家总结了初中物理竞赛解题方法大全。
一、审题和解题目标1.审题审题是解题的重要第一步，正确的审题有助于我们抓住重点，不偏离方向，不浪费时间，直接进入解决问题的阶段。
在审题时，不仅要确定问题的本质，而且要仔细阅读题目中的相关条件，找出关键字，了解题目的要求，并根据问题类型选择合适的方法加以解决。
2.解题目标解题目标是指我们在解决问题过程中要达到的目的，即我们要根据条件和要求，找出合适的物理公式和方法，推导出正确的结论，解决问题。
二、解题基本技巧1.化式和单位制换化式和单位制换是物理解题的基础技能，能够使我们将题目中的物理量转换为相等的量，以便适用合适的物理公式解决问题。
2.运用物理公式物理公式是解决物理问题的核心，只要我们掌握了常见的物理公式，就能快速计算出问题中所涉及到的物理量。
3.建立解决问题的模型建立解决问题的模型是将题目中的物理实现构造成图形或实物模型，以便我们清晰地了解物理量之间的关系，从而快速解决问题。
4.遵循科学方法进行推理在解题时，我们要按照科学的推理方法，从已知条件出发，设立假设，然后用所学的物理知识及公式进行推导，最终得出结论。
三、解答物理竞赛的主要方法1.题意分析和公式运用结合法在解决问题时，我们要合理分析题意和条件，运用物理公式解题，以此得出正确的结论。
2.建立物理模型法建立物理模型是一种重要的解题方法，该方法充分考虑到问题中物理实现的特点，通过对实现进行透彻的分析和研究，建立适合于解题的物理模型，最终达到解决问题的目的。
3．思维艺术法思维艺术法是一种更加全面，博大精深的解题方法，能够帮助我们更好的理解物理知识和物理公式，通过对个案的分析归纳，形成思维方法，从而更有效地解决问题。
四、解答物理竞赛时的注意事项1.合理分配时间在竞赛时，我们要根据不同题目难度，合理分配时间。
高中奥林匹克物理竞赛解题方法(3)
高中奥林匹克物理竞赛解题方法三、微元法方法简介微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。
赛题精讲例1：如图3—1所示，一个身高为h 的人在灯以悟空速度v 沿水平直线行走。
设灯距地面高为H ，求证人影的顶端C 点是做匀速直线运动。
解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。
设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程△t （△t →0），则人由AB 到达A ′B ′，人影顶端C 点到达C ′点，由于△S AA ′=v △t 则人影顶端的 移动速度hH Hv t S h H H t S v A A t C C t C -=∆∆-=∆∆='→∆'→∆00lim lim 可见v c 与所取时间△t 的长短无关，所以人影的顶端C 点做匀速直线运动.例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T.解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况.在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：θθθθT G T T +∆=∆+cos θρθθc o s c o s Lg G T ∆=∆=∆由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大△T θ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和，即 ∑∑∑∆=∆=∆=θρθρθc o s c o s L g Lg T T 观察 θcos L ∆的意义，见图3—2—乙，由于△θ很小，所以CD ⊥OC ，∠OCE=θ△Lcos θ表示△L 在竖直方向上的投影△R ，所以 ∑=∆R L θc o s 可得铁链A 端受的拉力 ∑=∆=gR L g T ρθρcos 例3：某行星围绕太阳C 沿圆弧轨道运行，它的近日点A 离太阳的距离为a ，行星经过近日点A 时的速度为A v ，行星的远日点B 离开太阳的距离为b ，如图3—3所示，求它经过远日点B 时的速度B v 的大小.解析：此题可根据万有引力提供行星的向心力求解.也可根据开普勒第二定律，用微元法求解.设行星在近日点A 时又向前运动了极短的时间△t ，由于时间极短可以认为行星在△t 时间内做匀速圆周运动，线速度为A v ，半径为a ，可以得到行星在△t 时间内扫过的面积 a t v S A a ⋅∆=21 同理，设行星在经过远日点B 时也运动了相同的极短时间△t ， 则也有 b t v S B b ⋅∆=21 由开普勒第二定律可知：S a =S b 即得 A B v b a v = 此题也可用对称法求解. 例4：如图3—4所示，长为L 的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为m ，船的质量为M ，不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？解析：取人和船整体作为研究系统，人在走动过程中，系统所受合外力为零，可知系统动量守恒.设人在走动过程中的△t 时间内为匀速运动，则可计算出船的位移.设v 1、v 2分别是人和船在任何一时刻的速率，则有 21Mv mv = ① 两边同时乘以一个极短的时间△t ， 有 t Mv t mv ∆=∆21 ② 由于时间极短，可以认为在这极短的时间内人和船的速率是不变的，所以人和船位移大小分别为t v s ∆=∆11，t v s ∆=∆22由此将②式化为 21s M s m ∆=∆ ③把所有的元位移分别相加有 ∑∑∆=∆21s M s m④ 即 ms 1=Ms 2 ⑤ 此式即为质心不变原理. 其中s 1、s 2分别为全过程中人和船对地位移的大小， 又因为 L=s 1+s 2 ⑥由⑤、⑥两式得船的位移 L mM m s +=2 例5：半径为R 的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR ，且弹性绳圈的劲度系数为k ，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图3—5所示，若 平衡时弹性绳圈长为R π2，求弹性绳圈的劲度系数k.