4 复合函数的求导法则

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4复合函数的求导法则

求w , 2w . x xz 解: 令 u x y z , v x y z , 则
w , f1 , f2
uv
wf(u,v)
w x
f11f2yz
x y zx y z
f 1 ( x y z ,x y z ) y z f 2 ( x y z ,x y z )
z
uv
t 证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量
t
有增量△u ,△v ,
zzuzv o ( ) ( (u)2(v)2)
u v
zzuzv o ( ) ( (u)2(v)2)
t ut vt t
令t 0, 有 u 0 , v 0 ,
u
x r
r
ux
(2)

2u x2
(( uu ))cos
rx xx
(

u x
)
sin r
r(urcos usinr)cos
r
x yx y
注意利用已有公式
(urcos
usin)sin
z ,
z .
x y
解:
z z u z v x u x v x
eusinv y eucovs1
z
e x y [y six n y ) (co x y s )( ]u v
z z u z v y u y v y
二、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ),(其中f具有一阶连续偏导
为 x2简w z便起f f1 1 见1 1, y 1 引( fx 入1 2 记z x) 号yf 1 f y1x 2 f2y 2 ufz y ,f z2 [ f1f 221y 2 1f u2 2fvf2,2 xy]

复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则

复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则复合函数如何求导？大学符合函数求导公式有哪些？下文小编给大家整理了复合函数的求导公式及法则，供参考！复合函数求导公式复合函数求导法则证法一：先证明个引理 f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) 证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0 因lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) 所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 因存在极限lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->;x0)f'(x)=H(x0) 所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0) 引理证毕。

设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) 证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。

大学数学_8_4 复合函数的求导法则

z dz ( u 2 v 2 )
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均在点 t 处可导， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数，写出复合函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(

复合函数的导数

yu (u2 ) 2u , ux (sin x) cos x.
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x，求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且或
或
证设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0

复合函数的求导法则

导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z z u z v ， . y u y v y x u x v x
链式法则如图示
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
y , 其中为可导函数, 七、设 z 2 2 f (x y ) 1 z 1 z z 2. 验证: x x y y y 八、设 z [ x ( x y ), y ], 其中 , 具有二阶导数,求 2z 2z , 2. 2 x yLeabharlann 练习题答案一、1、
du f ( u ,v , x ) x dx v
dv f ( u ,v , x ) x dx x
( u ,v , x )
.
练习题
一、填空题: x cos y z 1、设 z ,则 ________________； y cos x x z ________________. y x 2 ln( 3 x 2 y ) z z 2 、设 ,则 _______________； 2 x y z ________________. y sin t 2 t 3 dz z e 3、设 ,则 ________________. dt v z z 2 2 u 二、设 z ue ,而u x y , v xy ，求 , . x y
例：z = (1+ x )
2 sin3x
dz 求 dx
例：z = (x y )
2
2 2 x 3 y
z z 求 x y
2、复合函数求导注意事项：

