初三数学解直角三角形的总复习华东师大版知识精讲.doc
华东师大初中数学九年级上册《解直角三角形》全章复习与巩固(基础) 知识讲解(精选)
《解直角三角形》全章复习与巩固（基础） 知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA 、cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的三角函数值，并能由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；5.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、直角三角形的性质（1） 直角三角形的两个锐角互余.（2） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.（3） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点二、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt △ABC 中，∠C=900，如果锐角A 确定：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边∠A 的邻边(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cotA ＝ ∠A 的邻边∠A 的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个整体符号，即表示∠A 四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin ·A ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin ∠BAC ，而不能写出sinBAC.(3)sin 2A 表示(sinA)2，而不能写成sinA 2. (4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数. 要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA 、tanA 、cotA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA 、cosA 、tanA 、cotA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围是0°＜∠A ＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0，cotA ＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB, cotA=tanB.同角三角函数关系：sin 2A ＋cos 2A=1；sin cos 1tanA=,cot ,tan .cos sin cot A A A A A A A==在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.30°、45°、60°角的三角函数值和解含30°、60°角的直角三角形、含45°角的直角三角形为本章的重中之重，是几何计算题的基本工具.要点三、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即sin ,cos ,tan ,cot a bab A A A Ac c b a ==== sin ,cos ,tan ,cot b aba B B B B c c a b==== 要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．求∠，要点四、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见的应用问题类型(1) 仰角与俯角：(2)坡度：；坡角:.(3)方向角：要点诠释：1．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．2．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
九年级数学上册24解直角三角形锐角三角函数讲义华东师大版
锐角三角函数重难点易错点解析题面：已知：如图,Rt△ABC中,∠C＝90°．D是AC边上一点,DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sin B、cos B、tan B．金题精讲题面：已知：如图,△ABC中,∠B＝30°,P为AB边上一点,PD⊥BC于D．当BP∶PA＝2∶1时, 求sin∠1、cos∠1、tan∠1.满分冲刺题一题面：已知：如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,∠BAC＝30°,延长CA至D点,使AD＝AB．求：(1)∠D及∠DBC；(2)tan D及tan∠DBC；(3)请用类似的方法,求°．题二1.题面：已知：如图,∠AOB ＝90°,AO ＝OB ,C 、D 是AB 上的两点,∠AOD ＞∠AOC ,求证：(1)0＜sin∠AOC ＜sin∠AOD ＜1；(2)1＞cos∠AOC ＞cos∠AOD ＞0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．2.题面：已知：如图,CA ⊥AO ,E 、F 是AC 上的两点,∠AOF ＞∠AOE ．(1)求证：tan∠AOF ＞tan∠AOE ；(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______．题三化简：ααcos sin 21⋅-(其中0°＜α＜90°)讲义参考答案重难点易错点解析答案：255sin tan 2.55B B B === 金题精讲答案：.31tan ,211cos ,231sin =∠=∠=∠ 满分冲刺题一答案：(1)∠D ＝15°,∠DBC ＝75°； (2);32tan ,32tan +=∠-=DBC D (3).125.22tan -=题二答案：1.(1)略 (2)略 (3)增大 (4)减小2.(1)略 (2)增大．题三答案：sin cos (4590),cos sin (045).αααααα⎧-≤<⎨-<<⎩。
