误差及应用

3、随机误差的分析处理 --- 统计方法
N次测量结果 --- xi ( i =1, 2, …, N )
1）分布： 正态分布（高斯分布） --- 大多数； 均匀分布 --- 量化误差、舍入误差； 其它 --- 正弦分布、二次分布、卡方分布、指数分布、 分布、
分布等
概率密度函数
P ( ) 1
y = f（x1，x2，…，xm）--- xi 的单值函数
② 间接测量随机误差的合成

y


m
--- 各直接测量量互不相关
i 1
y x i

2
2 xi
5、测量结果的表示方法
① 多次测量结果的表示 -- 消除系统误差、剔除粗大误差 随机误差数据处理 --- 被测量真值的取值范围（概率）
2、粗大误差的减少办法和剔除准则
显然与事实不符 --- 歪曲测量结果 --- 主观避免 --- 剔除（发现） 1）判别方法 ① 物理判别法 --- 测量过程中 --- 人为因素（读错、记录错、操作错） --- 不符合实验条件/环境突变（突然振动、电磁干扰等） --- 随时发现，随时剔除 --- 重新测量 ② 统计判别法 --- 整个测量完毕之后 统计方法处理数据 --- 超过误差限 --- 判为坏值 --- 剔除 随机误差在一定的置信概率下的确定置信限 2）剔除准则 ① 拉依达准则（3 准则） 测量值 Xd 的剩余误差的绝对值 | Pd|> 3 --- 坏值 --- 剔除 计算算术平均值 x 剩余误差 均方误差 剔除坏值 ② 肖维勒准则 测量值 Xd 的剩余误差的绝对值 | Pd|> n --- 坏值 --- 剔除 n --- 肖维勒系数（查表确定） ③ 格拉布斯准则 测量值 Xd 的剩余误差的绝对值| Pd|> (,n) --- 坏值 --- 剔除 (,n) --- 查表确定
① 约定真值：世界各国公认的几何量和物理量的最高基准的量值
② 理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值
③ 相对真值：标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准器的值
2）相对误差
定义： 测量的绝对误差与被测量的真值之比 相对误差 =
绝对误差 真值
100%
=
x
x0
100%
例：质量G1=50g，误差1=2g；质量G2=2kg，误差2=50g
n n
2 n
）
(x
3 n
， x
3 n
）
68.27% 95.45% 99.73% ② 单次测量结果的表示 事前误差分析、以往的同等条件、详尽条件下多次测量的统计结果、 检测器具说明书中给出的误差限 --- 标准偏差的估计值
6、数据的有效数字及舍入规则
1）数据有效数字 --- 位数： 从左起往右数，第一个不为0的数字是第一位有效数 字，直到最后一位都是有效数字。如：0.427与 0.4270的有效数字位数不同。
G1的相对误差为
1= 2=
1
G1
100% =
2 100% = 4% 50
G2的相对误差为
2
G2
100% =
50 100% = 2.5% 2000
--- G2的测量效果较好
2、误差的特点
普遍性 --- 所有的测量数据都存在误差 --- 不可避免的 最高基准的测量传递手段（测量仪器/测量方法）--- 不绝对准确 测量精度 --- 测量技术水平的主要标志之一
③ 抵偿性 --- 测量次数n ∞时（相同条件下） 全体随机误差的代数和
lim
n i 1
n
i
0
④ 单峰性 --- 绝对值小的误差出现的机会多（概率密度大）
=0 处随机误差概率密度有最大值
3）特征量： 数学期望（Expectation ） --- 真值x0 标准偏差（Standard deviation） --- 测量精密度的标志 h --- 精密度指数


2
2 2

2
e

h

e
h
2
2
误差 = x - x0
均方根误差/标准误差
n


i
n
2
i 1
P ( )
概率分布函数
F ( )



