习题课9(微分方程与差分方程简介)
最新微分方程与差分方程详解与例题
微分方程与差分方程详解与例题第七章常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。
微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。
特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的简单应用。
【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。
理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。
了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。
会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。
求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。
利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。
若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
微分方程与差分方程
λ = −1± i, 则齐次方程的通解为 y = e−x (C1 cos x + C2 sin x). 因 −1+ i 是单特征根，故设原非齐次方程的特解为
y* = xe−x[( A0 x + A1) cos x + (B0 x + B1) sin x].
402
把它代入原非齐次方程得
4B0 x cos x + 2(A0+B1) cos x − 4A0 x sin x + 2(B0−A1) sin x = x cos x + 3sin x,
解 将特解 y = e2x + (1+ x)ex 代入原非齐次微分方程得 (4 + 2 p + q)e2x + (3 + 2 p + q)ex + (1+ p + q)xex = rex.
比较系数，得方程组
⎧2 p + q = −4, ⎧ p = −3;
⎪⎨2 p + q − r = −3,⇒ ⎪⎨q = 2;
tan y
tan x
∫
1 tan
y
d
tan
y
=
−∫
1 tan
x
d
tan
x,
ln(tan y) = − ln(tan x) + ln C, 故通解为 tan x tan y = C. 例3 求微方程 cos ydx + (1+ e−x ) sin ydy 在 y(0) = π 下的特解.
4
解 原方程变形为 (1+ e−x ) sin ydy = − cos ydx, 分离变量，得
过程，只要对所给通解求若干次导数，以消去所有任意常数即可.
微分方程与差分方程详细讲解与例题
第七章 常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。
微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。
特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。
【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。
理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。
了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。
会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
【考点分析】本章包括三个重点容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。
求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。
利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。
若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
第九章-微分方程与差分方程简介市公开课一等奖省赛课获奖课件
x
C2
例3.求解微分方程
y
y2 ，y(0) 1，y(0) 1. y
解: 设
y
p( y) ，则
y
p
dp dy
代入方程得
p dp p2 ， dy y
p(
dp dy
p y
)
0
p0
27
第27页
（三）不显含自变量 x 二阶微分方程
2
第2页
第一节 微分方程普通概念
例2.设 s=s(t) 为作自由落体运动物体在 t 时刻
下落距离, 则有
d 2s dt 2 g
s(t) g
s g
ds dt
g
ds dt
gt
C1
s(0) 0
s(0)
0
ds gdt
ds gdt
s gt C1
ds ( gt C1 )dt
ds (gt C1 )dt
于价格P线性函数: QS a bP ， QD c dP ，
且 a, b, c, d 都是已知正常数. 当 QS = QD 时, 得
均衡价格 P
ac .
当 QS
> QD 时, 价格将下降,
bd
当 QS < QD 时, 价格将上涨,故价格是时间t 函数.
假设在时刻t价格P(t)改变率与这时过剩需求量