解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段△m 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在弹性绳圈上任取一小段质量为△m 作为研究对象，进行受力分析.但是△m 受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙. 先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，△m 所对的圆心角是△θ，则每一小段的质量 M m πθ2∆=∆ △m 在该平面上受拉力F 的作用，合力为 2sin 2)2cos(2θθπ∆=∆-=F F T 因为当θ很小时，θθ≈sin 所以θθ∆=∆=F F T 22 再看正视图3—5—乙，△m 受重力△mg ，支持力N ，二力的合力与T 平衡.即 θt a n⋅∆=mg T 现在弹性绳圈的半径为 R R r 2222==ππ 所以 ︒===4522sin θθR r 1t a n=θ 因此T=Mg mg πθ2∆=∆ ①、②联立，θπθ∆=∆F Mg 2，解得弹性绳圈的张力为： π2Mg F = 设弹性绳圈的伸长量为x 则 R R R x πππ)12(2-=-=所以绳圈的劲度系数为：RMg R Mg x F k 222)12()12(2ππ+=-== 例6：一质量为M 、均匀分布的圆环，其半径为r ，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T ，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.解析：因为向心力F=mr ω2，当ω一定时，r 越大，向心力越大，所以要想求最大张力T 所对应的角速度ω，r 应取最大值.如图3—6所示，在圆环上取一小段△L ，对应的圆心角为△θ，其质量可表示为M m πθ2∆=∆，受圆环对它的张 力为T ，则同上例分析可得 22sin 2ωθmr T ∆=∆ 因为△θ很小，所以22sin θθ∆≈∆，即 2222ωπθθMr T ∆=∆⋅ 解得最大角速度 MrT πω2= 例7：一根质量为M ，长度为L 的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图3—7所示，求链条下落了长度x 时，链条对地面的压力为多大？解析：在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上那部分链条的重力.根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力，这个力的冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原来的高度不同，落到地面的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速冲击.设开始下落的时刻t=0，在t 时刻落在地面上的链条长为x ，未到达地面部分链条的速度为v ，并设链条的线密度为ρ.由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零.从t 时刻起取很小一段时间△t ，在△t 内又有△M=ρ△x 落到地面上静止.地面对△M 作用的冲量为I t Mg F ∆=∆∆-)( 因为 0≈∆⋅∆t Mg所以 x v v M t F ∆=-⋅∆=∆ρ0 解得冲力：t x v F ∆∆=ρ，其中tx ∆∆就是t 时刻链条的速度v ，故 2v F ρ= 链条在t 时刻的速度v 即为链条下落长为x 时的即时速度，即v 2=2g x ，代入F 的表达式中，得 gx F ρ2=此即t 时刻链对地面的作用力，也就是t 时刻链条对地面的冲力.所以在t 时刻链条对地面的总压力为 .332LMgx gx gx gx N ==+=ρρρ 例8：一根均匀柔软的绳长为L ，质量为m ，对折后两端固定在一个钉子上，其中一端突然从钉子上滑落，试求滑落的绳端点离钉子的距离为x 时，钉子对绳子另一端的作用力是多大？ 解析：钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化，由此可用微元法求解.如图3—8所示，当左边绳端离钉子的距离为x 时，左边绳长为)(21x l -，速度 gx v 2=， 右边绳长为).(21x l + 又经过一段很短的时间△t 以后， 左边绳子又有长度t V ∆21的一小段转移到右边去了，我们就分 析这一小段绳子，这一小段绳子受到两力：上面绳子对它的拉 力T 和它本身的重力l m g t v /(21=∆λλ为绳子的线密度）， 根据动量定理，设向上方向为正 )21(0)21(v t v t g t v T ⋅∆--=∆∆-λλ 由于△t 取得很小，因此这一小段绳子的重力相对于T 来说是很小的，可以忽略， 所以有 λλgx v T ==221 因此钉子对右边绳端的作用力为 )31(21)(21lx mg T g x l F +=++=λ 例9：图3—9中，半径为R 的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M 、m.设圆盘与绳间光滑接触，试求盘对绳的法向支持力线密度.解析：求盘对绳的法向支持力线密度也就是求盘对绳的法向单位长度所受的支持力.因为盘与绳间光滑接触，则任取一小段绳，其两端受的张力大小相等，又因为绳上各点受的支持力方向不同，故不能以整条绳为研究对象，只能以一小段绳为研究对象分析求解.在与圆盘接触的半圆形中取一小段绳元△L ，△L 所对应的圆心角为△θ，如图3—9—甲所示，绳元△L 两端的张力均为T ，绳元所受圆盘法向支持力为△N ，因细绳质量可忽略，法向合力为零，则由平衡条件得：2sin 22sin 2sinθθθ∆=∆+∆=∆T T T N 当△θ很小时，22sin θθ∆≈∆ ∴△N=T △θ 又因为 △L=R △θ则绳所受法向支持力线密度为 RT R T L N n =∆∆=∆∆=θθ ① 以M 、m 分别为研究对象，根据牛顿定律有 Mg －T=Ma ② T －mg=m a ③ 由②、③解得： m M Mmg T +=2 将④式代入①式得：Rm M Mmg n )(2+= 例10：粗细均匀质量分布也均匀的半径为分别为R 和r 的两圆环相切.若在切点放一质点m ，恰使两边圆环对m 的万有引力的合力为零，则大小圆环的线密度必须满足什么条件？