瞬时速度与导数教学案例与设计
《3.1.2瞬时速度与导数》教学案1
《3.1.2瞬时速度与导数》教学案教学目标1.会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念.2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．3.大胆质疑，积极讨论，高效学习，勇于展示自己的观点与解法，以极度的热情投入到合作与学习中，体验学习的快乐.教学重、难点瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.教学过程一、课前准备1、求函数平均变化率的步骤：2、过曲线3()f x x =上两点(1,1),(1,1)p Q x y +∆+∆做曲线的割线，求当x ∆=0.1时割线的斜率.二、新知探究探究(一)瞬时速度：1. 已知物体作变速直线运动，其运动方程为s ＝s(t)(ｓ表示位移，t 表示时间)，求物体在t 0时刻的速度．问题1：如图设该物体在时刻t 0的位移是ｓ(t 0)＝OA 0，在时刻t 0 +Δt 的位移是s(t 0+Δt)=OA 1，则从t 0 到 t 0 +Δt 这段时间内，物体的位移是:_________________________.问题2：在时间段(t 0+△t)－t 0内，物体的平均速度为: _____________________________________.问题3：平均速度与瞬时速度分别反映了什么？1000()()s OA OA s t t s t ∆=-=+∆-t s t t t t s t t s v ∆∆=-∆+-∆+=0000__)()()(平均速度：反映了物体运动时的快慢程度，但要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度，就需要通过瞬时速度来反映.如果物体的运动规律是 s =s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在t 到 t +Δt 这段时间内，当 Δt →0 时平均速度.v tt s t t s →∆-∆+)()(，也就是位移对于时间的瞬时变化率. 2.瞬时速度的定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.另一个角度，瞬时速度是平均速度ts ∆∆当t ∆趋近于0时的 . 探究(二)导数的概念：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =附近有改变x ∆时，则函数)(x f y =相应地有改变)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy ∆∆(也叫函数的平均变化率)无限趋近于某个常数l ，我们把这个常数l 叫做函数)(x f y =在0x x →处的瞬时变化率.记作 ____________________________________ .还可以说，当0x ∆→时，函数平均变化率的极限值等于函数在x 0处瞬时变化率， 可记作 ，函数在x 0的瞬时变化率，通常就定义为f(x)在x=x 0处的导数，并记作：注意：○1“0x ∆→”的意义：x ∆与0的距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数，但始终0x ∆≠ .○2当0x ∆→时，存在一个常数与 00()()f x x f x x+∆-∆ 无限的接近. 2.导函数：称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，记作 .注：(1)如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导. (2)导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值.它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值.(3)求导函数时，只需将求导数式中的0x 换成x 就可，即)(/x f ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0 ⑷今后，如不特别说明求某一点的导数，求导数指得就是求导函数.3.由导数的定义可知，利用导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般步骤是： 第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-； 第二步：求平均变化率0()f x x y x x+∆∆=∆∆； 第三步：取极限得导数00()limx y f x x ∆→∆'=∆. 三、典型例题例 竖直向上弹射一个小球，小球的初速度为100m/s ，试求小球何时速度为0？ 解：小球的运动方程为h (t )=100t －12gt 2， 在t 附近的平均变化率为 22211[100()()][100]221100()2t t g t t t gt t t gt t t g t t +∆-+∆--∆∆-⋅⋅∆-∆=∆ =100－gt －12g △t . 当△t →0时，上式趋近于100－gt .可见t 时刻的瞬时速度h ’(t)=100－gt.令h ’(t )=100－gt =0，解得10010010.2()9.8=≈≈t s g 所以小球弹射后约10.2s 向上的速度变为0.变式1.物体作自由落体运动，运动方程为221gt S =，其中位移单位是m ，时间单位是s ，g =10m/s 2.求：(1) 物体在时间区间[2，2.1]上的平均速度；(2) 物体在时间区间[2，2.01]上的平均速度；(3) 物体在t =2(s)时的瞬时速度.2.求y=x2+2在点x=1处的导数.四、课堂小结反思。
