2007年湖北高考数学(理科)试卷及答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的1．如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A ．3B ．5C ．6D ．10 2．将⎪⎭⎫⎝⎛π+=63cos 2x y 的图象按向量a=⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4平移，则平移后所得图象的解析式为 A ．243cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y B ．243cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛π-=x y C ．2123cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π-=x y D ．2123cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y 3．设P 和Q 是两个集合，定义集合P-Q={}Q x P x x ∉∈且,|，如果P={x|log 2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q 等于A ．{x|0<x<1}B ．{x|0<x ≤1}C ．{x|1≤x<2}D ．{x|2≤x<3}4．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m ＇和n ＇，给出下列四个命题：①m ＇⊥n ＇⇒m ⊥n ②m ⊥n ⇒ m ＇⊥n ＇③m ＇与n ＇相交⇒m 与n 相交或重合 ④m ＇与n ＇平行⇒m 与n 平行或重合 其中不．正确的命题个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且q ≥2,则=-⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛+∞→111111lim q pn n n A ．0 B ．1 C ．q pD ．11--q p 6．若数列{a n }满足∈=+，n p p a a nn 为正常数(221N*）,则称{a n }为“等方比数列”甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列.则A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．双曲线C 1：12222=-by a x （a>0,b>0）的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F 1和F 2；抛物线C 2的准线为l ，焦点为F 2；C 1与C 2的一个交点为M ，则||||||||21121MF MF MF F F -等于A ．-1B ．1C ．21-D ．21 8．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且3457++=n n B A n n ，则使得nnb a 为整数的正整数n 的个数是A ．2B ．3C ．4D ．59．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a=（m,n ）与向量b=（1,-1）的夹角为θ，则⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ的概率是 A ．125B ．21C ．127D ．65 10．已知直线1=+bya x （a,b 是非零常数）与圆x 2+y 2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有A ．60条B ．66条C ．72条D ．78条二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．已知函数y=2x-a 的反函数是y=bx+3,则 a= ；b= 。

12．复数z=a+bi,a,b ∈R,且b ≠0,若z 2-4bz 是实数，则有序实数对（a,b ）可以是 。

（写出一个有序实数对即可）13．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+≥+-.32,0,03x y x y x 则目标函数2x+y 的最小值为 。

14．某篮球运动员在三分线投球的命中率是21，他投球10次，恰好投进3个球的概率 。

（用数值作答）15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒。

已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为at y -⎪⎭⎫⎝⎛=161（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 。

（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。

三、解答题：本大题共5小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）已知△ABC 的面积为3，且满足0≤AC AB ⋅≤6，设AB 和AC 的夹角为θ。

（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数f （θ）=2sin 2θθπ2cos 34-⎪⎭⎫⎝⎛+的最大值与最小值。

17．（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量） 共有100个数据，将数据分组如右表：（Ⅰ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出 频率分布直方图；（Ⅱ）估计纤度落在[)50.1,38.1中的概率及纤度小于1.40的概 率是多少；（Ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[)34.1,30.1的中点值是1.32）作为代表。

据此，估计纤度的期望。

18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥V-ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，且AC=BC=a ，∠VDC=θ⎪⎭⎫⎝⎛<<20πθ。

分 组频 数 [)34.1,30.14[)38.1,34.1 25[)42.1,38.1 30[)46.1,42.1 29[)50.1,46.1 10[)54.1,50.12 合 计100（Ⅰ）求证：平面V AB ⊥平面VCD ；（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC 与平面V AB 所成的角的取值范围。

19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线x 2=2py （p>0）相交于A 、B 两点。

（Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。

（此题不要求在答题卡上画图）20．（本小题满分13分）已知定义在正实数集上的函数f （x ）=21x 2+2ax ，g （x ）=3a 2lnx+b ，其中a>0。

设两曲线y=f （x ），y=g （x ）有公共点，且在该点处的切线相同。

（Ⅰ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （Ⅱ）求证：f （x ） ≥g （x ） （x>0）。

21．（本小题满分14分） 已知m ，n 为正整数。

（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，（1+x ）m ≥1+mx ；（Ⅱ）对于n ≥6，已知21311<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n ，求证mn n m ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2131，m=1,2…，n ；（Ⅲ）求出满足等式3n +4m +…+（n+2）m =（n+3）n 的所有正整数n 。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工农医类）参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

1．B 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9．C 10．A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分25分。

11．6；2112．（2，1）（或满足a=2b 的任一组非零实数对（a,b ））13．—2314．1281515．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤=-).101(,)161(),1010(,10t t t y h r ；0.6三、解答题：本大题共6小题，共75分。