解析：若要直接求整个圆对质点m 的万有引力比较难，当若要用到圆的对称性及要求所受合力为零的条件，考虑大、小圆环上关于切点对称的微元与质量m 的相互作用，然后推及整个圆环即可求解.如图3—10所示，过切点作直线交大小圆分别于P 、Q 两点，并设与水平线夹角为α，当α有微小增量时，则大小圆环上对应微小线元αα∆⋅=∆∆⋅=∆2221r L R L其对应的质量分别为 αρρ∆⋅=∆=∆21111R l mαρρ∆⋅=∆=∆22222r l m 由于△α很小，故△m 1、△m 2与m 的距离可以认为分别是 ααc o s 2c o s221r r R r ==所以△m 1、△m 2与m 的万有引力分别为 222222212111)cos 2(2,)cos 2(2ααρααρr m R G r m Gm F R m R G r m Gm F ∆⋅=∆=∆∆⋅=∆=∆ 由于α具有任意性，若△F 1与△F 2的合力为零，则两圆环对m 的引力的合力也为零， 即 2221)cos 2(2)cos 2(2ααρααρr m r G R m R G ∆⋅=∆⋅ 解得大小圆环的线密度之比为：rR =21ρρ例11：一枚质量为M 的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v ，那么火箭发动机的功率是多少？解析：火箭喷气时，要对气体做功，取一个很短的时间，求出此时间内，火箭对气体做的功，再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率.选取在△t 时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F ，根据动量定理，有F △t=△m ·v 因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有F=Mg 即 Mg ·△t=△m ·v △t=△m ·v/Mg对同样这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为： 221mv W ∆= 所以发动机的功率 MgV Mg mV mv t W P 21)/(212=∆∆=∆= 例12：如图3—11所示，小环O 和O ′分别套在不动的竖直杆AB 和A ′B ′上，一根不可伸长的绳子穿过环O ′，绳的两端分别系在A ′点和O 环上，设环O ′以恒定速度v 向下运动，求当∠AOO ′=α时，环O 的速度.解析：O 、O ′之间的速度关系与O 、O ′的位置有关，即与α角有关，因此要用微元法找它们之间的速度关系.设经历一段极短时间△t ，O ′环移到C ′，O 环移到C ，自C ′与C 分别作为O ′O 的垂线C ′D ′和CD ，从图中看出. ααcos ,cos D O C O OD OC ''=''= 因此OC+O ′C ′=αcos D O OD ''+ ① 因△α极小，所以EC ′≈ED ′，EC ≈ED ，从而OD+O ′D ′≈OO ′－CC ′ ②由于绳子总长度不变，故 OO ′－CC ′=O ′C ′ ③由以上三式可得：OC+O ′C ′=αcos C O '' 即)1cos 1(-''=αC O OC 等式两边同除以△t 得环O 的速度为 )1c o s 1(0-=αv v 例13： 在水平位置的洁净的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈现圆饼形状（侧面向外凸出），过圆饼轴线的竖直截面如图3—12所示，为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180°计算.已知水银密度33/106.13m kg ⨯=ρ，水 银的表面张力系数./49.0m N =σ当圆饼的半径很大时，试估算其厚度h 的数值大约为多少？（取1位有效数字即可）解析：若以整个圆饼状水银为研究对象，只受重力和玻璃板的支持力，在平衡方程中，液体的体积不是h 的简单函数，而且支持力N 和重力mg 都是未知量，方程中又不可能出现表面张力系数，因此不可能用整体分析列方程求解h.现用微元法求解.在圆饼的侧面取一个宽度为△x ，高为h 的体积元，，如图3—12—甲所示，该体积元受重力G 、液体内部作用在面积△x ·h 上的压力F ，x gh xh hg S P F ∆⋅=∆⋅==22121ρρ， 还有上表面分界线上的张力F 1=σ△x 和下表面分界线上的 张力F 2=σ△x .作用在前、后两个侧面上的液体压力互相平衡，作用在体积元表面两个弯曲 分界上的表面张力的合力，当体积元的宽度较小时，这两个力也是平衡的，图中都未画出. 由力的平衡条件有：0cos 21=--F F F θ即 0cos 212=∆-∆-∆x x x gh σθσρ 解得：θρθσcos 1107.2)cos 1(23+⨯=+=-gh 由于 ,2cos 11,20<+<<<θπθ所以 故2.7×10－3m<h<3.8×10－3m题目要求只取1位有效数字，所以水银层厚度h 的估算值为3×10－3m 或4×10－3m.例14：把一个容器内的空气抽出一些，压强降为p ，容器上有一小孔，上有塞子，现把塞子拔掉，如图3—13所示.问空气最初以多大初速度冲进容器？（外界空气压强为p 0、密度为ρ）解析：该题由于不知开始时进入容器内分有多少，不知它们在容器外如何分布，也不知空气分子进入容器后压强如何变化，使我们难以找到解题途径.注意到题目中“最初”二字，可以这样考虑：设小孔的面积为S ，取开始时位于小孔外一薄层气体为研究对象，令薄层厚度为△L ，因△L 很小，所以其质量△m 进入容器过程中，不改变容器压强，故此薄层所受外力是恒力，该问题就可以解决了.由以上分析，得：F=(p 0－p)S ① 对进入的△m 气体， 由动能定理得：221mv L F ∆=∆ ② 而 △m=ρS △L 联立①、②、③式可得：最初中进容器的空气速度 ρ)(20p p v -=例15：电量Q 均匀分布在半径为R 的圆环上（如图3—14所示），求在圆环轴线上距圆心O 点为x 处的P 点的电场强度.解析：带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的电场，故采用微元法，用点电荷形成的电场结合对称性求解.