典型相关分析
典型相关分析
典型相关分析简介典型相关分析（canonical correlation analysis, CCA）是一种多变量统计分析方法，用于研究两组观测变量之间的相关性。
该方法可以帮助我们理解两组变量之间的线性关系，并找出两组变量中最相关的部分。
在机器学习、数据挖掘以及统计学中，典型相关分析被广泛应用于特征选择、降维和模式识别等领域。
方法典型相关分析是基于矩阵分解的方法，通过将两组变量转化成低秩的典型变量来寻找相关性。
典型相关分析的基本思想是找出两组变量的线性组合，使得这两个组合能够达到最大的相关性。
具体而言，给定两组变量X和Y，我们可以得到X的线性组合u和Y的线性组合v，使得cor(u,v)达到最大。
其中cor(u,v)表示两个向量u和v的相关系数。
典型相关分析的目标即是求解出使得cor(u,v)最大的u和v。
下面是典型相关分析的数学表示形式:max cor(u,v)subject to u = Xa, v = Yb其中，X和Y分别是两组变量的矩阵，u和v是X和Y的线性组合，a和b是权重向量。
通过求解最优化问题，我们可以得到最相关的线性组合u和v，从而得到最相关的部分。
应用典型相关分析广泛应用于多个领域，下面列举了几个常见的应用场景：特征选择在特征选择中，我们经常面临着从大量的特征中选取最相关的特征集合。
典型相关分析可以帮助我们通过寻找两组变量之间的相关性，筛选出对目标变量有着较强相关性的特征。
通过选择最相关的特征，我们可以提高模型的泛化能力，并降低过拟合的风险。
降维在大数据时代，数据维度高维且复杂。
降维可以帮助我们减少计算负担，并去除冗余信息。
典型相关分析可以通过找出两组变量最相关的部分，将原始多维数据降到低维空间。
这样做可以减少计算复杂度，提高模型的训练速度，并帮助我们更好地理解数据之间的关系。
模式识别典型相关分析在模式识别领域也有着重要的应用。
通过找出两组变量之间的最相关部分，我们可以构建更加精确和可靠的模式识别模型。
典型相关分析冗余分析
典型相关分析冗余分析典型相关分析（Canonical Correlation Analysis，CCA）是一种用于探索两组变量之间关系的统计方法。
它可以同时分析两组变量之间的线性关系，在数据降维、特征选择、模式识别等领域有广泛的应用。
冗余分析（Redundancy Analysis，RDA）是典型相关分析的一种扩展形式，主要用于解释连续型解释变量对两组变量关系的贡献。
典型相关分析的基本思想是寻找两组变量之间的最大相关性。
假设有两组变量X和Y，其中X = [X1, X2, ..., Xp]和Y = [Y1, Y2, ..., Yq]，它们都是经过标准化的观测值。
典型相关分析的目标是找到一对线性组合，分别称为第一个典型变量对（first canonical variate pair），使得在两组变量之间的相关系数最大。
然后，可以继续找到第二个典型变量对，它与第一个典型变量对相互独立且与之前的典型变量对相关性最大，依此类推。
最后，可以得到p个典型变量对，每个典型变量对都有一个相关系数，表示两组变量之间的关系。
典型相关分析的核心是求解降维问题，通过计算两组变量在每个典型变量对上的线性组合，可以将原始数据映射到一个低维空间。
这样一来，可以简化原始数据的复杂性，并且保留最相关的信息。
在特征选择和数据可视化中，典型相关分析可以帮助我们识别重要的变量和确定关键的模式。
冗余分析是典型相关分析的一种扩展形式，它增加了一个连续型解释变量的考虑。
冗余分析的目标是找到解释变量集合对两组变量关系的贡献。
在典型相关分析中，我们已经找到了两组变量之间的最大相关性，而冗余分析可以帮助我们理解这种相关性是如何受解释变量影响的。
通过计算解释变量对两组变量的解释度（explained variance），可以确定解释变量在两组变量关系中的贡献。
冗余分析可以用于数据挖掘、模式识别和建模等领域。
在数据挖掘中，冗余分析可以帮助我们识别和理解分类或预测模型中的关键变量。
典型相关分析
§15.2 典型相关分析的步骤及逻辑框图
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图15.1 典型相关分 析的逻辑框图
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§15.2 典型相关分析的步骤及逻辑框图
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图15.1 典型相关分析 的逻辑框图 （续）
