测量误差理论及其应用
第二章 误差理论及应用
第二章误差理论及应用第一节误差的来源与分类一、误差的来源与误差的概念每一参数的测量都是由测试人员使用一定的仪器，在一定的环境条件下按照一定的测量方法和程序进行的。
尽管被测参数在一定的条件下具有客观存在的确定的真值，但由于受到人们的观察能力、测量仪器、测量方法、环境条件等因素的影响，实际上其真值是无法得到的。
所得到的测量值只能是接近于真值的近似值，其接近于真值的程度与所选择的测量方法、所使用的仪器、所处的环境条件以及测试人员的水平有关。
测量值与真值之差称为误差。
在任何测量中都存在误差，这是绝对的，不可避免的。
当对某一参数进行多次测量时，尽管所有的条件都相同，而所得到的测量结果却往往并不完全相同，这一事实表明了误差的存在。
但也有这样的情况，当对某一参数进行多次测量时，所得测量结果均为同一数值。
这并不能认为不存在测量误差，可能因所使用的测量仪器的灵敏度太低，以致没有反映出应有的测量误差。
实际上，误差仍然是存在的。
由于在任何测量中，误差都是不可避免地存在着，因此对所得到的每一测量结果必须指出其误差范围，否则该测量结果就无价值。
测量误差分析就是研究在测量中所产生误差的大小、性质及产生的原因，以便对测量精度作出评价。
二、测量误差的分类在测量过程中产生误差的因素是多种多样的，如果按照这些因素的出现规律以及它们对测量结果的影响程度来区分，可将测量误差分为三类。
1．系统误差在测量过程中，出现某些规律性的以及影响程度由确定的因素所引起的误差，称为系统误差。
由于可以确知这些因素的出现规律，从而可以对它们加以控制，或者根据它们的影响程度对测量结果加以修正，因此在测量中有可能消除系统误差。
在正确的测量结果中不应包含系统误差。
2．随机(偶然)误差随机误差是由许多未知的或微小的因素综合影响的结果。
这些因素出现与否以及它们的影响程度都是难以确定的。
随机误差在数值上有时大、有时小，有时正、有时负，其产生的原因一般不详，所以无法在测量过程中加以控制和排除，即随机误差必然存在于测量结果之中，但在等精度(用同一仪器、按同一方法、由同一观测者进行测量)条件下，对同一测量参数作多次测量，若测量次数足够多，则可发现随机误差完全服从统计规律。
误差理论及实验数据处理
可以设法减小或排除掉的，如对试验机和应变仪等定期校准和检验。又如单向拉伸时由于夹
具装置等原因而引起的偏心问题，可以用试样安装双表或者两对面贴电阻应变片来减少这种
误差。系统误差越小，表明测量的准确度越高，也就是接近真值的程度越好。
偶然误差是由一些偶然因素所引起的，它的出现常常包含很多未知因素在内。无论怎样
差出现的可能性小。
3）随着测量次数的增加，偶然误差的平均值趋向于零。
4）偶然误差的平均值不超过某一限度。
根据以上特性，可以假定偶然误差Δ 遵循母体平均值为零
的高斯正态分布，如图Ⅰ-1 所示。
f (Δ) =
1
− Δ2
e 2σ 2
σ 2π
图Ⅰ-1 偶然误差的正态频率曲线
·97·
材料力学实验指导与实验基本训练
Δ ≤ Δ1 + Δ2 [注]：上述法则对于两个相差甚大的数在相减时是正确的。但是对两个相互十分接近的 数，在相减时有效位数大大减少，上述结论就不适用。在建立运算步骤时要尽量避免两个接 近相等的数进行相减。 2）如果经过多次连乘除后要达到 n 个有效位数，则参加运算的数字的有效位数至少要 有 (n + 1) 个或 (n + 2) 个。例如，两个 4 位有效数的数字经过两次相乘或相除后，一般只能 保证 3 位有效数。 3）如果被测的量 N 是许多独立的可以直接测量的量 x1, x2,", xn 的函数，则一个普遍的 误差公式可表示为下列形式，即
控制实验条件的一致，也不可避免偶然误差的产生，如对同一试样的尺寸多次量测其结果的
分散性即起源于偶然误差。偶然误差小，表明测量的精度高，也就是数据再现性好。
实验表明，在反复多次的观测中，偶然误差具有以下特性：
实验室误差分析大全
第一部分误差理论简介在日常检测工作中，我们虽然有最好的检验方法、有检定合格的仪器设备、有满足检验要求的环境条件和熟悉检验工作的操作人员，但是，得到的检验结果却往往不可能是绝对准确的，即使是同一检测人员对同一检测样品、对同一项目的检测，其结果也不会完全一样，总会产生这样或那样的差别，也就是说，任何物理量的测定，都不可能是绝对准确的，在测得值与真实值之间总是或多或少的存在着差别，这就是误差。
