九年级相似三角形的性质及判定讲
相似三角形的性质与判定专题讲义
沃根金榜一对一学科教师辅导讲义学生姓名：年级：老师：上课日期：上课时间：上课次数：______年级第______单元课题______——————————————————————————————————[ 课前准备 ]课前检查：作业完成情况：优（）良（）中（）差（）复习预习情况：优（）良（）中（）差（）——————————————————————————————————[ 学习内容 ]一、知识梳理（一）、相似三角形的性质：1、相似三角形的对应角，对应边。
2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于。
3、相似三角形对应周长的比等于。
4、相似三角形对应面积的比等于。
注意：在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若果不能确定，则应当进行分类讨论。
（二）、相似三角形的判定：1、判定两个三角形相似的条件：（1）平行截割： _____（2）两角对应相等：（3）两边夹：（4）三边比：_____________________________________2、判定两个三角形相似的一般步骤：（1）先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。
（3）若找不到相等的角，就分析三边是否3、等积式的证明思路遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替；平行线转比例，两端各自拉关系。
二、基础练习1．（2013•重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：162．两相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为32cm2，那么小三角形的面积为（）A ．10cm 2B ．14cm 2C ．16cm 2D ．18cm 23．如图，已知△ABC ，AB=6，AC=4，D 为AB 边上一点，且AD=2，E 为AC 边上一点（不与A 、C 重合），若△ADE 与△ABC 相似，则AE=（ ） A ．2B ．34 C ．3或43 D ．3或344．（2008•毕节地区）已知△ABC 的三条长分别为2cm ，5cm ，6cm ，现将要利用长度为30cm 和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC 相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（ ） A ．10cm ，25cm ，30cmB ．10cm ，30cm ，36cm 或10cm ，12cm ，30cmC ．10cm ，30cm ，36cmD ．10cm ，25cm ，30cm 或12cm ，30cm ，36cm 5．（2010•淄博）在一块长为8、宽为32的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是．6．如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB＝5，求： （1）AGAF；（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；三、 重难点高效突破专题一：计算线段的长度或线段之间的比在几何中线段长度计算常用的方法是：1、运用勾股定理计算；2、运用相似三角形对应边成比例计算；3、综合运用进行计算。
相似三角形的性质及判定方法
相似三角形的性质及判定方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。
在几何学中，相似三角形具有一些特定的性质和判定方法。
本文将探讨相似三角形的性质以及如何判定两个三角形是否相似。
一、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。
记为AA相似性质。
2. 对应边的比例性质：如果两个三角形的两对对应边的比例相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应边所对应的长度比例相等，则它们是相似的。
记为SSS相似性质。
3. 角和对边的比例性质：如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，则它们是相似的。
记为SAS相似性质。
二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角也必然相等，从而满足AA相似性质。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们满足SSS相似性质。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们满足SAS相似性质。
三、实例分析为了更好地理解相似三角形的判定方法，我们来看一个实例。
已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE = BC/EF = CA/FD，我们需要判定这两个三角形是否相似。
根据给定条件可知，∠A=∠D，∠B=∠E，且BC/EF = CA/FD。
根据SAS判定法，如果对应角相等且对应边的长度比例相等，则两个三角形相似。
由此得出结论，三角形ABC和三角形DEF是相似的。
相似三角形的判定与性质知识梳理及例题分析
相似三角形的判定与性质知识梳理及例题分析1．相似三角形的概念：在和中，如果，，，，我们就说和相似，记作∽，就是它们的相似比(注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上).思考：在中,点是边的中点,，交于点，与有什么关系？猜想：与相似. 证明：在与中，∴，.过点作，交于点在中，，，∴.又，∴∴，∴∽(对应角相等，对应边的比相等的两三角形相似)，相似比为.改变点在上的位置，可以进一步猜想以上两个三角形依然相似.2．相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.小结：判定三角形相似的方法：(1)相似三角形的定义；(2)由平行线得相似.思考：对比三角形全等判定的简单方法()，看是否也有简便的方法？已知：在和中，.求证：∽.证明：在线段(或它的延长线)上截取，过点作，交于点，根据前面的结论可得∽.∴又，∴∴同理：∴≌∴∽相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.思考：若，，与是否相似呢？相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.进一步引申：若，，与是否相似呢？不一定问：全等中的边边角不能用，那么边边角也不能证相似，反例同全等.例1.根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：(1)，，；，，.(2)，，；，，.解：(1)，∴又∴∽问：这两个相似三角形的相似比是多少？(答：是)(2)，，∴与的三组对应边的比不等，它们不相似.