T检验和方差分析的前提条件及应用误区探讨
关于t检验的个人见解
T检验注：这只是个人见解，若有错误之处，请各位同学指正。
T检验：⑴类型：①单样本t 检验：A. 样本均数代表的未知总体均数与已知总体均数的比较B. 配对设计均数比较②两样本或两独立样本或成组t检验：A. S12 = S22 ，用t检验B. S12不等于S22，用t’检验⑵应用：利用抽样研究获得的样本均数，完成两总体均数比较的过程⑶应用条件：①正态：样本来自正态总体②独立：数据间彼此保持独立③方差齐：两独立样本均数比较时，两样本对应的总体方差相同⑷前提：①当要单样本t 检验，先进行正态性检验，看是否服从正态分布②当要两样本或两独立样本或成组t检验，需要进行正态性检验和方差齐检验⑸具体步骤：如同假设检验以例子进行分析：为说明A、B两药治疗缺铁性贫血的效果，将18名该病患者随机分成两组，分别用药物A 或药物B治疗，同步观察治疗前后血红蛋白变化，结果见下表。
⑴若定义差值>11g/L为有效，试说明A药是否有效⑵比较A药治疗前后血红蛋白的差异⑶比较A、B两药的疗效是否有差别A 药患者编号123456789治疗前364453566258454326治疗后476268877358694950B 药患者编号123456789治疗前564967587340483629治疗后818670628476584960解：⑴若定义差值>11g/L为有效，试说明A药是否有效：分析题干可得，此为配对设计均数，因此需要进行正态性检验：①正态性检验：A. 建立检验假设，确定检验水准H0：总体服从正态分布H1：总体不服从正态分布α=0.1或0.2B. 计算检验统计量统计量自由度P差值利用计算机求出相应的值C. 确定P值，作出统计推断：P>α时，认为总体服从正态分布P<α时，认为总体不服从正态分布②t 检验：A. 建立检验假设，确定检验水准H0：—d ＞11g/L，则A药有效H1：—d ≤11g/L，则A药无效α= 0.05B. 计算检验统计量∑d =（47-36）+（62-44）+（68-53）+（87-56）+（73-62）+（58-58）+（69-45）+（49-43）+（50-26）= 140∑d2 = 2940 ，—d = （∑d ）/ n = 15.556S d = sqr［｛∑d2—（∑d）2/ n｝/ （n —1）］= 9.761S-d = S d /sqr（n）= 3.253t= -d - 11/ S-d = 1.400 ，υ= n - 1 = 8C. 确定P值，作出统计推断查表可知，0.05＜P＜0.1 （由于测得是有无药性，只是取单侧而已）即P ＞α, 不拒绝H0，差异无统计学意义，尚不能认为A药无效，也就是说A药有效⑵比较A药治疗前后血红蛋白的差异由题干可知，此属于配对设计中的同一受试对象处理前后的测定数据，且效应相同，即μ1=μ2，同时也需要进行正态性检验。
t检验和方差分析的前提条件及应用误区
t检验和方差分析的前提条件及应用误区集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#t检验和方差分析的前提条件及应用误区用于比较均值的t检验可以分成三类，第一类是针对单组设计定量资料的；第二类是针对配对设计定量资料的；第三类则是针对成组设计定量资料的。
后两种设计类型的区别在于事先是否将两组研究对象按照某一个或几个方面的特征相似配成对子。
无论哪种类型的t检验，都必须在满足特定的前提条件下应用才是合理的。
若是单组设计，必须给出一个标准值或总体均值，同时，提供一组定量的观测结果，应用t检验的前提条件就是该组资料必须服从正态分布；若是配对设计，每对数据的差值必须服从正态分布；若是成组设计，个体之间相互独立，两组资料均取自正态分布的总体，并满足方差齐性。