选电荷元 ,2RQ R q πθ∆=∆它在P 点产生的电场的场强的x 分量为： 22222)(2cos x R x x R R Q R k r q k E x ++∆=∆=∆πθα 根据对称性 322322322)(2)(2)(2x R kQx x R kQxx R kQxE E x +=+=∆+=∆=∑∑ππθπ由此可见，此带电圆环在轴线P 点产生的场强大小相当于带电圆环带电量集中在圆环的某一点时在轴线P 点产生的场强大小，方向是沿轴线的方向.例16：如图3—15所示，一质量均匀分布的细圆环，其半径为R ，质量为m.令此环均匀带正电，总电量为Q.现将此环平放在绝缘的光滑水平桌面上，并处于磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向竖直向下.当此环绕通过其中心的竖直轴以匀角速度ω沿图示方向旋转时，环中的张力等于多少？（设圆环的带电量不减少，不考虑环上电荷之间的作用）解析：当环静止时，因环上没有电流，在磁场中不受力，则环中也就没有因磁场力引起的张力.当环匀速转动时，环上电荷也随环一起转动，形成电流，电流在磁场中受力导致环中存在张力，显然此张力一定与电流在磁场中受到的安培力有关.由题意可知环上各点所受安培力方向均不同，张力方向也不同，因而只能在环上取一小段作为研究对象，从而求出环中张力的大小.在圆环上取△L=R △θ圆弧元，受力情况如图3—15—甲所示.因转动角速度ω而形成的电流 πω2Q I =，电流元I △L 所受的安培力θπω∆=∆=∆QB R LB I F 2 因圆环法线方向合力为圆弧元做匀速圆周运动所需的向心力，R m F T 22sin 2ωθ∆=∆-∆ 当△θ很小时，R m QB R T 2222sin ωθπωθθθ∆=∆-∆∆≈∆ θπωθπωθθπ∆=∆-∆∴∆=∆2222R m QB R T m m 解得圆环中张力为 )(2ωπωm QB R T +=例17：如图3—16所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量 为m 的金属杆，导轨间距为L ，导轨的一端连接一阻值为R 的电 阻，其他电阻不计，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨平面. 现给金属杆一个水平向右的初速度v 0，然后任其运动，导轨足够 长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？ 解析：水平地从a 向b 看，杆在运动过程中的受力分析 如图3—16—甲所示，这是一个典型的在变力作用下求位 移的题，用我们已学过的知识好像无法解决，其实只要 采用的方法得当仍然可以求解.设杆在减速中的某一时刻速度为v ，取一极短时间△t ，发 生了一段极小的位移△x ，在△t 时间内，磁通量的变化为 △φ △φ=BL △x tRx BL tR R I ∆∆=∆∆Φ==ε金属杆受到安培力为tRx L B ILB F ∆∆==22安 由于时间极短，可以认为F 安为恒力，选向右为正方向，在△t 时间内，安培力F 安的冲量为：Rx L B t F I ∆-=∆⋅-=∆22安 对所有的位移求和，可得安培力的总冲量为x RL B R x L B I 2222)(-=∆-=∑ ① 其中x 为杆运动的最大距离， 对金属杆用动量定理可得 I=0－mV 0 ② 由①、②两式得：220LB R m V x = 例18：如图3—17所示，电源的电动热为E ，电容器的 电容为C ，S 是单刀双掷开关，MN 、PQ 是两根位于同一水平面上的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计， 两导轨间距为L ，导轨处在磁感应强度为B 的均匀磁场 中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面 向里的方向.L 1和L 2是两根横放在导轨上的导体小棒， 质量分别为m 1和m 2，且21m m <.它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦，两小棒的电阻 相同，开始时两根小棒均静止在导轨上.现将开关S 先合向 1，然后合向2.求：（1）两根小棒最终速度的大小；11（2）在整个过程中的焦耳热损耗.（当回路中有电流时，该电流所产生的磁场可忽略不计） 解析：当开关S 先合上1时，电源给电容器充电，当开关S 再合上2时，电容器通过导体小棒放电，在放电过程中，导体小棒受到安培力作用，在安培力作用下，两小棒开始运动，运动速度最后均达到最大.（1）设两小棒最终的速度的大小为v ，则分别为L 1、L 2为研究对象得：1111v m v m t F i i -'=∆ ∑=∆v m t F i i 111 ① 同理得： ∑=∆v m t F i i 222 ② 由①、②得：v m m t F t F i i i i )(212211+=∆+∆∑∑又因为 11Bli F i = 21i i t t ∆=∆ 22B l i F i = i i i =+21所以 ∑∑∑∑∆=∆+=∆+∆i i i i t i BL t i i BL t BLi t BLi )(212211v m m q Q BL )()(21+=-=而Q=CE q=CU ′=CBL v所以解得小棒的最终速度 2221)(LCB m m BLCE v ++= （2）因为总能量守恒，所以热Q v m m C q CE +++=22122)(212121 即产生的热量 22122)(212121v m m C q CE Q +--=热 )(2)()()]([2121)(21)(12121222122122212122222122C L B m m CE m m L CB m m BLCE m m L CB CE v m m CBLv C CE +++=+++--=+--=针对训练1．某地强风的风速为v ，设空气的密度为ρ，如果将通过横截面积为S 的风的动能全部转化为电能，则其电功率为多少？2．如图3—19所示，山高为H ，山顶A 和水平面上B 点的水平距离为s.现在修一条冰道ACB ，其中AC 为斜面，冰道光滑，12物体从A 点由静止释放，用最短时间经C 到B ，不计过C 点的能量损失.问AC 和水平方向的夹角θ多大？最短时间为多少？3．如图3—21所示，在绳的C 端以速度v 匀速收绳从而拉动低处的物体M 水平前进，当绳AO 段也水平恰成α角时，物体M 的速度多大？4，如图3—22所示，质量相等的两个小球A 和B 通过轻绳绕过两个光滑的定滑轮带动C 球上升，某时刻连接C 球的两绳的夹角为θ，设A 、B 两球此时下落的速度为v ，则C 球上升的速度多大？