x
因
P(
x)dx
1 x
dx
ln
x
ln
1 x
，
Q(
x)e
P
(
x )dx
dx
1
x 2eln x dx
xdx x2 ，
2
故 y ( x2 C )e(ln x) ( x2 C ) x Cx x3 .
微分方程差分方程
微分方程差分方程（原创实用版）目录1.微分方程和差分方程的定义2.微分方程和差分方程的联系与区别3.微分方程和差分方程的应用领域正文微分方程和差分方程都是数学领域中重要的方程式，它们各自具有独特的性质和应用，但在某些方面也存在相似之处。
本文将从定义、联系与区别以及应用领域三个方面对微分方程和差分方程进行介绍。
一、微分方程和差分方程的定义微分方程是一种包含未知函数及其导数的方程，描述了物理量在时间、空间上的变化规律。
微分方程中的未知函数通常表示某一物理量的瞬时变化率，如速度、加速度等。
差分方程是一种离散形式的微分方程，它描述了离散系统中各变量之间的变化关系。
差分方程中的未知函数通常表示某一离散系统中各个时刻的变量值，如数列、矩阵等。
二、微分方程和差分方程的联系与区别1.联系微分方程和差分方程都是描述系统变化的数学模型，它们之间存在一定的联系。
微分方程是差分方程的连续形式，而差分方程是微分方程的离散形式。
这意味着，当微分方程中的自变量离散化时，可以得到相应的差分方程；反之，当差分方程中的自变量连续化时，可以得到相应的微分方程。
2.区别微分方程中的未知函数通常表示物理量的瞬时变化率，而差分方程中的未知函数表示离散系统中各个时刻的变量值。
这意味着，微分方程描述的是连续系统中的变化规律，而差分方程描述的是离散系统中的变化规律。
此外，微分方程和差分方程的求解方法也有所不同。
微分方程通常采用积分方法求解，而差分方程则采用代数方法求解。
三、微分方程和差分方程的应用领域微分方程广泛应用于物理、工程、生物学等领域，描述了各种连续现象的变化规律。
例如，牛顿运动定律、电磁场方程、生态系统模型等都包含微分方程。
差分方程在计算机科学、信息处理、控制论等领域具有重要应用。
例如，数值方法中的欧拉法、龙格 - 库塔法等用于求解常微分方程；离散系统中的状态转移方程、输入输出关系等都可以用差分方程来描述。
微分方程与差分方程简介
差分方程的分类
一阶差分方程
只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
高阶差分方程
包含多个差分的方程，如 (y(n+2) - 2y(n+1) + y(n) = 0)。
线性差分方程
差分项之间线性关系的方程，如 (y(n+1) - y(n) = a + by(n))。
非线性差分方程
05
微分方程与差分方程的 稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析是一种判断动 态系统稳定性的方法，通过分析系统 状态的变化趋势，判断系统是否具有 稳定性。
李雅普诺夫第二方法通过构造一个正 定的李雅普诺夫函数，来研究非线性 系统的稳定性，这种方法适用于非线 性系统的稳定性分析。
线性稳定性分析
经济问题
描述市场供需关系、价格变动、经 济增长等。
03
02
工程问题
控制工程、航空航天、机械工程等 领域。
生物医学问题
描述生理过程、药物动力学、流行 病传播等。
04
02
差分方程简介
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量变化规律的数学模型，通常表示为离散变量的函数及其差分之间的关系式。
它与微分方程类似，但时间或空间变量是离散的，而不是连续的。
微分方程与差分方程 简介
目 录
• 微分方程简介 • 差分方程简介 • 微分方程与差分方程的联系与区别 • 微分方程与差分方程的数值解法 • 微分方程与差分方程的稳定性分析
01
微分方程简介
微分方程的定义
1
微分方程是包含一个或多个未知函数的导数的方 程。
2
它描述了某一函数随时间或其他变量的变化规律。
第九章--微分方程与差分方程简介
于是非齐次方程的一个特解为：y* =kxa x-1 x
例5 求解差分方程 2y x+1 − 4y x = 2
解：原方程可化为 y x+1 − 2y x = 2 x % 则相应齐方程的通解为 y x =C ⋅ 2 x 由于p=2=a, 所以原方程的特解应设为 y* = Ax 2 x x 代入原方程得： A(x+1)2 x +1 − 2 Ax 2 x = 2 x , 1 ⇒A= 2 1 x * y x = x 2 =x 2 x -1 于是 2 所以原方程的通解为： y x =x 2 x -1 +C ⋅ 2 x
(2)∆(cyx ) = c∆y x (c为常数)
(3)∆ (ay x + bz x ) = a∆y x + b∆z x , b为常数) (a
(4)∆ ( yx z x ) = yx +1∆z x + z x ∆yx = y∆z x + z x +1∆yx
yx z x ⋅ ∆y x − y x ⋅ ∆z x (5) ∆( ) = zx z x ⋅ z x +1
23
1、二阶齐次差分方程的通解 由9.6节可知，要求齐次差分方程的通解，只需找出 两个线性无关的特解即可。仿照一阶齐次差分方程， 设二阶齐次差分方程存在指数形式的解： y x = λ x , （λ ≠ 0） 代入原方程得：
λ x+2 + pλ x+1 + qλ x = 0
即：
λ x + pλ + q = 0
11
9.6、常系数线性差分方程 、