问：要使两三角形相似，不改变的长，的长应当改为多少？(答：) 例2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？注：此题没说2与哪条边是对应边，所以要进行分类讨论.可以是：，3；或，；或，.注：当两三角形相似而边不确定时，要注意分类讨论.相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等的，那么这两个三角形相似.简单说成：两角对应相等，两三角形相似.3．三角形相似的判定的应用例3.如图，弦和弦相交于内一点，求证：.证明：连接，.在∴∽∴.例4.已知：如图，在中，于点.(1)求证：∽∽；(2)求证：；；(此结论称之为射影定理)(3)若，求.(4)若，求.分析：(1)利用两角相等证相似；(2)把相似三角形的相似比的比例式改为乘积式即可；(3)利用射影定理和勾股定理直接求；(4)利用上面的定理和方程求.进一步引申：在中，于点，这个条件可以放在圆当中，是直径，是圆上任意一点，于点，则可得到双垂直图形.例.已知：∽，分别是两个三角形的角平分线.求证：.4．相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比.(2)相似三角形对应高的比，对应角的平分线的比，对应中线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比.证明：如果∽，相似比为，那么.因此，，.从而，.同理可得相似多边形对应周长的比也等于相似比.如图，已知：∽，相似比为.分别作出与的高和和都是直角三角形，并且，∽相似多边形面积的比等于相似比的平方.对于两个相似多边形，可以把他们分成若干个相似三角形证明.例5.如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.解：在和中，，又∽，相似比为.的周长为，的面积是.例6.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；(2)如果AP=m(m是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.分析：此题第1问：利用两边的比相等，夹角相等证相似.即，第2问：设∵是的比例中项，∴是的比例中项即∴解得又∵第3问：∵，，即当时，两圆内切；当时，两圆内含；当时，两圆相交.例7.如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.(3)在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出的长.解：(1)，∽(2)∵的周长与四边形的周长相等∽(3)在线段上存在点，使得为等腰直角三角形.过作于，则，设交于若，则.∵∽若，同理可求.若，∽∴在线段上存在点，使得为等腰直角三角形，此时，或.三、总结归纳：1、相似三角形的判定：(1)相似三角形的定义；(2)平行得相似；(3)三边的比相等；(4)两边的比相等，夹角相等；(5)两角对应相等.三角形相似判定的方法较多，要根据已知条件适当选择.23、相似三角形的常见图形及其变换：4、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系证明题常用方法归纳：(1)通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(2)若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.(3)若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.。
九年级数学相似三角形的判定及证明技巧讲义
相似三角形是中学数学中的一个重要内容，对于九年级学生来说，掌握相似三角形的判定及证明技巧是必不可少的。
本文将详细讲解相似三角形的判定及证明技巧，帮助学生更好地理解和运用这一知识点。
一、相似三角形的判定：1.AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么这两个三角形相似。
2.AA相似判定法：如果两个三角形的一个角对等于另一个角，且两个角的对边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF，那么这两个三角形相似。
3.SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么这两个三角形相似。
4.平行线判定法：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF，那么这两个三角形相似。
二、相似三角形的证明技巧：1.用平行线证明相似：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以使用平行线的性质，如同位角相等、内错角互补等。
2.用角度证明相似：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以根据已知信息，使用角度的性质进行推导。
3.用边长比证明相似：如果两个三角形的对应边长比相等，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以根据已知的边长比，通过等式推导得出结论。
4.用等腰三角形证明相似：如果两个三角形分别为等腰三角形，且对应的顶角相等，则这两个三角形是相似的。
以上是常用的相似三角形的判定及证明技巧，希望对九年级的数学学习有所帮助。
在学习过程中，要多加练习，掌握不同方法的应用，提高解题能力。
同时，要注重理论与实践相结合，灵活运用知识，培养自己的思维能力和推理能力。
祝每位同学在数学学习中取得优异成绩！。
相似三角形的判定与性质
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地理学中的应用：测量距离、确定位置等
航海学中的应用：确定船只的位置、航向等
04
相似三角形的判定定理与性质定理的证明
判定定理的证明
定义法：利用相似三角形的定义，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
平行线法：利用平行线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
角平分线法：利用角平分线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
适用情况：适用于已知三角形角度和边长的情况
注意事项：在应用定义法时，需要仔细检查对应角和对应边的比例关系，以避免出现误差
平行线法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
适用范围：适用于直角三角形和非直角三角形
定义：利用平行线性质，通过比较对应边和角的比例关系来判定两个三角形是否相似
证明方法：利用平行线的性质和相似三角形的定义进行证明
应用举例：在几何问题中，常常利用平行线法来判定两个三角形是否相似
角角角法
性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例
应用：在几何、代数、三角函数等领域有广泛的应用