之所以需要这些前提条件，是因为必须在这样的前提下所计算出的t统计量才服从t分布，而t检验正是以t分布作为其理论依据的检验方法。
值得注意的是，方差分析与成组设计t检验的前提条件是相同的，即正态性和方差齐性。
t检验是目前医学研究中使用频率最高，医学论文中最常见到的处理定量资料的假设检验方法。
t检验得到如此广泛的应用，究其原因，不外乎以下几点：现有的医学期刊多在统计学方面作出了要求，研究结论需要统计学支持；传统的医学统计教学都把t检验作为假设检验的入门方法进行介绍，使之成为广大医学研究人员最熟悉的方法；t检验方法简单，其结果便于解释。
简单、熟悉加上外界的要求，促成了t检验的流行。
但是，由于某些人对该方法理解得不全面，导致在应用过程中出现不少问题，有些甚至是非常严重的错误，直接影响到结论的可靠性。
将这些问题归类，可大致概括为以下两种情况：不考虑t检验的应用前提，对两组的比较一律用t检验；将各种实验设计类型一律视为多个单因素两水平设计，多次用t检验进行均值之间的两两比较。
以上两种情况，均不同程度地增加了得出错误结论的风险。
而且，在实验因素的个数大于等于2时，无法研究实验因素之间的交互作用的大小。
T检验及其与方差分析的区别
T检验及其与方差分析的区别假设检验是通过两组或多组的样本统计量的差别或样本统计量与总体参数的差异来推断他们相应的总体参数是否相同。
t 检验：1.单因素设计的小样本（n＜50）计量资料2.样本来自正态分布总体3.总体标准差未知4.两样本均数比较时，要求两样本相应的总体方差相等?根据研究设计t检验可由三种形式：–单个样本的t检验–配对样本均数t检验(非独立两样本均数t检验)–两个独立样本均数t检验（1）单个样本t检验?又称单样本均数t检验(one sample t test),适用于样本均数与已知总体均数μ0的比较,其比较目的是检验样本均数所代表的总体均数μ是否与已知总体均数μ0有差别。
?已知总体均数μ0一般为标准值、理论值或经大量观察得到的较稳定的指标值。
?单样t检验的应用条件是总体标准未知的小样本资料( 如n<50),且服从正态分布。
（2）配对样本均数t检验?配对样本均数t检验简称配对t检验(paired t test),又称非独立两样本均数t检验,适用于配对设计计量资料均数的比较,其比较目的是检验两相关样本均数所代表的未知总体均数是否有差别。
?配对设计(paired design)是将受试对象按某些重要特征相近的原则配成对子，每对中的两个个体随机地给予两种处理。
?应用配对设计可以减少实验的误差和控制非处理因素，提高统计处理的效率。
?配对设计处理分配方式主要有三种情况：①两个同质受试对象分别接受两种处理，如把同窝、同性别和体重相近的动物配成一对，或把同性别和年龄相近的相同病情病人配成一对；②同一受试对象或同一标本的两个部分，随机分配接受两种不同处理，如例 5.2资料；③自身对比(self-contrast)。
即将同一受试对象处理（实验或治疗）前后的结果进行比较，如对高血压患者治疗前后、运动员体育运动前后的某一生理指标进行比较。
（3）两独立样本t检验两独立样本t 检验(two independent samples t-test)，又称成组t 检验。
t检验与单因素方差分析
在医学研究中，为了减少误差，提高统计 检验效率，控制非实验因素对结果的影响， 常常采用配对设计的方法。配对设计，是 指先根据配对的要求将试验对象两两配对， 然后将配成对子的两个试验对象随机地分 配到不同处理组中。 配对的要求是，配成对子的两个试验对象 条件尽量一致，不同对子间试验对象的条 件允许有差异。
假设检验的分类
根据是否正态分布：分参数检验和非参数 检验 根据处理因素：分单因素分析和多因素分 析 根据比较类型：分优效性、等效性和非劣 效性。