误差是客观存在的，用它可以衡量检测结果的准确度，误差越小，检测结果的准确度越高。
一、术语和定义1准确度准确度指，检测结果与真实值之间相符合的程度。
(检测结果与真实值之间差别越小，则分析检验结果的准确度越高)2精密度精密度指，在重复检测中，各次检测结果之间彼此的符合程度。
(各次检测结果之间越接近，则说明分析检测结果的精密度越高)3重复性重复性指，在相同测量条件下，对同一被测量进行连续、多次测量所得结果之间的一致性。
重复性条件包括：相同的测量程序、相同的测量者、相同的条件下，使用相同的测量仪器设备，在短时间内进行的重复性测量。
4再现性(复现性)在改变测量条件下，同一被测量的测定结果之间的一致性。
改变条件包括：测量原理、测量方法、测量人、参考测量标准、测量地点、测量条件以及测量时间等。
如，实验室资质认定现场操作考核的方法之一：样品复测即是样品再现性(复现性)的一种考核、样品复测包括对盲样(即标准样品)的检测，也可以是对检验过的样品、在有效期内的再检测。
或是原检测人员或是重新再安排检测人员。
※通常再现性或复现性好，意味着精密度高。
精密度是保证准确度的先决条件，没有良好的精密度就不可能有高的的准确度，但精密度高准确度不一定高;反之，准确度高，精密度必然好。
二、误差的种类、来源和消除根据误差的来源和性质，误差可以分为以下几种：1系统误差(又称规律误差)1.1系统误差的定义※系统误差是指，在偏离检测条件下，按某个规律变化的误差。
允许误差和绝对误差
允许误差和绝对误差误差是指实际值与理论值或期望值之间的差异。
在各个领域中，误差都是一个常见的概念。
误差可以分为绝对误差和相对误差两种类型。
本文将以允许误差和绝对误差为主题，介绍这两种误差的概念、计算方法以及其在实际应用中的意义。
一、允许误差允许误差是指在测量或计算中，允许实际值与理论值之间存在的最大差异。
它是由于测量设备的精度、环境条件等因素所引起的。
允许误差通常以一个范围来表示，例如±0.5mm、±1%等。
允许误差的计算方法取决于具体的测量或计算方式。
以长度测量为例，如果要测量一根铁丝的长度，测量结果可能会受到测量仪器的精度和人为读数误差的影响。
假设测量仪器的精度为0.1mm，人为读数误差为±0.2mm，那么允许误差可以计算为0.1mm+0.2mm=0.3mm。
即在测量过程中，实际测得的长度值与真实长度值之间的差异应小于等于0.3mm。
允许误差的概念在各个领域都有广泛的应用。
例如，在工程施工中，允许误差可以用来评估施工质量的合格性。
如果某个建筑物的水平度允许误差为±5mm，那么在施工过程中，建筑物的水平度应保持在这个范围之内。
如果超出了这个范围，就需要进行调整或修正。
二、绝对误差绝对误差是指实际值与理论值之间的差异的绝对值。
它是用来衡量测量或计算结果的准确度的重要指标。
绝对误差通常用Δ表示。
绝对误差的计算方法也取决于具体的测量或计算方式。
假设某个物体的质量为100g，通过称重仪器测量得到的质量为98g，那么绝对误差可以计算为|100g-98g|=2g。
即测量结果与真实值之间的差异为2g。
绝对误差的概念在科学实验、工程设计等领域中都有广泛的应用。
在科学实验中，绝对误差可以用来评估实验结果的可靠性。
如果实验结果的绝对误差很小，说明实验数据的准确度很高，结果比较可靠。
而如果实验结果的绝对误差很大，说明实验数据的准确度较低，结果不够可靠。
三、允许误差与绝对误差的关系允许误差和绝对误差之间存在一定的关系。
第5章 测量误差理论的基础知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的指标 5.3 误差传播定律及其应用 5.4 等精度直接观测平差 5.5 不等精度观测的最或然值及其中误差
§5.1 测量误差概述
大量实践表明，当对某一未知量进行多次 观测时，无论观测仪器多么精密，观测进行得
多么仔细，观测值之间总是存在着差异。例如，
2 2 2 2 mZ A12 m12 A2 m2 An mn
§5.3.2 误差传播定律的应用
例1 量得某圆形建筑物得直径 D=34.50m, 其中误差mD 0.01m,
求建筑物得圆周长及其中误差。
解：圆周长：
P D 3.1416 34.50 108.38 中误差：
