第15课极坐标方程与直角坐标方程的互化
极坐标方程与直角坐标方程的互化
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.例1.⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=．(I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．练习：曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为(A) x 2+(y+2)2=4 (B) x 2+(y-2)2=4(C) (x-2)2+y 2=4 (D) (x+2)2+y 2=4二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性:1、直线的极坐标方程(a>0)(1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:θ=α;(2)垂直于极轴和极点间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρcos θ=a;(3)平行于极轴和极轴间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρsin θ=a;(4)不过极点,和极轴成α角,到极点距离为a 的直线的极坐标方程:ρsin(α-θ)=a.2、圆的极坐标方程(a>0)(1)圆心在极点,半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=a;(2)圆心在(a,0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos θ;(3)圆心在(a,π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θcos 2a -;(4)圆心在(a,2π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2asin θ; (5)圆心在(a,23π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θsin 2a -; (6)圆心在(a, θ0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos(θ-θ0).3、极坐标系中的旋转不变性:曲线f(ρ,θ+α)=0是将曲线f(ρ,θ)=0绕极点旋转|α|角(0>α时,按顺时针方向旋转,0<α时,按逆时针方向旋转)而得到.例2．极坐标方程4ρsin 22θ=5所表示的曲线是（ ） (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线练习：极坐标方程ρ=cos(4π-θ)所表示的曲线是（ ） (A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆三、判断曲线位置关系例3．直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系（ ）(A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合四、根据条件求直线和圆的极坐标方程例4．在极坐标系中,如果一个圆的方程是ρ=4cos θ+6sin θ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（ ）(A) ρsin θ=3 (B) ρsin θ = –3 (C) ρcos θ =2 (D) ρcos θ = –2练习：在极坐标方程中,与圆ρ=4sin θ相切的一条直线的方程是(A) ρsin θ=2 (B)ρcos θ=2 (C)ρcos θ= 4 (D) ρcos θ=- 4(答案:B)五、求曲线中点的极坐标例5．在极坐标系中，定点A(1,2π),点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是_________.练习：极坐标方程5ρ2cos2θ+ρ2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为_________.六、求距离例6．在极坐标系中，直线 的方程为ρsin θ=3，则点(2,6π)到直线 的距离为__________.练习：极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是 (A) 2 (B) 2 (C) 1 (D)22七、判定曲线的对称性例7．在极坐标系中,曲线ρ= 4sin(θ-3π)关于 (A) 直线θ=3π轴对称 (B)直线θ=65π轴对称 (C) 点(2, 3π)中心对称 (D)极点中心对称八、求三角形面积例8．在极坐标系中,O 是极点，设点A(4,3π)，B(5,65π-)，则△OAB 的面积是 .欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化关系是什么