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§15.1 典型相关分析的基本理论
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§15.1 典型相关分析的基本理论
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§15.1 典型相关分析的基本理论
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§15.2 典型相关分析的步骤及逻辑框图
（一）推导典型函数 典型函数的推导类似于没有旋转的因子分析的过程[参见 前面推导]。典型相关分析集中于说明两组变量间的最 大相关关系，而不是一组变量。结果是第一对典型变量 在两组变量中有最大的相关关系。第二对典型变量得到 第一对典型变量没有解释的两组变量间的最大相关关系。 简言之，随着典型变量的提取，接下来的典型变量是基 于剩余残差，并且典型相关系数会越来越小。每对典型 变量是正交的，并且与其他的典型变量是独立的。 典型相关程度是通过相关系数的大小来衡量的。典型相
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典型相关分析
一、典型相关分析的概念典型相关分析(canonical correlation analysis ) 就是利用综合变量对之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性的多元统计分析方法。
它的基本原理是：为了从总体上把握两组指标之间的相关关系，分别在两组变量中提取有代表性的两个综合变量U1和V1 (分别为两个变量组中各变量的线性组合)，利用这两个综合变量之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性。
二、条件：典型相关分析有助于综合地描述两组变量之间的典型的相关关系。
其条件是，两组变量都是连续变量，其资料都必须服从多元正态分布。
~*、相关计算如果我们记两组变量的第一对线性组合为U1 1X V1 1Y1(a11 1 1 a21 , , a p1 )1 (11 ,21 , ,q1 )Var (U1) 1Var (X ) 111 1Var (V1) 1Var (Y ) 1 1 22 1 1典型相关分析就是求和，使二者的相关系数达到最大。
1 1典型相关分析希望寻求 a 和b 使得p 达到最大，但是由于随 机变量乘以常数时不改变它们的相关系数， 为了防止不必要的结 果重复出现，最好的限制是令 Var(U) =1和Var (V ) = 11.实测变量标准化;2.求实测变量的相关阵R;XXl，…,X3.求A 和B;A1XXXY 1YYYX B1YY YX1XXXY4、求A 和B 的特征根及特征向量;A 关于 ，的特征向量(a i ,比，…，ap )，求B 关于i的特征向量(bi 1, b i2, •…bi P ) 5、计算Vi 和Wi ；V i b i1X 1 b i2X 21X Y Y Yrp1!qqb ip X p Wiai1Y 1ai2丫 2a iq Y qR「i6、Vi 和Wi 的第i 对典型相关系数应用典型相关分析的场合是：可以使用回归方法, 但有两个或两个以上的因变量；特别是因变量或准则 变量相互间有一定的相关性，无视它们之间相互依赖 的关系而分开处理，研究就毫无意义。
多元统计分析——典型相关分析
多元统计分析——典型相关分析典型相关分析（Canonical correlation analysis）是一种多元统计分析方法，用于研究两组变量之间的关联性。
与传统的相关分析不同，典型相关分析可以同时考虑多组变量，找出最佳的线性组合，使得两组变量之间的相关性最大化。
它主要用于探索一组自变量与另一组因变量之间的线性关系，并且可以提供详细的相关性系数、特征向量和特征值等信息。
典型相关分析的基本原理是将两组变量分别投影到最佳的线性组合上，使得投影后的变量之间的相关性最大。
这种投影是通过求解特征值问题来实现的，其中特征值表示相关系数的大小，特征向量表示两组变量的线性组合。
通常情况下，我们希望保留具有最大特征值的特征向量，因为它们对应着最强的相关性。
典型相关分析的应用广泛，可以用于众多领域，如心理学、社会科学、经济学等。