将以上各式两边平方、取平均，可得
Z 2 x12 x22 xn 2 n f2 f 2 ... f 2 xi x j 1 fi f j k 1 2 n k k k k i, j
i j
因 x 的观测值 l 彼此独立，则 xi x j 在 i j 时亦为偶 i i 然误差。根据偶然误差第4特性，上式末项当 k 时趋近于 零，故：
测量某一平面三角形的三个内角，其观测值之
和常常不等于理论值180°。这说明测量结果
不可避免地存在误差。
§5.1.1 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都 可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者 的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测 条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差 的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为 等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精 度观测。
误差理论的基本知识
负
正
个数 k
46 41 33 21 16 13 5 2 0
误
差 相对个数 k/n
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0.000
0″.0 ~ 0″.2 0″.2 ~ 0″.4 0″.4 ~ 0″.6 0″.6 ~ 0″.8 0″.8 ~ 1″.0 1″.0 ~ 1″.2 1″.2 ~ 1″.4 1″.4 ~ 1″.6 1″.6 ~以上
1
二.评定精度的指标
• 1.方差和中误差 由数理统计知，表示随机变量分布离散性的数字特征是方 2 差或标准差 2 D ( ) E[ E( )]
2 E( 2 )[ E( )] E( 2 )
测量上习惯用中误差表示
2 2 2 2 n M 2 D() 2 lim 1 lim n n n n
y
y=f(△)
－△
+△
1. σ与观测误差△及偶然误差概率密度f(△)的关系
D() f ()d
2 2 1 2 2 e d 2 2 2
§6-3
评定真误差精度的指标
• 一.精度的含义 一定的观测条件 确定的误差分布 条件好，误差分布密集，即离散度 2 0 小，误差曲线比较陡峭，顶峰较高----质量好---精度高，反之，则相反 •精度的含义：误 右图为不同的两组观测对应着的两条 差分布的密集与 离散程度。即离 不同的误差分布曲线。 散度 若1<2，则第一组观测，误差 分布密集，图形陡峭，精度较高； 凡能反映误差分布 第二组观测，误差分布离散，图形平 离散度大小的量， 都可作为衡量精度 缓，精度较低。 的指标。
误差理论与测量平差基础
误差理论与测量平差基础
错误理论是测量平差中的重要理论，主要作用是分析测量数据的误差特性，确定数据
的可信性以及求解测量平差参数。
测量平差把原始测量数据通过数学模型进行优化，以消
除测量数据中的误差，得到更靠近实际状况的测量结果，了解测量数据中误差特性，对测
量平差有利也是非常有必要的。
误差理论的研究可以分为两个主要方面：一是潜在误差分析，即测量误差的性质及其
影响；二是测量误差的匹配，即推算出影响测量结果的误差幅度，同时考虑测量误差和设
计误差的叠加效应。
若测量误差在某种程度上已知，为了有效地求解平差过程，相应的应
该选择平差方法，也就是要精确解算测量误差。
因此，利用错误理论，可以分解原始的测量数据，以及测量误差的不同影响因素。
为
复杂的测量问题提出更适当的解法，从而减少测量平差中可能引起的误差，提高测量精度。
此外，错误理论还研究多参数的优化方案，及其偏差的估计，以便于设计更具拟合力的测
量数据优化方案。
误差理论是测量平差基础技术中不可缺少的一环，测量前对误差作出足够重视，测量
过程也应精确，意义重大。
正确掌握误差理论及其应用，对测量精度有非常重要的意义。
如何进行测量误差的理论分析与评估
如何进行测量误差的理论分析与评估误差是我们在各个领域中无法绕过的一个问题。
无论是科学研究、工程设计还是生产制造，都需要对测量误差进行恰当的理论分析与评估。