9.6.1 n阶 系 线 差 方 的 本 质 常 数 性 分 程 基 性 n阶 系 线 差 方 的 般 式 ： 常 数 性 分 程 一 形 为 yx+n +p1yx+n-1+L+pn-1yx+1+pny1 = f (x) 其 ， 1，， n为 知 数 且 n ≠ 0， (x)为 知 数 中 pL p 已 常 ， p f 已 函 。 当 (x)=0时 上 方 则 n阶 系 齐 线 差 方 。 ， 述 程 为 常 数 次 性 分 程 f 当 (x) ≠ 0时 上 方 则 n阶 系 非 次 性 分 程 ， 述 程 为 常 数 齐 线 差 方 。 f
微分方程差分方程
微分方程差分方程摘要：1.微分方程与差分方程的定义及区别2.微分方程的应用领域3.差分方程的应用领域4.求解微分方程和差分方程的方法5.两者在实际问题中的结合与转化正文：微分方程与差分方程是数学中的两种重要方程类型，它们在许多实际问题中有广泛的应用。
尽管它们具有一定的相似性，但它们之间仍然存在着明显的区别。
本文将对微分方程和差分方程进行简要介绍，并探讨它们在实际问题中的求解方法及应用领域。
一、微分方程与差分方程的定义及区别1.微分方程微分方程是一种描述变量随时间变化的数学方程。
它包含一个或多个未知函数及其导数，要求求解该未知函数在某一区间内的解。
微分方程可以分为线性和非线性两类。
2.差分方程差分方程是一种离散时间模型，它描述了变量在离散时间点上的关系。
差分方程包含一个或多个未知数，并要求求解这些未知数在离散时间点上的取值。
与微分方程类似，差分方程也可以分为线性和非线性两类。
二、微分方程的应用领域1.物理：微分方程在物理学中被广泛应用于描述力学、电磁学、热力学等领域中的现象。
2.生物学：微分方程在生物学中可以用于描述生物种群的数量变化、生长速率等。
3.经济学：微分方程在经济学中可以用于描述物价、产量等经济指标的变化。
4.工程：微分方程在工程领域中可以用于分析结构的动态特性、控制系统的稳定性等。
三、差分方程的应用领域1.计算机科学：差分方程在计算机科学中可以用于数值计算、图像处理等领域。
2.生物学：差分方程在生物学中可以用于模拟生物种群的动态行为。
3.社会科学：差分方程在社会科学中可以用于研究人口统计、经济学模型等。
4.工程：差分方程在工程领域中可以用于分析系统的稳定性、预测发展趋势等。
四、求解微分方程和差分方程的方法1.数值方法：对于微分方程和差分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
2.解析方法：对于一些简单的微分方程和差分方程，可以尝试通过解析方法求解，如分离变量法、常数变易法等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第九章
微分方程与差分方程简介
解 (3) xy y x 2 y 2 0
dy y y 2 1 ( ) dx x x
齐次方程
y 令 u x
dx x 1 u2 du
y ux
代人并整理得
du
dx , x 1 u2
u 1 u Cx
2
ln( u 1 u 2 ) ln x ln C
微分方程与差分方程简介
三、二阶微分方程 一般形式
F ( x , y , y, y) 0
1.可降阶的微分方程 1）形如
y( n) f ( x )
求解方法 作 n 次两边积分即可
1/7/2014 10:08 PM
第九章
微分方程与差分方程简介
2）形如 求解方法
y f ( x , y) ——不显含 y
y p( x ) y q( x ) y f1 ( x ) y p( x ) y q( x ) y f 2 ( x )
y1 ( x ) y2 ( x ) 是非齐次方程 的特解，则
y p( x ) y q( x ) y f ( x )
的特解。
则 性无关的特解， C1 y1 ( x ) C2 y2 ( x ) 是齐次方程
其中 C1 , C2 为任意常数。 的通解， （解的叠加原理）
1/7/2014 10:08 PM
第九章
微分方程与差分方程简介
关于线性非齐次方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x ) 性质2 若 y ( x )是非齐次方程的一个特解，
其中 i 是特征方程的 k 重根 n max{l , m }
1/7/2014 10:08 PM
第九章
微分方程与差分方程简介
3.二阶线性微分方程解的性质 关于线性齐次方程 y p( x ) y q( x ) y 0
性质1 若 y1 ( x ) , y2 ( x ) 是齐次方程的两个线
第九章
微分方程与差分方程简介
二阶常系数线性非齐次方程 y py qy f ( x )
(1) f ( x ) e x Pm ( x ) y* x k Qm ( x ) e x ( k 0,1,2)
特解形式
其中 是特征方程的 k 重根。
(2) f ( x ) e x [ Pl ( x )cos x Pm ( x )sin x ] y* x k e x [ Rn cosx Rn sin x ] ( k 0,1) 特解形式
两边同时积分即得通解。
1/7/2014 10:08 PM
第九章
微分方程与差分方程简介
2.齐次微分方程 形如
dy y f( ) dx x y 作变量代换 v x
求解方法
dv dx f (v ) v x
可分离变量的方程
1/7/2014 10:08 PM
第九章
微分方程与差分方程简介
3.一阶线性微分方程 形如
2
(8) ( x 2 1)dy (2 xy cos x )dx 0
y
x 0
1
1/7/2014 10:08 PM