例如，在心理学研究中，我们可能对人们的人格特征和行为方式进行测量，然后使用典型相关分析来探索它们之间的关系。
在经济学研究中，我们可以将宏观经济指标与企业盈利能力进行比较，以评估它们之间的相关性。
典型相关分析的步骤如下：1.收集数据：首先，我们需要收集两组变量的数据。
这些数据可以是定量数据（如收入、年龄）或定性数据（如性别、职业）。
2.建立模型：然后，我们需要建立一个数学模型，用于描述两组变量之间的关系。
这可以通过线性回归、主成分分析等方法来实现。
3.求解特征值问题：接下来，我们需要求解特征值问题，以获得相关系数和特征向量。
在实际计算中，我们可以使用统计软件来完成这一步骤。
4.解释结果：最后，我们需要解释典型相关分析的结果。
通常情况下，我们会关注最大的特征值和对应的特征向量，因为它们表示着最强的相关性。
典型相关分析的结果提供了一组线性组合，这些组合可以最大化两组变量之间的相关性。
通过分析这些组合，我们可以洞察两组变量之间的潜在关系，并提供有关如何解释和预测这种关系的指导。
总结而言，典型相关分析是一种强大的多元统计分析方法，可以用于研究两组变量之间的关联性。
典型相关分析模型
医学领域
典型相关分析可以帮助医 学研究者分析患者数据， 找到疾病和其它相关变量 之间的关系。
典型相关分析的实施步骤
1
收集数据
首先，收集两个变量集的数据，并进
计算相关系数
2
行数据清洗和预处理。
然后，计算两个变量集之间的相关系
数，以评估它们之间的相关性。
3
计算典型变量
接下来，使用典型相关分析方法计算 典型变量，并解释它们之间的关系。
典型相关分析模型
典型相关分析是一种用于研究两个变量集之间关系的统计方法。它能够揭示 变量之间的关联性以及它们对彼此的影响。
什么是典型相关分析模型
典型相关分析模型是一种数据分析方法，用于探索两个变量集之间的关系。它通过找到两个变量集之间 的最大相关性来帮助我们理解它们之间的相互作用。
典型相关分析的基本原理
结论和要点
典型相关分析是一种有用的数据分析技术，可以帮助我们理解变量集之间的 关联性和相互作用。
典型相关分析的基本原理是使用多元统计技术来确定两个变量集之间的关联 性程度。它通过计算典型变量来表示两个变量集的相关性。
典型相关分析的应用领域
社会科学
典型相关分析可以帮助社 会科学研究者了解不同变 量集之间的关系，例如心 理学、教育学和社会学。
市场研究
典型相关分析可用于市场 研究，帮助企业了解产品 特点与消费者喜好之间的 关ຫໍສະໝຸດ 性。典型相关分析的结果解读
根据典型相关分析的结果，我们可以得出结论并解读变量集之间的相关性。 这有助于我们深入了解研究主题。
典型相关分析的优点和局限性
1 优点
2 局限性
典型相关分析能够揭示变量集之间的相互 影响，有助于提供全面的数据洞察。
典型相关分析
1典型相关分析内涵1.1典型相关分析基本概念典型相关分析（c anonical c orrelation analysis ）是利用综合变量对之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性的多元统计分析方法。
它的基本原理是：为了从总体上把握两组指标之间的相关关系，分别在两组变量中提取有代表性的两个综合变量U1和V1（分别为两个变量组中各变量的线性组合），利用这两个综合变量之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性。
典型相关分析是由霍特林(Hotelling,1935,1936)首先提出的。
典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系，将两组变量相关关系的分析，转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系分析。
目前，典型相关分析已被广泛应用于心理学、市场营销等领域，如用于研究个人性格与职业兴趣的关系，市场促销活动与消费者响应之间的关系等。
1.2 典型相关分析的基本思想典型相关分析的基本思想和主成分分析非常相似。
首先在每组变量中找出变量的一个线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。
然后选取相关系数仅次于第一对线性组合并且与第一对线性组合不相关的第二对线性组合，如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为止。
被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。