本文将从基本概念、误差类型、分析方法以及评估标准等方面对测量误差进行深入探讨，旨在为大家提供一些有用的参考。
1. 误差的基本概念测量误差是指测量结果与真实值之间的差异。
在实际测量过程中，由于各种原因的干扰，测量结果往往不会与真实值完全一致。
了解误差的基本概念对于进行准确的测量至关重要。
2. 误差的类型误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
系统误差是由于测量仪器、测量方法或者观察者的主观因素引起的误差，其具有一定的常模，可通过特定的修正方法进行校正。
而随机误差则是由于测量条件的不确定性，无法精确地被预测和纠正。
3. 误差的分析方法为了对误差进行理论分析，我们可以借助统计学的方法。
通过建立合适的数学模型，对测量数据进行统计处理，可以得到一系列有关误差的统计参数，如平均值、标准差、方差等。
这些参数能够帮助我们理解误差的分布规律以及其大小。
4. 误差的评估标准误差的评估标准可根据不同的应用领域和具体任务而有所不同。
常用的评估方法包括相对误差、绝对误差、均方根误差等。
通过与预设的可接受误差范围进行比较，我们可以判断测量结果的准确程度。
5. 提高测量精度的措施为了尽可能提高测量的精度，我们可以采取一系列措施。
首先，在选择测量仪器时应考虑其精确度和分辨率；其次，合理设计测量方法，尽量减小系统误差；此外，重复测量和数据平滑处理也可以有效降低随机误差。
6. 误差传递与差值法在实际测量中，往往需要对多个测量值进行相互关联计算。
在这种情况下，误差会通过计算传递，进一步影响结果的可靠性。
误差传递的理论分析可以借助差值法进行。
通过计算不同测量值之间的差值，可以准确评估结果的误差范围。
7. 测量误差与科学研究在科学研究中，准确的测量是评估实验结果可信度的重要依据。
如果误差未能得到恰当分析与评估，那么所得出的结论可能会产生偏差，进而影响到进一步的研究和应用。
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布函数为：
f ()
1
2
e 2 2
2
➢ σ —标准差，在测量上称为中误差。当σ不同时，曲线位置 不变，但分布曲线的形状将发生变化。
用概率的术语概括偶然误差的特性如下：
1、一定观测条件下，误差绝对值有一定限值（有限性）； 2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现概率大（渐 降性）； 3、绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）； 4、偶然误差的数学期望为零（抵偿性）；
✓若观测值数学期望与其真值得偏差越大，则准确度越
低。
MSE(L) E(L L%)2
✓精确度衡量指标是均方误差：
精度低 准确度低 精确度低。
➢ 图(a)表示精度、精确度均高，而准确度低； ➢ 图(b)表示精度高，精确度低，而准确度低； ➢ 图(c)表示精度、精确度均低，因而准确度低； ➢ 图(d)表示精度、精确度均低，但准确度较高。
∑
△为负值
△为正值
个数
频率
个数
频率
45
0.126
46
0.128
40
0.112
41
0.115
33
0.092
33
0.092
表1-2-1偶然误差分布表
23
0.064
21
0.059
17
0.047
16
0.045
13
0.036
13
0.036
6
0.017
5ห้องสมุดไป่ตู้
0.014
4
0.011
2
0.006
0
0
0
0
181
0.505
lim 0或E() 0
x n
• 以上分析可知： 1）观测误差呈现偶然性； 2）偶然误差具有统计规律；（均值为零的正态随机
分变量）
❖ 测量平差任务之一：评定测量成果精度。
~
❖ 当观测值中仅含有偶然误差时，由统计学知：E(L) L
~
LL
~
E() E(L L) 0
~
D() D(L L) D(L)
2、观测精度：
是指一组偶然误差分布的密集与离散的程度，
是观测值与其期望值接近的程度，表征观测
结果偶然误差大小的程度。
密集
离散
在相同的观测条件下所进行的一组观测，称为等精度观测或 同精度观测。
精度与准确度、精确度
➢精度：就是指在一定观测条件下，一组观测值密集或 离散的程度，即反应的是： L与E（L）接近程度。
