《选修4-1 几何证明选讲》核心考点5.相似三角形的性质
相似三角形的性质
相似三角形的性质一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛运用于日常生活和科学技术领域。
相似三角形的性质揭示了三角形之间的一种特殊关系，即它们的形状相同但大小不同。
本文将对相似三角形的性质进行详细阐述，以便更好地理解这一几何概念。
二、相似三角形的定义1.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（对应角相等）2.AB/DE=BC/EF=AC/DF（对应边成比例）那么，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作△ABC≌△DEF。
三、相似三角形的性质1.对应角相等相似三角形的一个基本性质是对应角相等。
这意味着如果两个三角形相似，那么它们的每个角都对应相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2.对应边成比例相似三角形的另一个基本性质是对应边成比例。
这意味着相似三角形的每条边都与另一三角形的对应边成相同的比例。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3.对应高的比相等相似三角形的对应高（从顶点到对边的垂线）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有h₁/h₂=k，其中h₁和h₂分别是△ABC和△DEF的对应高，k是相似比。
4.对应中线的比相等相似三角形的对应中线（连接顶点和对边中点的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有m₁/m₂=k，其中m₁和m₂分别是△ABC和△DEF的对应中线，k是相似比。
5.对应角平分线的比相等相似三角形的对应角平分线（将顶点角平分的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有s₁/s₂=k，其中s₁和s₂分别是△ABC和△DEF的对应角平分线，k是相似比。
6.面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有S₁/S₂=k²，其中S₁和S₂分别是△ABC和△DEF的面积，k是相似比。
四、相似三角形的判定方法1.AA（角角）相似判定法如果两个三角形有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定及性质(选修4-1)
例 如图,在△ABC内任取一点D,连接AD和BD. 点E在△ABC外,∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB. 求证: △DBE∽△ABC. 分析: 好容易得出∠ABC=∠DBE 只需要再证明 BE BC BE BD BD AB 即证
BC AB
A
D B E C
只要证明△ABD∽△CBE
例 如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、BC、 CA、AB的中点. 求证：△DEF∽△ABC 证明:∵线段EF、FD、DE都是 △ABC的中位线
请大家阅读课本P10-P12的内容，回答下面几个 问题： 1， 如何判定相似三角形？ 2，相似在三角形有什么特点？
例 如图,在△ABC, AB=AC, D是AC边上一点, BD=BC. 求证: BC2=ACCD A 分析: 遇到线段的比例问题可以 考虑三角形的相似 D 证明: ∵△ABC是等腰三角形
定义：对应角相等，对应边成比例的两 个三角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似。 判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形 相似。
判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的 两个三角形相似。
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相 似。
自主学习：
时间：3分钟
当堂检测：
课本P19，习题：T1.
课后作业： 课本P19，习题：T2，T5.
分析: (1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC (2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHD
1．相似三角形的证法： ①定义法：对应边成比例，对应角相等； ②平行法；③判定定理法：用得最多的是判定 定理1，即两角对应相等的两个三角形相似； ④对直角三角形除以上方法外，还有特殊方法， 两直角边对应成比例，两直角三角形相似；一条 直角边和斜边对应成比例，两直角三角形相似； 斜边上的高分成的两直角三角形与原三角形相似．
相似三角形的性质和判定知识点
相似三角形的性质和判定知识点相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学中具有广泛的应用。
相似三角形的性质和判定是学习和解题的基础，本文将详细介绍相似三角形的性质和判定的知识点。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应角相等，即对应边的比例相等。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，如下：1. 对应角相等性质：如果两个三角形相似，它们的对应角相等。
2. 对应边成比例性质：如果两个三角形相似，它们的对应边成比例，即对于第一个三角形的一条边与第二个三角形的相应边的比等于第一个三角形的另一条边与第二个三角形的相应边的比。
3. 半角性质：如果两个三角形相似，它们的角的一半也相等。
4. 高线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的高线与底边之比等于相应边之比。
5. 中线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的中线与底边之比等于相应边之比。
这些性质对于判断和解决相似三角形的问题非常有用。
三、相似三角形的判定判定两个三角形是否相似有几个常用的方法，如下：1. AAA相似判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。
2. AA相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角分别对应两个角相等，则它们相似。
3. SSS相似判定：如果两个三角形的对应边成比例，则它们相似。
4. SAS相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的相邻边的比相等，则它们相似。