常用假设检验方法的选择（1）
样本与总体比较 配对 资料 非配对 资料 样本均数与总体均数比较的t检验 配对t检验 符号秩和检验 两独立样本比较的t检验 两均数 比较
• 第六步：点确定后产生结果，结果解读。
• 结果解读1
N：组1、组2的样本例数分别为8、9； 均值：组1、组2的均值分别为11.75、21.44； 标准差：组1、组2的标准差分别为5.392、 6.405； 均值的标准误：组1、组2的标准误分别为F=0.002，p=0.968，p>0.05 • 方差相等，t检验结果选第一行。
• 结果解读3
t：统计量t=-3.351 Sig（双侧）：p值=0.004，p<0.05 均值差值：两个均数的差值=-9.694 差值的95%CI：-15.861~-3.528
• U检验的公式：
t 检验和 u 检验
t检验 • 样本均数与总体均数比较的t检验 • 配对设计资料比较的t检验 • 两独立样本均数比较的t检验 方差分析 • 完全随机设计的单因素方差分析 • 多个样本均数间的多重比较
样本均数与总体均数的比较的t检验，亦 称单样本t检验(one sample t test) 。
方差和T检验
T检验在正态或近似正态分布的计量资料中，经常在使用前一章统计描述过程分析后，还要进行组与组之间平均水平的比较。
本章介绍的T 检验方法，主要应用在两个样本间比较。
如果需要比较两组以上样本均数的差别，这时就不能使用上述的T检验方法作两两间的比较。
对于两组以上的均数比较，可以使用方差分析方法。
用户可以指定一个或多个变量作为分组变量。
如果分组变量为多个，还应指定这些分组变量之间的层次关系。
层次关系可以是同层次的或多层次的。
同层次意味着将按照各分组变量的不同取值分别对个案进行分组；多层次表示将首先按第一分组变量分组，然后对各个分组下的个案按照第二组分组变量进行分组。
计算公式SPSS单样本t检验：检验某个变量的总体均值和某指定值之间是否存在显著差异。
统计的前提样本总体服从正态分布。
也就是说单样本本身无法比较，进行的是其均数与已知总体均数间的比较。
计算公式如下。
单样本t检验的零假设为H0总体均值和指定检验值之间不存在显著差异。
采用T检验方法，按照下面公式计算T统计量:如果相伴概率值P小于或等于用户设想的显性水平a，则拒绝H，可以认为总体均值和检验值之间存在显著性差异独立样本是指两个样本之间彼此独立没有任何关联，两个独立样本各自接受相同的测量，研究者的主要目的是了解两个样本之间是否有显著差异存在。
这个检验的前提如下。
1、两个样本应是互相独立的，即从一总体中抽取一批样本对从另一总体中抽取一批样本没有任何影响，两组样本个案数目可以不同，个案顺序可以随意调整。
1、两个总体应该服从正态分布。
2、T验的零假设H0为两总体均值之间不存在显著差异。
具体的计算中需要通过两步来完成：第一，利用F检验判断两总体的方差是否相同；第二，根据第一步的结果，决定T统计量和自由度计算公式，进而对T检验的结论作出判断SPSS采用Levene F方法检验两总体方差是否相同。
(1)两总体方差未知且相同情况下,T统计量计算公式为(2)两总体方差未知且不同情况下,T统计量计算公式为T统计仍然服从T分布，但自由度采用修正的自由度，公式为从两种情况下的T统计量计算公式可以看出，如果待检验的两样本均值差异较小,t值较小，则说明两个样本的均值不存在显著差异；相反,t值越大，说明两样本的均值存在显著差异。
方差分析的三个前提
方差分析的三个前提
方差分析是一种常见的统计分析方法，通常被用来比较两组及两组以上的实验数据，以及评估不同因素对结果和产出的影响。
这项统计分析要求有三个基本前提，包括可变性、等变性和正态分布。