第九章
2
微分方程与差分方程简介
dy 解 (4) ( x 1) 2 xy 4 x 2 dx 2 dy 2x 4x 2 y 2 dx x 1 x 1 一阶线性
1 x 2
第九章
微分方程与差分方程简介
解 (4) ( xy 2 x )dx ( y x 2 y )dy 0
ydy xdx 2 2 y 1 x 1
ydy xdx 2 2 y 1 x 1
ln( y 2 1) ln x 2 1 ln C y2 1 C x2 1
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
微积分讲义
1/7/2014 10:08 PM
设计制作
王新心
习题课 微分方程与差分方程简介
一 微分方程的一般概念
二 三 四
1/7/2014 10:08 PM
一阶微分方程 二阶微分方程 例题
第九章
微分方程与差分方程简介
一、微分方程的一般概念 形如
微分方程
利用公式 y e
p ( x ) dx
p( x ) dx dx C ) ( q( x )e
通解
2x 4 x2 p( x ) 2 , q( x ) 2 x 1 x 1 1 4 3 y 2 ( x C) x 1 3
1/7/2014 10:08 PM
第九章
2x cos x p( x ) 2 , q( x ) 2 通解 x 1 x 1 sin x 1 1 y 2 (sin x C ) 代人条件得特解 y 2 x 1 x 1
1/7/2014 10:08 PM
第九章
微分方程与差分方程简介
【例4】（P411第5题）
求下列各微分方程的通解或在给定初始
x
2
1
1/7/2014 10:08 PM
第九章
微分方程与差分方程简介
解 (2) xydx 1 x 2 dy 0
dy x dx y 1 x2 dy x y 1 x 2 dx
ln y 1 x 2 ln C
y Ce
1/7/2014 10:08 PM
1/7/2014 10:08 PM
第九章
微分方程与差分方程简介
【例2】（P410第3题） 求下列各微分方程的通解或在给定初始 条件下的特解
(3) xy y x 2 y 2 0
(6) ( x 2 y 2 )dx xydy 0 y
x 1
0
1/7/2014 10:08 PM
方程不 显含 y
dp x p0 dx
C1 解得 p x
dy C1 即 dx x
通解为 y C1 ln x C 2
1/7/2014 10:08 PM
第九章
微分方程与差分方程简介
解
(7)
y y
方程不 显含 y
令 y p , y p , y p , 方程变形为
y py qy f ( x )
f ( x ) 0 二阶常系数线性齐次方程 f ( x ) 0 二阶常系数线性非齐次方程
求解方法
二阶常系数线性齐次方程
y py qy 0
1/7/2014 10:08 PM
第九章
2
微分方程与差分方程简介
特征方程 r pr q 0 ， 特征根 r1 , r2 特征根
二阶常系数 线性方程
p p 0
通解
p C1e x C 2
即
dy C 1e x C 2 dx
y C1e x C2 x C 3 原方程的通解为
1/7/2014 10:08 PM
第九章
微分方程与差分方程简介
解 (8) y 3 y
dp 令 y p , y p , dy
1/7/2014 10:08 PM
第九章
微分方程与差分方程简介
解
(8)
y sin x y cos x 0 ,
y
x
2
1
dy cot xdx 先求通解 y
ln y ln sin x ln C
dy y cot xdx
y C sin x
代人初始条件得 C 1 故特解为 y sin x
Y ( x ) 是对应的齐次方程的通解， 则
y( x ) Y ( x ) y ( x )
是非齐次方程的通解。
1/7/2014 10:08 PM
第九章
微分方程与差分方程简介
性质3 若在非齐次方程中
f ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x )
y1 ( x ) , y2 ( x ) 分别是方程
令 y p
p f ( x , p)
一阶微分方程
3）形如 求解方法
y f ( y , y) ——不显含 x
令 y p ,
dp y p dy
dp p f ( y , p ) 一阶微分方程 dy
1/7/2014 10:08 PM
第九章
微分方程与差分方程简介
2.二阶常系数微分方程 形如
F ( x, y, y, , y( n ) ) 0
的方程称为 n 阶（常）微分方程，满足方程的 未知函数称为微分方程的解。 微分方程的解 通解
特解
1/7/2014 10:08 PM
第九章
微分方程与差分方程简介
二、一阶微分方程 一般形式
F ( x , y , y) 0
1.可分离变量的微分方程 形如
p ( x ) dx
p( x ) dx dx C ) ( q( x )e
4.伯努利 ( Bernoulli )方程 形如
dy p( x ) y q( x ) y n ( n 0, 1) dx
求解方法 令 z y1n
1/7/2014 10:08 PM
一阶线性微分方程
第九章
y p( x ) y q( x )
q( x ) 0 一阶线性齐次微分方程 q( x ) 0 一阶线性非齐次微分方程
求解方法
一阶线性齐次微分方程 直接分离变量即可
1/7/2014 10:08 PM
第九章
微分方程与差分方程简介
一阶线性非齐次微分方程 常数变易法 也可直接用公式
ye
条件下的特解
(4) xy y 0 (7) y y