复合函数求导公式运算法则

复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。

2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。

3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。

4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。

5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。

常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。

7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。

常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。

8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。

常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。

下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。

例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。

解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。

复合函数的导数求法

幂函数的导数
幂函数是形如$y = x^n$的函数，其中$n$是实数。
VS
幂函数的导数可以通过幂函数的定义和极限的定义求得，结果为$y' = nx^{n-1}$。
三角函数的导数
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数的导数是余弦函数，即$frac{d}{dx}sin x = cos x$；余弦函数的导数是负的正弦函数，即$frac{d}{dx}cos x = -sin x$；正切函数的导数是正切函数的平方与1的和的倒数，即$frac{d}{dx}tan x = frac{1}{cos^2 x}$。
探讨未来可能的研究方向
复杂复合函数的求导方法
对于更为复杂的复合函数，如多层嵌套、多变量复合等，需要进一步研究更为高效、简洁的求导方法。这有助于解决实际应用中更为复杂的数学问题。
复合函数导数的性质研究
复合函数的导数具有一些独特的性质，如连续性、可微性等。未来可以进一步探讨这些性质在复合函数求导中的应用，以及它们对导数求解的影响。
对数函数是形如$y = log_a x$的函数，其中$a > 0$且$a neq 1$。
03 复合函数求导举例
简单复合函数求导
举例1
$y = sin(2x)$
分析
这是一个简单的复合函数，其中内层函数是 $2x$，外层函数是$sin u$。
求导过程
根据链式法则，$frac{dy}{dx} = cos(2x) cdot 2 = 2cos(2x)$。
指数函数和对数函数的导数
指数函数的导数是其本身与底数自然对数的乘积，即$frac{d}{dx}a^x = a^x ln a$。
对数函数的导数是底数的倒数与自变量对数的倒数之积，即$frac{d}{dx}log_a x = frac{1}{x ln a}$。

复合函数求导

= f ′( u0 ) g ′( x0 ).
复合函数的求导法则可以写成: 复合函数的求导法则可以写成
dy dy du = dx du dx
即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求即因变量对自变量求导，导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则. 复合函数的微分公式为: 复合函数的微分公式为
n n1 (sin x n ) ′(sin x n ) cos x n nx n1
= n 3 x n1 cos x n f n1[ n (sin x n )]
n1 (sin x n ) f ′[ n (sin x n )] ′(sin x n ).
三、一阶微分的形式不变性
设函数 y = f ( x )有导数 f ′( x )
第四节
复合函数求导法则及其应用
一、复合函数求导法则二、初等函数的求导问题三、一阶微分的形式不变性四、隐函数的导数五、对数求导法六、参数形式的函数的求导公式
一、复合函数求导法则
定理4.4.1 (复合函数求导法则 ) 设函数 u = g( x ) 在 x0可导，可导，定理复合函数求导法则处可导，而函数 y = f (u) 在 u0 = g( x0 ) 处可导，则复合函数 y = f [ g( x )] 在 x0 可导，且有可导，且有:
d[ f ( g( x))] = f ′(u) g′( x)dx
推广
设 y = f ( u), u = (v ), v = ψ ( x ),
则复合函数
y = f { [ψ ( x )]}的导数为 :
dy dy du dv = dx du dv dx
例4.4.1 解: 求函数 y = ln sin x 的导数 .

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x 2 cos y
2 ( y x sin y cos y ) e
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z uv sin t , u e , v cos t , 求全导数 dt d z z du z 解: z d t u d t t u v t vet cos t
z
u
v

o( )
t t

(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv d t u d t v d t
( 全导数公式 )
偏导数连续减弱为说明: 若定理中偏导数存在, 则定理结论不一定成立.
u 2v
例如: z f ( u, v )
ut, vt
处可微 , 且 f 3, y (1,1)
( x ) f ( x , f ( x , x )) , 求
(2001考研)
解: 由题设 (1) f (1, f (1,1)) f (1,1) 1
d 3 d 2 ( x) 3 ( x ) dx dx x 1 x 1
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
u
e sin v
u
e u cos v 1
u
z
v yx y
z y
2z e
2
x2 y2 z2
2 x sin y
u
2 x ( 1 2 x sin y ) e
2
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
x y z
x y
u f f z y y z y
2 ye
x2 y2 z2
4
2ze
x2 y2 z2
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f ( u, v , w ) ,
z
u v w
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
t
t t
z
u v
z f ( u, v ) , u ( x , y ) , v ( x , y )
z z u z v f11 f 2 1 x u x v x z z u z v f1 2 f 2 2 y u y v y
z v v y
x
e sin v
u
e cos v 1
u
例2. u f ( x , y , z ) e
x2 y2 z2
u u , z x sin y , 求 , x y
2
u f 解: x x
2 xe
x2 y2 z2
z
u
t
v t
有增量△u ,△v , z z z u v o ( ) u v
z z u z v o( ) ( ( u ) 2 ( v ) 2 ) t u t v t t
有 u 0, v 0, u du v dv , t dt t dt
e x y [ y sin( x y ) cos( x y)]d x
dy
所以例1 . z eu sin v, u x y, v x y, 求 z , z . x y
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, u
易知:
u v 0,
2
2
, u v 0
2 2
u v 0
2 2
但复合函数 z f ( t , t ) t 2 z du z dv dz 1 01 01 0 u dt v dt dt 2
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
u (t ) , v (t ) , w (t ) dz z du z dv z dw d t u d t v d t w d t f1 f 2 f 3
3 f1( x , f ( x , x ))
3 2 3 (2 3) 51
f 2 ( x , f ( x , x ))