典型相关系数度量了这两组变量之间联系的强度。
一般情况，设(1)(1)(1)(1)12(,,,)pX X X= X、(2)(2)(2)(2)12(,,,)q X X X = X是两个相互关联的随机向量，分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量Ui 、Vi ，使得每一个综合变量是原变量的线性组合，即：()(1)()(1)()(1)()(1)1122i i i i i P P U a X a X a X '=+++aX()(2)()(2)()(2)()(2)1122i i i i i q qV b X b X b X '=+++bX为了确保典型变量的唯一性，我们只考虑方差为1的(1)X 、(2)X 的线性函数()(1)i 'aX与()(2)i 'b X ，求使得它们相关系数达到最大的这一组。
典型相关分析(CCA)简介
典型相关分析(CCA)简介一、引言在多变量统计分析中，典型相关分析（Canonical Correlation Analysis，简称CCA）是一种用于研究两个多变量之间关系的有效方法。
这种方法最早由哈罗德·霍特林（Harold Hotelling）于1936年提出。
随着数据科学和统计学的发展，CCA逐渐成为多个领域分析数据的重要工具。
本文将对典型相关分析的基本原理、应用场景以及与其他相关方法的比较进行详细阐述。
二、典型相关分析的基本概念1. 什么是典型相关分析典型相关分析是一种分析两个多变量集合之间关系的方法。
设有两个随机向量 (X) 和 (Y)，它们分别包含 (p) 和 (q) 个变量。
CCA旨在寻找一种线性组合，使得这两个集合在新的空间中具有最大的相关性。
换句话说，它通过最优化两个集合的线性组合，来揭示它们之间的关系。
2. 数学模型假设我们有两个数据集：(X = [X_1, X_2, …, X_p])(Y = [Y_1, Y_2, …, Y_q])我们可以表示为：(U = a^T X)(V = b^T Y)其中 (a) 和 (b) 是待求解的权重向量。
通过最大化协方差 ((U, V))，我们得到最大典型相关系数 ()，公式如下：[ ^2 = ]通过求解多组 (a) 和 (b)，我们可以获得多个典型变量，从而得到不同维度的相关信息。
三、典型相关分析的步骤1. 数据准备在进行CCA之前，需要确保数据集满足一定条件。
一般来说，应对数据进行标准化处理，以消除可能存在的量纲差异。
可以使用z-score标准化的方法来处理数据。
2. 求解协方差矩阵需要计算两个集合的协方差矩阵，并进一步求出其逆矩阵。
给定随机向量 (X) 和 (Y)，我们需要计算如下协方差矩阵：[ S_{xx} = (X, X) ] [ S_{yy} = (Y, Y) ] [ S_{xy} = (X, Y) ]同时，求出逆矩阵 (S_{xx}^{-1}) 和 (S_{yy}^{-1})。
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在SPSS中可以用2种方法来拟合典型相关 分析，第一种是采用Manova过程来拟合， 第二种是采用专门提供的程序来拟合，后 者在使用上比较简单，而输出结果又非常 详细，因此在这里用第二种方法进行拟合。
改程序命为Canonical correlation.sps，位 于SPSS安装目录下(SPSS16.0中该程序被 莫名移除…)
x6 .123 -.511 -.221 -.627 .242
x7 .115 -.015 .358 .986 .129
Raw Canonical Coefficients for Set-1
1
23
45
x1 .132 -.094 -.011 .147 .269
x2 .040 .081 .031 -.081 -.049
x3 .039 -.010 -.007 .022 -.045
x4 -.011 .119 .052 -.070 .107
x5 .005 .042 -.065 -.017 -.028
x6 .021 -.086 -.037 -.105 .041
x7 .014 -.002 .044 .121 .016
比如第二张表中的x9和x11之间的相关系数 达到0.6067。
此表是两组指标之间的相关系数
Correlations Between Set-1 and Set-2
x8 x9 x10 x11 x12
x1 -.4005 .3609 .4116 .2797 -.4755