首先，方差分析需要可变性，即变量(或因素)之间可以相互区分，而不存在重复或重叠的情况。
如果变量(或因素)没有充分的可变性，那么方差分析的结果将更加难以识别出每个变量(或因素)的独特作用。
其次，如果要进行方差分析，则需要满足等变性。
即所有变量(或因素)应具有相同的变异范围，以便精确地比较这些变量(或因素)之间的关系。
如果变量(或因素)没有达到等变性，那么可能会导致被检索出错误的结论，从而影响到统计分析的准确性和可靠性。
最后，方差分析还需要正态分布，这就要求试验单位在每个参与者测量的变量(或因素)上具有独立的性质。
正态分布的特征是，数据的分布在高维度实空间中服从对称性质，这就意味着数据在实质上是可比较的，从而可以进行评估和比较。
此外，数据在正态分布形状中也尽可能接近也就是说，峰、谷和颠峰部分之间的差异应该最小化，而不是有明显的趋势和噪音。
综上所述，方差分析的三个基本前提是可变性、等变性和正态分布。
这些前提的基础要求是必须满足的，以保证统计分析的正确性、可靠性和准确性。
因此，在实施方差分析前，必须充分考虑这三个规则，以确定因素的可变性、等变性和正态分布的程度，以确保分析结
果的准确性和可靠性。
浅释t检验方差分析的应用条件
比较是合理的 ,同样若两组标准差的比值大于 2 ,则方差可能不
齐 ,此时可用其方差比 ,去查 F 界值表 (方差齐性检验用) ,以确
认方差是否齐 ,若不齐 ,可改用 t′检验 ,当然对熟悉 SAS 软件或
SPSS 软件的非统计专业人员来说 ,问题可能就会变得简单一
些。
参 考 文 献
11 Robert G. D. Steel ,James H. Torrie. Principles and Procedures of Statis2 tics. New York :Mcgraw2Hill Book Co . , Inc. 1960.
( n1 - 1) s21/ σ21
n1 - 1 ( n2 - 1) s22/ σ22
=
s21/ σ21 s22/ σ22
(7)
n2 - 1
服从 F 分布 ,上式若满足 σ21 =σ22 ,则 (7) 式就成了 (5) 式的形式 。
可见多个均数比较的方差分析同样要满足正态性与方差齐性 。
那么在实际应用这些参数统计方法时 ,又该如何把握是否
一 、两均数比较的 t 检验的条件 我们来看一下作 t 检验时计算的统计量 :
t=
x1 - x2
(1)
s2c
(
1 n1
+
1) n2
它实际上是 t 分布变量的一个变通形式 ,t 分布的原形是
t= Z
(2)
U/ v
上式中分子 Z 是一个标准正态分布变量 ,分母中的 U 是一
个服从自由度为 v 的χ2 分布变量 , 根据检验时的无效假设 μ1
满足应用条件了呢 ? 这里提供一种比较简便的方法 ,在应用 t
检验 、方差分析时把握数据是否满足条件的一种粗略的估计办
方差分析的前提要求
方差分析的前提要求
方差分析是一种常见的统计分析方法，在进行方差分析之前，具体的要求至关重要。
这一部分将重点讨论方差分析的前提要求。
首先，当进行方差分析时，必须确保观测的样本是完全随机的。
这里的随机性是指样本的特征，包括但不限于变量类型、样本量以及样本的结构。
如果样本不是完全随机的，则可能会对方差分析的结果造成偏差。
其次，每个变量必须遵循正态分布。
由于方差分析的结果来自变量的模型，因此，变量的值必须遵循正态分布，否则可能会影响到方差分析结果的准确性和可靠性。
再次，进行方差分析时，必须使用独立样本。
这意味着，每个样本所包含的变量值必须是独立于其他样本的，所有样本必须独立并且具有相同的概率。
最后，在进行方差分析时，变量之间必须呈线性关系。
这意味着，变量之间不能存在任何干扰因素，任何非线性的关系都会影响到方差分析的结果。