16．本小题主要考查平面向量数量积的计算，解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力。

解：（Ⅰ）设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c, 则由⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ∈θ∴≤θ≤=θ2,4,1cot 0,3sin 21bc . （Ⅱ）θ-θ+π=θ2cos 3)4(sin 2)(2f ＝θ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ+π-2cos 3)22cos(1 ＝12cos 32sin +θ-θ ＝1)32sin(2+π-θ.3)132sin(22,32,632,2,4≤+π-θ≤∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ∈π-θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ∈θ .即当2)(4;3)(125min max =ϑπθ=θπ=θf f 时，＝当时，.17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力分 组频 数 频 率 [)34.1,30.1 4 0.04 [)38.1,34.1 25 0.25 [)42.1,38.1 30 0.30 [)46.1,42.1 29 0.29 [)50.1,46.1 10 0.10 [)54.1,50.12 0.02 合 计1001.00（Ⅱ）纤度落在[)50.1,38.1中的概率约为0.30+0.29+0.10＝0.69，纤度小于1.40的概率约为0.04+0.25+21×0.30＝0.44. （Ⅲ）总体数据的期望约为1.32×0.04+1.36×0.25+1.40×0.30+1.44×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02＝1.4088.18．本小题主要考查线面关系、直线与平面成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力. 解法1：（Ⅰ）ACB a BC AC ∆∴==, 是等腰三角形，又D 是AB 的中点，..,,VCD AB AB VC ABC VC AB CD 平面于是底面又⊥⊥∴⊥⊥∴又.,VCD VAB VAB AB 平面平面平面⊥∴⊂（Ⅱ）过点C 在平面VD 内作CH ⊥VD 于H ，则由（Ⅰ）知CH ⊥平面V AB.连接BH,于是∠CBH 就是直线BC 与平面V AB 所成的角在Rt △CHD 中，θ=sin 22a CH 设ϕϕsin Rt ,a CH BHC CBH =∆=∠中，在, 2π0,sin sin 22<<=∴θϕθ ， .4π02π0.22sin 0,1sin 0<<∴≤≤<<<<∴ϕϕϕθ，又 即直线BC 与平面V AB 所成角的取值范围为（0，4π）. 解法2：（Ⅰ）以CA 、CB 、CV 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C （0,0,0）,A （a,0,0）,B （0,a,0）,D （0,2,2aa ），).0,,(a a AB -= 从而.,002121)0,2,2).(0,,(·22CD AB a a a a a a CD AB ⊥=++-=-=即 同理)tan 22,2,2()0,,(θa a a a a VD AB -⋅-=⋅ ＝-,00212122=++a a 即.,.VCD AB D VD CD VD AB 平面又⊥∴=⋂⊥ 又.VAB AB 平面⊂.VCD VAB 平面平面⊥∴（Ⅱ）设直线BC 与平面V AB 所成的角为φ,平面V AB 的一个法向量为n=（x,y,z ）, 则由n ·.0,0=⋅=VD n AB19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力. 解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为N （0,-p ）,可设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2），直线AB 的方程为y=kx+p,与x 2=2py 联立得⎩⎨⎧+==.22p kx y pyx 消去y 得x 2-2pkx-2p 2=0.由韦达定理得x 1+x 2=2pk,x 1x 2=-2p 2. 于是21221x x p S S S ACN BCN ABN -⋅=+=∆∆∆ ＝21221214)(x x x x p x x p -+=- ＝.228422222+=+k pp k p p222min 0p S k ABN ==∴∆）时，（当. （Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a,AC 的中点为为直与AC t O ,'径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则）点的坐标为（2,2,11p y x O PQ H O +'⊥' 2121)(2121p y x AC P O -+==' ＝22121p y +. ,221211p y a p y a H O --=+-=' 222H O P O PH '-'=∴=21221)2(41)(41p y a p y ---+ ＝),()2(1a p a y p a -+-22)2(PH PQ =∴=.)()2(42⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-a p a y p a令02=-p a ，得p PQ p a ==此时,2为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =， 即抛物线的通径所在的直线.解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得22222122122128414)(11p k p k x x x x k x x k AB +⋅+=-+⋅+=-+= ＝.21222+⋅+k k p 又由点到直线的距离公式得212k pd +=. 从而，,2212212212122222+=+⋅+⋅+⋅=⋅⋅=∆k p k p k k p AB d S ABN .22max 02p S k ABN ==∴∆）时，（当（Ⅱ）假设满足条件的直线t 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为,0))(())(0(11=-----y y p y x x x 将直线方程y=a 代入得).(1)2(4))((4,0))((121112a p a y p a y a p a x y a p a x x x -+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=---∆=----＝则 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 2,y 2）,Q （x 4,y 4）,则有.)()2(2)()2(41143a p a y p a a p a y p a x x PQ -+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-= 令p PQ p a p a ===-此时得,2,02为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =. 即抛物线的通径所在的直线。