布鲁纳认知发现学习理论教案瞬时速度与导数
布鲁纳认知发现学习理论教案瞬时速度与导数什么是瞬时速度在物理学中，速度指的是物体在单位时间内，沿着某一方向所移动的距离。
有时候，我们需要了解物体在某一特定时刻的速度，这就需要用到瞬时速度的概念。
瞬时速度是指物体在某一瞬间的具体速度，也可以称为瞬时变化率。
在数学上，瞬时速度可以用导数来表示。
什么是导数在数学中，导数是描述函数的变化率的概念。
它描述了函数在某一点的瞬时变化率，也就是斜率。
导数可以用来求函数的最大值和最小值，以及函数的变化率。
如果一个函数f(x)在某一点x0的导数存在，那么这个函数在这个点就是可导的。
具体地说，如果一个函数f(x)在x0处的导数存在，那么它的导数可以通过以下式子表示：$f'(x_{0})=\\lim _{h\\to 0}{\\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$换句话说，导数是函数在某一点的瞬时变化率。
如何计算瞬时速度的导数接下来我们来看一个实例，了解如何计算瞬时速度的导数。
假设有一个物体，它离地面上方25米的地方开始下落。
在任意时刻，这个物体到地面的距离y可以由以下公式表示：y=25−4.9t2其中t表示时间。
现在我们要求这个物体在t=2秒时的瞬时速度。
根据定义，我们可以得出物体在t=2秒时的瞬时速度公式：$v(t=2)=\\lim _{\\Delta t\\to 0}{\\frac {y(2+\\Delta t)-y(2)}{\\Delta t}}$将公式代入我们得到：$v(t=2)=\\lim _{\\Delta t\\to 0}{\\frac {(25-4.9\\cdot(2+\\Delta t)^{2})-(25-4.9\\cdot2^{2})}{\\Delta t}}$简化后可得：$v(t=2)=\\lim _{\\Delta t\\to 0}{\\frac {(-19.6\\cdot \\Delta t-4.9\\cdot\\Delta t^{2})}{\\Delta t}}$$v(t=2)=\\lim _{\\Delta t\\to 0}{-19.6-4.9\\cdot \\Delta t}$因为$\\Delta t$非常小，我们可以把$\\Delta t$忽略不计，最终得到：v(t=2)=−19.6可以看到，在t=2秒时，这个物体的瞬时速度为-19.6米/秒（向下）。
人教版高中选修(B版)1-13.1.2瞬时速度与导数课程设计
人教版高中选修(B版)1-13.1.2瞬时速度与导数课程设计课程目标本课程旨在使学生：1.掌握瞬时速度的概念，并能够将其应用于实际问题中；2.了解导数的概念及其与瞬时速度的关联，进而能够求解一些简单的导数；3.提高数学思维及解决实际问题的能力。
教学内容1.瞬时速度的概念与意义；2.限速牌与瞬时速度的关系；3.导数的概念与求导法则；4.利用导数求解瞬时速度等实际问题。
教学步骤本课程分为三个部分：瞬时速度，导数课程设计，实际应用。
部分一：瞬时速度步骤一：引入在学生已经掌握速度的概念基础上，以限速牌为例，引出瞬时速度的概念。
步骤二：定义通过图像和数学语言对瞬时速度的概念进行定义，并引入切线概念。
步骤三：练习在学生理解后，发放一些练习题，帮助学生巩固瞬时速度的概念。
部分二：导数课程设计步骤一：引入在学生已经掌握切线概念基础上，引出导数的概念。
步骤二：定义通过数学语言和图形展示，对导数概念进行定义，并引入一阶导数和高阶导数的概念。
步骤三：练习发放一些练习题，帮助学生巩固求导法则和导数的基本概念。
部分三：实际应用步骤一：引入在学生已经掌握求导法则和导数的基础上，引出实际应用问题。
步骤二：解题方法引导学生逐步解决实际问题，如求解瞬时速度、求解极值等问题。
步骤三：练习提供多种类型的实际应用题目，帮助学生巩固和拓展相应的知识点。
教学评估本课程主要以平时表现、作业、测试形式进行综合评估。
其中，平时表现包括课堂表现、参与讨论和课后作业；作业包括课后作业和课堂练习；测试主要为考察学生对知识点的掌握程度。
实施建议为了提高本课程的效果，建议教师在课程实施中，注意以下几点：1.认真备课，拓宽课程知识面；2.注重课堂互动，提高学生学习积极性；3.合理布置作业，加强巩固；4.适当拓展应用场景，提高学生实际解决问题的能力。
总结瞬时速度与导数课程设计旨在让学生掌握瞬时速度的概念，并且能够知道如何求解一些常用的导数操作。
在实际应用中，学生将能够应用导数和瞬时速度的知识解决实际问题。
3.1.2瞬时速度与导数Microsoft Word 文档
3.1.2瞬时速度与导数（学案）一、学习目标：1、掌握函数的瞬时变化率、导数的概念；2、分析瞬时变化率与平均变化率的关系，体会数学的极限思想。
二、课前展示：1、函数()x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率为比值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、求322+-=x x y 在2到49之间的平均变化率。