综上所述，进行方差分析的前提要求是：样本是完全随机的；每个变量遵循正态分布；使用独立样本；变量之间呈线性关系。
这些要求是衡量方差分析结果准确性和可靠性的重要原则，必须严格遵守这些条件才能得到准确的方差分析结果。
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用于比较均值的t检验可以分成三类，第一类是针对单组设计定量资料的；第二类是针对配对设计定量资料的；第三类则是针对成组设计定量资料的。
后两种设计类型的区别在于事先是否将两组研究对象按照某一个或几个方面的特征相似配成对子。
无论哪种类型的t检验，都必须在满足特定的前提条件下应用才是合理的。
若是单组设计，必须给出一个标准值或总体均值，同时，提供一组定量的观测结果，应用t检验的前提条件就是该组资料必须服从正态分布；若是配对设计，每对数据的差值必须服从正态分布；若是成组设计，个体之间相互独立，两组资料均取自正态分布的总体，并满足方差齐性。
之所以需要这些前提条件，是因为必须在这样的前提下所计算出的t统计量才服从t分布，而t检验正是以t分布作为其理论依据的检验方法。
值得注意的是，方差分析与成组设计t检验的前提条件是相同的，即正态性和方差齐性。
t检验是目前医学研究中使用频率最高，医学论文中最常见到的处理定量资料的假设检验方法。
t检验得到如此广泛的应用，究其原因，不外乎以下几点：现有的医学期刊多在统计学方面作出了要求，研究结论需要统计学支持；传统的医学统计教学都把t检验作为假设检验的入门方法进行介绍，使之成为广大医学研究人员最熟悉的方法；t检验方法简单，其结果便于解释。
简单、熟悉加上外界的要求，促成了t检验的流行。
但是，由于某些人对该方法理解得不全面，导致在应用过程中出现不少问题，有些甚至是非常严重的错误，直接影响到结论的可靠性。
将这些问题归类，可大致概括为以下两种情况：不考虑t检验的应用前提，对两组的比较一律用t检验；将各种实验设计类型一律视为多个单因素两水平设计，多次用t检验进行均值之间的两两比较。
以上两种情况，均不同程度地增加了得出错误结论的风险。
而且，在实验因素的个数大于等于2时，无法研究实验因素之间的交互作用的大小。
医学论文中常见的统计方法误用
一、等级资料用卡方检验代替秩和检验
卡方检验主要用于计数资料的显著性检验。
在卡方检验中，各项的秩序任意
排列所得的值相同，判断结果也相同。
但等级资料有强弱之分，不能任意排列，只能从强到弱或从弱到强。
卡方检验没有考虑到等级的强弱信息，而秩和检验考虑到了这一点。
单项有序分类资料应使用秩和检验。
二、计量资料方差不齐时，仍用t检验或方差分析
这一错误在医学论文中较常见。
有许多作者忽略了数据的方差齐性，不经检验直接使用t检验或方差分析。
当各样本组经方差齐性检验方差不齐时，可采用以下3种方法来处理：(1)用非参数检验方法；(2)用近似法(如t'检验)；(3)采用变量变换法，使其方差呈齐性。
三、四格表卡方检验忽略使用条件
四格表卡方检验的条件为n>40，且理论频数T> 5。
四格
表资料如n>40，但1<T<5时，则需用校正卡方检验。
当n<40，或T<1，则需用四格表确切概率计算法。
经校正或使用确切概率法，有些P值会发生变化，结论也会不同。
在作计数资料统计处理时，一定要注意这个问题，才能得到正确的结果。
为什么不能用t检验取代方差分析
（1）问题的提出：在对均值进行假设检验时，一般有两种参数检验方法，即t检验与方差分析。
t检验仅用在单因素两水平设计（包括配对设计和成组设计）和单组设计（给出一组数据和一个标准值的资料）的定量资料的均值检验场合；而方差分析用在单因素k水平设计（k≥3）和多因素设计的定量资料的均值检验场合。