这些判定方法能够帮助我们快速确定两个三角形是否相似，从而解决相关问题。
四、相似三角形的实际应用相似三角形的概念和性质在几何学中有广泛的应用。
下面介绍一些实际应用的例子：1. 相似三角形的测量：通过测量一个三角形的边长和角度，可以利用相似三角形的性质计算出其他三角形的边长和角度。
2. 地图比例尺：地图上的比例尺是通过相似三角形的性质确定的。
通过观察地图上的两个相似三角形，可以计算出地图上的实际距离。
3. 光学测距：在实际测量中，通过利用相似三角形的性质可以测量较远距离的物体高度、距离等。
选修4-1 第一节 相似三角形的判定及有关性质
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[冲关锦囊] 1．相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定 理创造条件建立对应边或对应角的关系． 2．注意辅助线的添加，多数作平行线． 3．相似三角形的性质应用可通过考查与相似三角形相关 的元素来体现，如两个三角形的高、周长、角平分线、
中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等．
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[精析考题] [例 3] (2010· 陕西高考)如图，已知 Rt△ABC 的两条
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[冲关锦囊] 1．由射影定理可得三角形相似，可求相似比、三角形边 长等． 2．射影定理中有三个等式，根据题目需要恰当地进行选择．
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解析：设 AP＝x， AD AP (1)若△ADP∽△BPC，则 BP ＝BC， 3 x 即 ＝ ，所以 x2－6x＋9＝0，解得 x＝3. 6－x 3 3 AD AP (2)若△ADP∽△BCP，则BC ＝BP， 3 x 3 即 ＝ ，解得 x＝ ，所以符合条件的点 P 有两个． 2 3 3 6－x
[答案] 2
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012· 广州模拟)如图，在直角梯形 ABCD 中， 上底 AD＝ 3，下底 BC＝3 3，与两底垂直的 腰 AB＝6，在 AB 上选取一点 P，使△PAD 和 △PBC 相似，这样的点 P 有________个．
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又∵AD 平分∠BAC， BD BA 15 x ∴DC＝AC＝ ＝4，解得 x＝6. x＋4
答案：6
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[冲关锦囊] 利用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式应注意
(1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；
(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的 辅助线可能很多，要注意围绕待证式； (3)要注意“中间量”的运用与转化.
相似三角形的基本概念和性质
相似三角形的基本概念和性质相似三角形是几何学中的重要概念之一，它在解决实际问题和计算中有着广泛的应用。
了解相似三角形的基本概念和性质对于理解几何学的相关知识以及解决问题都有着重要的意义。
本文将介绍相似三角形的概念以及与之相关的一些性质，并着重讨论应用相似三角形进行尺度计算和几何分析的方法。
一、相似三角形的基本概念相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边比例相等的三角形。
具体来说，对于两个三角形ABC和DEF，如果有∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形就是相似的。
相似三角形有着相似的形状，但尺寸大小可能不同。
二、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角度相等：对应角度相等是相似三角形的基本性质，它说明了两个相似三角形具有相似的形状。
如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似的。
2. 相似三角形的对应边比例相等：对应边比例相等是相似三角形的另一个重要性质。
如果两个三角形的对应边比例相等，那么它们就是相似的。
这一性质可以用来计算相似三角形的边长比例。
3. 相似三角形的周长比例相等：对于相似三角形ABC和DEF，它们的边长比例为AB/DE = AC/DF = BC/EF，所以这两个三角形的周长比例也为AB+BC+AC/DE+EF+DF = AB/DE = AC/DF = BC/EF。
这个性质说明了相似三角形的周长比例是相等的，也就是说，相似三角形的边长比例与其周长比例相等。
4. 相似三角形的面积比例为边长比例的平方：如果两个相似三角形ABC和DEF之间的边长比例为k，那么它们的面积比例为k²。
这一性质可以用来计算相似三角形的面积比例。
三、相似三角形的应用相似三角形的性质在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 尺度计算：相似三角形的性质可以用来进行尺度计算。
例如，在地图上测量两个城市的距离时，可以利用相似三角形的性质来计算实际距离与地图比例尺之间的关系。
选修4-1相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于___ ____； 相似三角形周长的比等于__________；相似三角形面积的比等于______________； 问题1 两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于 ，外接圆的面积比等于2．（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．(4)若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------。
作业：1、如图1，在△ABC 中，中线BE 、CD 相交于点G ，则BC DE= ；S △GE D ：S △GBC = ；2、如图2，在△ABC 中， ∠B=∠AED ，AB=5，AD=3，CE=6，则AE= ；3、如图3，△ABC 中，M 是AB 的中点，N 在BC 上，BC=2AB ，∠BMN=∠C ，则△ ∽ △ ，相似比为 ，NC BN = ；A B C D E G 图1 A B C D E 图2 A B C M 图3 A B C D F 图4 G E4、两个相似三角形的周长分别为5cm 和16cm ，则它们的对应角的平分线的比为 ；5、如图4，在△ABC 中，BC=12cm ，点D 、F 是AB 的三等分点，点E 、G 是AC的三等分点，则DE+FG+BC= ；6、两个相似三角形相似比为3:2，面积之和为39cm ²，这两个三角形面积分别为 、7、如图，平行四边形ABCD 中，AE:EB=1:2, △AEF 的面积等于6cm 2，则△CDF 的面积等于_____;平行四边形ABCD 的面积等于________.8、如图，要测量树AB 的高，可以利用相似三角形的知识，请你设计几种测量方案，并说明没种方案的理由。