5．质量为M 的平板小车在光滑的水平面上以v 0向左匀速运动，一质量为m 的小球从高h 处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度仍为h.设M>>m ，碰撞弹力N>>g ，球与车之间的动摩擦因数为μ，则小球弹起后的水平速度可能是（ ） A ．gh 2 B ．0 C ．gh 22 D ．v 0 6．半径为R 的刚性球固定在水平桌面上.有一质量为M 的圆环状均匀弹性细绳圈，原长 2πa ，a =R/2，绳圈的弹性系数为k （绳伸长s 时，绳中弹性张力为ks ）.将绳圈从球的正 上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平，并最后停留在某个静力平衡位置.考 虑重力，忽略摩擦.（1）设平衡时弹性绳圈长2πb ，b=a 2，求弹性系数k ；（用M 、R 、g 表示，g 为重力加速度）（2）设k=Mg/2π2R ，求绳圈的最后平衡位置及长度.7．一截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内，在环内的环底A 处有一质量为m 、直径比管径略小的小球，小球上连有一根穿过环顶B 处管口的轻绳，在外力F 作用下小球以恒定速度v 沿管壁做半径为R 的匀速圆周运动，如图3—23所示.已知小球与管内壁中位于大环外侧部分的动摩擦因数为μ，而大环内侧部分的管内壁是光滑的.忽略大环内、外侧半径的差别，认为均为R.试求小球从A 点运动到B 点过程中F 做的功W F .8．如图3—24，来自质子源的质子（初速度为零），经一加速电压为800kV 的直线加速器加速，形成电流为1.0mA的细柱形质子流.已知质子电荷e=1.60×10－19C.这束质子流每秒打到靶上的质子数为 .假设分布在质子源到靶之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距l13 和4l 的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中质子数分别为n 1和n 2，则n 1: n 2 .9．如图3—25所示，电量Q 均匀分布在一个半径为R 的细圆环上，求圆环轴上与环心相距为x 的点电荷q 所受的力的大小.10．如图3—26所示，一根均匀带电细线，总电量为Q ，弯成半径为R 的缺口圆环，在细线的两端处留有很小的长为△L 的空隙，求圆环中心处的场强.11．如图3—27所示，两根均匀带电的半无穷长平行直导线（它们的电荷线密度为η），端点联线LN 垂直于这两直导线，如图所示.LN 的长度为2R.试求在LN 的中点O 处的电场强度.12．如图3—28所示，有一均匀带电的无穷长直导线，其电荷线密度为η.试求空间任意一点的电场强度.该点与直导线间垂直距离为r.13．如图3—29所示，半径为R 的均匀带电半球面，电荷面密度为δ，求球心O 处的电场强度.14．如图3—30所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽度为L 的区域内，现有一个边长为a （a <L ），质量为m 的正方形闭合线框以初速v 0垂直磁场边界滑过磁场后，速度变为v （v <v 0），求：（1）线框在这过程中产生的热量Q ；（2）线框完全进入磁场后的速度v ′.15．如图3—31所示，在离水平地面h 高的平台上有一相距L 的光滑轨道，左端接有已充电的电容器，电容为C ，充电后两端电压为U 1.轨道平面处于垂直向上的磁感应强度为B 的匀强磁场中.在轨道右端放一质量为m 的金属棒，当闭合S ，棒离开轨道后电容器的两极电压变为U 2，求棒落在离平台多远的位置.14 16．如图3—32所示，空间有一水平方向的匀强磁场，大小为B ，一光滑导轨竖直放置，导轨上接有一电容为C 的电容器，并套一可自由滑动的金属棒，质量为m ，释放后，求金属棒的加速度a .答案：1．321v S ρ 2．θ=60°)223(2hs g h + 3．)cos 1/(x v + 4．2cos /θv 5．CD 6．（1）RMg 22)12(π+ （2）绳圈掉地上，长度为原长 7．22v m mgR πμ+ 8．6.25×1015,2:1 9．2322)(x R QqxK + 10．32R l Q K ρ∆ 11．R k λ2 12．r k λ2 13．σπR 2 14．2),(210220v v v v v m +='- 15．gh m u u CBL 2)(21- 16．22L CB m mg a +=。
初中物理竞赛解题方法大全
初中物理竞赛解题方法大全初中物理竞赛是一个对学生物理知识、物理思维和实验操作能力进行综合考察的竞赛项目。
要在竞赛中获得好成绩，除了掌握扎实的物理知识外，还需要具备一些解题方法和技巧。
以下是一些常见的初中物理竞赛解题方法，供参考。
1.熟练掌握基本概念和公式：考生需要牢记物理学科的基本概念和公式，并且能够熟练运用。
在解题过程中，可以通过列式分析、代入计算等方式，将问题转化为已知条件与求解量之间的关系，然后运用相应的公式进行计算。
2.善于利用图表和图像：物理学中常会给出图表和图像，考生应善于利用这些信息。
例如，可以通过直线斜率、图像形状等信息来确定数量关系、规律以及物理实际意义。
3.运用比例关系：物理学中经常涉及到比例关系。
考生可以通过构建适当的比例关系来解题。
例如，可以通过利用物理量之间的比例关系，建立方程来求解问题。
4.运用向量法：对于涉及方向和大小的物理问题，可以运用向量法进行解题。
利用平衡法则、合力法则等，将问题转化为向量运算，并求解。
5.利用能量守恒和动量守恒：能量守恒和动量守恒是物理学中的重要原理。
考生可以根据题目给出的条件，运用这些守恒原理来解题。
例如，可以通过利用动能、势能、机械能以及动量的守恒关系，找到问题的解法。
6.利用几何光学原理：几何光学是物理学中的一个重要分支，考生需要掌握相关的几何光学原理。
例如，可以通过利用光的反射、折射、透镜成像等原理，解决相关的光学问题。
7.运用电路分析法：电路分析是物理学中的一个重要内容。
对于电路相关的问题，考生可以通过利用欧姆定律、基尔霍夫定律等，进行电路分析和计算。
8.运用实验法：物理学是实验科学，实验是物理学中重要的研究方法。
考生可以通过模拟实验、构建实验思维模型等方法，来解决与实验相关的问题。
10.高效备考和练习：参加物理竞赛需要大量的备考和练习。