数学：第25章解直角三角形复习课件(华东师大版九年级上)
1.如图4，在矩形ABCD中 DE ⊥ AC 于 E ， 设 3 ∠ADE=a， 且cosα = 5 ， AB=4，则AD的长为（
A．3
16 B． 3
B
）
16 D. 5
20 C. 3
2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标 如图5所示，它是由四个相同的直角三角形与中 间的小正方形拼成的一个大正方形．• 若大正方形 的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形 的较长直角边为a，较短直角边为b， 则a+b的值为（ B ） A．35 B．43 C．89 D．97
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3.如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向，距 离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9 海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P• 出发，• 沿南偏东60°方向，以18海里/时的速度驶离港 口，现两船同时出发， （1）出发后几小时两船与港口P的距离相等？ （2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？ （结果精确到0.1小时） （参考数据： ≈1.41 2 ， ≈1.73 ） 3
，
PC 3 3 3 3 , PC = ， 即 3 PC 2 3
PC>3． ∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险．
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2.如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角 为60°，铁塔底部B的仰角为45°．已知塔高 AB=20m，观察点E到地面的距离EF=35m，求 小山BD的高（精确到0.1m， 3 ≈1.732）．
CD AB
5. 如图3所示，AB是⊙O的直
径，弦AC、BD相交于E，则
A．tan∠AED C．sin∠AED
．
初三数学 第25章 解直角三角形复习知识精讲 华东师大版
初三数学第25章解直角三角形复习知识精讲华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第25章解直角三角形复习二. 重点、难点：1. 重点：（1）探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系．掌握三角函数定义式：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，cotA＝ba．（2）掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并会进行有关特殊角的三角函数值的计算．（3）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，•由已知三角函数值求它对应的锐角．2. 难点：（1）通过探索直角三角形边与边、角与角、边与角之间的关系，领悟事物之间互相联系的辩证关系．（2）能够运用三角函数解决与直角形有关的简单的实际问题．（3）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题，提高数学建模能力．三. 知识梳理：1. 锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，cotA＝ba．锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2. 特殊角的三角函数值αsinαcosαtanαcotα30º123233345º22221 160º3212333由表可知：直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．3. 锐角三角函数的性质（1）0＜sinα＜1，0＜cosα＜1（0°＜α＜90°）（2）tanα·cotα＝1或tanα＝1cotα；（3）tanα＝sincosαα，cotα＝cossinαα．（4）sinα＝cos（90°－α），tanα＝cot（90°－α）．4. 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形．解直角三角形的常见类型有：我们规定：Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．①已知两边，求另一边和两个锐角；②已知一条边和一个角，求另一个角和其他两边．5. 解直角三角形的应用（1）相关术语铅垂线：重力线方向的直线．水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，•地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线．仰角：向上看时，视线与水平线的夹角．俯角：向下看时，视线与水平线的夹角．坡角：坡面与水平面的夹角．坡度：坡的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度（坡比）．一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示水平宽度，用i表示坡度，即：i＝hl＝tanα．