应当进一步说明的是，方差分析有十几种，不同的方差分析取决于不同的设计类型。
值得指出的是有一种不好的倾向，即大多数医学科研工作者习惯于用t检验取代一切方差分析。
有些人的辩解是，若方差分析得到差别有显著性意义的结论，不还需要用t检验进行两两比较吗？不如一开始就进行多次t检验更方便。
其实，这种认识是不妥当的。
现分两种情形讨论如下。
（2）不能用t检验取代方差分析的理由
①单因素k（k≥3）水平设计时的情形。
为了便于读者理解，从分析具体问题入手。
[实例]研究单味中药对小鼠细胞免疫机能的影响，把40只小鼠随机均分为4组，每组10只，雌雄各半，用药15d后测定E-玫瑰结成率（%），结果如下，试比较各组总体均值之间的差别有无显著性意义？
对照组： 14 10 12 16 13 14 12 10 13 9
党参组： 21 24 18 17 22 19 18 23 20 18
黄芪组： 24 20 22 18 17 21 18 22 19 23
淫羊藿组： 35 27 23 29 31 40 35 30 28 36
由于测定指标是“率”，一般不符合“正态性”要求，故常作“平方根反正弦变换”，将其转变成近似服从正态分布的“弧度值”。
此处仅为了说明t检验与方差分析的区别，姑且将数据看作定量的观测值，并直接检验资料的前提条件，得知该资料满足正态性和方差齐性，故直接进行有关的假设检验。
处理本例资料，通常人们错误的做法是，重复运用成组设计资料的t检验对4个组的均值进行6次两两比较；而正确的做法是，先进行单因素4水平设计资料的方差分析，若4个总体均值之间的差别有显著性意义，再用q检验等方法进行多个均值之间的两两比较。
下面将从多个方面来说明上述两种分析方法之间的差异（表1）。
表1 用t检验与方差分析处理[实例]资料的区别
比较的内容t检验方差分析加q检验
资料的利用率低：每次仅用两组高：每次要用全部数据对原实验设计的影响残：割裂了整体设计全：与原实验设计相呼应犯假阳性错误的概率大：1-（1-0.05）6= 0.265 小：0.05（假定α=0.05）
结论的可靠性低：统计量的自由度小
（υ=18）高：统计量的自由度大
（υ=36）
注：自由度大，所对应的统计量的可靠性就高，它相当于“权重”，也类似于产生“代表”的基数，基数越大，所选出的“代表”就越具有权威性。
②多因素设计时的情形。
为了便于读者理解，仍从分析具体问题入手（表2）。
表2 注射氯化锂或烟碱后不同时间大鼠体温的下降值
使用氯化锂与否使用
烟碱
与否
第二次注射后不同时间体温下降值（摄氏度）
时间： 0.7 1.5 3 5
- - 0.0±0.4 0.2±0.5 0.1±0.4 0.3±0.5 + - 0.7±0.5 0.1±0.5 0.1±0.6 0.2±0.5 - + 1.2±0.8 0.1±0.6 0.4±0.5 0.4±0.3 + + 1.7±0.6 0.7±0.6 0.3±0.6 0.1±0.5
显然,表2中涉及到的3个实验因素(即”使用氯化锂与否”、“使用烟碱与否”、“药物在体内作用时间”)。
这些因素之间一般都存在不同程度的交互作用，应当选用与设计类型（本例为具有一个重复测量的三因素设计）相对应的方差分析方法。
然而，对于处置复杂的实验设计问题，人们常犯的错误是在；其一，将多因素各水平的不同组合（本例中共有16种不同的组合，相当于16种不同的实验条件）、简单地看作单因素的多个水平（即视为单因素16水平），混淆了因素与水平之间的区别，从而错误地确定了实验设计类型；其二，分析资料时，常错误用单因素多水平设计或仍采用多次t检验进行两两比较。
误用这两种方法的后果是，不仅无法分析因素之间的交互作用的大小，而且，由于所选用的数学模型与设计不匹配，易得出错误的结论。