三、新课探究：1、物体作匀速直线运动，速度是＿＿＿与＿＿＿的比，即=v ＿＿＿＿；2、物体作变速直线运动，路程与时间的关系是()t f s =，从0t 到t t ∆+0这段时间内，物体运动的平均速度是=0v ＿＿＿＿＿＿＿＿=＿＿＿＿，可见平均速度就是()t f 在0t 到t t ∆+0之间的＿＿＿＿＿＿； 3、设在10米跳台上，运动员跳离跳台时垂直向上的速度为s m 5.6，运动员在时刻t 距离水面的高度()t t t h 5.69.4102+-=，求运动员在2s 到2.1s 的平均速度。
阅读教材79页表格，观察对于不同的时间改变量t ∆，运动员在2s 到s t )2(∆+的平均速度有怎样的趋势？结论：t ∆越小，平均速度越＿＿＿＿＿＿＿＿，这个常数可视为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
4、函数瞬时变化率的概念：设函数()x f y =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值相应地改变=∆y ＿＿＿＿＿＿＿＿＿，如果当x ∆趋近于0时，平均变化率＿＿＿＿＿＿＿＿趋近于＿＿＿＿＿＿＿＿，则＿＿＿称为函数()x f y =在点0x 的＿＿＿＿＿＿＿＿；记作：当x ∆→0时，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，还可以说：当x ∆→0时，函数平均变化率的＿＿＿等于函数在0x 的＿＿＿＿＿＿＿＿，记作：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
5、函数的导数的概念：函数()x f y =在0x 的＿＿＿＿＿＿＿，定义为函数在＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，记作：＿＿＿＿＿＿或＿＿＿＿＿＿，即＿＿＿＿＿＿＿＿=＿＿＿＿如果函数()x f y =在开区间（a,b ）内每一点x 导数都存在，则称()x f y =＿＿＿＿＿＿。
布鲁纳认知发现学习理论教案瞬时速度与导数
布鲁纳认知发现学习理论教案瞬时速度与导数1. 引言在数学领域中，瞬时速度和导数是非常重要的概念。
瞬时速度描述了物体在某一时刻的瞬间速度，而导数则描述了函数在某一点的变化率。
本教案将介绍布鲁纳认知发现学习理论教学法来教授瞬时速度和导数的概念。
2. 布鲁纳认知发现学习理论概述布鲁纳认知发现学习理论是由美国教育心理学家杰罗姆·布鲁纳于1966年提出的。
该理论强调学生通过自主探究和发现来构建知识，而不是被动地接受教师的知识传授。
根据布鲁纳认知发现学习理论，教师的角色是引导学生进行探究，并激发他们的思考和发现能力。
这种教学方法有助于学生主动地参与学习过程，培养他们的批判性思维和问题解决能力。
3. 瞬时速度的概念在物理学中，瞬时速度是指物体在某一时刻的瞬间速度。
它可以通过计算物体在极短时间间隔内所移动的距离和时间来确定。
瞬时速度的计算可以使用微分的概念，即将时间间隔无限缩小，使得时间间隔趋近于零。
通过布鲁纳认知发现学习理论的方法，可以引导学生通过观察物体在不同时间点的位置并计算距离的变化量来理解瞬时速度的概念。
通过实际的测量和计算过程，学生可以逐渐掌握瞬时速度的定义和计算方法。
4. 导数的概念导数是描述函数变化率的概念。
对于一个函数而言，导数描述了函数在某一点的变化速率和曲线的切线斜率。
导数的计算可以通过极限的概念来进行，即将点与其周围的点之间的间隔无限缩小，使得间隔趋近于零。
通过布鲁纳认知发现学习理论的方法，可以引导学生通过观察函数在不同点的斜率来理解导数的概念。
通过计算斜率的变化量并逐渐缩小间隔，学生可以逐步掌握导数的定义和计算方法。
5. 布鲁纳认知发现学习理论教学方法基于布鲁纳认知发现学习理论，以下是一种教学方法，用于教授瞬时速度与导数的概念。
步骤1：引入问题和观察材料首先，引入一个实际的问题，例如描述一个人在不同时间点的位置。
然后，提供观察材料，如位置-时间图表或者位置函数的图像。
步骤2：学生观察和探究让学生观察图表或图像，并提出问题，例如在某个时间点的瞬时速度是多少？或者在某一点的导数是多少？步骤3：引导学生讨论和发现引导学生进行讨论，并激发他们的思考。
高一物理上册《瞬时速度》教案、教学设计
-建立学习互助小组，促进学生之间的交流与帮助，共同克服学习中的困难。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将通过以下方式激发学生的学习兴趣和思考：
1.生活实例引入：向学生展示一段运动员百米冲刺的视频，引导学生观察运动员在起跑、中途和冲刺阶段的速度变化，并提出问题：“运动员在哪个时刻速度最快？如何准确测量这一时刻的速度？”
（二）过程与方法
1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论的方式主动探究瞬时速度的概念，培养学生自主学习的能力。
2.通过对瞬时速度求解过程的演示和讲解，让学生掌握微积分在物理中的应用，提高学生的数学建模能力。
3.设计丰富的课堂练习，让学生在实践中掌握瞬时速度的计算方法，培养学生解决实际问题的能力。
例如：一辆汽车从静止开始加速，经过一段时间后速度达到30km/h，求汽车在达到该速度瞬间的瞬时加速度。
3.探究性作业：鼓励学生结合课堂所学，自主设计实验或观察，探究某一运动物体的瞬时速度变化规律。要求学生撰写实验报告，包括实验目的、原理、过程、结果和分析等。