方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．如图：（2）应用解直角三角形来解决实际问题时，要注意：①计算结果的精确度要求，一般说来中间量要多取一位有效数字．②在题目中求未知时，应尽量选用直接由已知求未知．③遇到非直角三角形时，常常要作辅助线才能应用解直角三角形知识来解答．其方法可以归纳为：已知斜边用正弦或余弦，已知直角边用正切和余切，•能够使用乘法计算的要尽量选用乘法，尽量直接选用已知条件进行计算．注：解直角三角形在现实生活中有广泛的应用，它经常涉及到测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些术语，一定要根据题意明白其术语的含义才能正确解题．【典型例题】例1. 已知tanα＝34，求sin cossin cosαααα+-的值．分析：利用数形结合思想，将已知条件tanα＝34用图形表示．解：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，设BC＝3k，AC＝4k，则AB22AC BC+22(4)(3)k k+5k．∴sinα＝BCAB＝35kk＝35cosα＝4455AC kAB k==，∴原式＝34553455+-＝－7．例2. 计算．（12sin45°－12cos60°；（2）cos245°+tan60°cos30°；（3）sin45sin30 cos45sin30︒-︒︒+︒；（4212sin30sin30 -︒+︒分析：这里考查的是同学们对特殊角的三角函数值的识记情况和关于根式的计算能力．处理办法是能够化简的要先化简后代入计算，不能化简的直接代入计算．解：（1sin45°－12cos60×2－12×12＝34；（2）cos245°+tan60°cos30°＝（）2＝2．（3）sin45sin30cos45sin30︒-︒︒+︒＝122＝3－；（41－sin30º＝1－12＝12．点拨：像上面第3题分子分母要分别处理，第4•题要特别注意先化简再代入计算．例3. 已知tanα＝34，求sin cossin cosαααα+-的值．分析：可将所求式子的分子、分母都除以cosα，转化为含有sincosαα的式子，•再利用tanα＝sincosαα进行转化求解．解：将式子sin cossin cosαααα+-的分子、分母都除以cosα，得原式＝31tan143tan114αα++=--＝－7规律总结：因为tanα＝34所以α不等于90°，所以cosα≠0，因此分子分母可以同时除以cosα．实现转化的目的．例4. 等腰三角形的底边长为6cm，周长为14cm，试求底角的余切值．分析：这是一个在非直角三角形中求锐角的三角函数值的题目，根据三角函数的定义，要先恰当的作辅助线（垂线）构成直角来解决．这个题涉及到等腰三角形，•作底边上的高是解决问题常见办法．解：如图所示，作等腰三角形ABC，BC为底边，AD⊥BC于D．B AC D∵△ABC 的周长为14，底边BC ＝6，∴腰长AB ＝AC ＝4． 又∵AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝3．在直角三角形ABD 中，∠ADB ＝90°，AD ＝22AB BD -＝2243-＝7cot ∠B ＝37BD AD=＝377． 答：等腰三角形底角的余切值是377．点拨：计算一个锐角的三角函数值，应在直角三角形中来考虑，如果题中没有直角三角形，那么就要通过作辅助线来构造直角三角形．例5. Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，•根据下列条件解直角三角形．（1）a ＝4，c ＝10； （2）b ＝2，∠A ＝40°； （3）c ＝3，∠B ＝58°． 分析：（1）题是已知两边解直角三角形；（2）、（3）是已知一边和一角解直角三角形．解：（1）b ＝22c a -＝22104-＝221， 由sinA ＝410a c =＝0.4，∠A ≈°，∠B ＝90°－∠A ＝90°°°．（2）∠B ＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°，由tanA ＝ab ，得a ＝b ·tanA ＝2×tan40°≈2×≈1.678，由cosA ＝b c，得c ＝22cos cos 400.7660b A =≈︒≈2.611． （3）∠A ＝90°－∠B ＝90°－58°＝32°， 由sinB ＝bc ，得b ＝c ·sinB ＝3·sin58°≈3×≈2.544， 由cosB ＝ac，得a ＝c ·cosB ＝3×cos58°≈3×≈1.590．点拨：在选择三角函数时，一般使用乘法进行计算，能够用三角函数求其中的未知边的问题，一般不使用勾股定理求边．例6. 如图，一艘轮船从离A 观察站的正北203海里处的B 港处向正西航行，观察站第一次测得该船在A 地北偏西30°的C 处，一个半小时后，又测得该船在A•地的北偏西︒60的D 处，求此船的速度．分析：根据速度等于路程除以时间，必须求到DC 的长，观察图形，DC ＝DB －CB ，•而BD在Rt △ABD 中可求，BC 在Rt △ABC 中可求．解：在Rt △ABC 中，BC ＝AB ×tan30°＝203×33＝20（海里）． 在Rt △ABD 中，BD ＝AB ×tan60°＝203×3＝60（海里）．所以DC ＝DB －CB ＝60－20＝40（海里）．船的速度是：40÷1.5＝2623（海里）．答：船的速度是2623海里．点拨：凡涉及方向角的问题，一定要确定中心，如上题中的方向角就是以A•为中心的．例7. 如图所示，河对岸有一座铁塔AB ，若在河这边C 、D•处分别用测角仪器测得塔顶A 的仰角为30°，45°，已知CD ＝30米，求铁塔的高．（结果保留根号）分析：设塔高为x 米，根据条件∠ADB ＝45°，可得BD ＝AB ＝x 米，在直角三角形ABC 中，根据∠C ＝30°，即tanC ＝ABBC 可求．