x2 -.3900 .5584 .3977 .4511 -.1818
x7 -.1664 .2709 -.0176 .2035 .3231 .2813 1.0000
Correlations for Set-2
x8
x9 x10 x11 x12
x8 1.0000 -.4429 -.2647 -.4629 .3525
x9 -.4429 1.0000 .4989 .6067 -.4416
调用方式
INCLUDE‘SPSS所在路径\ Canonical correlation.sps’
CANCORR SET1=第一组变量列表 /SET2=第二组变量的列表
对于书本p226页的数据，程序如下： INCLUDE ' SPSS所在路径\Canonical
correlation.sps'. CANCORR SET1=X1 to X7 /SET2=X8 to X12
x3 -.3026 .5590 .5538 .3215 -.3464
x4 -.2834 .2711 -.0414 .2470 .1499
x5 -.4295 -.1843 -.0116 .1415 -.0463
x6 -.0800 .2596 .3310 .2359 -.3666
x7 -.2568 .1501 .0388 .0841 .0989
x10 -.2647 .4989 1.0000 .3562 -.3911
x11 -.4629 .6067 .3562 1.0000 -.3698
x12 .3525 -.4416 -.3911 -.3698 1.0000
以上表格给出的是各组指标内部的相关系 数 ，如果两个指标相关系数很大，可能这 两个指标反映的是同一个方面，可以考虑 合并。
从上表可以看出，在a=0.05的水平下，第 一和第二典型相关系数显著。
典型变量的系数
结果中给出的有原始变量(Raw Canonical Coefficients)和标准化变量(Standardized Canonical Coefficients)的典型相关变量的 换算系数。
Standardized Canonical Coefficients for Set-1
x3 .1643 .2694 1.0000 .3190 -.2427 .1931 -.0176
x4 -.0286 .0406 .3190 1.0000 -.0370 .0524 .2035
x5 .2463 -.0670 -.2427 -.0370 1.0000 .0517 .3231
x6 .0722 .3463 .1931 .0524 .0517 1.0000 .2813
典型相关系数的显著性检验
Test that remaining correlations are zero: Wilk's Chi-SQ DF Sig. 1 .071 80.798 35.000 .000 2 .237 43.935 24.000 .008 3 .557 17.840 15.000 .271 4 .883 3.809 8.000 .874 5 .966 1.051 3.000 .789
从上表可以看出x2和x9之间的关联程度较 大，而其他体力指标和运动能力指标之间 的直接关联不大，更多的可能是综合影响。
典型相关系数及显著性检验
Canonical Correlations
பைடு நூலகம்
1 .837 2 .758 3 .607 4 .294 5 .184
第一典型相关系数为0.837， 第二典型相关系数为0.758， 第三典型相关系数为0.607， 均比两组指标间的任意一相 关系数大，即综合的典型相 关分析效果好于简单相关分 析
Run MATRIX procedure:
Correlations for Set-1
x1
x2 x3 x4 x5
x6 x7
x1 1.0000 .2701 .1643 -.0286 .2463 .0722 -.1664
x2 .2701 1.0000 .2694 .0406 -.0670 .3463 .2709
Standardized Canonical Coefficients for Set-2
1
23
4
5
x1 .443 -.318 -.038 .495 .904
x2 .301 .604 .231 -.602 -.365
x3 .611 -.160 -.110 .339 -.700
x4 -.059 .636 .279 -.373 .574
x5 .073 .605 -.934 -.239 -.403