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化关系是什么直线是几何学中最基本的图形之一，它可以通过不同的数学表示方式来描述。
其中，直角坐标系和极坐标系是两种常用的坐标系统。
直线的极坐标方程和直角坐标方程之间存在互化关系，通过相互转换可以方便地描述直线的性质和特征。
本文将介绍直线的极坐标方程和直角坐标方程，并探讨它们之间的转换关系。
直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系统，由两个垂直的坐标轴组成，分别为 x 轴和 y 轴。
坐标轴的交点称为原点（0, 0），x 轴正向为右，y 轴正向为上。
直角坐标系中，可以使用坐标对 (x, y) 来表示一个点的位置，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
直线在直角坐标系中可以用一般式方程表示：Ax + By + C = 0其中 A、B、C 为常数，代表直线的性质和位置。
极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系统，它由极轴和极角组成。
极轴是一条从原点出发的直线，极角是该直线与 x 轴的夹角。
极角通常用θ（theta）表示。
极坐标系中，可以使用坐标对(r, θ) 来表示一个点的位置，其中 r 表示点到原点的距离，θ表示点与正极轴的夹角。
同样，在极坐标系中，直线可以通过方程表示：r = p / (cos(θ - α))其中 p 为直线到原点的距离，α 为直线与正极轴的夹角。
极坐标方程与直角坐标方程的互化关系直线的极坐标方程和直角坐标方程之间存在互化关系，可以相互转换。
极坐标方程转直角坐标方程进行极坐标方程转换时，我们需要把极坐标系转换为直角坐标系。
由于极坐标系中的点与直角坐标系中的点之间存在一一对应的关系，我们可以通过以下公式将极坐标方程转换为直角坐标方程：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，x 和 y 分别为直角坐标系中的横纵坐标，r 和θ 分别为极坐标系中的极径和极角。
将极坐标方程r = p / (cos(θ - α)) 转换为直角坐标方程，可以得到：x * cos(θ) + y * sin(θ) = p / cos(α)此为直线在直角坐标系中的一般式方程。
极坐标方程与直角坐标方程的互化
极坐标方程与直角坐标方程的互化一、引言极坐标和直角坐标是两种常用的描述平面上点位置的方式。
在数学和物理学中，这两种坐标系都有广泛的应用。
本文将介绍极坐标方程与直角坐标方程之间的互化关系。
二、极坐标系和直角坐标系的定义1. 极坐标系极坐标是一种描述平面上点位置的方式，它使用极径和极角来表示点在平面上的位置。
其中，极径表示点到原点的距离，而极角表示该点与正半轴之间的夹角。
通常用符号(r,θ)表示一个点在极坐标系中的位置。
2. 直角坐标系直角坐标系是一种描述平面上点位置的方式，它使用x轴和y轴上的数值来表示点在平面上的位置。
通常用符号(x,y)表示一个点在直角坐标系中的位置。
三、从直角坐标系到极坐标系1. 由(x,y)求(r,θ)要将一个点从直角坐标系转换为极坐标系，需要求出该点到原点的距离r和该点与正半轴之间的夹角θ。
其中，r可以通过勾股定理求得：r = √(x² + y²)而θ可以通过反三角函数求得：θ = arctan(y/x) (当x>0时)θ = arctan(y/x) + π (当x<0,y≥0时)θ = arctan(y/x) - π (当x<0,y<0时)θ = π/2 (当x=0,y>0时)θ = -π/2 (当x=0,y<0时)θ = 未定义 (当x=0,y=0时)2. 由(r,θ)求(x,y)要将一个点从极坐标系转换为直角坐标系，需要求出该点在x轴和y 轴上的坐标值。
其中，x可以通过余弦函数求得：x = r cos(θ)而y可以通过正弦函数求得：y = r sin(θ)四、从极坐标系到直角坐标系1. 由(r,θ)求(x,y)同样地，要将一个点从极坐标系转换为直角坐标系，也需要求出该点在x轴和y轴上的坐标值。
其中，x可以通过余弦函数求得：x = r cos(θ)而y可以通过正弦函数求得：y = r sin(θ)2. 由(x,y)求(r,θ)同样地，要将一个点从直角坐标系转换为极坐标系，也需要求出该点到原点的距离r和该点与正半轴之间的夹角θ。
极坐标方程直角坐标方程互化公式
极坐标方程直角坐标方程互化公式极坐标方程和直角坐标方程是描述平面上的点的两种不同的数学表示方法。
极坐标方程使用极径和极角来表示点的位置，而直角坐标方程使用x坐标和y坐标来表示点的位置。
这两种表示方法之间存在着一种互化关系，可以通过一些公式进行相互转换。