解：设AB ＝x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，∴AB ＝BD ＝x ．在Rt △ABC 中，∠C ＝30°，且BC ＝CD+BD ＝30+x ，tanC ＝ABBC 所以tan30°＝30x x +，即33＝30xx +，x ＝（153+15）（米）．答：塔高AB 为153+15米．例8. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A 、B 两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A 、B•两地之间修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB ），经测量，在A 地的北偏东60°方向，B 地的西偏北45°的C 处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？分析：过C 作AB 的垂线段CM ，把AM 、BM 用含x 3x ，x 表示，利用AM+MB ＝23＝2，解出CM 的长与0.7千米进行比较，本题要体会设出CM 的长，列方程解题的思想方法．解：作CM ⊥AB ，垂足为M ，设CM 为x 千米，在Rt △MCB 中，∠MCB ＝∠MBC ＝45°，则MB ＝CM ＝x 千米． 在Rt △AMC 中，∠CAM ＝30°，∠ACM ＝60°tan ∠ACM ＝AMCM∴AM ＝CM ·tan60°＝3x 千米 ∵AM+BM ＝2千米 ∴3x+x ＝2∴x ＝3－1 ≈ ∴∴这条公路不会穿过公园．例9. 如图是一个大坝的横断面，它是一个梯形ABCD ，其中坝顶AB ＝3米，经测量背水坡AD ＝20米，坝高10米，迎水坡BC 的坡度i ＝1：0.6，求迎水坡BC 的坡角∠C 和坝底宽CD ．分析：分析这一个关于梯形的计算题，要用解直角三角形的知识来解决，•一般过上底顶点作下底的垂线就能够利用直角三角形知识来解决． 解：过A 、B 作AE ⊥CD 、BF ⊥CD ，垂足是E 、F ，根据题意有AE ＝BF ＝10，四边形ABFE 是矩形，EF ＝AB ＝3．在Rt △ADE 中，DE 22AD AE -222010-3（米），在Rt △BCF 中，10.6BF CF =××10＝6（米）所以CD ＝CF+EF+DE ＝3+3+6＝（3（米）．又在Rt △BCF 中，cot ∠C ＝0.6，所以∠C ≈59°．例10. 如图，如果△ABC 中∠C 是锐角，BC ＝a ，AC ＝b ．证明：C ab S ABC sin 21=∆问题图 D CB A证明：过A 作AD ⊥BC 于D ，则△ADC 是直角三角形，∴AC ADC =sin ， ∴C b C AC AD sin sin =⋅=，又∵ADBC S ABC ⋅=∆21，∴CabSABCsin21=∆．评注：本题的结论反映出三角形的两边及其夹角与这个三角形的面积之间的关系．同理还可推出：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21===∆（三角形面积公式）【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为（）．A. 10tan50°B. 10cos50°C. 10sin50°D.10 cos50︒2. AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，如果AE：CF＝3：2，则sinA：sinC等于（）．A. 3：2B. 2：3C. 9：4D. 4：93. 如图，为了确定一条小河的宽度BC，可在点C左侧的岸边选择一点A，•使得AC⊥BC，若测得AC＝a，∠CAB＝θ，则BC的值为（）．A. asinθB. acosθC. atanθD. acotθ4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中正确的是（）．A. sinA＝sinBB. tanA＝tanBC. sinA＝cosBD. cosA＝cosB5. 已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，•则此等腰梯形的周长为（）．A. 19B. 20C. 21D. 226. 如图，秋千拉绳OB的长为3m，静止时踏板到地面的距离BE长为0.6m（•踏板的厚度忽略不计）．小亮荡秋千时，当秋千拉绳从OB运动到OA时，拉绳OA•与铅垂线OE的夹角为55°，请你计算此时秋千踏板离地面的高度AD是多少米．（精确到0.1m）7. 如图，武当山风景管理区为提高游客到景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5m（BC•所在地面为水平面）．（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01m）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01m）8. 如图，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，•要在小山的另一边同时施工，从AC上一点B取∠ABD＝135°，BD＝520m，∠D＝45°．如果要使A，C，E成一条直线，•那么开挖点E离D的距离约为多少米?（精确到1m）9. 如图，某校九年级（3）班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动，部分同学在山脚的点A处测处山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180m，•另一部分同学在小山顶点B处测得山脚A的俯角为45°，山腰点D处的俯角为60°，•请你帮助他们计算小山的高度BC（计算过程和结果都不取近似值）．10. 