4.小组合作课题：布置具有一定难度的课题，要求学生以小组为单位共同完成。课题涉及瞬时速度在实际工程、科研等领域的应用，培养学生的团队协作能力和创新思维。
-在讲解瞬时速度的求解方法时，循序渐进，从直观的几何意义到数学表达式的推导，逐步提升学生的理解能力。
3.教学活动：
-开展课堂实验，如使用小车和计时器测量不同时刻的速度，让学生直观感受瞬时速度的变化。
-设计课堂练习，包括基本概念的选择题和实际问题分析题，巩固学生对瞬时速度的理解。
-安排课后探究任务，如让学生观察并分析日常生活中的瞬时速度现象，提高学生理论联系实际的能力。
瞬时速度与导数教案
t tt t ∆--=∆∆-∆-=9.41.139.41.132（2）求出当0001.0,001.0,01.0,1.0=∆t ，… 时质点的平均速度； 求出当0001.0,001.0,01.0,1.0----=∆t ，… 时质点的平均速度；时间区间 ([]t ∆+2,2) 时间间隔（0>∆t ）平均速度（v ） []1.2,2[]01.2,2[]001.2,29[]0001.2,2 1 49 []00001.2,201 049 ………………时间区间 ([]2,2t ∆+) 时间间隔（0<∆t ）平均速度（v ）[]2,9.1 []2,99.1[]2,999.1 1 []2,9999.1 51 []2,99999.1951 ………………观察平均速度v 随t ∆的变化趋势问题2 当t ∆的绝对值无限趋近于零时，平均速度会无限趋近于一个确定的值，我们能用解析式表示这种变化趋势吗 引入极限符号 观察数列1，21，31，……，n1，……当n 无限变大时，n1会无限趋近于0。
我们用极限符号01lim =∞→n n 表示。
练习1.=+∞→)31(lim nn 设函数12)(+=x x f 当x 无限趋近于1时，)(x f 的变化趋势是什么 用极限符号表示3)12(lim 1=+→x x练习2.=∆--→∆)9.41.13(lim 0t t问题3 由平均速度的变化趋势，我们能求出运动员在t=2时的瞬时速度吗 平均速度可以作为时刻t=2时的瞬时速度的近似值 近似值的精确度与什么有关 当t ∆无限接近于0时平均速度v 的变化趋势是什么④现在可以求出运动员在t=2时的瞬时速度构建导数概念问题1 从函数的变化率的角度看问题，平均速都是函数的平均变化率，那瞬时速度应该是什么呢问题2 你能给出函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率的定义吗 一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000问题3 除瞬时速度外，很多科学问题和其他问题也可以用函数的瞬时变化率来表示。
学案5：1.1.2 瞬时速度与导数
1.1.2 瞬时速度与导数学习目标：1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．2．了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数．3．掌握函数在一点处导数的定义．学习过程：探究学习：1．瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即()()000lim x f x x f x x∆→+∆-∆＝0lim x y x ∆→∆∆. 物理意义是把位移s 看成时间t 的函数s ＝s (t )在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即v ＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1. 2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是0lim x y x ∆→∆∆＝()()000lim x f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0x x y ='， 即f ′(x 0)＝0lim x y x ∆→∆∆＝()()000lim x f x x f x x∆→+∆-∆. 注意：(1)某点导数的概念包含两层含义： ①0lim x y x∆→∆∆存在(惟一确定的值)，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导， ②若0lim x y x∆→∆∆不存在，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0处不可导． (2)位移函数在某一时刻的瞬时变化率(导数)叫瞬时速度， 即v ＝0lim x ∆→Δs Δt ＝0lim x ∆→s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt . (3)f ′(x 0)＝0lim x ∆→ f (x )－f (x 0)x －x 0与定义中的f ′(x 0)意义本质相同. 例题探究：例1：一质点按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．例2：已知某物体按照s (t )＝3t 2＋t ＋4(t 的单位：s ，s 的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4 s 附近的平均速度．