我们来看一下如何将极坐标方程转换为直角坐标方程。
给定一个极坐标方程r = f(θ)，其中r是极径，θ是极角，我们可以使用以下公式将其转换为直角坐标方程：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)这里的cos(θ)和sin(θ)分别表示角度θ的余弦和正弦值。
通过这两个公式，我们可以根据给定的极坐标方程计算出对应的直角坐标系下的x和y坐标。
例如，对于极坐标方程r = 2，我们可以将其转换为直角坐标方程：x = 2 * cos(θ)y = 2 * sin(θ)当θ取不同的值时，我们可以计算出对应的x和y坐标。
这样，我们就可以得到一系列点的坐标，从而绘制出它们在直角坐标系下的图形。
接下来，我们来看一下如何将直角坐标方程转换为极坐标方程。
给定一个直角坐标方程y = f(x)，我们可以使用以下公式将其转换为极坐标方程：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)其中，√表示求平方根，arctan表示反正切函数。
通过这两个公式，我们可以根据给定的直角坐标方程计算出对应的极坐标系下的极径和极角。
例如，对于直角坐标方程y = x，我们可以将其转换为极坐标方程：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)同样地，当给定不同的x和y值时，我们可以计算出对应的极径和极角。
这样，我们就可以得到一系列点的极坐标，从而绘制出它们在极坐标系下的图形。
极坐标方程和直角坐标方程的互化公式为我们在研究平面上的点和图形时提供了便利。
通过这些公式，我们可以将一个问题从一个坐标系转换到另一个坐标系，从而更加方便地进行分析和计算。
总结起来，极坐标方程和直角坐标方程之间的互化公式为：极坐标方程转直角坐标方程：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)直角坐标方程转极坐标方程：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)通过这些公式，我们可以在不同的坐标系下描述和分析平面上的点和图形，为我们的研究和计算提供了便利。
极坐标方程与直角坐标方程怎么互化的
极坐标方程与直角坐标方程怎么互化的在数学中，极坐标和直角坐标是两种常用的坐标系。
它们在描述平面上的点、图形和曲线方程时具有不同的表达方式。
在某些情况下，我们需要在两种坐标系之间进行转换，以便更方便地求解和分析问题。
而将极坐标方程和直角坐标方程互相转化是一种常见的转换方式。
本文将介绍如何互化极坐标方程和直角坐标方程。
一、从极坐标转换为直角坐标在极坐标系中，一个点的位置由极径（r）和极角（θ）共同确定。
我们可以通过以下公式将极坐标转换为直角坐标：•x = r * cos(θ)•y = r * sin(θ)其中，x和y分别表示直角坐标系下的点的坐标。
使用这两个公式，我们可以将给定的极坐标转换为直角坐标。
例如，如果我们有一个极径r=3和极角θ=π/4，我们可以使用上述公式计算出对应的直角坐标为：•x = 3 * cos(π/4) = 3 * √2 / 2 = √2 * 3 / 2•y = 3 * sin(π/4) = 3 * √2 / 2 = √2 * 3 / 2因此，原来的极坐标(3,π/4)在直角坐标系下的表示为(√2 * 3 / 2, √2 * 3 / 2)。
二、从直角坐标转换为极坐标同样地，我们也可以通过一些公式将直角坐标转换为极坐标。
给定一个点在直角坐标系下的坐标(x, y)，我们可以使用以下公式将其转换为极坐标：•r = √(x^2 + y^2)•θ = arctan(y / x)其中，r表示点到原点的距离，θ表示点与x轴正向的夹角。
通过这两个公式，我们可以将给定的直角坐标转换为极坐标。
例如，如果我们有一个点在直角坐标系下的坐标为(√2 * 3 / 2, √2 * 3 / 2)，我们可以使用上述公式计算出对应的极坐标为：•r = √((√2 * 3 / 2)^2 + (√2 * 3 / 2)^2) = √(9/2 + 9/2) = √(9 + 9) = √18•θ = arctan((√2 * 3 / 2) / (√2 * 3 / 2)) = arctan(1) = π/4因此，原来的直角坐标(√2 * 3 / 2, √2 * 3 / 2)在极坐标系下的表示为(√18, π/4)。
极坐标参数方程与直角方程的互化
极坐标参数方程与直角方程的互化1. 引言极坐标和直角坐标是数学中两种常见的坐标系统。
它们可以用于描述平面上的点的位置，但表示方式不同。
本文将介绍极坐标参数方程和直角方程之间的互化关系，帮助读者更好地理解这两种坐标系统之间的转换方式。
2. 极坐标参数方程极坐标参数方程是一种使用极径和极角来表示平面上的点坐标的方式。
通过极径表示点到原点的距离，通过极角表示点所在的方向。
极坐标参数方程的一般形式为：r = f(θ)其中，r是点到原点的距离，θ是点的极角，f(θ)是一个函数，用于描述点的位置。