P ( )d
1

2




2 2

e
2
d
2）特点:
① 对称性 --- 可正可负 --- 绝对值相等的正负误差出现的机会相等 P() - 曲线对称于纵轴 ② 有界性 --- 绝对值不会超过一定的范围（一定的测量条件下） 绝对值很大的误差几乎不出现
2
i 1
c 算数平均值 --- 可靠 --- 多次测量提高精密度
4、误差综合
1）系统误差的合成
① 已定系统误差 --- 大小和正负已知 --- 代数和 --- 校正消除 ② 未定系统误差 --- 难以知道或不能确切掌握大小和正负
2）随机误差的合成
① 间接测量平均值的计算 xi（i =1,2,…,m）--- 直接测量量 y = f（x1，x2，…，xm） y --- 间接测量量
4、检测精度
--- 检测系统的基本内容 不同场合 --- 检测精度要求不同
精度高 --- 系统复杂 --- 造价高
按误差原因： ① 正确度：表征测量结果接近真值的程度 --- 系统误差大小的反映 ② 精密度：反映测量结果的分散程度（针对重复测量而言） --- 表示随机误差的大小 ③ 准确度：表征测量结果与真值之间的一致程度 --- 系统误差和随机误差的综合反映
例： 坐标原点 --- 真值点的位置 点 --- 多次测量结果
3.2 数据处理的一般方法
数据处理 --- 被测量的估计值 --- 可信程度（评定）
1、系统误差的消除
① 找出规律 --- 修正值 ② 测量方法 --- 避免出现系统误差 1）分析系统误差产生的原因 --- 防止系统误差出现的最基本办法 测量前 --- 对可能产生的误差因素进行分析，采取相应措施 2）引入修正值进行校正 --- 已出现的系统误差 理论分析/专门的实验研究 --- 系统误差的具体数值和变化规律 --- 确定修正值（温度、湿度、频率修正等） --- 修正表格、修正曲线、修正公式 --- 按规律校正 3）检测方法上消除或减小 --- 实际测量中，采取有效的测量方法 --- 现有仪器设备取得更好的效果（提高测量准确度）
h
1 2
-K K
总体期望：无限次测量（不可能实现） --- 有限次测量代替
同一被测量 n 次测量 xi（i =1，2，…，n）--- 样本
a 算术平均（Mean value）

x
n
xi
i 1
n
样本中各测量数据相对样本平均的分散程度 b 标准误差 n


( xi x ) n 1
a 差动法 被测量对传感器起差动作用 干扰因素起相同作用 --- 被测量的作用相加 --- 干扰的作用相减 作用：抑制干扰 提高灵敏度和线性度 b 比值补偿法 利用比值补偿原理 --- 影响因素在输出计算式的分子、分母上同时出现 --- 约消 例：比色高温计 --- 消除辐射率变化的影响 c 半周期偶数观测法 --- 系统误差随某因素成周期性变化 测量 --- ½变化周期 两次测量所得的周期系统误差 --- 数值相等、正负相反 --- 取平均值 自动检测 --- 检测的时间间隔为½周期（克服随时间周期变化因素的影响） 综合：传感器信号转换 --- 选频放大器、滤波器、滤色片 --- 截断/删除无用 频带（只让有用信号频带通过） 措施 --- 恒温、稳压或稳频
测量结果 = 样本平均值 不确定度 不确定度（Uncertainty） 测量可以置信的限度 --- K
K ---置信系数（K=1, 2, 3等） 概率 --- 置信概率 直接测量
x x
^ x
x

n (x 2 n ， x
-K K
正态分布 ( x ， ） x
第三章 误差理论及应用
本章学习要求：
1、熟悉测量误差的基本理论； 2、掌握数据处理的一般方法。
3.1 测量误差的基本理论
实验结果 --- 实验数据 --- 与其理论期望值不完全相同
1、测量误差的定义：
测量所得数据与其相应的真值之差。
1）绝对误差
测量误差 = 测得值 - 真值 x = x – x0 客观真实值（未知）
精度提高受到限制 --- 测量误差的影响作出评定
① 减小误差的影响，提高测量精度 ② 对测量结果的可靠性给出评定（精确度的估计）
3 、误差分类
① 系统误差（System error） --- 有规律可循 由特定原因引起、具有一定因果关系并按确定规律产生 装置、环境、动力源变化、人为因素
理论分析/实验验证 --- 原因和规律 --- 减少/消除 ② 随机误差（Random error） 因许多不确定性因素而随机发生 偶然性（不明确、无规律） 概率和统计性处理（无法消除/修正） ③ 粗大误差（Abnormal error） 检测系统各组成环节发生异常和故障等引起 异常误差 --- 混为系统误差和偶然误差 --- 测量结果失去意义 分离 --- 防止
15 . 3 10
3
为3为有效数字。
2）数字的舍入规则 一般数据 --- “四舍六入,遇五偶舍奇入” 如：0.2245 3）数字运算规则 加减运算 --- 小数点后位数最少的数据 4.286 + 1.32 - 0.4563 = 5.1497 5.15 乘除运算 --- 有效数字位数最少的数据 2.4×102 462.8×0.64 1.22 = 242.78033 0.224