例3：求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数．课堂检测：1.设函数f (x )可导，则limΔx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于 ( )． A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)2．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．3．某物体作匀速运动，其运动方程是s ＝vt ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．4．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度．5．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值．课堂小结：规律方法 求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的步骤是：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； (3)取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim x ∆→Δy Δx .参考答案例题探究：例1：解：∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a Δt 2，∴Δs Δt＝4a ＋a Δt . 在t ＝2 s 时，瞬时速度为0lim x ∆→Δs Δt ＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2. 例2：解：v ＝Δs Δt ＝s (4＋Δt )－s (4)Δt＝3(4＋Δt )2＋(4＋Δt )＋4－(3×42＋4＋4)Δt＝(25＋3Δt )m/s ，即该物体在4 s 附近的平均速度为(25＋3Δt )m/s.例3：解：因为Δy ＝[(x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b ]－(x 2＋ax ＋b ) ＝2x ·Δx ＋(Δx )2＋a ·Δx＝(2x ＋a )·Δx ＋(Δx )2，故Δy Δx ＝(2x ＋a )·Δx ＋(Δx )2Δx＝(2x ＋a )＋Δx ， lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a ， 所以y ′＝2x ＋a .课堂检测：1.【解析】根据导数的定义： lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝f ′(1)， lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13f ′(1)． 【答案】C2．【解析】v 初＝s ′|t ＝0＝ 0limt ∆→s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝0lim t ∆→(3－Δt )＝3. 【答案】33．【解析】v 0＝0limt ∆→Δs Δt ＝0lim t ∆→s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝0lim t ∆→v (t 0＋Δt )－v t 0Δt ＝0lim t ∆→v ·Δt Δt＝v .【答案】相等4．解：运动方程为s ＝12at 2. ∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， ∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ， ∴0lim t ∆→ Δs Δt＝at 0. 由题意知a ＝5×105，t 0＝1.6×10－3，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.5．解：由导数的定义知，f ′(x )＝lim Δx →0Δf Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0Δg Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2. ∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2.即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.。
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瞬时速度与导数教学案例与设计
临朐一中 胡廷国
【教学目标】
1. 知识与技能：通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；
2. 过程与方法：通过动手计算，培养学生的观察、分析、比较和归纳的意识与能力；通过问题探究，体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思维方法；
3. 情感目标：用运动的观点体会导数的内涵，激发学生学习数学的兴趣.