极坐标参数方程的转换方式如下：•将直角坐标点(x, y)转换为极坐标点(r, θ)：–r = √(x^2 + y^2)–θ = arctan(y / x)•将极坐标方程r = f(θ)转换为直角坐标方程：–x = r * cos(θ)–y = r * sin(θ)3. 直角方程直角方程是一种使用水平轴（x轴）和垂直轴（y轴）来表示平面上的点坐标的方式。
直角方程通常使用方程的形式来表示点的位置，例如：y = f(x)其中，x是点的水平坐标，y是点的垂直坐标，f(x)是一个函数，用于描述点的位置。
直角方程的转换方式如下：•将极坐标点(r, θ)转换为直角坐标点(x, y)：–x = r * cos(θ)–y = r * sin(θ)•将直角方程y = f(x)转换为极坐标方程：–r = √(x^2 + y^2)–θ = arctan(y / x)4. 示例下面将通过一个简单的示例来展示极坐标参数方程和直角方程之间的互化关系。
考虑一个极坐标参数方程r = 2sin(θ)，我们将通过转换来得到对应的直角方程。
首先，我们将极坐标方程转换为直角坐标方程： - x = r * cos(θ) = 2sin(θ) * cos(θ) - y = r * sin(θ) = 2sin(θ) * sin(θ)对于这个简单的极坐标方程，我们可以通过简单的三角函数运算得到对应的直角方程。
极坐标方程和直角坐标方程的互换
极坐标方程和直角坐标方程的互换在数学中，坐标系是用来描述和表示点在平面上或空间中位置的工具。
常见的坐标系包括直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系是笛卡尔坐标系的一种特例，在直角坐标系中，一个点的位置由它在水平轴上的横坐标和在竖直轴上的纵坐标确定。
而在极坐标系中，一个点的位置由它距离原点的距离和与参考方向的夹角确定。
在实际应用中，我们经常会遇到需要在直角坐标系和极坐标系之间进行互换的情况。
下面将介绍如何在极坐标方程和直角坐标方程之间进行互换。
极坐标方程转直角坐标方程给定一个极坐标方程，我们希望将其转换为直角坐标方程。
考虑一个点的极坐标表示为(r, θ)，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与参考方向的夹角。
在直角坐标系中，我们将点的位置表示为(x, y)。
由于x轴和y轴与极坐标系的极轴和参考方向相互垂直，我们可以利用三角函数来进行转换。
根据三角关系，我们有以下等式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)因此，可将极坐标方程转化为直角坐标方程。
以极坐标方程r = 2cos(θ)为例，我们来将其转换为直角坐标方程：x = 2cos(θ) * cos(θ) = 2cos²(θ)y = 2cos(θ) * sin(θ) = sin(2θ)所以，极坐标方程r = 2cos(θ)在直角坐标系中的方程为x = 2cos²(θ)和y =sin(2θ)。
直角坐标方程转极坐标方程给定一个直角坐标方程，我们希望将其转换为极坐标方程。
同样考虑一个点的直角坐标表示为(x, y)，我们需要找到与之对应的极坐标(r, θ)。
在直角坐标系中，点到原点的距离可以通过勾股定理计算：r = √(x² + y²)而点与参考方向的夹角可以通过反三角函数计算：θ = a rctan(y / x)根据上述公式，我们可以根据给定的直角坐标方程转换为极坐标方程。
以直角坐标方程x = 2cos²(θ)和y = sin(2θ)为例，我们来将其转换为极坐标方程：r = √(x² + y²) = √(4cos^4(θ) + sin^2(2θ))θ = arctan(y / x) = arctan(sin(2θ) / 2cos²(θ))所以，直角坐标方程x = 2cos²(θ)和y = sin(2θ)在极坐标系中的方程为r =√(4cos^4(θ) + sin^2(2θ))和θ = arctan(sin(2θ) / 2cos²(θ))。
直角坐标方程和极坐标方程的互化
直角坐标方程和极坐标方程的互化1. 直角坐标系简介在数学中，直角坐标系是最常用的坐标系统之一。
它使用直角来描述二维平面上的点的位置。
直角坐标系由两个相互垂直的直线构成，这两条直线被称为坐标轴。
通常我们将水平的坐标轴称为x轴，垂直的坐标轴称为y轴。
通过将点的位置表示为(x, y)的有序对，我们可以在直角坐标系中准确地定位点的位置。
2. 直角坐标方程直角坐标方程是指使用x和y的关系式来表示一个图形或者一条曲线。
通常情况下，直角坐标方程可以用来描述线性方程、二次方程、三次方程等各种曲线。
直角坐标方程的一般形式可以写作：F(x, y) = G(x, y)其中F(x, y)和G(x, y)是关于x和y的函数。
通过将不同的函数F(x, y)和G(x, y)代入上述表达式，我们可以获得各种不同形状的曲线。