考生需要选择合适的参考书和题库，进行针对性的备考和练习，熟悉常见的解题方法和技巧。
同时，要不断总结经验，巩固学习成果。
奥林匹克物理竞赛之力学解题方法
(
s
2 2
s12 )
t (s22 s12 ) 22 12 7.5s 2s1v1 2 1 0.2
例4．如图所示，小球从长为L的光滑斜面顶端自由下滑，滑到
底端时与挡板碰撞并反向弹回，若每次与挡板碰撞后的速度大
小为碰撞前速度大小的4/5，求小球从开始下滑到最终停止于斜
面下端时，小球总共通过的路程。
奥林匹克物理竞赛之力学解题方法
三．等效法 1．方法简介
2．赛题精讲
将一个情境等效为另一个情境 将一个过程等效为另一过程 将一个模型等效为另一个模型 将一个物理量的计算等效为另一个物理量的计算
例1.如图所示，水平面上，有两个竖直的光滑墙壁A和B，相距
为d，一个小球以初速度v0从两墙之间的O点斜向上抛出，与A和 B各发生一次弹性碰撞后，正好落回抛出点，求小球的抛射角θ。
六、类比法
1.方法简介：根据两个研究对象或两个系统在某些属性上类似 而推出其他属性也类似的思维方法，是一种由个别到个别的推 理形式。
2.赛题精讲 例1．如图所示，AOB是一内表面光滑的楔形槽，固定在水平 桌面（图中纸面）上，夹角α=10。现将一质点在BOA面内从A 处以速度v=5m/s射出，其方向与AO间的夹角θ=600，OA=10m。 设质点与桌面间的摩擦可忽略不计，质点与OB面及OA面的碰 撞都是弹性碰撞，且每次碰撞时间极短，可忽略不计，试求： （1）经过几次碰撞质点又回到A处与OA相碰？（计算次数时 包括在A处的碰撞） （2）共用多少时间？
解析：设在一个极短的时间Δt内，猎犬 做直线运动，正三角形边长依次变为a1、 a2、a3、…、an。
a1
a
AA1
BB1
cos60
高中物理竞赛备战物理竞赛掌握物理问题的解题技巧和思路
高中物理竞赛备战物理竞赛掌握物理问题的解题技巧和思路在高中物理竞赛备战期间，掌握物理问题的解题技巧和思路是非常重要的。
本文将分享一些有效的方法和策略，帮助同学们在竞赛中更好地应对物理问题。
一、理清物理知识框架在备战物理竞赛之前，同学们需要系统地学习相关的物理知识，并理清知识的框架。
可以从重要的基础知识出发，逐步扩展到更高级的内容。
例如从力学、热学、光学、电磁学等方面入手，逐层递进地学习相关的理论和公式。
二、强化基本概念和公式的理解熟练掌握基本概念和公式是解决物理问题的基础。
同学们需要逐个概念进行理解，通过实例和图表进行实际应用，加深对概念的理解和记忆。
同时，要掌握一些常见的公式和其推导过程，这有助于加深对公式的理解和记忆，并能更好地运用到解题中。
三、注重解题方法的培养解题方法的培养至关重要。
需要培养一些常见的问题解决思路和方法，例如分析-分类-求解法、模型建立法、变形和逆向思维法等。
这些方法能够帮助同学们更快、更准确地解决物理问题，并在竞赛中取得好成绩。
四、多做习题和模拟试题理论学习只是第一步，同学们还需要通过多做习题和模拟试题来巩固所学知识，并提高解题的能力。
可以选择一些经典习题和竞赛试题进行训练，熟悉不同类型的题目和解题思路。
同时，需要注意进行错题总结，分析错误原因，找到解题的漏洞，以避免类似错误的再次发生。
五、培养逻辑思维和分析问题的能力物理竞赛中，逻辑思维和分析问题的能力非常重要。
同学们需要培养逻辑思维，学会抓住问题的关键点，建立问题与知识之间的联系。
培养逻辑思维能力可以通过解决一些有逻辑推理的问题，如逻辑谜题、思维游戏等。
同时，多进行物理问题的思考和讨论，加深对问题本质的理解和把握。
六、关注前沿科技和物理研究领域对于物理竞赛选手来说，关注前沿科技和物理研究领域的最新动态是非常有益的。
通过阅读相关的科技新闻、研究报告和论文，能够拓宽知识面，了解物理学的最新发展和应用。
这些信息的获取有助于拓展思维，提升解题能力，并能在竞赛中运用到实际问题中。
略谈中学物理竞赛中的常用思想方法
略谈中学物理竞赛中的常用思想方法中学物理竞赛作为一项被广泛关注的学科竞赛，不仅考察学生对物理知识的掌握程度，还要考查学生的思维能力、创新能力和解决问题的能力。
在中学物理竞赛中，存在一些常用的思想方法，如下所示。
一、归纳与演绎法中学物理竞赛中，许多题目都需要学生能够通过观察、实验、分析和归纳，从中总结出物理规律。
例如，在许多力学问题中，通过观察物体的运动，整理数据，并通过归纳的方法总结出运动规律，进而根据这个规律解答问题。
而在归纳的基础上，演绎法也是解决物理问题的重要方法之一、通过已知条件和已有的物理知识，利用逻辑推理来推导出未知的结果。
例如，当给出两个物体的速度和加速度时，可以利用运动学公式进行演绎，得出两者之间的关系。
二、物理模型与物理图像物理模型是指将复杂的物理系统简化为一定规则的模型，以便更好地理解物理问题。
中学物理竞赛中，学生需要通过构建物理模型来解答问题。
例如，对于一些复杂的机械问题，可以将物理系统简化为质点或刚体，从而将问题转化为简单的力学系统，并通过求解简化后的模型来解答问题。
物理图像指的是将物理问题具象化，形成直观的图像，通过图像来解释物理现象和解题思路。
例如，在电场问题中，我们可以将电场线用图像表示出来，从而更直观地理解电场的分布和作用。
三、直接与间接法在解决物理问题时，有时候可以通过直接法迅速得到结果。
直接法是指以已知条件和所需结果直接推导出解答的方法。
例如，在电路中计算两点之间的电压差时，可以通过欧姆定律和基尔霍夫定律直接计算出结果。
而在一些复杂的问题中，采用间接法能够更好地解决问题。
间接法是指通过一些已知条件和已有的物理知识，转化为相对简单的问题，再通过计算和推导得到所需结果。
例如，在计算复杂电路中的电流时，可以先采用串并联法简化电路，再进行计算。
四、数值模拟与实验方法数值模拟是指通过计算机编程，以数值计算的方式模拟物理系统，从而研究物理现象和解决问题。
在中学物理竞赛中，运用数值模拟方法可以解决一些复杂的物理问题，比如光的衍射和干涉等问题。
高中物理竞赛技巧分享
高中物理竞赛技巧分享选修物理是高中学生的必修科目之一，在学习物理的过程中，许多学生会产生兴趣，甚至想参加物理竞赛。
然而，物理竞赛的难度较大，需要学生有更高的物理知识和技巧。
本文将分享一些高中物理竞赛的技巧，希望能帮助到有志于参加物理竞赛的同学。
一、背诵公式和常数物理竞赛的基础是物理公式和常数的掌握，建议同学们要把常用的公式和物理常数都做到烂熟于心，这样在比赛中才能快速反应、迅速解答问题。
例如：牛顿第二定律、功率公式、动能公式、万有引力公式、电场强度公式等。