x 1
dz 一、设 z arctan(xy) ,而 y e ,求 . dx
x
二、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ), (其中f具有一阶连续偏导
t
e t (cos t sin t ) cos t
t
t
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
例4. 设
2
f 具有二阶连续偏导数,
w w w , f1 , f 2 求 , . x x z u v 解: 令 u x y z , v x yz , 则 w f ( u, v ) x y zx y z w f 2 yz x y z f 2 ( x y z, x yz ) 2w 2 f12 x y f ff 22 x y x z 为简便起见 , 引入记号 f f , 1 2 , 12 f11 y( x z ) f12 x yu f 22 y u v z f2
z z 数),求 , . x y 三、设 u f ( x xy xyz) ,(其中f具有一阶连续偏导
u u u , , . 数),求 x y z
x 四、设 z f ( x , ) ,(其中 f 具有有二阶连续偏导数),求 y
2z 2z 2z , , 2. x 2 x y y
x
y x
y
又如, z f ( x , v ) , v ( x , y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x
z y
f1 f 2 1
f 2 2x来自vx yz f 不同, 注意: 这里与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
u 2 sin cos u cos 2 2 r r r 2 2 2u 1 2u u u 2 2 2 2 2 r r x y u 2u 1 2 r ( r ) 2 r r r
二、多元复合函数的全微分设函数都可微, 则复合函数 z f ( ( x , y ) , ( x , y )) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )d y u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达
形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解:
d z d( e u sin v ) u e cos v dv
d (x y)
( yd x xd y)
d ( x y) (dx d y )
2
u 2 sin cos u sin 2 2 r r r
2u x
2
同理可得
2u y2
2u
u 2 sin cos u sin 2 2 r r r
2 u sin cos 2 u cos 2 2 sin 2 2 2 r r r r2
; 1
2. 全微分形式不变性
2 x y v
x y
不论 u , v 是自变量还是因变量,
dz f u ( u , v )du fv ( u , v )dv
备用题 1. 已知
求
解: 由
两边对 x 求导, 得
2. 设函数
在点
f f ( 1 ,1 ) 1, x
2,
(1,1)
第四节复合函数的求导法则Chain Rule
一元复合函数
求导法则微分法则本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则
第八章
二、多元复合函数的全微分
一、多元复合函数求导的链式法则定理. 若函数在点t处可导, z f ( u, v )
点处偏导连续, 则复合函数在点 t 可导, 且有链式法则 d z z d u z dv d t u d t v d t 证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量

u y u x u r r r 2 r u u cos sin x yx y r r u 2 u 2 u 2 1 u 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) x y r r
r y x , 2 y r y 1 ( y )2 x y 2 x
y 七、设 z , 其中为可导函数, 2 2 f (x y )
1 z 1 z z 验证: 2. x x y y y
八、设 z [ x ( x y ), y], 其中 , 具有二阶导数,求
2z 2z , 2. 2 x y
1 x
u u u sin u 已知 cos x r r u x 2 u sin u u u r ) ( 2) ( ( ) ) cos ( 2 r x x x r x x x yx y u cos u sin ( ) cos 注意利用 r r r 已有公式 u sin sin u cos ( ) r r r

4 复合函数的求导法则