例如，当F(x, y) = x^2 +y^2，G(x, y) = 1时，我们可以获得一个圆形。
3. 极坐标系简介与直角坐标系类似，极坐标系也是一种用于描述二维平面上点的位置的坐标系统。
极坐标系使用两个参数，一个是径向距离r，另一个是极角θ。
极坐标系中，点的位置可以表示为(r, θ)的有序对。
其中，r表示点到原点的距离，θ表示点与正向x轴之间的夹角。
4. 极坐标方程极坐标方程是指使用极坐标中的参数r和θ的关系式来描述一个图形或者一条曲线。
与直角坐标方程类似，极坐标方程可以用来描述各种各样的曲线。
极坐标方程的一般形式可以写作：r = f(θ)其中，f(θ)表示关于θ的函数。
通过选择不同的函数f(θ)，我们可以得到各种形状的曲线。
例如，当f(θ) = a·cos(θ)时，我们可以获得一个以原点为中心的椭圆。
5. 直角坐标方程和极坐标方程的互化直角坐标系和极坐标系可以通过一些简单的转换关系相互转化。
通过这种互化，我们可以从不同的视角来理解和分析相同的曲线。
以下是一些常见的直角坐标方程和极坐标方程的互化关系：•从直角坐标方程到极坐标方程的转换：x = r·cos(θ)y = r·sin(θ)当我们已知一个曲线的直角坐标方程时，可以通过将x和y用r和θ表示来转换为极坐标方程。
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题 5．已知曲线 C1，C2 的极坐标方程分别为 cos 3 ，
π 4 cos ≥ 0，≤ ， 0 2
则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为 ．
【分析与点评】本题有两种方案： (1)联立两个方程，求出交点的极坐标。 (2)将所给曲线方程化成直角坐标方程，但要注意转化的等价性。方案1
更简便。
答 案： (2 3, )
6
要点归纳
对于极坐标系下的问题，如果直接处理比较方便就
直接处理；如果有困难或比较麻烦，就将问题转化到
直角坐标系下处理，但要注意转化的等价性。
四、范例导析
2 2 例 1、 （1）化直角坐标方程 x y 8 y 0 为极坐标方程。
（2）化极坐标方程 6cos(
变式题：在极坐标系中，设圆 3上的点到直线 cos 3 sin 2 的距离为d , 求d的最大值．
例 3: 在极坐标系下， O 1 和圆 O 2 极坐标方程分别为 4cos 和 圆
— 4sin
（1）求两圆的直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的直角坐标方程．
【分析与点评】 在相应的极坐标系下，点Ｍ的极坐标是否唯一？
题2：极坐标方程 2 cos 0化为直角坐标方程为
.
【分析与点评】
方程化为 0或 cos 1, 后者的直角坐标方程为x 1, 而前者 如何表示？
题3：在极坐标系中，定点A 1, , 点B在直线 cos sin 0 2 上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是 .
【分析与点评】 1、所给点和直线都很特殊，画图直接找到所求的点比较快捷； 2、将极坐标问题转化为直角坐标下加以解决，再化为极坐标是 可靠方法．
题 4．直线 xcos ysin 0 的极坐标方程为
【分析与点评】问题： (1)题中的α是什么量？
(2)化为极坐标方程后，方程中的ө与α是什么关系？
【分析与点评】同学们自主解答 对于（2）你能直接看出是何种曲线？
3
) 为直角坐标方程。
【说明】: 在极坐标系下不能处理的问题，将它转化到直角坐标系下来处理。
例2：在极坐标系中，曲线C的方程为 4sin , 过点M (4, )作 6 曲线C的切线，求切线的长．
【分析与点评】 1、请画出曲线的图形，能够求出切线长吗？ 2、化为直角坐标方程，求切线长。
第15讲 极坐标方程与直角坐标 方程的互化
一、教学目标
1．会进行极坐标和直角坐标的互化； 2．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程 的互化；
二、基础知识回顾与梳理
3 1、点 M 的极坐标为 (2, ) ，则其直角坐标为 4
点 P 的直角坐标为 (1, 3 ) ，则点 P 的一个极坐标为__________
2、极坐标方程 cos 化为直角坐标方程为_____________
3、在极坐标系中，点 1,0 到直线 cos sin 2 的距离为
4、化直角坐标方程 x y 8 y 0 为极坐标方程为__________
2 2
三、诊断练习点评
题 1：点 M 的直角坐标为 ( 3 ,— 1) ，在 0,0 2 的要求下， 它的极坐标为
【教学处理】请同学们自主完成
【引导分析与精讲建议】 (1) 按照题目的要求，先完成第(1)小题；注意 0 表示的点也在该圆上。 求出交点直角坐标，再化成极坐标。
(2)在极坐标系下求两曲线交点的一个极坐标比较麻烦，应该利用直角坐标方程
五、解题反思
对于极坐标系下不便处理的问题，可 考虑将其转化为直角坐标下的问题，但要 注意转化的等价性。