如图，汪老师要装修自己带阁楼的新居，•在搭建客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上升时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m，他量得客厅高AB＝2.8m，楼梯洞口宽AF＝2m，阁楼阳台宽EF＝3m，请你帮助汪老师解决下列问题，•要使墙角F 到楼梯的竖直距离FG为1.75m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？【试题答案】1. B 点拨：直接利用三角函数关系求解．2. B3. C 点拨：根据图形找出对角关系．4. C 点拨：在锐角三角函数中，对于任意锐角的正弦值都等于它余角的余弦值．5. D6. 在Rt△AFO中，∠AFO＝90°，∴cos∠AOF＝OF OA，∴OF＝OA·cos∠AOF．又∵OA＝OB＝3m，∠AOF＝55°，∴OF＝3·cos55°≈1.72m，∴≈1.9m．∴AD＝EF＝1.9m．7. 如图．（1）在Rt△ABC中，AC＝AB×sin44°＝5sin44°≈3.473m．在Rt△ACD中，AD＝3.473sin32sin32AC=︒︒≈6.554m，∴AD－AB＝6.554－5≈1.55m．即改善后的台阶会加长1.55m．（2）在Rt△ABC中，BC＝AB×cos44°＝5·cos44°≈3.597m．在Rt△ACD中，CD＝3.473tan32tan32AC=︒︒≈5.558m，∴≈1.96m．即改善后的台阶多占1.96m长的一段地面．8. 368m．9. 过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，则有DE∥FC，DF∥EC．∵∠DEC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴DE＝FC．∵∠HBA＝∠BAC＝45°，∴∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝45°－30°＝15°．又∵∠ABD＝∠HBD－∠HBA＝60°－45°＝15°，∴△ADB是等腰三角形，∴AD＝BD＝180m．在Rt△AED中，sin∠DAE＝sin30°＝DE AD，∴DE＝180×sin30°＝180×12＝90m，∴FC＝90m．在Rt△BDF中，∠BDF＝∠HBD＝60°，sin∠BDF＝sin60°＝BF BD，word11 / 11 ∴BF ＝180·sin60°＝180×2＝，∴BC ＝BF+FC ＝+90＝90+1）m ．故小山的高度为90+1）m ．10. 根据题意有AF ∥BC ，∴∠ACB ＝∠GAF ．又∵∠ABC ＝∠AFG ＝90°，∴△ABC ∽△GFA ， ∴BC AB AF FG ，得BC ＝3.2（m ）．CD ＝（2+3）－3.2＝1.8（m ）．【励志故事】愚钝的力量大科学家爱因斯坦曾做过一个实验：他从村子里找了两个人，一个愚钝且软弱，一个聪明且强壮．爱因斯坦找了一块两英亩左右的空地，给他俩同样的工具，让他们在其间比赛挖井，看谁最先挖到水．愚钝的人接到工具后，二话没说，便脱掉上衣干起来．聪明的人稍作选择也大干起来．两个小时过去了，两人均挖了两米深，但均未见到水．聪明的人断定选择错了，觉得在原处继续挖下去是愚蠢的，便另选了块地方重挖．愚钝的人仍在原地吃力地挖着，又两个小时过去了，愚钝的人只挖了一米，而聪明的人又挖了两米深．愚钝的人仍在原地吃力地挖着，而聪明的人又开始怀疑自己的选择，就又选了一块地方重挖．又两个小时过去了，愚钝的人挖了半米，而聪明的人又挖了两米，但两人均未见到水．这时聪明人泄气了，断定此地无水，他放弃了挖掘，离去了．而愚钝的人此时体力不支了，但他还是在原地挖，在他刚把一锨土掘出时，奇迹出现了，只见一股清水汩汩而出．比赛结果，这个愚钝的人获胜．爱因斯坦后来对学生说，看来智商稍高、条件优越、聪明强壮者不一定会得到成功，成功有时需要一种近乎愚钝的力量啊！。
九年级数学上册 24 解直角三角形复习 华东师大版
D.16 5
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随堂演练
1．有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就 能够知道树高的人．小敏想知道校园内一棵大树 的高（如图1），她测得CB=10米，∠ACB=50°，
请①你树1帮垂2助 直她于算地出面树 ；高 ②供AB选约用为数_据__：__s_i_n_5米0°．≈（0.注77：，
cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
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2.如图，小华为了测量所住楼房的高度，他请来 同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼 房的影长分别是0.5米和15米，已知小华的身高 为1.6米， 那么分所住楼房的高度
为___4_8____米．
3．如图，两建筑物AB和CD的 水平距离为30米，从A点测得 D•点的俯角为30°，测得C点 的俯角为60°，则建筑物CD的
3
则cosA的值为_____5 _． 3. 如图，在△ABC中，∠C =90°，BC=5，
AC=12，则cosA等于（ D ）
A. 2 B. 5 C.12 D.12 12 13 5 13
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4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°，
CD⊥AB于点D，已知AC= 5
，
BC=2，那么sin∠ABC=（ A ）
1
也随之
2
增大
3
梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的
三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是
（A ）
A. sinA的值越大，梯子越陡
B
B . cosA的值越大，梯子越陡
Hale Waihona Puke C. tanA值越小，梯子越陡
C
D. 梯子陡的程度与∠A的三角函数值无关。A