定义：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
判定方法：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
边边边法
证明方法：利用相似三角形的性质和判定定理进行证明
证明：根据相似三角形的定义，可以通过相似比推导出对应角相等
对应边成比例
性质定义：相似三角形的对应边长比例相等
性质推论：相似三角形的对应高、中线、角平分线等比例
性质应用：在几何证明和计算中，利用对应边成比例的性质可以简化问题
九年级数学相似三角形的性质
九年级数学相似三角形的性质【基本概念】相似三角形的根本性质：相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
【例1】 如图所示，已知在等边△ABC 的边BC 、AC 上分别有点M 、N ，已知∠AMN=60°，△ABC 的边长为10cm ，且BM=4cm ，求CN 的长。
相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似三角形的相似比。
【例2】 如图所示，已知在△ABC 中，AD 是高，矩形EFGH 内接于△ABC ，且边长FG 在BC 上，矩形相邻两边的比为1∶2，若BC=30cm ，AD=10cm ，求矩形EFGH 的面积。
相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比。
相似三角形性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
【例3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AE ∶EB=1∶2。
（1） 求△AEF 与△CDF 的周长的比。
（2） 如果26AEF S cm ，求CDF S相似三角形的实际应用：1、解决同一时刻物高与影长的问题2、利用相似测量无法直接测量的物体（高度、宽度）3、利用相似进行图形方案设计等。
【例4】如图所示，铁道口短臂OA长为1.25米，长臂OB长为16.5米，当短臂端点A下降0.85米时，长臂端点升高多少？（杆的高度可忽略不计）【课堂练习】1、如图所示，在△ABC中，BC=12，BC边上的高为8，△ABC的内接矩形DEFG的一边EF在BC边上，两临边长DE∶EF=2∶3，求矩形的边长。
2、如图所示，在一个长为40cm，宽为30cm的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A到B到C的路线以3m/s的速度跑向C地，当他出发4s后，张华有东西要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶。
当张华跑到距B地2 2 3m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A 处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上。
（1）求他们影子重叠时，两人相距（DE的长）多少米？（2）求张华追赶王刚的速度是多少？（精确到0.1m/s）3、如图所示，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上。
初中数学知识点精讲精析 相似三角形的性质和判定
第3节 相似三角形的性质和判定 要点精讲（一）相似三角形的性质1. 相似三角形对应角相等、对应边成比例。
2. 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
3. 相似三角形周长的比等于相似比。
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。
（二）三角形相似的判定方法1. 定义法：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似。
2. 平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3. 判断定理1：两角对应相等的两个三角形相似。
4. 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
5. 判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
6. 判定直角三角形相似的方法：……典型例题【例1】如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，点D 在AC 边上（点D 不与A 、C 重合），若再增加一个条件就能使△ABD ∽△ACB ，则这个条件可以是 ． 【答案】∠1=∠C ，或∠2=∠ABC ，或AD AB AB AC = 【解析】根据相似三角形的识别方法，注意到△ABD 和△ACB 中， 有一个公共角∠A ，因此只要再增加一个条件----------角相等，或夹∠A 的两边对应成比例即可，故可填∠1=∠C ，或∠2=∠ABC ，或AD AB AB AC=【例2】如图，正方形ABCD 的边长为2，AE =EB ，MN =1，线段MN 的两端在BC 、CD 上滑动，当CM = 时，△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似【答案】5CM =或5CM = 【解析】由于△AED 和△MCN 都是直角三角形，△AED 的三边，AD =2，AE =1，斜边DE=MCN 的斜边MN =1，而 当两个直角三角形斜边与直角边对应成比例时，这两个直角三角形相似， 根据CM MN AE DE =或CM MN AD DE =，即1CM =2CM =， 1 ACD 2 B D N得5CM =或5CM =，故当5CM =或5CM =时，△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似．。
九年级数学相似三角形的判定
目
CONTENCT
录
• 相似三角形的定义与性质 • 相似三角形的判定方法 • 相似三角形的应用 • 相似三角形的变式与拓展
01
相似三角形的定义与性质
相似三角形的定义
02
01
03
两个三角形如果对应角相等，则它们是相似的。
相似三角形对应边的比值相等，即它们的边长比例相 等。 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
物理学
在物理学中，相似三角形经常被 用来解决与力、运动相关的问题 。
80%
工程设计
在工程设计中，相似三角形可以 帮助设计师确定建筑物的结构稳 定性。
在数学竞赛中的应用
奥林匹克数学竞赛
在奥林匹克数学竞赛中，相似 三角形是解决几何问题的重要 工具之一。
数学竞赛培训
在数学竞赛培训中，相似三角 形是培训内容的重要组成部分 ，用于提高学生的几何思维能 力。
具体来说，如果$angle A = angle A'$、且$frac{AB}{A'B'} = frac{AC}{A'C'} = k$ （$k$为常数），则$triangle ABC sim triangle A'B'C'$。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