【教学重点】
导数的概念、求函数在某一点处的导数
【教学难点】
从物理（实例）中归纳、概括函数瞬时变化率的定量分析过程，以及函数在开区间内的导函数的理解.
【教学过程】
一、知识回顾、自主学习
1. 函数的平均变化率的概念.
2. 求函数2y x =在区间[1, 1]x +∆的平均变化率.
3. 计算下表中某运动员在2s~2.1s 关于时间间隔的平均速度，并思考题后的问题：
观察此表，当时间间隔取一系列越来越小值时，平均速度如何变化？有何特点？
设计意图：学生通过自学，回顾函数平均变化率的概念；通过对平均速度的计算，初步了解研究瞬时速度的必要性.
二、合作探究
1. 用多媒体展示“自主学习”中问题2、问题3的计算结果，合作学习小组自由发言对问题3思考题的看法. 从这里可以看出，当时间间隔取一系列越来越小值，即当t ∆趋向于零时，平均速度趋近于20，从物理角度讲这个值就是运动员在时刻0t 的瞬时速度，引出瞬时速度的概念.
2. 尝试解题
（1）物体作自由落体运动的方程为21()2
S t gt =，其中位移单位为m ，时间单位为s ，10/g m s =. 求物体在[2, 2]t +∆这段时间里的平均速度及在2s 的瞬时速度.
（2）一正方形铁板在0C 时边长为2cm ，加热后铁板膨胀. 当温度为t C 时，边长变为
2(1)t +cm. 写出铁板面积S 与时间t 的关系式，并求铁板面积S 在温度0[, ]t t t C +∆时的平均膨胀率及在t C 时的瞬时膨胀率.
分别从两个学习小组中选一名同学板演，板演完毕，请其他小组的同学进行评价或改错，并针对出现的问题或错误进行修改. 引导学生总结求瞬时变化率的方法和步骤.
设计意图：使学生进一步理解瞬时变化率的含义及求法，明确平均速度用来刻画某一时间段内的平均速度，瞬时变化率用来刻画每一时刻的速度变化.
三、概念形成
思考：如果将上述例子中的函数用()f x 表示，那么函数()f x 在0x 处的瞬时变化率又如何表示？
（一）函数()f x 在0x 处的瞬时变化率：
函数()f x 在0x 处的导数：（给出导数的定义）
思考：在导数的定义中，对自变量0x 有什么要求？x ∆、y ∆分别是什么样的实数？函数()f x 在0x 处的函数值与该点处的导数是否有关？函数的平均变化率、瞬时变化率、导数三者之间是何关系？
练习：
1. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，位移为s ∆，则0lim
t s t ∆→∆∆等于 A. 从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度
B. 在时刻t 时，物体的瞬时速度
C. 当时间为t ∆时，物体的速度
D. 当时间为t t +∆时，物体的速度
2. 质点运动规律为2()3s t t =+，求质点在3t =的瞬时速度.
3. 已知函数2()1f x x x =-+，求(1)f '.
设计意图：使学生再次经历引出导数概念的过程，通过解题进一步加深对平均变化率、瞬时变化率、导数概念的理解，并总结利用导数定义求()f x 在点0x 处导数的步骤.
（二）导函数的概念
定义：
思考：()f x '与0()f x '的关系.
练习：已知函数()32f x x =+，求()f x '、(1)f '.
例题 火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到100m/s ，火箭的运动方程为
21()1002
h t t gt =-（其中重力加速度210/g m s =），试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？
设计意图：巩固求函数导数的方法，初步理解导数的实际意义和应用.
自我小结：
1. 本节课学了哪些新知识？（重点是概念）
2. 在学习过程中使用了哪些数学思想或方法？
【当堂检测】
1. 已知函数()f x 在1x =处可导，且(1)1f '=，则0(1)(1)lim
x f x f x
∆→+∆-∆等于 . 2. 已知函数2()21f x x x =+-.
求：（1）()f x 的导数；（2）()f x 在1x =的导数.
【课后作业】（略）。