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华师版九年级数学上册《解直角三角形》全章热门考点整合应用共27页
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
华师版九年级数学上册《解直角三角形》 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。 全章热门考点整合应用
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
初三数学第一学期解直角三角形专题 华东师大版
初三数学第一学期解直角三角形专题一. 本周教学内容：解直角三角形专题［学习目标］1. 经历由情境引出问题，探索掌握有关的数学知识内容，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力。
2. 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的实际问题。
3. 通过实例认识直角三角形的边角关系（锐角三角函数），知道30°、45°、60°角的三角函数值，会使用计算器由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它的对应锐角。
4. 运用三角函数解决与直角三角函数有关的简单实际问题。
5. 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。
［知识内容］1. 知识归纳直角三角形两个锐角互余斜边上的中线等于斜边的一半角所对的直角边等于斜边的一半勾股定理边角关系：锐角三角函数应用解直角三角形30︒⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪−→−−2. 知识梳理（1）测量①常见的两种测量②新的测量方法（三角函数方法）（2）勾股定理①勾股定理②勾股定理证明方法：很多，大多数是采用面积相等的拼接方法。
③勾股定理的应用（3）锐角三角函数①锐角三角函数的概念，要通过画图来帮助分析，通过画图找出直角三角形中的边、角关系。
②用计算器求锐角三角函数值。
③特殊三角函数。
④有一锐角为30°的直角三角形的特征。
⑤锐角三角函数之间的关系。
（4）解直角三角形 ①解直角三角形的意义。
②直角三角形边与边、角与角、边与角之间的关系。
③解直角三角形的应用：首先应明确有关的概念，如仰角、俯角、坡度、坡角等测量概念，其次弄清题意，准确地根据题意画出图形。
（5）解斜三角形问题对于斜三角形问题要通过作辅助线将其转化为直角三角形解决。
【典型例题】例1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA =15，则tanA ＝（）A. 26B.62C.265D. 24解析：如图所示BA在Rt △ABC 中，cosA AC AB ==15设AC ＝k ，AB ＝5k 由勾股定理可知：BC AB AC k k k A BC AC kk=-======2222424262626∴tan故选A例2. 如图，为测河宽，小丽在河岸岸边任意选取一点A ，再在河这边B 处观察A ，此时视线BA 与河岸BD 所成的夹角为60°，小丽沿河岸BD 向前走了50米到点C 处，CA 与河岸BD 所成的夹角为45°，根据小丽提供的信息能测出河宽吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由（结果精确到1米）。
数学九年级上华东师大版25章解直角三角形复习课件解析
4．解：如图，过C点作CE⊥AD于C．
设BC=x，则EC=BC=x．
在Rt△ACE中，AC= 3 x， ∵AB=AC-BC， 即20= 3 x-x． 解得x=10 3 +10．
∴BD=BC+CD=BC+EF
=10 3+10+35≈45+10×1.732≈62.3（m）． 所以小山BD的高为62．3m．
当坡角不超过50°时， 可确保山体不滑坡．（1）
求改造前坡顶与地面的距离BE的长（精确到 0.1m）；（2）为确保安全，学校计划改造时保持 坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处， 问BF至 少
是多少米（精确到0.1m）？ （参考数据：sin68°≈0.927 2，
cos68°≈0.374 6，tan68°≈2.475 1， tan50°≈0.766 0，cos50°≈0.642 8， tan50°≈1.191 8）
∴PC=BC．
在Rt△APC中，
tan30°=
PC PC PC AC AB BC 3 PC
，
即 3 = PC , PC 3 3 3 ，
3 3 PC
2
PC>3． ∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险．
4.如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角 为60°，铁塔底部B的仰角为45°．已知塔高 AB=20m，观察点E到地面的距离EF=35m，求 小山BD的高（精确到0.1m， 3 ≈1.732）．
m）．
即BF至少是8.9m．
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初三数学解直角三角形的总复习华东师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
解直角三角形的总复习
二. 教学目标：
1. 掌握锐角三角函数的概念及性质。
2. 提高学生灵活应用锐角三角函数知识解直角三角形。
3. 提高学生解直角三角形的知识与方法在实际问题如，航海、测量等方面的应用，培养学生空间想象能力、作图能力、分析能力和计算能力。
三. 教学过程：
（一）知识的回顾：
1. 锐角三角函数的概念：在Rt ABC ∆中，∠=︒C 90， 则sin A BC
AB =
， 注意的问题：
（1）锐角α （2
例1. （1）在Rt ∆ A.