❖ 若观测误差中系统误差，即 总 =系 +偶
E(总) 系 0
~
L E(L) 系
2.2 精度指标
观测条件与观测精度
1、观测条件：指测量过程中的观测者、仪器、外界 条件的综合。
➢
一定的观测条件，对应着一个确定的误差分布；
越小
越大
可见：
分布曲线陡峭的说明误差分布密集，或者离散度小，观测精度高些，也就 是观测条件好；另一条说明误差分布较为离散或者说它的离散度大，也即观 测条件差。
大量的测量实践证明，在其它测量结果中，也都显示 出上述同样的统计规律。
➢误差分布规律，除了采用误差分布表表达，还可用直方图来 表达。
一定的观测条件对应着一种确定的误差分布。
➢当误差个数无限增大时，将误差区间缩小，直方图则变成 一条光滑的曲线：
该图同样可以说明观测误差特性，称为“误差分布曲线”。
➢可以证明，若△仅含有偶然误差，其分布为正态分布，其分
➢ 当观测值只含有偶然误差时，其数学期望就等于真 值（ ~ ），即：
L E(L)
真误差（∆）= 观测值（ ）-数学期望
（
）
L
E(L)
~
➢ 残差（改正数）：
L
改正数（V）= 观测值（
（）
L
）- 平差^ 值
L
大量实践证明：大量偶然误差的分布呈现出一 定的统计规律。
三角形闭合差例子
在相同观测条件下，独立观测了358个三角形的全部内角，三角 形内角和的真误差i由下式计算：
• 几个概念：
➢ 真值：任一观测量，客观上总是存在一个能代表其真正
大小的数值，这一数值就称为该观测值真值，用 表
示。
~
L
➢ 真误差：真值与观测值之差（偶然误差），即：
真误差（∆）= 观测值（L
）- 真值（~ L
）
• 真值一般情况下是难以求得的，但有些特殊情形 下，是可以知道的，如：
1）三角形内角和等于180度； 2）闭合水准路线高差闭合差等于零； 3）往返测量一段距离，其差数的真值等于零。
i (L1 L2 L3 )i 180o (i 1, 2, 3,K , 358)
以误误差差落区入间各个d区=0间.2的秒个将数真v误i 差，计i按算其出绝其对频值率进fi行排vni列。统计出
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
表1-2-1偶然误差分布表
误差区间
0.00～0.20 0.20～0.40 0.40～0.60 0.60～0.80 0.80～1.00 1.00～1.20 1.20～1.40 1.40～1.60 1.60以上
✓表征观测结果的偶然误差大小程度。
✓精度是以观测值自身的平均值为标准的。
10 9
8
成绩：9.0，9.5，9.2，8.5，8.6，8.2，8.8，8.6
L
L1
L2
L3
L4
L5
L6
L7
L8
8.8
8
成绩：0.2，0.7，0.4，-0.3，-0.2，-0.6，0，-0.2
精度高。
➢准确度：是指观测值的数学期望与其真值的接近程度。
✓表征观测结果系统误差大小的程度。
✓若观测值数学期望与其真值得偏差越大，则准确度越
低。 L% E(L)
总 =系 +偶
E(总) 系 0
=10-8.8=1.2
~
L E(L) 系
准确度低。 精度高。
➢精确度：是精度与准确度的合成。是指观测结果与其 真值的接近程度。 ✓反映偶然误差和系统误差以及粗差联合影响大小程度。
177
0.495
误差绝对值
个数
频率
91
0.254
81
0.226
66
0.184
44
0.123
33
0.092
26
0.072
11
0.031
6
0.017
0
0
358
1.000
从表中看出：
➢绝对值最大不超过某一限值（1.6秒）； ➢绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的个数多； ➢绝对值相等的正、负误差出现个数大致相等。
本章学习的目的要求:
➢ 掌握偶然误差的统计特性；
➢ 掌握衡量精度的指标；
➢ 掌握常用定权方法；
➢ 掌握误差传播律及协因数传播律。
重点、难点:
偶然误差的统计特性；衡量精度的指标以及精度和准 确度的联系与区别；误差传播律以及协因数传播律的应 用；定权方法。
2.1 偶然误差的统计特性
测量平差研究对象是偶然误差,为此,有必要对偶然误差的 性质作进一步的分析研究。
可见：精度高，不一定准确度也高！
当系统误差相对于偶然误差小到可以忽略时， 精度=精确度！