二、练习计算题物理竞赛中占比较大的是计算题，因此同学们需要多练习计算题。
有些计算题不是简单的代入公式就能得到答案的，可能需要巧妙的变形和推导。
建议同学们多做综合性的例题，通过练习，将常用的方法和知识点都掌握熟练，有助于在比赛中灵活应用，提高计算速度。
三、加强实验能力实验在物理学习中占有非常重要的地位，也是物理竞赛的重要内容。
比如物理竞赛中会考察学生对实验过程中仪器的使用和误差的处理等能力。
因此，同学们需要加强实验能力，掌握实验思想，学会使用仪器，熟悉实验过程中的误差处理等基本实验技能。
四、善于思维分析物理竞赛中虽然有很多基本知识和公式，但是一些题目的解法并不是简单的套用公式，需要运用物理常识和思维分析能力来解决问题。
因此，建议同学们平时多练习思维题和综合性题，培养自己的思维分析能力，增强对问题的理解和把握能力，这是比死记硬背更重要的一点。
五、多参加竞赛和训练参加物理竞赛，是提高物理科学素养的一种重要途径。
在参加物理竞赛的同时，同学们也可以了解到其他地区的同学们的物理水平和解题思路，可以互相帮助和交流，拓展自己的物理思路。
同时，参加竞赛并不光是为了取得好成绩，更是通过比赛来锻炼自己的解题能力和提高自己的竞赛心理素质。
结语以上是高中物理竞赛技巧分享，当然不同的竞赛需要掌握不同的技巧，在比赛中要灵活运用，根据题目的难度和要求选择合适的解题思路和方法。
物理竞赛教程
物理竞赛教程物理竞赛是让学生通过解决现实和理论物理问题来展示他们所学习的物理知识和技能的竞赛。
参加物理竞赛的一大好处是可以提高学生们对物理的兴趣和热情，激发他们进一步探索和深入了解物理的愿望。
本教程将介绍如何备战物理竞赛，包括如何提升物理知识，解题技巧和应对各种类型的物理竞赛。
一、提升物理知识物理竞赛对物理知识的掌握程度要求很高，因此提升物理知识是备战物理竞赛的第一要务。
以下是一些提升物理知识的方法：1.系统地学习物理理论知识：学生可以通过参加物理课程、自习、阅读物理教材等途径，全面系统地掌握物理理论知识。
学生应该重视基础知识，如牛顿三大定律、能量和功、热力学、电磁学等。
通过对这些基础知识的理解和掌握，可以对高阶的物理知识有更加深入的理解。
2.注重实验操作能力：实验是物理学的重要组成部分。
学生需要具备一定的实验操作能力，以便在竞赛中快速准确地完成实验环节。
学生可以参加学校的物理实验室活动或者自己在家通过制作简易实验设备、进行实际操作来提高自己的实验操作能力。
3.频繁练习习题：练习习题是提升物理水平的关键。
学生应该通过大量练习习题来巩固和强化自己的物理知识，熟悉物理问题解题的常用方法和技巧。
可以通过参加物理竞赛专门制作的模拟试题或者在网上搜索相关物理竞赛试题来进行练习。
二、提高解题技巧物理竞赛的另一个重要方面是解题能力。
学生需要具备一定的解决复杂物理问题的能力。
以下是提高解题技巧的方法：1.掌握问题解题方法：不同的问题有不同的解题方法。
学生需要掌握不同的解题方法，并学会根据问题的性质选择正确的方法。
例如，在处理动量问题时，可以使用动量守恒定律；在处理电路问题时，可以使用欧姆定律等。
2.熟悉公式和常量：在物理竞赛中，公式和常量是非常重要的。
学生需要熟悉各种公式和常量，并熟练地应用它们。
学生可以通过制作公式卡片、常量表等方式来加强记忆。
3.练习计算方法：正确的计算方法是解决问题的关键。
学生需要掌握如何进行有效的数值计算和计算错误的纠正方法。
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物理竞赛常用方法专题（三）图象法与作图法图象法：一、 方法提要：图象法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图象，将物理量间的代数关系转变为几何关系，运用图象直观、形象、简明的特点，来分析解决物理问题，由此达到化难为易，化繁为简的目的，图象法在处理某些运动问题，变力做功问题时是一种非常有效的方法。
二、 例题：例1：一火车沿直线轨道从静止发出由A 地驶向B 地，并停止在B 地。
A 、B 两地相距s ，火车做加速运动时，其加速度最大为a 1 ，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a 2 ，由此可可以判断出该火车由A 到B 所需的最短时间为 。
解析：整个过程中火车先做匀加速运动，后做匀减速运动，加速度最大时，所用时间最短，分段运动可用图象法来解。
根据题意作v —t 图，如图所示。
由图可得：a 1 =1v t ①a 2 =2v t ②s =12v (t 1 + t 2) =12vt ③由①、②、③解得：例2：一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v 的大小与距老鼠洞中心的距离s 成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s 1 = 1m 的A 点时，速度大小为v 1 = 20cm/s ，问当老鼠到达距老鼠洞中心s 2 = 2m 的B 点时，其速度大小v 2 = ? 老鼠从A 点到达B 点所用的时间t =? 解析：因为老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出的速度与通过的距离成反比，则不能通过匀速运动、匀变速运动公式直接求解，但可以通过图象法求解，因为在1v—s 图象中，所围面积即为所求的时间。
以距离s 为横轴，1v为纵轴建立直角坐标系，则s 与1v成正比，作1v—s 图象如图所示，由图可得s = 2m 时，老鼠的速度为10cm/s 。
在1m 到2m之间图象与横轴包围的面积即为所求的时间，所以老鼠从A 到B 爬行的时间为：t = (10.2+10.1)×12=7.5s 。
说明：本题的巧妙之处在于恰当地选取横坐标与纵坐标，将反比相关性通过图像转化为正比相关性再运用图像解题。
这并不是偶然的，是由t 与v 成反比（瞬时）以及v 与s 成反比所导出的必然解法。
对于“在1v—s 图象中，所围面积即为所求的时间”，可用微元法理解。
例3：如图，电源ε =12.0V ，内电阻r = 0.6Ω ，滑动变阻器与定值电阻R（R 0 = 2.4Ω）串联，当滑动变阻器的滑片P 滑到适当位置时，滑动变阻器的发热功率为9.0W ，求这时滑动变阻器aP 部分的阻值R x 。