确定未知量
通过相似关系，我们可以确定一些未知量，如角度 、长度等。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对 应边成比例。
相似三角形的面积比等于相似 比的平方。
相似三角形对应高的比等于相 似比，对应中线的比也两组对应角分别相等，则这两个 三角形相似。
如果两个三角形的两组对应边的比值相等，则这两 个三角形相似。
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龙文教育学科教师辅导讲义
全等三角形的判定 SAS SSS AAS （ASA ） HL 相似三角形 的判定
两边对应成比例夹角相等
三边对应成比例
两角对应相等
一条直角边与斜边对应成比例
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边
成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性
如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2
9、三角形三条中线的交点叫做重心；三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点距离的的两倍。
三、注意
1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三
角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ 8 ”型。
在利用定理证明时要注意A 型图的比例
AD AB DE BC AE
AC
==
，每个比的前项是同一个三 角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成
AD DB DE BC AE
EC
==
的错误。
2、 相似三角形的基本图形
Ⅰ.平行线型：即A 型和8型。
Ⅰ.相交线型 A.具有一个公共角，
在△ABC 与△ADE 中∠A 是它们的公共 角，且∠A DE =∠C
具有一条公共边和一个公共角
在△ABC 与△BDC 中CB 是它们的公共边， 且∠C BD =∠A ，∠C 是它们的公共角。
C.有对顶角：在△ABC 中∠1与∠2是对顶角
3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明 三角形相似及比例式或等积式。
4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。
C
E
D
B
A
C
A
D
B.
C
B
D
E
A
9、如图，DA//EF//BC ，BE=3EA ，
S △ADE =1cm 2，求（1）S △ABC ；（2）S △AEF
课堂训练
1、如图，矩形ABCD 中，AB=12，AD=10，把此矩形叠，使B 点落在AD 边上的中点E 处，
求折痕FG 的长。
2、如图，二次函数y=ax 2+bx+2的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且∠OCA=∠OBC ，AB=3，
(1)、求证：OC 2=OA ·OB ； (2)、求二次函数的解析式。
3、直角三角形的铁片ABC 的两条直角边,BC AC 的长分别为3cm 和
4cm ，如图所示分别采用⑴，⑵两种方法，剪去一块正方形铁片，为了使剪去正方形铁片后剩下的边角料较少，试比较哪一种剪法较为合理，并说明理由．
G K
F
E
D
C B A F
E
D C
B
A (1)
F E D C
B
A (2)
G
F
E D
C B A
4、如图，△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE ，连结ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H 。
（1）求证：AH ＝CE
（2）如果AB=4AF ，EH ＝8，求DF 的长。
5、已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD=AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ， EC 与AD 相交于点F 。
（1）求证：△ABC ∽△FCD ；
（2）若S △FCD =5，BC ＝10，求DE 的长。
似三角形的应用：
1．在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5米的测竿的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是( )
A ．20米
B ．18米
C ．16米
D ．15米
2．(05•北京)如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角
∠=︒AMC 30，
窗户的高在教室地面上的影长23MN =米，窗户的下檐到教室地面的距离1BG =米（点,,M N C 在同一直线上），则窗户的高AB 为( )
A ．3米
B ．3米
C ．2米
D ．1.5米
M N C
B
A
3．如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，而且落在里网4米的位置，则球拍击球的高度h为________米．
4．(05•福建)如图，某学习小组选一名身高为1.6m的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长为1.2m，另一部分同学测量同一时刻旗杆影长为9m，那么旗杆的高度是_______m．
5．在一次测量旗杆高度的活动中，某小组使用的方案如下：AB表示某同学从眼睛到脚底的距离，CD 表示一根标杆，EF表示旗杆，,,
AB CD EF都垂直于地面．若 1.6,2
AB m CD m
==，人与标杆之间的距离1
BD m
=，标杆与旗杆之间的距离30
DF m
=，求旗杆EF的高度．
F
E
D
C
B
A
6．小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离21
AE m
=．当她与镜子的距离 2.5
CE m
=时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度 1.6
CD m
=．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米(注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角) ．
7. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽12
=，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，
DE m
CD m
=，塔影长18
小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为( )
A．24m B．22m C．20m D．18m。