相似三角形知识点
相似三角形知识点
相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
相似三角形的性质：
相似三角形对应角相等，对应边成比例。
相似三角形周长的比等于相似比。
相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
相似三角形的判定方法：
两角对应相等，两三角形相似（AA）。
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）。
三边对应成比例，两三角形相似（SSS）。
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
位似图形：位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点。
数学4-1《几何证明选讲》知识点总结.
高中数学选修4-1《几何证明选讲》----知识点总结1、平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理2、平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线所得的对应线段成比例。
3、相似三角形的判定:定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似,需考虑6个元素,即三组对应角是否分别相等,三组对应边是否分别成比例,显然比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形:4、相似的简单方法:(1两角对应相等,两三角形相似;(2两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;(3三边对应成比例,两三角形相似。
5、预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线相交,所构成的三角形与三角形相似。
6、判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
简述为:两角对应相等,两三角形相似。
7、判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。
8、判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
简述为:三边对应成比例,两三角形相似。
9、引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
10、定理:(1如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似;(2如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似。
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《选修4-1 几何证明选讲》核心考点与典型例题
知识点5：相似三角形的性质
【相似三角形的性质】
性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比．
性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
常考题型：利用相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，或利用相似比求长度、面积．
方法详述：先证明两个三角形相似，再利用相似比求有关的长度，面积
例5 已知，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，点D 是垂足．求证：BC 2＝2CD ·AC .
证明：过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，
∴CE ＝BE ＝12
BC ，由BD ⊥AC ，AE ⊥BC . 又∴∠C ＝∠C ，∴△AEC ∽△BDC .
∴EC DC ＝AC BC ，∴12BC CD ＝AC BC
， 即BC 2＝2CD ·AC ．
高考试题精析 【2014·广东理】如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积
的面积AEF CDF . 图3F
E D C
B
A
答案：9
解析：由于四边形ABCD 为平行四边形，则//AB CD ，因此CDF ∆∽AEF ∆，
由于2EB AE =，所以1133AE AB CD =
=，因此3CD AE =，故2239CDF CD AEF AE ∆⎛⎫=== ⎪∆⎝⎭
的面积的面积.
【练习】
1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.
答案：4． 解析：因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AE AC ＝DE BC ，即35＝6BC
，所以BC ＝10.又DF ∥AC ，所以四边形DECF 是平行四边形，故BF ＝BC －FC ＝BC －DE ＝10－6＝4.
2．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且AD DB
＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．
解析：因为DE ∥BC ，因此ADE ABC ∆∆ ，由AD DB ＝2，所以23
AD AB =， 故22
2439
ADE AD ABC AB ∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝⎭的面积的面积，所以45ADE DBCE ∆=的面积四边形的面积. 3．在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线EF 与AD 交于点E ，与BC 的延长线交于点F ，若CF=4，BC=5，则DF=_____
．
B
答案：6．
解：连接FA ，如下图所示：∵EF 垂直平分AD ，∴FA=FD ，∠FAD=∠FDA ．
即∠FAC+∠CAD=∠B+∠BAD ．又∠CAD=∠BAD ．故∠FAC=∠B ；又∠AFC=∠BFA ． ∴△
ABF ∽△CAF ．
∴AF2=CF •BF=4•（4+5）=36，∴DF=AF=6，故答案为：6．。