解析：由闭合电路欧姆定律作a P 两端的U ap —I 图象，因图上任意一点的U ap 与I 所对应的矩形面积是外电路电阻R x 的输出功率，从而由已知R x 的功率求出对应的R x 值。
根据闭合电路欧姆定律U = ε－Ir 得： U ap = 12－(0.6 + 2.4)I = 12－3I ，作U ap —I 图象如图所示，由图可分析找到滑动变阻器的发热功率为9W 的A 点和B 点，所以R x 有两个值：R x1 = 90Ω ，R x1 = 90Ω（※）例4：如图，在一个开有小孔的原来不带电的导体球壳中心O 点，有一个点电荷Q ，球壳的内外表面半径分别为a 和b ，欲将电荷Q 通过小孔缓慢地从O 点移到无穷远处，应当做功多少？ 解析：球内、外表面上的感应电荷的电量随着放在球心的电荷电量的改变而改变，感应电荷在球心处产生的电势U = KQ 感(1a－1b)，也与感应电荷的电量Q 感成正比，利用U —Q感的图象也可以求出外力做的功。
感应电荷在球心O 处产生的电势为U 0 ，则： U 0 = KQ 感(1a －1b)作出U —Q 感的图象如图所示，假设电量Q 是一份一份地从无穷远处移到球心，而球内外表面上的感应电荷Q 感随球心处的电荷增加而增加，在此过程中移动电荷所做的功就应等于U 1—Q 感图象中阴影部分所示的三角形的面积，则有：W =12Q 感U当Q 感= Q 时，U = U 0 = KQ(1a－1b)那么移走Q 时所做的功应为2K Q 2(1a－1b) ，所以：W =2K Q 2(1a－1b)三、习题：1、A 、B 两点相距s ，将s 平分为n 等份。
今让一物体（可视为质点）从A 点由静止开始向B 做加速运动，但每过一个等分点，加速度都增加a n，试求该物体到达B 点的速度。
2、沿光滑水平面在同一条直线上运动的A 、B 两物体相碰后共同运动，该过程的位移图象如图所示。
可以得出A 、B 的质量比为 。
3．火车重为G ，恒定牵引力为F ，阻力为f 。
当它从静止出发，由车站沿直线驶过s 距离到另一站停止，如果途中不用刹车。
（1）求车行驶的最少时间是多少？（2）途中最大速度是多少？答案：1、v B2、2∶13、v m=作图法：一、方法提要：作图法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性的表示成物理图像，将物理问题转化成一个几何问题，通过几何知识求解，作图法的优点是直观形象，便于定性分析，也可定性计算，灵活应用作图法会给解题带来很大方便。
二、例题：例1：如图，质点自倾角为α的斜面上方定点O 沿光滑的斜槽从静止开始下滑，为使质点在最短时间内从O 点到达斜面，斜槽与竖直方向的夹角β应等于多少？解析：如图所示，以经过O 点的竖直线上的一点O ′ 为圆心，OO ′ 为半径作圆，并使该圆与斜面恰好相切于A 点，与OO ′延长线交于B 点。
已知从O 点由静止出发沿倾角不同的光滑斜面下滑的质点，到达圆周上不同点所需时间相等（可证），显然，质点沿OA 方向从静止开始滑到斜面上所需时间比沿其他方向滑到斜面上所需时间短。
连接O ′A ，由几何关系得：∠AO ′B = α所以所用时间最短时，斜槽与竖直方向的夹角： β =2α说明：本题解法构思精巧，利用作图法，巧妙结合已知结论，非常值得我们学习。
当然，如果想不出这样巧妙的解法，本题依然可以用极限法解得，只是较为繁琐，以后将会提及。
例2：一条小河，河水以v 1 = 5m/s 的速度匀速流动，一条小船在静水中的速度为v 2 = 3m/s 。
欲使小船渡河的航程最短，小船的船头应指向何方向？解析：若v 1＜v 2 ，可垂直渡河，船程最短。
但本题v 1＞v 2 ，小船就不能垂直渡河。
但欲使航程最短，则应使合速度方向与河岸夹角最大。
根据矢量合成的三角形法，v 1 、v 2 、v 合 ，构成封闭三角形，如图所示，作有向线段OA 表示河水流速v 1 ，以表示 v 2的有向长度为半径，以A 为圆心画圆，过O 该圆的切线，切点为B ，作有向线段AB ，有向线段AB 的方向就是所求的方向。
由直角三角形AOB ，得：cos θ =21v v =35所以：θ = 53°即小船的船头应指向上游并沿与上游的河岸成53°角的方向。
例3：一木箱重为G ，与地面动摩擦因数为μ ，现用斜向上的力F 拉木箱使之沿水平地面匀速前进，如图所示。
求拉力F 与水平方向夹角θ为何值时拉力最小？这个最小值多大？解析：木箱受重力G 、弹力N 、摩擦力f 及拉力F四个力的作用，但此题也可以把木箱看做只受三个力作用，即重力G力F和摩擦力f与N的夹角为φ，则μ知G的大小和方向，F的作用线的垂线时，F min其中φ= arctanμ，所以最小的拉力F与水平方向的夹角为θ = φ = arctanμ。
F的最小值可以表达为：F min G 。
说明：本题用到了全反力,摩擦角，矢量三角相关知识，这些都是解决物体静平衡问题的重要知识，请阅读第二章第一节赛点直击和例2，并掌握这部分知识。
三、习题：1、如图，一个重为G的匀质球，放在光滑的斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的斜木板挡住球处于静止状态。
如果挡板与斜面间的夹角β缓慢增大到挡板呈水平状态，此过程中挡板对球的弹力N1和斜面对球的弹力N2如何变化？2．一重为G的物块放在倾角为α的斜面上，物块与斜面间的摩擦因数为μ，今在物块上的作用力为F ，F可与斜面成任意夹角，如图所示，求拉动物块沿斜面上升所需力F的最小值及对应的θ角。
3．如图，小环m1、m2能沿着一轻绳光滑地滑动，绳的两端固定于直杆AB的两端，杆与水平线成角度θ。
在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环，并使m1、m2在其两边，设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时，直杆与轻环两边的绳夹角为φ，试证明：tantanθϕ=1212m mm m-+。
4．一条在湖面上以恒定速度行驶的船上，有一与船固定的竖直光滑墙壁。
有一个小球沿水平方向射到墙上。
相对于岸，小球的速度大小为v1，方向与墙的法线成60°角，小球自墙反弹时的速度方向正好与小球入射到墙上时的速度方向垂直。
问船的速度应满足什么条件。
设小球与墙壁的碰撞是完全弹性的。
答案：1、N1先减小后增大，N2减小2、inα + μcosα) ，θ = arctanμ3、略。
4、船的行驶速度必须有沿墙壁平面法线方向的分速度，其大小为12v1，而沿x方向的分速度不受限制，可取包括零在内的任意值。