45 B. 35 点拨：在Rt ABC ∆中，∠=︒C 90，AC BC ==34，
∴=+=∴=AB AC BC B 22
5
45
cos 答案：A
（2）在∆ABC 中，AB AC BC ===32，，则6cos B 等于（ ） A. 3 B. 2 C. 33 D. 23 点拨：在∆ABC 中，AB AC =，过A 点作AD BC ⊥于D 则BD CD B BD AB ==∴==11
3
，cos 答案：B
（3）在四边形ABCD 中，∠=︒∠=∠=︒==A B D BC AD 13590232，，，，则四边形ABCD 的面积是（ ）
S S EBC EAD ∆∆=
⋅⋅==⨯⨯=122323612
222 ∴=-=-=S S S ABCD EBC EAD 四边形∆∆624
CP 7
答案：D
（5）在∆ABC 中，∠=︒C 90，若∠=∠B A 2，则cot B 等于（ ）
A. 3
B.
33 C. 3
2
D. 12
点拨：在∆ABC 中，∠=︒∴∠+∠=︒C A B 9090， 即：3903060∠=︒∴∠=︒∠=︒A A B ，，
∴=︒=cot cot B 6033
答案：B
（6）在Rt ABC ∆中，∠=︒⊥ACB CD AB 90，于D ，AC =22，AB =23，设
∠=BCD α，那么cos α的值是（ ）
例2. 某电信部门计划修建一条连结B 、C 两地的电缆，测量人员在山脚A 测得B 、C 两地的仰角分别为3045︒︒、，在B 地测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200m ，电缆BC 至少长多少米？（精确到01.m ）
解：作CH AF
⊥于H，过B作BD AF
⊥于D
BE CH
⊥于E，设BC x m
=()
在Rt BCE
∆中，BE BC x
=︒=
cos60
1
2
CE BC x
=︒=
sin60
3
2
在Rt ACH
∆中，AH CH
=︒=
tan45200
∴=-=-=-
AD AH DH AH BE x
200
1
2
BD EH x
==-
200
3
2
在Rt ABD
∆中，∠=︒∴=︒
BAD BD AD
3030
，tan
由此得，200
3
2
200
1
2
3
3
-=-⋅
x x
()
解得x=-≈
2003200147
答：电缆BC至少需要147米。
例3. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平
b. 在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上。
（如果测
例4. 如图：一轮船原在A处，它的北偏东45︒方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西30︒方向航行4小时到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上，已知轮船的航速为25海里
例5. 如图：小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD
多少？
4
2. 在∆ABC 中，a b c 、、分别为角A 、B 、C 的对边长，若sin cos A A ⋅=0，且α=⋅2c B cos ，则∆ABC 的形状是（ ）
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
3. 已知在Rt ABC ∆中，∠=︒C 90，下列式子中不一定成立的是（ ） A. tan cot A B = B. tan cot A B ⋅=1 C. sin()sin A B C +=
D. sin sin 2
2
1A B +=
4. 若∠∠∠A B C 、、是三角形ABC 的三个内角，则sin A B
+2
等于（ ） A. sin C
B. sin
C 2
C. cos
C
2 D. cos C
5. 在Rt ABC ∆中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列各式中正确的是（ ）
A. sin A =
32
4 B. cos B =
13
C. tan A =2
4
D. cot B =22
二. 解答题： 1. 已知一只小虫从A 点出发，在坡度为1：7的斜坡上爬到B ，当AB=3m 时，求它的高度上升了多少米。
2. 已知两建筑物的水平距离为a ，从A 点测得D 、C 的俯角αβ、，求两建筑物的高为多少？
试题答案
一. 1. A 2. D
3. B
4. C
5. D
∴=
∴=
=⋅tan tan tan βββAB
BD
AB BD a ， 在Rt ACE ∆中， ∠=∴=ACE AE
CE
αα，tan。